Aristotle
Abstract
Treatise of doubtful authenticity on mechanical problems (lever, balance, wheel): it shows how skill produces effects ‘contrary to nature’ for our benefit, and traces the marvels of mechanics back to the geometric properties of the circle.
Connections
Concetti: natura, causa
Forme: trattato
Scuole: Liceo (peripatetici)
Traduzione di W. S. Hett · Delphi Classics, 2013 · pubblico dominio
MECHANICAL PROBLEMS
Remarkable things occur in accordance with nature, the cause of which is unknown, and others occur contrary to nature, which are produced by skill for the benefit of mankind. For in many cases nature produces effects against our advantage; for nature always acts consistently and simply, but our advantage changes in many ways. When, then, we have to produce an effect contrary to nature, we are at a loss, because of the difficulty, and require skill. Therefore we call that part of skill which assists such difficulties, a device. For as the poet Antiphon wrote, this is true: “We by skill gain mastery over things in which we are conquered by nature.” Of this kind are those in which the less master the greater, and things possessing little weight move heavy weights, and all similar devices which we term mechanical problems.
These are not altogether identical with physical problems, nor are they entirely separate from them, but they have a share in both mathematical and physical speculations, for the method is demonstrated by mathematics, but the practical application belongs to physics.
Among the problems included in this class are included those concerned with the lever. For it is strange that a great weight can be moved by a small force, and that, too, when a greater weight is involved.
For the very same weight, which a man cannot move without a lever, he quickly moves by applying the weight of the lever.
Now the original cause of all such phenomena is the circle; and this is natural, for it is in no way strange that something remarkable should result from something more remarkable, and the most remarkable fact is the combination of opposites with each other.
The circle is made up of such opposites, for to begin with it is composed both of the moving and of the stationary, which are by nature opposite to each other. So when one reflects on this, it becomes less remarkable that opposites should exist in it. First of all, in the circumference of the circle which has no breadth, an opposition of the kind appears, the concave and the convex. These differ from each other in the same way as the great and small; for the mean between these latter is the equal, and between the former is the straight line. Therefore, as in the former case, if they were to change into each other they must become equal before they could pass to either of the extremes, so also the line must become straight either when it changes from convex to concave, or by the reverse process becomes a convex curve. This, then, is one peculiarity of the circle, and a second is that it moves simultaneously in opposite directions; for it moves simultaneously forwards and backwards, and the radius which describes it behaves in the same way; for from whatever point it begins, it returns again to the same point; and as it moves continuously the last point again becomes the first in such a way that it is evidently changed from its first position.
Therefore, as has been said before, there is nothing strange in the circle being the first of all marvels. The facts about the balance depend upon the circle and those about the lever upon the balance, while nearly all the other problems of mechanical movement can depend upon the lever. Again, no two points on one line drawn as a radius from the centre travel at the same pace, but that which is further from the fixed centre travels more rapidly; it is due to this that many of the remarkable properties in the movement of circles arise; concerning which there will be a demonstration in what follows.
But owing to the fact that a circle has two opposite movements at the same time, and that one extremity of the diameter — that at Ac — moves forward while the other at B moves backwards, some people arrange that from one movement many circles move simultaneously in contrary directions, like the wheels of bronze and steel which they dedicate in temples. Let there be a circle with diameter AT touching the circle AB; if the diameter of the circle AB moves forward, then the diameter of the circle AT will move backward in relation to AB, if the diameter revolves round one point. That is, the circle TA will move in the opposite direction to the circle AB; and again it wiil move the next in succession, the circle EZ in the opposite direction to itself for the same reason. In the same way also, if there are more circles they will show the same process, when only one of them is moved. So making use of this property inherent in the circle, craftsmen make an instrument concealing the original circle, so that the marvel of the machine is alone apparent, while its cause is invisible.
First of all then a difficulty will arise as to what happens to the balance; why, that is, larger balances are more accurate than smaller ones. The origin of this is the question why that part of the radius of a circle which is farthest from the centre moves quicker than the smaller radius which is close to the centre, and is moved by the same force. The word quicker is used in two senses; if a point covers the same distance as another in a shorter space of time we call it quicker, and also if it covers a greater distance in an equal time. But in our case the greater radius describes a greater circle in equal time; for the circumference outside is greater than the circumference inside.
The reason is that the radius describing the circle is performing two movements. Now whenever a body is moved in two directions in a fixed ratio it necessarily travels in a straight line, which is the diagonal of the figure which the lines arranged in this ratio describe.
Let the ratio according to which the body moves be represented by the ratio of AB to AT. Let AT move towards B while AB be moved towards the position HT; now let A travel to A, and let AB travel a distance determined by the point E. Then if the ratio of the movement is that of AB to AT, then the line AA must bear the same ratio to AE. Then the small parallelogram has the same proportions as the larger, so that its diagonal is the same, and the body will move to Z. It can be shown that it will behave in the same way at whatever point its movement be interrupted; it will always be on the diagonal. Conversely it is obvious that an object travelling with two movements along a diagonal will always move in the ratio of the sides of the parallelogram. For with any other proportion it will not travel along the diagonal. But, if a body travels with two movements with no fixed ratio and in no fixed time, it would be impossible for it to travel in a straight line. For suppose it to be a straight line. If this line is drawn as a diagonal and the sides of the parallelogram be filled in, the body must move in the ratio of the sides; this has been demonstrated before. Hence the body that travels in no constant ratio and in no fixed time will not make a straight line. For if it travels in a fixed ratio for a given time, during this time it must move in a straight line, because of what we have already said. So that if it moves in two directions with no fixed ratio and in no fixed time it will be a curve.
That the line describing a circle moves in two directions simultaneously is obvious from these considerations, and also because that which travels along a straight line is along a perpendicular, so that it again travels along the perpendicular to a point above the centre.
Problemi meccanici
Cose notevoli avvengono secondo natura, la cui causa è ignota, e altre avvengono contro natura, le quali sono prodotte dall’arte a beneficio degli uomini. In molti casi, infatti, la natura produce effetti contro il nostro vantaggio; poiché la natura agisce sempre in modo coerente e semplice, mentre il nostro vantaggio si muta in molti modi. Quando, dunque, dobbiamo produrre un effetto contrario alla natura, restiamo perplessi a causa della difficoltà, e richiediamo l’arte. Perciò chiamiamo congegno quella parte dell’arte che soccorre tali difficoltà. Infatti, come scrisse il poeta Antifonte, questo è vero: “Noi per mezzo dell’arte siamo padroni di quelle cose nelle quali siamo vinti dalla natura.” Di questo genere sono quelle in cui i minori dominano i maggiori, e cose che hanno poco peso muovono pesi grandi, e tutti i congegni simili che chiamiamo problemi meccanici.
Questi non sono del tutto identici ai problemi fisici, né sono interamente separati da essi, ma hanno parte tanto nelle speculazioni matematiche quanto in quelle fisiche, poiché il metodo è dimostrato dalla matematica, ma l’applicazione pratica appartiene alla fisica.
Tra i problemi inclusi in questa classe sono compresi quelli concernenti la leva. Poiché è strano che un grande peso possa essere mosso da una piccola forza, e ciò pure quando un peso maggiore è implicato.
Imperocché quel medesimo peso, che un uomo non può muovere senza una leva, egli lo muove agevolmente applicando il peso della leva.
Ora la causa originaria di tutti tali fenomeni è il circolo; e ciò è naturale, poiché non è affatto strano che qualcosa di notevole derivi da qualcosa di più notevole, e il fatto più notevole è la combinazione degli opposti tra loro.
Il cerchio è composto di tali contrari, poiché in primo luogo è costituito tanto del mobile quanto dell’immobile, i quali per natura sono opposti l’uno all’altro. Onde quando si riflette su ciò, diviene meno degno di meraviglia che in esso esistano contrari. In primo luogo, nella circonferenza del cerchio che non ha larghezza, appare un’opposizione di tal genere, il concavo e il convesso. Questi differiscono tra loro nello stesso modo in cui differiscono il grande e il piccolo; poiché il medio tra questi ultimi è l’uguale, e tra i primi è la linea retta. Perciò, come nel primo caso, se si mutassero l’uno nell’altro, dovrebbero divenire uguali prima di poter passare a uno dei due estremi, così anche la linea deve divenire retta, o quando passa da convessa a concava, o col procedimento inverso diviene una curva convessa. Questa, dunque, è una peculiarità del cerchio; e una seconda è che esso si muove simultaneamente in direzioni opposte; poiché si muove simultaneamente in avanti e all’indietro, e il raggio che lo descrive si comporta allo stesso modo; poiché da qualunque punto cominci, ritorna di nuovo allo stesso punto; e muovendosi continuamente, l’ultimo punto diviene di nuovo il primo in modo tale che esso è evidentemente mutato dalla sua prima posizione.
Pertanto, come è stato detto innanzi, non vi è nulla di strano che il cerchio sia la prima di tutte le meraviglie. I fatti concernenti la bilancia dipendono dal cerchio, e quelli concernenti la leva dalla bilancia, mentre quasi tutti gli altri problemi del movimento meccanico possono dipendere dalla leva. Ancora, nessun paio di punti sopra una stessa linea condotta come raggio dal centro si muove con la medesima rapidità, ma quello che è più lontano dal centro fisso si muove più rapidamente; a ciò si deve che molte delle proprietà notevoli nel movimento dei cerchi sorgono; intorno alle quali vi sarà una dimostrazione in ciò che segue.
Ma poiché un cerchio ha due movimenti opposti nello stesso tempo, e poiché una estremità del diametro — quella in Ac — avanza mentre l’altra in B arretra, alcuni dispongono che da un solo movimento molti cerchi si muovano simultaneamente in direzioni contrarie, come le ruote di bronzo e di acciaio che dedicano nei templi. Sia un cerchio con diametro AT tangente al cerchio AB; se il diametro del cerchio AB avanza, allora il diametro del cerchio AT si muoverà all’indietro rispetto ad AB, se il diametro ruota attorno a un punto. Cioè, il cerchio TA si muoverà in direzione opposta al cerchio AB; e di nuovo muoverà il successivo, il cerchio EZ, in direzione opposta a sé stesso per la stessa ragione. Allo stesso modo, se vi sono più cerchi, mostreranno lo stesso processo, quando uno solo di essi è mosso. Così, valendosi di questa proprietà inerente al cerchio, gli artigiani costruiscono uno strumento che nasconde il cerchio originario, così che la sola meraviglia della macchina sia apparente, mentre la sua causa è invisibile.
Prima di tutto, quindi, sorgerà una difficoltà circa ciò che accade alla bilancia; perché, cioè, le bilance più grandi sono più esatte di quelle più piccole. L’origine di ciò è la questione del perché quella parte del raggio di un cerchio che è più lontana dal centro si muova più velocemente del raggio minore che è vicino al centro, ed è mossa dalla stessa forza. La parola più veloce è usata in due sensi; se un punto percorre la stessa distanza di un altro in un tempo più breve, lo chiamiamo più veloce, e anche se percorre una distanza maggiore in un tempo uguale. Ma nel nostro caso il raggio maggiore descrive un cerchio maggiore in tempo uguale; poiché la circonferenza esterna è maggiore della circonferenza interna.
La ragione è che il raggio che descrive il cerchio compie due movimenti. Ora, ogni qualvolta un corpo è mosso in due direzioni secondo una ragione fissa, esso viaggia necessariamente in linea retta, la quale è la diagonale della figura che le linee disposte secondo tale ragione descrivono.
Sia rappresentata la ragione, secondo la quale il corpo si muove, dalla ragione di AB ad AT. Si muova AT verso B, mentre AB sia mosso verso la posizione HT; ora si trasporti A in A, e AB percorra una distanza determinata dal punto E. Allora, se la ragione del moto è quella di AB ad AT, la linea AA dovrà avere la medesima ragione ad AE. Il piccolo parallelogrammo avrà adunque le stesse proporzioni del maggiore, cosicché la sua diagonale sia la medesima, e il corpo si muoverà verso Z. Si può dimostrare che esso si comporterà nello stesso modo in qualunque punto il suo movimento sia interrotto; sarà sempre sulla diagonale. Al contrario è evidente che un corpo, che si muove con due movimenti lungo una diagonale, si muoverà sempre secondo la ragione dei lati del parallelogrammo; poiché con qualsiasi altra proporzione non si muoverà lungo la diagonale. Ma se un corpo si muove con due movimenti senza ragione fissa e senza tempo determinato, sarebbe impossibile che esso si muovesse in una linea retta. Poiché si supponga che sia una linea retta. Se questa linea è disegnata come diagonale e i lati del parallelogrammo vengano completati, il corpo dovrà muoversi secondo la ragione dei lati; ciò è stato dimostrato prima. Quindi il corpo che si muove senza ragione costante e senza tempo fissato non formerà una linea retta. Poiché se si muove con una ragione fissa per un tempo dato, durante questo tempo dovrà muoversi in linea retta, per ciò che abbiamo già detto. Cosicché se si muove in due direzioni senza ragione fissa e senza tempo determinato, il moto sarà una curva.
Che la linea che descrive un cerchio si muova in due direzioni simultaneamente è evidente da queste considerazioni, e anche perché ciò che percorre una linea retta procede lungo una perpendicolare, sì da percorrere nuovamente la perpendicolare verso un punto sopra il centro.
Let ABT be a circle, and from the point B above the centre let a line be drawn to A; it is joined to the point T; if it travelled with velocities in the ratio of BA to AT it would move along the diagonal BT But, as it is, seeing that it is in no such proportion it travels along the arc BET. Now if of two objects moving under the influence of the same force one suffers more interference, and the other less; it is reasonable to suppose that the one suffering the greater interference should move more slowly than that suffering less, which seems to take place in the case of the greater and the less of those radii which describe circles from the centre. For because the extremity of the less is nearer the fixed point than the extremity of the greater, being attracted towards the centre in the opposite direction, the extremity of the lesser radius moves more slowly. This happens with any radius which describes a circle; it moves along a curve naturally in the direction of the tangent, but is attracted to the centre contrary to nature. The lesser radius always moves in its unnatural direction; for because it is nearer the centre which attracts it, it is the more influenced. That the lesser radius moves more than the greater in the unnatural direction in the case of radii describing the circles from a fixed centre is obvious from the following considerations.
Let there be a circle BTEA and another smaller one inside it XNME described about the same centre A and let the diameters be drawn, the larger AT and BE and in the smaller circle MX and NE; let the rectangle AŸ PT be completed. If the radius AB describing the circle returns again to the same position from which it started, namelv to AB, it is clearly travelling towards itself. In the same way AX will return to the position AX. But AX travels more slowly than AB, as has been said, because the interference with it is greater, and AX is more interrupted.
Let AOH be drawn, and from the point O a perpendicular OZ be dropped within the circle to AB; again from 0 let O2 be drawn parallel to AB, and the perpendiculars Î2Y and HK dropped on AB. Now the lines OY and 0Z are equal, but BY is less than XZ. For in unequal circles equal straight lines drawn perpendicular to the diameter cut off smaller parts of the diameter in the greater circles, and QY is equal to 0Z. Now in the same time in which A0 travels along the distance XO the extremity of the radius BA has described a greater arc than BÎ2 in the greater circle. For the natural travel is equal, but the unnatural is less; and BY is less than XZ: but one would expect them to be in proportion, the two that is whose travel is natural, and the two whose travel is unnatural.
The point has actually travelled over HB, which is greater than fB. Now in the given time (i e., that in which AX moves to A0) AB must have travelled over the arc HB; for that will be its position, when the proportion between the natural and unnatural movements is true. If, then, the natural movement is greater in the greater circle, the unnatural movement would at that point have the same proportion only in the sense that the point B would travel along the arc BH in the same time as the point X would travel along the arc X0. For in that case the natural movement of the point B carries it to H, but its unnatural movement to K. For HK is the perpendicular dropped from H. Then HK is in the same ratio to KB, as 0Z is to ZX. This will be obvious if B and X are joined respectively to H and O. But if the distance travelled by B is either greater or less than HB, the result will not be the same, nor will the proportion, between the natural and unnatural movements be the same in the two-circles.
From what has already been said the reason why the point more distant from the centre travels more quickly than the nearer point, though impelled by the same force, and why the greater radius describes the greater arc, is quite obvious. Why also greater balances are more accurate than smaller ones, is clear from these considerations. The cord which suspends the balance is the centre (for it is a fixed point), and the parts on either side of the balance scale are the radii from the centre. Now the extremity of the balance scale must move at a greater rate under the influence of the same weight, inasmuch as it is further from the cord, and consequently in small balances some weights must make no impression on the senses, but in large balances the movement must be obvious; for there is nothing to prevent a quantity from moving too little for it to be observed by the senses. But in a large balance the same weight makes the movement visible. Some movements are obvious in both cases, but arc much more obvious in larger balances, because then the extent of the swing is much greater for the same weight. This is how sellers of purple arrange their weighing machines to deceive, by putting the cord out of the true centre, and pouring lead into one arm of the balance, or by employing wood for the side to which they want it to incline taken from the root or from where there is a knot. For the part of the tree in which the root lies is heavier, and a knot is in a sense a root.
If the cord supporting a balance is fixed from above, when after the beam has inclined the weight is removed, the balance returns to its original position. If, however, it is supported from below, then it does not return to its original position. Why is this? It is because, when the support is from above (when the weight is applied) the larger portion of the beam is above the perpendicular. For the cord is the perpendicular. So that the greater weight must swing downwards until the line dividing the beam coincides with the perpendicular, because the greater weight now lies in the raised part of the beam. Let the beam be a straight one represented by BT and the cord be AA. When this is driven downwards the perpendicular will be represented by AAM, if the weight is attached in the direction of B. The face B will then adopt the position E, and the face T that of Z, so that the line bisecting the beam at first was in the position of the perpendicular AM, but when the weight was attached took up the position A0. Consequently that part of the beam in its position EZ which is outside the perpendicular AM will exceed half the beam by OII. If, then, the weight is removed from the arm E, the arm Z must be depressed, for the arm E is the smaller. If, then, the cord is attached from above, the balance returns again to its original position.
If, however, the support is from below, the opposite results; for now the portion of the beam which is lower than the perpendicular dividing it is more than half; consequently it does not return to its place; for the part rising above is lighter. Let the straight beam be represented by XE, the perpendicular being KAM, and this bisects NE. When the weight is attached to the arm N, X will take up the position 0 and H will take up the position P, while KA will go to GA, so that KO is greater than AP by OKA. Now when the weight is removed the beam must keep its new position; for the excess over half the beam beyond K acts as a weight and depresses the beam.
Sia ABT un cerchio, e dal punto B sopra il centro si tiri una linea fino ad A; essa è congiunta al punto T; se si muovesse con velocità nel rapporto di BA ad AT, si muoverebbe lungo la diagonale BT. Ma, in realtà, non essendo in tale proporzione, percorre l’arco BET. Ora, se di due oggetti che si muovono sotto l’influenza della stessa forza l’uno subisce maggiore interferenza, e l’altro minore; è ragionevole supporre che quello sofferente la maggiore interferenza debba muoversi più lentamente di quello che ne soffre meno, il che sembra aver luogo nel caso del maggiore e del minore di quei raggi che descrivono cerchi dal centro. Poiché l’estremità del minore è più vicina al punto fisso di quella del maggiore, essendo attratta verso il centro nella direzione opposta, l’estremità del raggio minore si muove più lentamente. Questo accade con ogni raggio che descrive un cerchio; esso si muove lungo una curva naturalmente nella direzione della tangente, ma è attratto verso il centro contro natura. Il raggio minore si muove sempre nella sua direzione innaturale; poiché, essendo più vicino al centro che lo attrae, è maggiormente influenzato. Che il raggio minore si muova più del maggiore nella direzione innaturale, nel caso dei raggi che descrivono i cerchi da un centro fisso, è manifesto dalle seguenti considerazioni.
Sia un cerchio BTEA e un altro più piccolo dentro di esso XNME descritto intorno allo stesso centro A; e si tirino i diametri, il maggiore AT e BE, e nel cerchio minore MX e NE; si completi il rettangolo AŸ PT. Se il raggio AB descrivendo il cerchio ritorna di nuovo alla stessa posizione da cui cominciò, cioè ad AB, è chiaro che viaggia verso se stesso. Allo stesso modo AX ritornerà alla posizione AX. Ma AX viaggia più lentamente di AB, come è stato detto, perché l’interferenza con esso è maggiore, e AX è più interrotto.
Sia condotta AOH, e dal punto O sia lasciata cadere, dentro il cerchio, una perpendicolare OZ su AB; di nuovo da O sia condotta O2 parallela ad AB, e siano lasciate cadere su AB le perpendicolari Î2Y e HK. Ora le linee OY e OZ sono uguali, ma BY è minore di XZ. Infatti nei cerchi disuguali linee rette uguali condotte perpendicolarmente al diametro tagliano parti minori del diametro nei cerchi maggiori, e QY è uguale a OZ. Ora nello stesso tempo in cui AO percorre la distanza XO, l’estremità del raggio BA ha descritto un arco maggiore di BÎ2 nel cerchio maggiore. Infatti il moto naturale è uguale, ma quello innaturale è minore; e BY è minore di XZ: ma ci si aspetterebbe che fossero in proporzione, cioè i due il cui moto è naturale, e i due il cui moto è innaturale.
Il punto ha in realtà percorso HB, che è maggiore di fB. Ora, nel tempo dato (cioè quello in cui AX si muove verso A0), AB deve aver percorso l’arco HB; poiché quella sarà la sua posizione, quando la proporzione tra i movimenti naturali e innaturali è vera. Se, quindi, il movimento naturale è maggiore nel cerchio maggiore, il movimento innaturale avrebbe in quel punto la stessa proporzione solo nel senso che il punto B percorrerebbe l’arco BH nello stesso tempo in cui il punto X percorrerebbe l’arco X0. Infatti in quel caso il movimento naturale del punto B lo porta a H, ma il suo movimento innaturale a K. Poiché HK è la perpendicolare calata da H. Allora HK sta a KB nello stesso rapporto in cui 0Z sta a ZX. Ciò sarà evidente se B e X sono congiunti rispettivamente a H e O. Ma se la distanza percorsa da B è o maggiore o minore di HB, il risultato non sarà lo stesso, né la proporzione tra i movimenti naturali e innaturali sarà la stessa nei due cerchi.
Da quanto è già stato detto, è del tutto evidente la ragione per cui il punto più lontano dal centro si muove più velocemente del punto più vicino, sebbene spinto dalla stessa forza, e per cui il raggio maggiore descrive l’arco maggiore. Perché anche le bilance più grandi siano più esatte di quelle più piccole è chiaro da queste considerazioni. La corda che sospende la bilancia è il centro (poiché è un punto fisso), e le parti ai due lati della bilancia sono i raggi dal centro. Ora l’estremità della bilancia deve muoversi con maggiore velocità sotto l’influenza dello stesso peso, in quanto è più lontana dalla corda, e di conseguenza nelle piccole bilance alcuni pesi non devono produrre alcuna impressione sui sensi, ma nelle grandi bilance il movimento deve essere evidente; infatti nulla vieta che una quantità si muova troppo poco per essere osservata dai sensi. Ma in una grande bilancia lo stesso peso rende visibile il movimento. Alcuni movimenti sono evidenti in entrambi i casi, ma sono molto più evidenti nelle bilance più grandi, perché allora l’ampiezza dell’oscillazione è molto maggiore per lo stesso peso. È così che i venditori di porpora preparano i loro strumenti per pesare per ingannare, ponendo la corda fuori dal vero centro, versando piombo in un braccio della bilancia, oppure impiegando per il lato verso cui vogliono che essa inclini legno preso dalla radice o da dove vi è un nodo. Infatti la parte dell’albero in cui giace la radice è più pesante, e un nodo è in un certo senso una radice.
Se la corda che sostiene una bilancia è fissata dall’alto, quando, dopo che il giogo si è inclinato, il peso è rimosso, la bilancia ritorna nella sua posizione originaria. Se invece è sostenuta dal basso, allora non ritorna nella sua posizione originaria. Perché questo? È perché, quando il sostegno è dall’alto (quando il peso è applicato) la porzione maggiore del giogo è al di sopra della perpendicolare. La corda è infatti la perpendicolare. Così che il peso maggiore deve oscillare verso il basso finché la linea che divide il giogo coincida con la perpendicolare, perché il peso maggiore ora giace nella parte sollevata del giogo. Sia il giogo una linea retta rappresentata da BT e la corda sia AA. Quando questo è spinto verso il basso, la perpendicolare sarà rappresentata da AAM, se il peso è attaccato nella direzione di B. La faccia B assumerà allora la posizione E, e la faccia T quella di Z, così che la linea che biseca il giogo da principio era nella posizione della perpendicolare AM, ma quando il peso fu attaccato prese la posizione A0. Di conseguenza quella parte del giogo nella sua posizione EZ che è al di fuori della perpendicolare AM supererà la metà del giogo di OII. Se, dunque, il peso è rimosso dal braccio E, il braccio Z deve essere depresso, poiché il braccio E è il più piccolo. Se, allora, la corda è attaccata dall’alto, la bilancia ritorna di nuovo nella sua posizione originaria.
Se però il sostegno è dal basso, accade il contrario; poiché ora la porzione della trave che è più bassa della perpendicolare che la divide è più della metà; conseguentemente essa non ritorna al suo posto; poiché la parte che si solleva al di sopra è più leggera. Sia la trave rettilinea rappresentata da XE, essendo la perpendicolare KAM, e questa divide NE in due parti uguali. Quando il peso è attaccato al braccio N, X prenderà la posizione O e H prenderà la posizione P, mentre KA si porterà in GA, così che KO è maggiore di AP per OKA. Ora, quando il peso è rimosso, la trave deve mantenere la sua nuova posizione; poiché l’eccesso oltre la metà della trave al di là di K agisce come un peso e abbassa la trave.
Why is it that small forces can move great weights by means of a lever, as was said at the beginning of the treatise, seeing that one naturally adds the weight of the lever? For surely the smaller weight is easier to move, and it is smaller without the lever. Is the lever the reason, being equivalent to a beam with its cord attached below, and divided into two equal parts? For the fulcrum acts as the attached cord: for both these remain stationary, and act as a centre. But since under the impulse of the same weight the greater radius from the centre moves the more rapidly, and there are three elements in the lever, the fulcrum, that is the cord or centre, and the two weights, the one which causes the movement, and the one that is moved; now the ratio of the weight moved to the weight moving it is the inverse ratio of the distances from the centre. Now the greater the distance from the fulcrum, the more easily it will move. The reason has been given before that the point further from the centre describes the greater circle, so that by the use of the same force, when the motive force is farther from the lever, it will cause a greater movement. Let AB be the bar, T be the weight, and A the moving force, E the fulcrum; and let H be the point to which the moving force travels and K the point to which T the weight moved travels.
Why do the rowers in the middle of the ship contribute most to its movement? Is it because the oar acts like a bar? For the thole-pin is the fulcrum (for it is fixed), and the sea is the weight, which the oar presses; the sailor is the force which moves the bar. In proportion as the moving force is further away from the fulcrum, so it always moves the weight more; for the circle described from the centre is greater, and the thole-pin, which is the fulcrum, is the centre. The largest part of the oar is within in the centre of the ship. For the ship is broadest at this point, so that it is possible for the greater part of the oar to be within the sides of the ship on either side. Therefore the movement of the ship is caused, because the end of the oar which is within the ship travels forward when the oar is supported against the sea, and the ship being fastened to the thole-pin travels forward in the same direction as the end of the oar. The ship must be thrust forward most at the point at which the oar displaces most sea, where the distance between the handle and the thole-pin is greatest. This is the reason why those in the middle of the ship contribute most to the movement of the ship: for that part of the oar which stretches inside from the tholepin is greatest in the middle of the ship.
Why does the rudder, which is small and at the end of the vessel, have so great power that it is able to move the huge mass of the ship, though it is moved by a smaller tiller and by the strength of but one man, and then without violent exertion? Is it because the rudder is a bar, and the helmsman works a lever? The point at which it is attached to the ship is the fulcrum, the whole rudder is the bar, the sea is the weight, and the helmsman is the motive force. The rudder does not strike the sea at right angles to its length, as an oar does. For it does not drive the ship forward, but turns it while it moves, receiving the sea at an angle. For since the sea is the weight, it turns the ship by pushing in a contrary direction. For the lever and the sea turn in opposite directions, the sea to the inside and the lever to the outside. The ship follows because it is attached to it. The oar pushes the weight against its breadth, and being pushed by it it in return drives the ship straight forward; but the rudder, being placed aslant, causes movement also to be at an angle, either in one direction or the other. It is placed at the end and not in the middle of the ship, because the part moved can move most easily when the moving agent acts from the end. For the first part moves most rapidly because as in other travelling bodies the travel ceases at the end, so in a continuous body the travel is weakest at the end. If, then, it is weakest there, it is at that point easiest to shift it from its position. This is why the rudder is at the stern and also because, as there is very little movement at that point, the displacement is much greater at the end, because the same angle stands on a large base, and because the enclosing lines are greater. From this it is obvious why the ship moves further in an opposite direction than the oar-blade; for the same mass, when moved by the same force, will travel further in air than in water. For let AB be the oar, T the thole-pin, and A the part of the oar inside the ship, that is, the handle of the oar, while the point B is the end in the sea. Now if the point A be moved to the point A, the point B will not be at E; for BE is equal to AA, and it would thus have travelled an equal distance. But it is smaller, and it will be at the point Z. The point O then cuts the line AB, not where T is but below. For BZ is less than AA, just as OZ is less than AO; for the triangles are similar.
The centre T will also be displaced; for it moves in the opposite direction to the part B, which is in the sea, and in the same direction as A, the part in the boat, and A has changed its position to A. So the position of the ship will be changed, and the point where the handle of the oar is will be moved. The rudder acts in the same way except that it does not contribute anything to the forward movement of the ship, but only pushes the stern sideways in one direction or the other; for the bow moves in the opposite direction to the rudder. The point at which the rudder is attached must be regarded as the pivot of the moving part, and functions like the thole-pin for the oar; but the centre of the ship is moved in the same direction as the rudder. If it is moved inwards the stern moves in that direction; but the bow moves in a contrary direction, for while the bow remains in the same place the whole ship changes position.
Why is it that the higher the yard-arm, the faster the ship travels with the same sail and the same wind? Is it because the mast acts as a lever with its base in which it is fixed as a fulcrum? Then the weight which requires to be moved is the ship, and the agent of movement is the wind in the sail. If then, it is true that the farther the fulcrum, the more easily and rapidly does a given power move a given weight, then the yard-arm being higher makes the sail also farther away from the base which is the fulcrum.
Why is it that, when the wind is unfavourable and they wish to run before it, they reef the sail in the direction of the helmsman, and slacken the part of the sheet towards the bows? Is it because the rudder cannot act against the wind when it is stormy, but can when the wind is slight and so they shorten sail? In this way the wind carries the ship forward, but the rudder turns it into the wind, acting against the sea as a lever. At the same time the sailors fight against the wind; for they lean over in the opposite direction. —
Perché mai piccole forze possono muovere grandi pesi per mezzo di una leva, come fu detto all’inizio del trattato, dal momento che naturalmente si aggiunge il peso della leva? Ché certo il peso minore è più facile da muovere, ed è minore senza la leva. È forse la leva la ragione, essendo equivalente a una trave con la sua corda attaccata sotto, e divisa in due parti uguali? Il fulcro infatti funge da corda attaccata: entrambi infatti restano fermi, e fungono da centro. Ma poiché sotto l’impulso dello stesso peso il raggio maggiore dal centro si muove più rapidamente, e nella leva vi sono tre elementi, il fulcro, cioè la corda o centro, e i due pesi, l’uno che causa il movimento, e l’altro che è mosso; ora il rapporto del peso mosso al peso movente è inverso al rapporto delle distanze dal centro. Ora quanto maggiore è la distanza dal fulcro, tanto più facilmente si muoverà. La ragione è stata data prima che il punto più lontano dal centro descrive il cerchio maggiore, così che con l’uso della stessa forza, quando la forza motrice è più lontana dalla leva, produrrà un movimento maggiore. Sia AB l’asta, T il peso, e A la forza motrice, E il fulcro; e sia H il punto in cui giunge la forza motrice e K il punto in cui giunge T, il peso mosso.
Perché i rematori nel mezzo della nave contribuiscono maggiormente al suo movimento? È perché il remo agisce come una leva? Lo scalmo è il fulcro (poiché è fisso), e il mare è il peso che il remo preme; il marinaio è la forza che muove la leva. In proporzione a quanto la forza motrice è più lontana dal fulcro, tanto muove sempre di più il peso; poiché il cerchio descritto dal centro è maggiore, e lo scalmo, che è il fulcro, è il centro. La parte più grande del remo è all’interno nel centro della nave. Infatti la nave è più larga in questo punto, così che è possibile che la parte maggiore del remo sia dentro i fianchi della nave da entrambi i lati. Perciò il movimento della nave è causato, perché l’estremità del remo che è dentro la nave avanza quando il remo è appoggiato contro il mare, e la nave, essendo fissata allo scalmo, avanza nella stessa direzione dell’estremità del remo. La nave deve essere spinta in avanti maggiormente nel punto in cui il remo sposta più mare, dove la distanza tra l’impugnatura e lo scalmo è massima. Questa è la ragione per cui quelli nel mezzo della nave contribuiscono maggiormente al movimento della nave: poiché quella parte del remo che si estende all’interno dallo scalmo è massima nel mezzo della nave.
Perché il timone, che è piccolo e si trova all’estremità della nave, ha un potere così grande da poter muovere la massa enorme della nave, sebbene sia mosso da una barra più piccola e dalla forza di un solo uomo, e inoltre senza sforzo violento? È forse perché il timone è una barra, e il timoniere manovra una leva? Il punto in cui è attaccato alla nave è il fulcro, l’intero timone è la barra, il mare è il peso, e il timoniere è la forza motrice. Il timone non colpisce il mare ad angolo retto rispetto alla sua lunghezza, come fa un remo. Infatti non spinge la nave in avanti, ma la gira mentre essa si muove, ricevendo il mare obliquamente. Poiché il mare è il peso, esso gira la nave spingendo in direzione contraria. Infatti la leva e il mare girano in direzioni opposte, il mare verso l’interno e la leva verso l’esterno. La nave segue perché è attaccata ad esso. Il remo spinge il peso contro la propria larghezza, ed essendo respinto da esso a sua volta spinge la nave diritta in avanti; ma il timone, essendo posto obliquamente, fa sì che anche il movimento sia angolare, in una direzione o nell’altra. È posto all’estremità e non in mezzo alla nave, perché la parte mossa può muoversi nel modo più facile quando l’agente motore agisce dall’estremità. Infatti la prima parte si muove rapidissimamente, perché come negli altri corpi che si muovono il moto cessa alla fine, così in un corpo continuo il moto è debolissimo alla fine. Se, quindi, è debolissimo lì, in quel punto è facilissimo spostarlo dalla sua posizione. Per questo il timone è a poppa, e anche perché, essendovi pochissimo movimento in quel punto, lo spostamento è molto maggiore all’estremità, perché lo stesso angolo insiste su una base grande, e perché le linee che lo racchiudono sono maggiori. Da ciò è evidente perché la nave si muove di più in direzione opposta rispetto alla pala del remo; poiché la stessa massa, mossa dalla stessa forza, percorrerà più cammino nell’aria che nell’acqua. Sia infatti AB il remo, T lo scalmo, e A la parte del remo dentro la nave, cioè l’impugnatura del remo, mentre il punto B è l’estremità nel mare. Ora, se il punto A viene mosso al punto A, il punto B non sarà in E; infatti BE è uguale ad AA, e così avrebbe percorso una distanza uguale. Ma è minore, e sarà nel punto Z. Il punto O quindi taglia la linea AB, non dove è T ma sotto. Infatti BZ è minore di AA, così come OZ è minore di AO; poiché i triangoli sono simili.
Il centro T sarà anch’esso spostato; poiché si muove in direzione opposta alla parte B, che è nel mare, e nella stessa direzione di A, la parte nella barca, e A ha cambiato la sua posizione in A. Così la posizione della nave sarà cambiata, e il punto dove si trova il manico del remo sarà mosso. Il timone agisce allo stesso modo, tranne che non contribuisce per nulla al movimento in avanti della nave, ma spinge solo la poppa lateralmente in una direzione o nell’altra; poiché la prora si muove in direzione opposta al timone. Il punto in cui il timone è attaccato deve essere considerato come il perno della parte mobile, e funziona come lo scalmo per il remo; ma il centro della nave si muove nella stessa direzione del timone. Se esso viene spostato verso l’interno, la poppa si muove in quella direzione; ma la prora si muove in direzione contraria, poiché mentre la prora rimane nello stesso luogo, l’intera nave cambia posizione.
Perché mai quanto più alto è il pennone, tanto più veloce naviga la nave con la stessa vela e lo stesso vento? Forse perché l’albero agisce come una leva avente per fulcro la sua base, nella quale è fissato? Allora il peso che deve essere mosso è la nave, e l’agente del movimento è il vento nella vela. Se quindi è vero che quanto più lontano è il fulcro, tanto più facilmente e rapidamente una data forza muove un dato peso, allora l’essere il pennone più alto rende la vela anche più lontana dalla base, che è il fulcro.
Perché, quando il vento è contrario e vogliono correre con il vento, terzarolano la vela dalla parte del timoniere e allentano la parte della scotta verso la prua? È forse perché il timone non può agire contro il vento quando è tempestoso, ma può quando il vento è leggero, e così riducono la vela? In questo modo il vento porta la nave avanti, ma il timone la volge contro il vento, agendo contro il mare come una leva. Nello stesso tempo i marinai combattono contro il vento; infatti si piegano dalla parte opposta.
Why are round and circular bodies easiest to move? It is possible for a wheel to move in three ways; first, it may move along the felloe, the centre moving also, just as the wheel of a cart revolves; secondly, it may move about the centre, like a pulley, the centre remaining fixed; thirdly, it may move in a plane parallel to the ground, the centre still remaining fixed, as the potter’s wheel revolves. All such movements are fast because the contact with the ground is slight, as a circle has only one point of contact, and because of the absence of friction; for the angle of the circumference is away from the ground. If also it meets a body, it again only comes into contact with a small surface. If, on the other hand, the body were rectilinear, it would because of its straight side touch the ground for a considerable distance. Again, the mover moves it in the same direction as its weight inclines. For when the diameter of the circle is at right angles to the ground, as the circle only touches the ground at one point, the diameter divides the weight equally on both sides of it; but when it moves the weight is immediately more in the direction of the movement, as though its balance were thrown that way. Consequently it is easier for the pusher to move it forward; for any body is easily moved in the direction towards which it inclines, and is similarly difficult to move in a direction opposite to its weight. Some say that the circumference of a circle travels perpetually, just as things remain at rest owing to resistance, as one can see in the case of greater circles in comparison with less. For greater circles move quickly and move greater weights by the application of the same force, because the angle of the greater circle has considerable influence in comparison with that of the lesser, and is in the same ratio as the diameter of the one bears to the diameter of the other. Now every circle is greater than some smaller one; for there are an infinite number of smaller circles. Now if it is a fact that one circle has weight in comparison with another, and is therefore easy to move, there are cases in which the circle and the things moved by it have an additional inclination; that is when they do not touch the surface with the felloe, but either move parallel with the ground, or with the motion of pulleys; for in this position they move very easily, and move weights as well. But this is not due to the small degree of contact and friction, but to another cause. This is the one mentioned before, that a circle consists of two directions of motion, so that the weight must always incline in the direction of one of them; thus the mover always impels it in the direction in which it is already travelling, when they move it in any direction in a line with its circumference. For they are moving it when it is already travelling; for the moving force drives it in the direction of the tangent, while the circle itself moves in the direction of its diameter.
Why is it that we can move more easily and quickly things raised and drawn by means of greater circles? For instance larger pulleys work better than smaller ones and so do large rollers. Surely it is because, the distance from the centre being larger, a greater space is covered in the same time, and this result will still take place if an equal weight is put upon it, just as we said that larger balances are more accurate than smaller ones. For the cord is the centre and the parts of the beam which are on either side of the cord are the radii of the circle.
Why is a balance moved more easily when it is without a weight than when it has one? In the same way in the case of a wheel or anything of the kind the smaller and lighter is more easily moved than the larger and heavier. Is it because the weight is more difficult to move, not only in the opposite direction but at an angle? For it is hard to move a thing in the opposite direction to its weight, but easy in the direction of its weight; but it does not incline at an angle.
Why are heavy weights more easily carried on rollers than on carts, though the latter’s wheels are larger while the circumference of rollers is small? Is it because in the case of rollers there is no friction, but in the case of carts there is the axle, and there is friction on that; for there is pressure upon it not only from above, but also horizontally? But a weight resting on rollers moves at two points of them, the ground supporting from below and the weight pressing from above; for the circle is revolving at both these points, and is impelled in the direction it travels.
Why does a missile travel further from the sling than from the hand? And yet the thrower has more control with his hand than when he has a suspended weight. In the case of a sling he has two weights to move, that of the sling and that of the missile, whereas in the former case he has the missile only. Is it because the man who hurls the missile has it already moving in the sling (for he only lets it go after swinging it round in a circle many times), but when projected from the hand it starts from rest? For everything is easier to move when it is already set in motion than when it is at rest. Is this, then, one reason, and is this another, that in using a sling the hand becomes the centre and the sling the radius? The greater then the radius, the faster the movement. But the cast from the hand is at a small distance compared to the sling.
Why are the larger handles more easy to move round a spindle than smaller ones, and in the same way less bulky windlasses are more easily moved than thicker ones by the application of the same force? Is it because the windlass and the spindle are the centre and the parts which stand away from them are the radii? Now the radii of greater circles move more quickly and a greater distance by the application of the same force than the radii of smaller circles; for by the application of the same force the extremity which is farther from the centre moves more. This is why they fit handles to the spindle with which they turn it more easily; in the case of light windlasses the part outside the centre travels further, and this is the radius of the circle.
Why is a piece of wood of equal size more easily broken over the knee, if one holds it at equal distance far away from the knee to break it, than if one holds it by the knee and quite close to it? And similarly if one supports the wood on the ground and then putting the foot on it one breaks it with the hand, it breaks more easily if the hand is at some distance rather than if one holds it at a point close to the foot. Is it because in one case the knee and in the other the foot is the centre? But the farther it is away from the centre the more easily is everything moved. And what is being broken must necessarily be moved.
Why are the stones on the seashore which are called pebbles round, when they are originally made from long stones and shells? Surely it is because in movement what is further from the middle moves more rapidly. For the middle is the centre, and the distance from this is the radius. And from an equal movement the greater radius describes a greater circle. But that which travels a greater distance in an equal time describes a greater circle. Things travelling with a greater velocity over a greater distance strike harder; and things which strike harder are themselves struck harder. So that the parts further from the middle must always get worn down. As this happens to them they become round. In the case of pebbles, owing to the movement of the sea and the fact that they are moving with the sea, they are perpetually in motion and are liable to friction as they roll. But this must occur most of all at their extremities.
Perché i corpi rotondi e circolari sono i più facili da muovere? È possibile per una ruota muoversi in tre modi: primo, può muoversi lungo il cerchione, muovendosi anche il centro, proprio come la ruota di un carro gira; secondo, può muoversi intorno al centro, come una carrucola, rimanendo fisso il centro; terzo, può muoversi in un piano parallelo al suolo, rimanendo ancora fisso il centro, come gira la ruota del vasaio. Tutti tali movimenti sono veloci perché il contatto col suolo è lieve, siccome un cerchio ha un solo punto di contatto, e per l’assenza d’attrito; poiché l’angolo della circonferenza è lontano dal suolo. Se inoltre incontra un corpo, viene di nuovo a contatto soltanto con una piccola superficie. Se, d’altra parte, il corpo fosse rettilineo, a causa del suo lato diritto toccherebbe il suolo per una considerevole distanza. Inoltre, il motore lo muove nella stessa direzione in cui il suo peso si inclina. Poiché quando il diametro del cerchio è ad angoli retti col suolo, siccome il cerchio tocca il suolo in un solo punto, il diametro divide il peso ugualmente da entrambe le parti; ma quando si muove, il peso è subito più nella direzione del movimento, come se il suo equilibrio fosse gettato da quella parte. Di conseguenza è più facile per chi spinge muoverlo in avanti; poiché ogni corpo è facilmente mosso nella direzione verso cui inclina, e similmente è difficile da muovere in direzione opposta al suo peso. Alcuni dicono che la circonferenza di un cerchio si muove perpetuamente, proprio come le cose restano in quiete per la resistenza, come si può vedere nel caso dei cerchi maggiori in confronto ai minori. Poiché i cerchi maggiori si muovono rapidamente e muovono pesi maggiori con l’applicazione della stessa forza, perché l’angolo del cerchio maggiore ha un’influenza considerevole in confronto a quello del minore, ed è nello stesso rapporto in cui il diametro dell’uno sta al diametro dell’altro. Ora ogni cerchio è maggiore di un qualche cerchio minore; poiché vi sono infiniti cerchi minori. Ora, se è un fatto che un cerchio ha peso in confronto a un altro, ed è quindi facile a muoversi, vi sono casi in cui il cerchio e le cose mosse da esso hanno un’ulteriore inclinazione; cioè quando non toccano la superficie col cerchione, ma o si muovono parallelamente al suolo, o col moto delle carrucole; poiché in questa posizione si muovono molto facilmente, e muovono anche pesi. Ma ciò non è dovuto al piccolo grado di contatto e d’attrito, ma a un’altra causa. Questa è quella menzionata prima, che un cerchio consta di due direzioni di moto, sì che il peso deve sempre inclinarsi nella direzione di una di esse; così il motore lo spinge sempre nella direzione in cui già si muove, quando lo muovono in una direzione qualsiasi in linea con la sua circonferenza. Poiché lo muovono quando già si muove; poiché la forza motrice lo spinge nella direzione della tangente, mentre il cerchio stesso si muove nella direzione del suo diametro.
Perché mai possiamo muovere più facilmente e più rapidamente le cose sollevate e tirate per mezzo di cerchi maggiori? Per esempio, le carrucole più grandi operano meglio delle più piccole, e così pure i rulli grandi. Senza dubbio è perché, essendo maggiore la distanza dal centro, in pari tempo si percorre uno spazio maggiore, e questo risultato si verificherà ugualmente se vi è posto un peso uguale, proprio come abbiamo detto che le bilance più grandi sono più esatte delle più piccole. Infatti la corda è il centro, e le parti del braccio che sono da ciascun lato della corda sono i raggi del cerchio.
Perché una bilancia si muove più facilmente quando è senza un peso che quando ne ha uno? Allo stesso modo, nel caso di una ruota o di qualcosa del genere, il più piccolo e leggero si muove più facilmente del più grande e pesante. È forse perché il peso è più difficile da muovere, non solo nella direzione opposta ma anche ad angolo? Infatti è difficile muovere una cosa nella direzione opposta al suo peso, ma facile nella direzione del suo peso; ma essa non inclina ad angolo.
Perché mai i pesi gravi si trasportano più facilmente sopra i rulli che sopra i carri, quantunque le ruote di questi siano più grandi, mentre la circonferenza dei rulli è piccola? Forse perché nei rulli non v’è attrito, ma nei carri v’è l’asse, e su quello v’è attrito; ché su di esso grava una pressione non solo dall’alto, ma anche orizzontalmente? Ma un peso che posa sui rulli si muove in due punti di essi, il suolo sostenendolo dal basso e il peso premendo dall’alto; ché il cerchio ruota in entrambi questi punti, ed è sospinto nella direzione in cui si muove.
Perché mai un proiettile scagliato dalla fionda percorre più lunga via di quello che parte dalla mano? Eppure chi lancia ha maggiore controllo con la mano che non quando ha un peso sospeso. Nel caso della fionda egli ha due pesi da muovere, quello della fionda e quello del proiettile, mentre nel primo caso ha soltanto il proiettile. È forse perché colui che scaglia il proietto lo ha già in movimento nella fionda (ché egli non lo lascia andare se non dopo averlo fatto roteare in cerchio molte volte), mentre quando è lanciato dalla mano esso parte dalla quiete? Ché ogni cosa è più facile muovere quando è già in moto che quando è in quiete. È questa, allora, una ragione, ed è questa un’altra: che adoperando la fionda la mano diventa il centro e la fionda il raggio? Quanto maggiore è quindi il raggio, tanto più rapido è il moto. Ma il lancio dalla mano è a breve distanza in confronto alla fionda.
Perché le maniglie più grandi sono più facili da muovere intorno a un perno rispetto a quelle più piccole, e allo stesso modo gli argani meno voluminosi si muovono più facilmente di quelli più spessi con l’applicazione della stessa forza? È forse perché l’argano e il perno sono il centro, e le parti che se ne stanno lontane sono i raggi? Ora i raggi dei cerchi maggiori si muovono più rapidamente e per una distanza maggiore, con l’applicazione della stessa forza, rispetto ai raggi dei cerchi minori; infatti, con l’applicazione della stessa forza, l’estremità che è più lontana dal centro si muove di più. Per questo adattano maniglie al perno con cui lo girano più facilmente; nel caso degli argani leggeri, la parte esterna al centro percorre una distanza maggiore, e questa è il raggio del cerchio.
Perché un legno di uguale grandezza si spezza più facilmente sopra il ginocchio, se uno lo tiene a uguale distanza lontano dal ginocchio per spezzarlo, che se lo tiene presso il ginocchio e assai vicino ad esso? E similmente se uno appoggia il legno in terra e poi, mettendovi sopra il piede, lo spezza con la mano, si spezza più facilmente se la mano è a qualche distanza piuttosto che se uno lo tiene in un punto vicino al piede. È forse perché nell’un caso il ginocchio e nell’altro il piede è il centro? Ma quanto più è lontano dal centro, tanto più facilmente ogni cosa viene mossa. E ciò che viene spezzato deve necessariamente essere mosso.
Perché i sassi sulla riva del mare, che si chiamano ciottoli, sono rotondi, quando in origine sono fatti da pietre lunghe e da conchiglie? Senza dubbio perché nel movimento ciò che è più lontano dal mezzo si muove più rapidamente. Il mezzo è infatti il centro, e la distanza da questo è il raggio. E da un movimento uguale il raggio maggiore descrive un cerchio maggiore. Ma ciò che percorre una distanza maggiore in un tempo uguale descrive un cerchio maggiore. Le cose che si muovono con maggiore velocità per una distanza maggiore colpiscono più forte; e le cose che colpiscono più forte vengono a loro volta colpite più forte. Cosicché le parti più lontane dal mezzo devono sempre consumarsi. Quando questo accade loro, diventano rotonde. Nel caso dei ciottoli, a causa del movimento del mare e del fatto che si muovono col mare, sono perpetuamente in moto e soggetti ad attrito mentre rotolano. Ma questo deve avvenire soprattutto alle loro estremità.
Why are pieces of timber weaker the longer they are, and why do they bend more easily when raised; even if the short piece is for instance two cubits and light, while the long piece of a hundred cubits is thick? Is it because the length of the wood in the act of raising it forms the lever, weight and fulcrum? For the first part of it, that which the hand raises, acts as a fulcrum, the part at the end is the weight. Consequently the greater the distance from the fulcrum the more it must bend; for the greater the distance from the fulcrum the greater the bending must be. So the ends of the bar must be raised. If, then, the bar bends, it will bend more the more it is raised — a condition which occurs in the case of long pieces of wood; whereas in short pieces the end is close to the fulcrum, which is at rest.
Why are great weights and bodies of considerable size split by a small wedge, and why does it exert great pressure? Is it because the wedge consists of two levers opposite to each other? And each has both a weight and a fulcrum, which works either upwards or downwards. The travel of the blow is the weight which strikes and causes movement, and which makes the weight heavy; and because it moves an already moving object with considerable speed, the force is even greater. Great forces then follow what is in itself a small object; so we do not notice that it produces a considerable movement in comparison with its size.
Let ABT be the wedge, and the block to which it is applied AEHZ. Now AB is the lever, and the weight is below at B, while ZA is the fulcrum. Opposite this is the other lever BT. When AT is struck it makes use of both these levers; for at the point B there is an upward thrust.
- Why is it that if one puts two pulleys on two blocks which support each other in opposite directions, and passes a rope round them in a circle, with one end suspended from one of the blocks, and the other either supported by or passed over the pulleys, if one drags one end of the rope, one can draw up great weights, even if the dragging force is small? Is it because the same weight, if less force is used, can be raised, if a lever is employed, than by hand? The pulley acts in the same way as the lever, so that even one will draw the weight more easily and will raise a much heavier weight with less pull than by hand. And two pulleys will quickly raise more than twice as much. For the second rope is drawing even less weight than it would be, if it were drawing by itself, when the one rope is passed over the other; for that makes the weight still less. So if one puts the rope over still more, a great difference is made by a few pulleys, so that supposing a weight of four minae is being borne by the first, much less is being borne by the last. In this way in building construction they can easily raise great weights; for they shift from the one pulley to the other, and again from that to capstans and levers; and this is equivalent to making many pulleys.
Why is it that if one puts a large axe on a block of wood and a heavy weight on top of it, it does not cut the wood to any extent; but if one raises the axe and strikes with it, it splits it in half, even if the striker has far less weight than one placed on it and pressing it down? Is it because all work is produced by movement; and a heavy object produces the movement of weight more when it is moving than when it is at rest? When the weight lies on it, it does not produce the movement of the weight, but when it travels it produces both this movement and that of the striker. Moreover, the axe acts like a wedge; but the wedge, though it is small, splits large pieces of wood, because it is composed of two levers fixed together, and acting in opposite directions.
How is it that a steelyard can weigh heavy pieces of meat for a small weight, when the whole apparatus is only half the beam? For from the point at which the weight is placed, there hangs only the scale-pan, while on the other end there is nothing but the steelyard. Is it because the steelyard is both balance and lever at the same time? It is a balance insomuch as each of the cords becomes the centre of the steelyard. Now at one end it has a scale-pan, and at the other instead of a pan it has a round weight, which is fastened on to the beam, just as if one were to put the other scale-pan and the weight at the other end of the steelyard; for it is clear that it draws just as much weight when it lies in the other pan. But in order that the one beam may act as a number of beams, a number of small cords are attached to such a beam; in each case the part on the side of the round ball constitutes half of the steelyard, and the weight acts equally when the small cords are moved away from each other, so that it is possible to measure how much weight the object lying in the scale-pan draws; so that one knows, when the steelyard is straight, how much weight the scale-pan holds according to the position of the rope, as has been said. Speaking generally this is a balance, having but one scale-pan, in which the weight is placed, the other being that in which the weight of the steelyard lies. So the steelyard at the opposite end is the ball weight. Being made in this way it acts as a number of beams, according to the number of cords it possesses. But the cord nearer to the scale-pan and the weight thereon draws a greater weight, because the whole steelyard is really an inverted lever (for each cord is the fulcrum which supports from above, and the weight is what is in the scale-pan), but the greater the distance of the beam from the fulcrum, the more easily does it move, but in this case it produces a balance, and balances the weight of the steelyard by the ball weight.
Why do dentists find it easier to take out teeth by applying the weight of the forceps than with the bare hand? Is it because the tooth more easily slips from the hand than it does from the forceps? Or does iron slip more easily than the hand and also does not press evenly on the tooth all round? For the flesh of the fingers being soft should stick more easily and fit more readily round it. But the forceps are really two levers working in opposite directions, having the point at which the blades are joined together as the fulcrum; dentists use this instrument for extraction because they find it moves more easily.
Let one end of the forceps be A and the other, the end which extracts, B. Now the one lever is AAZ and the other BFE and T0A is the fulcrum; the tooth is at the point I, where the extremities of the forceps come together; this is the weight. The dentist holds the tooth with BZ and moves it at the same time; but when he has moved it he can extract it more easily with the hand than with the instrument.
Why can one easily break nuts without a blow in instruments made to break them? For the considerable force of motion and violence is missing. Moreover one could break them more quickly with hard and heavy nutcrackers than with wooden and light ones. Is it because the nut is crushed in two directions by two levers, and heavy bodies are easily split by a lever? For nutcrackers consist of two levers having the same fulcrum, namely the point of junction, the point A in the figure. Just, then, as the extremities EZ could easily be pushed apart, so they can easily be brought together by small force applied at the points Δ and T So the two arms ET and ZΔ being levers produce as much or even more force than that which the weight produces in a blow; for by raising them they are raised in opposite directions, and when they crush they break what is at the point K.
Perché i pezzi di legno sono tanto più deboli quanto più sono lunghi, e perché si piegano più facilmente quando vengono sollevati; anche se il pezzo corto è, per esempio, di due cubiti e leggero, mentre il pezzo lungo di cento cubiti è spesso? È forse perché la lunghezza del legno, nell’atto di sollevarlo, costituisce la leva, il peso e il fulcro? Infatti la prima parte di esso, quella che la mano solleva, funge da fulcro, la parte all’estremità è il peso. Di conseguenza, quanto maggiore è la distanza dal fulcro, tanto più esso deve piegarsi; poiché quanto maggiore è la distanza dal fulcro, tanto maggiore deve essere la flessione. Perciò le estremità della barra devono essere sollevate. Se, dunque, la barra si piega, si piegherà tanto più quanto più viene sollevata — condizione che si verifica nel caso dei pezzi di legno lunghi; mentre nei pezzi corti l’estremità è vicina al fulcro, che è in quiete.
Perché mai i grandi pesi e i corpi di considerevole grandezza vengono spaccati da un piccolo cuneo, e perché esso esercita una grande pressione? È forse perché il cuneo consiste di due leve opposte l’una all’altra? E ciascuna ha sia un peso sia un fulcro, che agisce o verso l’alto o verso il basso. Il percorso del colpo è il peso che percuote e causa il movimento, e che rende grave il peso; e poiché esso muove un oggetto già in movimento con velocità considerevole, la forza è ancora maggiore. Grandi forze seguono allora ciò che è in sé un piccolo oggetto; così non ci accorgiamo che esso produce un movimento considerevole in confronto alla sua grandezza.
Sia ABT il cuneo, e il blocco a cui è applicato AEHZ. Ora AB è la leva, e il peso è sotto in B, mentre ZA è il fulcro. Opposta a questa è l’altra leva BT. Quando AT è colpita, fa uso di entrambe queste leve; poiché nel punto B c’è una spinta verso l’alto.
- Perché mai, se si pongono due carrucole su due blocchi che si sostengono a vicenda in direzioni opposte, e si fa passare una corda attorno ad esse in cerchio, con un’estremità sospesa a uno dei blocchi, e l’altra o sostenuta o passata sopra le carrucole, tirando un’estremità della corda, si possono sollevare grandi pesi, anche se la forza di trazione è piccola? È forse perché lo stesso peso, se si usa meno forza, può essere sollevato, se si impiega una leva, che a mano? La carrucola agisce allo stesso modo della leva, sicché anche una sola trarrà il peso più facilmente e solleverà un peso molto più grande con minore trazione che a mano. E due carrucole solleveranno rapidamente più del doppio. Poiché la seconda corda trae un peso ancora minore di quanto trarrebbe, se traesse da sola, quando l’una corda è passata sopra l’altra; ciò rende infatti il peso ancora minore. Così, se si fa passare la corda su un numero ancora maggiore, una grande differenza è prodotta da poche carrucole, così che, supponendo che un peso di quattro mine sia sopportato dalla prima, molto meno è sopportato dall’ultima. In questo modo, nella costruzione degli edifici, possono facilmente sollevare grandi pesi; poiché passano da una carrucola all’altra, e di nuovo da quella ad argani e leve; e ciò equivale a fare molte carrucole.
Perché mai, se si colloca una grande scure sopra un ceppo di legno e sopra di essa un grave peso, essa non taglia affatto il legno; ma se uno solleva la scure e percuote con essa, lo spacca in due, anche se chi percuote ha molto meno peso di quello che vi era posto sopra e lo premeva? Non è forse perché ogni opera è prodotta dal movimento, e un oggetto pesante produce il movimento del peso più quando è in movimento che quando è in quiete? Quando il peso giace su di essa, non produce il movimento del peso, ma quando si muove produce insieme quel movimento e quello di chi percuote. Inoltre la scure opera come un cuneo; ma il cuneo, sebbene sia piccolo, spacca grandi pezzi di legno, perché è composto di due leve congiunte insieme, e agenti in direzioni opposte.
Com’è che una stadera può pesare pesanti pezzi di carne con un piccolo peso, quando l’intero apparato è soltanto la metà dell’asta? Poiché dal punto in cui è posto il peso pende solo il piatto, mentre dall’altra estremità non c’è altro che la stadera. È forse perché la stadera è insieme bilancia e leva? È una bilancia in quanto ciascuna delle corde diventa il centro della stadera. Ora, a un’estremità ha un piatto, e all’altra, invece del piatto, ha un peso rotondo, il quale è fissato all’asta, proprio come se si ponessero l’altro piatto e il peso all’altra estremità della stadera; è chiaro infatti che esso tira tanto peso quanto ne tirerebbe quando giacesse nell’altro piatto. Ma affinché l’unica asta possa fungere da più aste, a tale asta sono attaccate un certo numero di cordicelle; in ciascun caso la parte dal lato della palla rotonda costituisce metà della stadera, e il peso agisce ugualmente quando le cordicelle sono allontanate l’una dall’altra, cosicché è possibile misurare quanto peso tira l’oggetto che giace nel piatto; così si sa, quando la stadera è diritta, quanto peso il piatto tiene secondo la posizione della corda, come è stato detto. In generale, questa è una bilancia che ha un solo piatto, nel quale è posto il peso; l’altro è quello in cui giace il peso della stadera. Così la stadera, all’estremità opposta, è il peso a palla. Essendo fatta in questo modo, agisce come un certo numero di aste, a seconda del numero di corde che possiede. Ma la corda più vicina al piatto e al peso che vi si trova tira un peso maggiore, perché l’intera stadera è in realtà una leva invertita (poiché ciascuna corda è il fulcro che sostiene dall’alto, e il peso è ciò che sta nel piatto), ma quanto maggiore è la distanza dell’asta dal fulcro, tanto più facilmente essa si muove; ma in questo caso essa produce un equilibrio, e bilancia il peso della stadera col peso a palla.
Perché i dentisti trovano più facile estrarre i denti applicando il peso del forcipe che con la mano nuda? È perché il dente scivola più facilmente dalla mano che dal forcipe? O perché il ferro scivola più facilmente della mano e inoltre non preme uniformemente sul dente tutto intorno? Infatti la carne delle dita, essendo molle, dovrebbe aderire più facilmente e adattarsi più prontamente intorno ad esso. Ma il forcipe è in realtà due leve operanti in direzioni opposte, avendo come fulcro il punto in cui le lame sono congiunte; i dentisti usano questo strumento per l’estrazione perché trovano che si muove più facilmente.
Sia un’estremità della pinza A e l’altra, quella che estrae, B. Ora la prima leva è AAZ e l’altra BFE e T0A è il fulcro; il dente è nel punto I, dove le estremità della pinza si congiungono; questo è il peso. Il dentista tiene il dente con BZ e lo muove allo stesso tempo; ma quando lo ha mosso può estrarlo più facilmente con la mano che con lo strumento.
Perché si possono facilmente spezzare le noci senza colpo negli strumenti fatti per spezzarle? Manca infatti la considerevole forza del moto e della violenza. Inoltre le si potrebbe spezzare più rapidamente con schiaccianoci duri e pesanti che con quelli di legno e leggeri. È forse perché la noce è schiacciata in due direzioni da due leve, e i corpi pesanti sono facilmente spaccati da una leva? Gli schiaccianoci infatti constano di due leve aventi il medesimo fulcro, cioè il punto di congiunzione, il punto A nella figura. Come, dunque, le estremità EZ potrebbero essere facilmente allontanate, così possono essere facilmente avvicinate da una piccola forza applicata ai punti Δ e T. I due bracci ET e ZΔ, essendo leve, producono tanta forza o anche più di quella che il peso produce in un colpo; infatti, sollevandoli, essi sono sollevati in direzioni opposte, e quando schiacciano rompono ciò che è nel punto K.
For exactly the same reason the nearer K is to the point A the more quickly is it crushed; for the farther the distance the lever is from the fulcrum, the more easily and the more considerably does it move it by use of the same force. A is then the fulcrum and ΔAZ is the lever, as also is TAE. The nearer, then, that K is to the angle A the nearer it is to the junction at A; and this is the fulcrum. It follows therefore that ZE is raised farther by the use of the same force. So that when the raising is from two opposite directions, it must be the more crushed; and that which is more crushed is more easily broken.
Why is it that in a rhombus, when the extreme points travel in two movements, they do not each travel along an equal straight line, but one travels much farther than the other? It is only another way of asking the same question to inquire why the travelling point passes through a distance less than the side? For the diagonal is the less distance and the side the greater; the one travels with one motion and the other with two. Let A travel towards B, and B towards A with the same velocity along the line AB; again let AB travel along ΔΓ parallel to ΓA with the same velocity as these. The point A must be carried along the diagonal AΔ and B along BΓ, and each must arrive at the end at the same time, and AB moves along the side AΓ. For let the point A be carried along AE, and AB along to AZ, so as to make ZH parallel to AB, and a line drawn from E to complete the parallelogram. The parallelogram thus formed is similar to the whole.
Then AZ is equal to AE, so that the point A is borne along the side AE. Then AB would travel along AZ and will therefore be on the diagonal at Θ. And it must always travel along the diagonal. At the same time the side AB will travel along the side AΓ, and the point A will travel along the diagonal AΔ. Similarly it can be proved that the point B is borne along the diagonal BΓ; for BE is equal to BH. When, then, the parallelogram is completed by a line drawn from H, the enclosed parallelogram is similar to the whole. The point B will be on the diagonal at the intersection of the diagonals, and the side will travel along the side at the same time as the point B will travel along the diagonal BΓ Then the point B will travel many times more than AB, and the side will travel along the lesser side, though carried at the same velocity, and the side in one journey has travelled further than A. The more acute-angled the rhombus is the less the diagonal AA becomes and the greater BΓ but the side is less than BT For it is odd, as has been said, that the point travelling along two components should sometimes move more slowly than that travelling along one, and that when both points are given an equal velocity one should travel a greater distance than the other.
But the reason is, that when a point moves from an obtuse angle, the two paths are more or less opposite, I mean the path which the point travels and that in which it is impelled along the side; when on the other hand the point moves from the acute angle it is almost being borne in the same direction. For the angle made by the sides assists to move the point along the diagonal; and in proportion as the one makes the angle more acute and the other more obtuse, so the former travels more slowly and the latter more quickly. For they are more in opposite directions because the angle is more obtuse; but in the other case they approximate more nearly to the same direction because the lines are closer together. For the point B in both its movements is travelling nearly in the same direction; for the one movement is assisted by the other, and the more acute the angle the more this becomes true. But with A the opposite is the case; for the point itself is travelling towards B, while the side tends to divert it to A. The more obtuse the angle, the more opposed to each other do the two movements become; for the lines approach more nearly to the straight. If they were entirely straight, they would be entirely opposite. But the side travelling in one direction is checked by nothing. Naturally therefore it traverses the greater distance.
A difficulty arises as to how it is that a greater circle when it revolves traces out a path of the same length as a smaller circle, if the two are concentric. When they are revolved separately, then the paths along which they travel are in the same ratio as their respective sizes. Again, assuming that the two have the same centre, sometimes the path along which they revolve is the same size as the smaller circle would travel independently, and sometimes it is the size of the larger circle’s path. Now it is evident that the larger circle revolves along a larger path. For an examination of the angle which each circumference makes with its own diameter shows that the angle of the larger circle is larger, and of the smaller circle smaller, so that they bear the same ratio as that of the paths on which they travel bear to each other. Yet on the other hand it is clear that they do revolve over the same distance, when they are described about the same centre; and thus it comes about that sometimes the revolution is equal to the path which the larger circle traces out, and sometimes to that of the smaller. Let AZT be the greater circle and EHB the less, with A as the centre of both. Let the line ZI be the path traced by the circumference of the larger circle, when it travels independently, and HK the path travelled independently by the smaller circle, HK being equal to ZA. If I move the smaller circle I am moving the same centre, namely A; now let the larger circle be attached to it. At the moment when AB becomes perpendicular to HK, AT also becomes perpendicular to ZA; so that it will have invariably travelled the same distance, that is HK, the distance over which the circumference HB has travelled, and ZA that over which ZT has travelled. Now if the quadrant in each case has travelled an equal distance, it is obvious that the whole circle will travel over a distance equal to the whole circumference, so that when the line BH has reached the point K, then the arc of the circumference ZT will have travelled along ZA, and the circle will have performed a complete revolution.
Similarly, if I move the large circle and fit the small one to it, the two circles being concentric as before, the line AB will be perpendicular and vertical at the same time as AT, the latter to ZI, the former to H0. So that whenever the one shall have traversed a distance equal to H0, and the other to ZI, and ZA has again become perpendicular to ZA, and AH again to HK, the points H and Z will again be in their original positions at 0 and I. As, then, nowhere does the greater stop and wait for the less in such a way as to remain stationary for a time at the same point (for in both cases both are moving continuously), and as the smaller does not skip any point, it is remarkable that in the one case the greater should travel over a path equal to the smaller, and in the other case the smaller equal to the larger. It is indeed remarkable that as the movement is one all the time, that the same centre should in one case travel a large path and in the other a smaller one. For the same thing travelling at the same speed should always cover an equal path; and moving anything with the same velocity implies travelling over the same distance in both cases.
Per la medesima ragione, quanto più K è vicino al punto A, tanto più rapidamente è schiacciato; poiché quanto maggiore è la distanza della leva dal fulcro, tanto più facilmente e tanto più considerevolmente essa lo muove con la stessa forza. A è quindi il fulcro, e ΔAZ è la leva, come pure TAE. Quanto più, dunque, K è vicino all’angolo A, tanto più è vicino alla congiunzione in A, la quale è il fulcro. Ne consegue pertanto che ZE è sollevato più lontano con l’uso della stessa forza. Cosicché, quando il sollevamento avviene da due direzioni opposte, esso deve essere tanto più schiacciato; e ciò che è più schiacciato è più facilmente rotto.
Perché mai in un rombo, quando i punti estremi percorrono due movimenti, essi non percorrono ciascuno una linea retta uguale, ma uno percorre molto più dell’altro? È solo un altro modo di porre la stessa domanda chiedersi perché il punto che percorre passi per una distanza minore del lato? Poiché la diagonale è la distanza minore e il lato la maggiore; l’uno percorre con un solo moto e l’altro con due. Si muova A verso B, e B verso A con la stessa velocità lungo la linea AB; inoltre si muova AB lungo ΔΓ parallela a ΓA con la stessa velocità di questi. Il punto A deve essere portato lungo la diagonale AΔ e B lungo BΓ, e ciascuno deve giungere alla fine nello stesso tempo, e AB si muove lungo il lato AΓ. Si porti infatti il punto A lungo AE, e AB lungo AZ, in modo che ZH sia parallela ad AB, e si tracci una linea da E per completare il parallelogramma. Il parallelogramma così formato è simile all’intero.
Allora AZ è uguale ad AE, sicché il punto A è trascinato lungo il lato AE. Allora AB percorrerebbe AZ e sarà quindi sulla diagonale in Θ. E deve sempre percorrere la diagonale. Nello stesso tempo il lato AB percorrerà il lato AΓ, e il punto A percorrerà la diagonale AΔ. Similmente si può dimostrare che il punto B è trascinato lungo la diagonale BΓ; poiché BE è uguale a BH. Quando, dunque, il parallelogramma è completato da una linea tracciata da H, il parallelogramma racchiuso è simile all’intero. Il punto B sarà sulla diagonale all’intersezione delle diagonali, e il lato percorrerà il lato nello stesso tempo in cui il punto B percorrerà la diagonale BΓ. Allora il punto B percorrerà molte volte più di AB, e il lato percorrerà il lato minore, pur essendo trascinato con la stessa velocità, e il lato in un solo tragitto ha percorso più di A. Quanto più il rombo è ad angolo acuto, tanto minore diventa la diagonale AA e tanto maggiore BΓ, ma il lato è minore di BΓ. Poiché è strano, come si è detto, che il punto trascinato lungo due componenti talvolta si muova più lentamente di quello trascinato lungo una sola, e che, quando a entrambi i punti è data una velocità uguale, l’uno percorra una distanza maggiore dell’altro.
Ma la ragione è che, quando un punto si muove da un angolo ottuso, i due percorsi sono più o meno opposti, intendo il percorso che il punto compie e quello in cui è sospinto lungo il lato; quando invece il punto si muove dall’angolo acuto, è quasi portato nella stessa direzione. Poiché l’angolo formato dai lati aiuta a muovere il punto lungo la diagonale; e nella misura in cui l’uno rende l’angolo più acuto e l’altro più ottuso, così il primo procede più lentamente e il secondo più rapidamente. Essi sono infatti più in direzioni opposte perché l’angolo è più ottuso; ma nell’altro caso si avvicinano maggiormente alla stessa direzione perché le linee sono più vicine. Poiché il punto B in entrambi i suoi movimenti procede quasi nella stessa direzione; infatti l’uno movimento è aiutato dall’altro, e quanto più l’angolo è acuto, tanto più questo si verifica. Ma con A accade il contrario; infatti il punto stesso si muove verso B, mentre il lato tende a deviarlo verso A. Quanto più l’angolo è ottuso, tanto più i due movimenti diventano opposti tra loro; infatti le linee si avvicinano maggiormente alla retta. Se fossero del tutto rette, sarebbero del tutto opposti. Ma il lato che procede in una direzione non è ostacolato da nulla. Naturalmente percorre quindi la distanza maggiore.
Sorge una difficoltà sul come mai un cerchio maggiore, quando ruota, traccia un percorso della stessa lunghezza di un cerchio minore, se i due sono concentrici. Quando vengono fatti ruotare separatamente, allora i percorsi lungo i quali viaggiano stanno nel medesimo rapporto delle rispettive grandezze. Di nuovo, supponendo che i due abbiano lo stesso centro, talvolta il percorso lungo il quale ruotano è uguale a quello che il cerchio minore percorrerebbe indipendentemente, e talvolta è uguale al percorso del cerchio maggiore. Ora è evidente che il cerchio maggiore ruota lungo un percorso maggiore. Infatti l’esame dell’angolo che ciascuna circonferenza forma con il proprio diametro mostra che l’angolo del cerchio maggiore è maggiore, e quello del cerchio minore minore, così che essi stanno nello stesso rapporto in cui stanno tra loro i percorsi sui quali viaggiano. Eppure, d’altra parte, è chiaro che essi ruotano per la stessa distanza, quando vengono descritti attorno allo stesso centro; e così accade che talvolta la rivoluzione è uguale al percorso che il cerchio maggiore traccia, e talvolta a quello del minore. Sia AZT il cerchio maggiore ed EHB il minore, con A come centro di entrambi. Sia la linea ZI il percorso tracciato dalla circonferenza del cerchio maggiore, quando viaggia indipendentemente, e HK il percorso compiuto indipendentemente dal cerchio minore, essendo HK uguale a ZA. Se muovo il cerchio minore, muovo lo stesso centro, cioè A; ora il cerchio maggiore sia congiunto ad esso. Nel momento in cui AB diventa perpendicolare a HK, anche AT diventa perpendicolare a ZA; cosicché esso avrà invariabilmente percorso la stessa distanza, cioè HK, la distanza percorsa dalla circonferenza HB, e ZA quella percorsa da ZT. Ora se il quadrante in ciascun caso ha percorso una distanza uguale, è ovvio che l’intero cerchio percorrerà una distanza uguale all’intera circonferenza, così che quando la linea BH sarà giunta al punto K, allora l’arco della circonferenza ZT avrà percorso ZA, e il cerchio avrà compiuto una completa rivoluzione.
Similmente, se muovo il cerchio grande e adatto il piccolo ad esso, essendo i due cerchi concentrici come prima, la linea AB sarà perpendicolare e verticale contemporaneamente ad AT, quest’ultima a ZI, la prima a H0. Cosicché ogni volta che l’uno avrà percorso una distanza uguale a H0, e l’altro a ZI, e ZA sarà di nuovo diventata perpendicolare a ZA, e AH di nuovo a HK, i punti H e Z saranno di nuovo nelle loro posizioni originarie in 0 e I. Poiché, quindi, in nessun luogo il maggiore si ferma e attende il minore in modo tale da rimanere fermo per un certo tempo nello stesso punto (infatti in entrambi i casi entrambi si muovono continuamente), e poiché il minore non salta alcun punto, è notevole che nell’un caso il maggiore percorra un tratto uguale al minore, e nell’altro caso il minore uguale al maggiore. È davvero notevole che, essendo il movimento uno solo per tutto il tempo, lo stesso centro nell’un caso percorra un grande tratto e nell’altro uno più piccolo. Infatti la stessa cosa, muovendosi alla stessa velocità, dovrebbe sempre coprire un tratto uguale; e muovere qualcosa con la stessa velocità implica percorrere la stessa distanza in entrambi i casi.
To discover the cause of these things we may start with this axiom, that the same or equal forces move one mass more slowlv and another more rapidly. Let us suppose that there is a body which has no natural movement of its own; if a body which has a natural movement of its own moves the former as well as itself, it will move more slowly than if it moved by itself; and it will be just the same if it naturally moves by itself, and nothing is moved with it. It is impossible for it to have a greater movement than that which moves it; for it moves not with a motion of its own, but with that of the mover.
Suppose that there are two circles, the greater A and the lesser B. If the lesser were to push the greater without revolving itself it is clear that the greater will travel along a straight path as far as it is pushed by the lesser. It must have been pushed as far as the small circle has moved. Therefore they have travelled over an equal amount of the straight path. So if the lesser circle were to push the larger while revolving, the latter would be revolved as well as pushed, and only so far as the smaller revolves, if it does not move at all by its own motion. For that which is moved must be moved just so far as the mover moves it; so the small circle has moved it so far and in such a way, e g in a circle over one foot (let this be the extent of the movement), and the greater circle has moved thus far. Similarly, if the greater circle moves the less, the small circle will move exactly as the greater does. (This will be true) whichever of the two circles is moved independently, whether fast or slowly; so the lesser circle will trace a path at the same velocity, and of the same length as the greater does. This, then, constitutes our difficulty, that they do not behave in the same way when joined together; that is to say, if one is moved by the other, not in a natural way nor by its own movement. For it makes no difference whether it is enclosed and fitted in or whether one is attached to the other. In the same way, when one produces the movement, and the other is moved by it, to whatever distance the one moves the other will also move. Now when one moves a circle which is leaning against or suspended from another, one does not move it continuously; but when they are fastened about the same centre, the one must of necessity revolve with the other. But nevertheless the other does not move with its own motion, but just as if it had no motion. This also occurs if it has a motion of its own, but does not use it. When, then, the large circle moves the small one attached to it, the smaller one moves exactly as the larger one; when the small one is the mover, the larger one moves according to the other’s movement. But when separated each of them has its own movement. If anyone objects that the two circles trace out unequal paths though they have the same centre, and move at the same speed, his argument is erroneous. It is true that both circles have the same centre, but this fact is only accidental, just as a thing might be both “musical” and “white.” For the fact of each circle having the same centre does not affect it in the same way in the two cases. When the small circle produces the movement the centre, and origin of movement belongs to the small circle, but when the large circle produces the movement, the centre belongs to it. Therefore what produces the movement is not the same in both cases, though in a sense it is.
Why do they make beds with the length double the ends, the former being six feet or a little more and the latter three? And why do they not cord them diagonally? Probably they are of those dimensions, that they may fit ordinary bodies; for the length is twice the ends, the length being four cubits and the width two. They do not cord them diagonally, but from side to side, that the timbers may be less strained; for these are most easily split when they are cleft in a natural direction, and they suffer most strain when pulled in this way. Moreover, since the ropes have to bear the weight, they will be much less strained if the weight is put on the ropes stretched crosswise than diagonally. Also in this way less rope is expended. Let AZHI be the bed and let ZH be bisected at B. The holes in ZB are equal to those in ZA. For these sides are equal; and the whole length ZH is twice ZA. Now they cord them as has been explained from A to B, then to T, then to A, and then to 0 and then to E and so on continuously until they return to the other comer. For the terminations of the rope are at two corners.
Now the lengths of rope that form the angles are equal, e g. AB and BT to TA and A0. For the same proof shows it in each case. For instance, AB is equal to E0; for the opposite sides of the parallelogram BHKA are equal, and the holes are an equal distance apart. BH is equal to KA; for the angle at B is equal to the angle at H; for the exterior angle of a parallelogram is equal to the interior and opposite; and the angle at B is half a right angle; for ZB is equal to ZA, and the angle at Z is a right angle. Again, the angle at B is equal to the angle H; for the angle at Z Is a right angle, since the one side is double the other, and is bisected at B. So BT is equal to EH; and KO is also equal to it; for it is parallel to it, so that BT is equal to KO. And TE to AO. Similarly also the other sides forming the turns can be shown to be equal pair by pair. So that it is clear that there are four lengths of rope equal to AB in the bed; and whatever number of holes there are in ZH, there will be half the number in ZB, which is half of it. So that in half the bed there are as many lengths of rope as there are in BA, and just as many holes as there are in BH. This is equivalent to saying as many as there are in AZ plus BZ. But if the ropes were fastened diagonally as in the bed ABrA, the halves are not of the same length as the sides of both AZ and ZH, but they are the same number as the holes in ZB, ZA; for AZ, BZ being two lines are greater than AB. So that the rope is greater by the amount that the two sides are greater than the diagonal.
Why is it more difficult to carry long timbers on the shoulders by the end than by the middle, provided that the weight is equal in the two cases? Is it because the vibration of the end of the timber prevents the carrying, because it interferes with the carrying by its vibration? Hardly, because even if it does not bend at all, and is not very long, still it is more difficult to carry it by the end. For the same reason that it is more easily lifted from the middle than from the end, it is easier to carry it in this position. The reason is that when raised from the middle each end tends to lighten the other, and the one end assists in lifting the other. For the middle acts as a centre, whether it is being lifted or carried. Each of the two ends by pressing downwards raises the other in an upward direction. But when raised or carried from the end this does not happen, but all the weight presses in one direction. Let A be the centre of a piece of timber while the ends are B and T When lifted or carried from A, the end B pressing downwards tends to raise the end T, while T pressing downwards tends to raise B; this is not what happens when they are both raised together.
Per scoprire la causa di queste cose possiamo partire da questo assioma, che le stesse o uguali forze muovono una massa più lentamente e un’altra più rapidamente. Supponiamo che vi sia un corpo che non ha movimento naturale proprio; se un corpo che ha un movimento naturale proprio muove quello insieme a sé, si muoverà più lentamente che se si muovesse da solo; e sarà proprio lo stesso se si muove naturalmente da sé, e nulla è mosso con esso. È impossibile che esso abbia un movimento maggiore di quello che lo muove; poiché non si muove di moto proprio, ma con quello del motore.
Supponiamo che vi siano due cerchi, il maggiore A e il minore B. Se il minore spingesse il maggiore senza ruotare esso stesso, è chiaro che il maggiore percorrerà una via rettilinea per quanto è spinto dal minore. Esso deve essere stato spinto tanto quanto si è mosso il cerchio piccolo. Pertanto hanno percorso una uguale quantità della via rettilinea. Così se il cerchio minore spingesse il maggiore ruotando, quest’ultimo sarebbe fatto ruotare oltre che spinto, e solo tanto quanto ruota il minore, se non si muove affatto di moto proprio. Poiché ciò che è mosso deve essere mosso esattamente tanto quanto lo muove il motore; così il cerchio piccolo lo ha mosso tanto e in tal modo, per esempio in un cerchio per un piede (sia questa l’estensione del movimento), e il cerchio maggiore si è mosso altrettanto. Similmente, se il cerchio maggiore muove il minore, il cerchio piccolo si muoverà esattamente come fa il maggiore. (Ciò sarà vero) qualunque dei due cerchi sia mosso indipendentemente, sia velocemente sia lentamente; così il cerchio minore tracerà una via alla stessa velocità, e della stessa lunghezza di quella che traccia il maggiore. Questo, dunque, costituisce la nostra difficoltà, che essi non si comportano allo stesso modo quando sono congiunti; vale a dire, se l’uno è mosso dall’altro, non in modo naturale né di moto proprio. Poiché non fa differenza se l’uno è racchiuso e incastrato nell’altro o se l’uno è attaccato all’altro. Allo stesso modo, quando l’uno produce il movimento e l’altro è mosso da esso, a qualunque distanza l’uno muove, anche l’altro si muoverà. Ora, quando si muove un cerchio che è appoggiato a un altro o sospeso a un altro, non lo si muove continuamente; ma quando sono fissati intorno allo stesso centro, l’uno deve necessariamente ruotare con l’altro. Ma nondimeno l’altro non si muove di moto proprio, ma proprio come se non avesse movimento. Ciò accade anche se ha un movimento proprio, ma non lo usa. Quando, dunque, il cerchio grande muove il piccolo a esso attaccato, il minore si muove esattamente come il maggiore; quando il minore è il motore, il maggiore si muove secondo il movimento dell’altro. Ma quando sono separati, ciascuno di essi ha il proprio movimento. Se qualcuno obietta che i due cerchi tracciano vie disuguali pur avendo lo stesso centro, e muovendosi alla stessa velocità, il suo argomento è erroneo. È vero che entrambi i cerchi hanno lo stesso centro, ma questo fatto è soltanto accidentale, proprio come una cosa potrebbe essere insieme ‘musicale’ e ‘bianca’. Poiché il fatto che ciascun cerchio abbia lo stesso centro non lo riguarda allo stesso modo nei due casi. Quando il cerchio piccolo produce il movimento, il centro e l’origine del movimento appartengono al cerchio piccolo, ma quando il cerchio grande produce il movimento, il centro appartiene a esso. Pertanto ciò che produce il movimento non è lo stesso nei due casi, sebbene in un certo senso lo sia.
Perché fabbricano i letti con la lunghezza doppia delle estremità, essendo quelle di sei piedi o poco più e queste di tre? E perché non li cordano diagonalmente? Probabilmente sono di quelle dimensioni, affinché si adattino ai corpi ordinari; infatti la lunghezza è doppia delle estremità, essendo la lunghezza di quattro cubiti e la larghezza di due. Non li cordano diagonalmente, ma da lato a lato, affinché i legni siano meno tesi; infatti questi si spaccano più facilmente quando sono fessi in direzione naturale, e sopportano maggiore tensione quando sono tirati in questo modo. Inoltre, poiché le corde devono reggere il peso, saranno molto meno tese se il peso è posto sulle corde tese trasversalmente che diagonalmente. Anche in questo modo si spende meno corda. Sia AZHI il letto e sia ZH bisecato in B. I fori in ZB sono uguali a quelli in ZA. Infatti questi lati sono uguali; e l’intera lunghezza ZH è doppia di ZA. Ora li cordano come è stato spiegato da A a B, poi a T, poi a A, e poi a O e poi a E e così via continuamente finché ritornano all’altro angolo. Infatti le terminazioni della corda sono ai due angoli.
Ora le lunghezze di corda che formano gli angoli sono eguali, ad esempio AB e BT a TA e AO. La stessa dimostrazione lo prova in ciascun caso. Per esempio, AB è eguale a EO; infatti i lati opposti del parallelogramma BHKA sono eguali, e i fori sono a eguale distanza. BH è eguale a KA; poiché l’angolo in B è eguale all’angolo in H; infatti l’angolo esterno di un parallelogramma è eguale all’angolo interno ed opposto; e l’angolo in B è mezzo angolo retto; poiché ZB è eguale a ZA, e l’angolo in Z è retto. Di nuovo, l’angolo in B è eguale all’angolo in H; poiché l’angolo in Z è retto, essendo un lato doppio dell’altro, ed è bisecato in B. Così BT è eguale a EH; e KO è pure eguale a esso; poiché è a esso parallelo, sicché BT è eguale a KO. E TE ad AO. Similmente anche gli altri lati che formano i giri possono essere mostrati eguali a due a due. Sicché è chiaro che vi sono quattro lunghezze di corda eguali ad AB nel letto; e qualunque sia il numero di fori in ZH, ve ne sarà la metà in ZB, che è metà di esso. Sicché in metà del letto vi sono tante lunghezze di corda quante ve ne sono in BA, e altrettanti fori quanti ve ne sono in BH. Ciò equivale a dire tante quante ve ne sono in AZ più BZ. Ma se le corde fossero fissate diagonalmente come nel letto ABrA, le metà non sono della stessa lunghezza dei lati di entrambe AZ e ZH, ma sono dello stesso numero dei fori in ZB, ZA; poiché AZ, BZ essendo due linee sono maggiori di AB. Sicché la corda è maggiore di quanto i due lati sono maggiori della diagonale.
Perché è più difficile portare un lungo legno sulle spalle per l’estremità che per il mezzo, purché il peso sia eguale nei due casi? È forse perché la vibrazione dell’estremità del legno impedisce il trasporto, perché essa, con la sua vibrazione, interferisce col trasporto? Non già, perché anche se non si flette affatto, e non è molto lungo, tuttavia è più difficile portarlo per l’estremità. Per la stessa ragione per cui è più facilmente sollevato dal mezzo che dall’estremità, è più facile portarlo in questa posizione. La ragione è che, quando è sollevato dal mezzo, ciascuna estremità tende ad alleggerire l’altra, e l’una aiuta a sollevare l’altra. Il mezzo serve da centro, sia che lo si sollevi sia che lo si porti. Ciascuna delle due estremità, premendo all’ingiù, solleva l’altra in su. Ma quando è sollevato o portato dall’estremità ciò non avviene, ma tutto il peso preme in una sola direzione. Sia A il centro di un pezzo di legno, mentre le estremità sono B e T. Quando è sollevato o portato da A, l’estremità B, premendo all’ingiù, tende a sollevare l’estremità T, mentre T, premendo all’ingiù, tende a sollevare B; ciò non avviene quando entrambe sono sollevate insieme.
Why is it that if the weight in question is extremely long, it is harder to raise it on the shoulder, even if one carries it by the middle, than if it is smaller? In the previous case it was stated that it was not due to vibration; but in this case it is. For when the timber is longer the ends vibrate more, so that it would be more difficult for the bearer to carry it. The reason why the vibration is greater is, that under the influence of the same movement the ends shift further, inasmuch as the timber is longer. For the shoulder is the centre, at A (and this remains stationary), and AB and AT are the radii from the centre. In so far as the radius, that is AB or AT, is larger the more movement will take place in the mass. This has been demonstrated before.
Why do men make swing-beams at wells in the way they do? For they add the weight of the lead to the wooden beam, the bucket itself having weight whether empty or full. Is it because the machine functions in two stages (for it must be let down and drawn up again), and it can easily be let down whereas it is difficult to draw up? The disadvantage, then, of letting it down rather more slowly is balanced by the advantage of lightening the weight when drawing it up. The attachment of lead or a stone at the end of the swing-beam produces this result. For thus, when one lets down the bucket by a rope, the weight is greater than if one let the bucket down alone and empty; but when it is full, the lead draws it up, or whatever weight is attached to it. So that on the average the two processes are easier than they would be in the other case.
Why is it that when two men carry a weight between them on a plank or something of the kind, they do not feel the pressure equally, unless the weight is midway between them, but the nearer carrier feels it more? Surely it is because in these circumstances the plank becomes a lever, the weight the fulcrum, and the nearer of the two carrying the weight is the object moved, and the other carrier is the mover of the weight. For the farther he is from the weight, the more easily he moves it, and the more downward pressure falls on the other, as though the weight attached pressed in the opposite direction, and became the fulcrum. But when the weight is placed in the middle, the one no more becomes the weight than the other, nor does either do the moving, but one is the weight in just the same sense as the other.
Why is it that, when men stand up, they rise by making an acute angle between the lower leg and the thigh, and between the trunk and the thigh? Otherwise they cannot rise at all. Is it because equilibrium is always a cause of rest, and a right angle is a type of equilibrium, and so produces immobility: so the man is travelling towards a position in which he makes equal angles with the earth’s surface; for he will not be actually at right angles to the ground? Or is it because when standing up he becomes at right angles, and the man in an erect position must be at right angles to the ground? If, then, he is going to arrive at the perpendicular, that is, so that his head is immediately above his feet, this must happen when he rises. For when he is seated, his head and feet are parallel and not in one straight line. Let A be the head, AB the trunk, BT the thigh, and TA the lower leg. The trunk, that is AB, is perpendicular to the thigh, and the thigh to the lower leg, when the man is seated in this position. So that while in this position he cannot rise. But he must bend the lower leg, and bring the feet below the head. This will be the position if TA takes up the position TZ, and then he will rise at the same time as he brings the head and the feet into the same straight line. And TZ makes an acute angle with BT.
Why is it easier to move that which is already moving than that which is stationary? For instance, a moving wagon is more easily shifted than it is at the beginning. Is it for the same reason that it is most difficult to shift a weight which is moving in the opposite direction? For some of the power of the mover is lost, even if it is much quicker than the object moved. For the thrust of the body which is being pushed against has to become slower. In a secondary degree it is more difficult, if it is at rest; for what is at rest offers a resistance. But when a body is moving in the same direction as the pusher, it acts just as if one increased the force and speed of the mover; for by moving forward itself it has the same effect as would be produced by the mover.
Why do objects thrown ever stop travelling? Is it when the force that discharged them is exhausted, or because of the resistance, or because of the weight, if any of these is stronger than the discharging force? Or is it ridiculous to deal with these difficulties, when we have not the underlying principle?
Why, again, does a body travel at all except by its own motion, when the discharging force does not follow and continue to push it? Surely it is clear that the initial impulse given causes it to push something else in the first instance, while this in turn pushes something else; it stops when the force which is pushing the travelling object has no longer power to push it along, and when the weight of the travelling object pulls it down more than the power of the pushing force can drive it forwards.
Why can neither small nor great bodies travel far when thrown, but must always bear a relation to the thrower? Is it because an object thrown or pushed must always offer resistance in the direction from which the thrust comes? But that which by its size cannot give way, or by its weakness cannot offer any resistance can neither be thrown nor pushed. That which far exceeds the strength of what pushes it does not yield at all, but that which is much weaker offers no resistance. Is it because a travelling body can only travel as far as it can penetrate into the depths of the air? But that which does not move at all cannot move anything. Both these conditions occur with these things. For the superlatively great and the superlatively small may both be regarded as having no movement; for the one moves nothing and the other does not move at all.
Perché mai, se il peso in questione è lunghissimo, è più difficile sollevarlo sulla spalla, anche se lo si porta per il mezzo, che se è più piccolo? Nel caso precedente si è detto che ciò non era dovuto alla vibrazione; ma in questo caso lo è. Quando infatti il legno è più lungo, le estremità vibrano di più, così che sarebbe più difficile per il portatore trasportarlo. La ragione per cui la vibrazione è maggiore è che, sotto l’influenza dello stesso movimento, le estremità si spostano più lontano, in quanto il legno è più lungo. La spalla è infatti il centro, in A (e questo rimane fermo), e AB e AT sono i raggi dal centro. In quanto il raggio, cioè AB o AT, è più grande, tanto più movimento si produrrà nella massa. Ciò è stato dimostrato prima.
Perché gli uomini fanno i bilancieri ai pozzi nel modo in cui li fanno? Infatti aggiungono il peso del piombo alla trave di legno, il secchio stesso avendo peso sia vuoto sia pieno. È forse perché la macchina opera in due tempi (deve infatti essere calata e tirata su di nuovo), e può essere calata facilmente, mentre è difficile tirarla su? Lo svantaggio, quindi, di lasciarla scendere alquanto più lentamente è compensato dal vantaggio di alleggerire il peso quando la si tira su. L’attaccare il piombo o una pietra all’estremità del bilanciere produce questo risultato. Così infatti, quando si cala il secchio con una fune, il peso è maggiore di quanto non sarebbe se lo si calasse da solo e vuoto; ma quando è pieno, il piombo lo tira su, o qualunque peso vi sia attaccato. Sicché, in media, le due operazioni sono più facili di quanto non sarebbero nell’altro caso.
Perché mai, quando due uomini portano un peso tra loro su un’asse o su qualcosa di simile, non ne sentono la pressione ugualmente, a meno che il peso non sia a metà tra loro, ma colui che porta più vicino lo sente di più? Certamente perché in queste circostanze l’asse diventa una leva, il peso il fulcro, e il più vicino dei due che portano il peso è l’oggetto mosso, e l’altro portatore è il motore del peso. Poiché quanto più è lontano dal peso, tanto più facilmente lo muove, e tanto maggiore pressione verso il basso cade sull’altro, come se il peso attaccato spingesse in direzione opposta e diventasse il fulcro. Ma quando il peso è collocato nel mezzo, l’uno non diventa il peso più dell’altro, né l’uno compie il moto più dell’altro, ma l’uno è il peso esattamente nello stesso senso dell’altro.
Perché mai, quando gli uomini si alzano, si levano formando un angolo acuto tra la gamba e la coscia, e tra il tronco e la coscia? Altrimenti non possono alzarsi affatto. È forse perché l’equilibrio è sempre causa di riposo, e l’angolo retto è una specie di equilibrio, e produce quindi immobilità: così l’uomo si dirige verso una posizione in cui forma angoli uguali con la superficie terrestre; poiché non sarà realmente ad angolo retto rispetto al suolo? Oppure è perché, quando si alza, egli viene a trovarsi ad angolo retto, e l’uomo in posizione eretta deve essere ad angolo retto rispetto al suolo? Se, allora, egli deve giungere alla perpendicolare, cioè così che il suo capo sia immediatamente sopra i suoi piedi, ciò deve accadere quando si alza. Poiché, quando è seduto, il suo capo e i suoi piedi sono paralleli e non su una stessa linea retta. Sia A il capo, AB il tronco, BT la coscia e TA la gamba. Il tronco, cioè AB, è perpendicolare alla coscia, e la coscia alla gamba, quando l’uomo è seduto in questa posizione. Sicché, mentre è in questa posizione, non può alzarsi. Ma deve piegare la gamba e portare i piedi sotto il capo. Questa sarà la posizione se TA assume la posizione TZ, e allora si alzerà nello stesso tempo in cui porta il capo e i piedi nella stessa linea retta. E TZ forma un angolo acuto con BT.
Perché è più facile muovere ciò che è già in movimento che ciò che è fermo? Per esempio, un carro in movimento si sposta più facilmente di quanto non faccia all’inizio. È forse per la stessa ragione che è difficilissimo spostare un peso che si muove in direzione opposta? Poiché una parte della potenza del motore si perde, anche se esso è molto più veloce dell’oggetto mosso. Infatti la spinta del corpo contro cui si preme deve diventare più lenta. In secondo grado è più difficile, se è in quiete; poiché ciò che è in quiete oppone resistenza. Ma quando un corpo si muove nella stessa direzione di chi spinge, agisce come se si accrescessero la forza e la velocità del motore; infatti avanzando da sé produce lo stesso effetto che produrrebbe il motore.
Perché mai gli oggetti lanciati cessano di muoversi? È forse quando la forza che li ha scagliati si è esaurita, o a causa della resistenza, o a causa del peso, se alcuno di questi è più forte della forza che li scaglia? O è ridicolo affrontare queste difficoltà, quando non possediamo il principio fondamentale?
Perché, di nuovo, un corpo si muove mai se non per il proprio moto, quando la forza proiettante non lo segue e non continua a spingerlo? Certamente è chiaro che l’impulso iniziale impresso fa sì che esso spinga in primo luogo una qualche altra cosa, la quale a sua volta ne spinge un’altra; esso si ferma quando la forza che spinge il corpo in movimento non ha più potere di spingerlo avanti, e quando il peso del corpo in movimento lo trascina verso il basso più di quanto la potenza della forza spingente possa spingerlo in avanti.
Perché né i corpi piccoli né quelli grandi possono andare lontano quando sono lanciati, ma devono sempre avere un rapporto con chi li lancia? È forse perché un oggetto lanciato o spinto deve sempre offrire resistenza nella direzione da cui proviene la spinta? Ma ciò che per la sua grandezza non può cedere, o per la sua debolezza non può offrire alcuna resistenza, non può essere né lanciato né spinto. Ciò che supera di gran lunga la forza di ciò che lo spinge non cede affatto, mentre ciò che è molto più debole non offre resistenza. È forse perché un corpo in movimento può percorrere solo fin dove può penetrare nelle profondità dell’aria? Ma ciò che non si muove affatto non può muovere nulla. Entrambe queste condizioni si riscontrano in queste cose. Infatti, sia il sommamente grande che il sommamente piccolo possono essere considerati come privi di movimento; poiché l’uno non muove nulla e l’altro non si muove affatto.
Why do objects which are travelling in eddying water all finish their movement in the middle? Is it because the travelling object has definite magnitude, so that it is moving in two circles, one less and one greater, each of its ends being in one of them? The greater circle then, because it is travelling more quickly, turns the object round and drives it sideways into the smaller circle. But since the travelling object has breadth, this second circle produces the same result, and again drives it into the next inner circle, until ultimately it reaches the middle. There it remains because being in the middle it is in the same relation to all circles. For in each circle the centre is the same distance from the circumference. Or can it be because objects which the travel of the whirling water cannot control because of their weight (that is, that the weight of the object overcomes the speed of the revolving circle) must get left behind and must travel more slowly? But the smaller circle travels more slowly; for the large circle revolves to the same extent in the same time as the smaller circle, when the two are concentric. So that the object must be left in each lesser circle in succession until it comes to the centre. In cases in which the travel prevails at the beginning, it will do the same until it stops. For the original circle and then the next must prevail by its speed over the weight of the object, so that it will pass successively to each smaller circle all the time. For an object which does not prevail must be moved either inside or outside. For that which is not overcome cannot continue to travel in the circle in which it is originally. Still less can it remain in the outer circle; for the travel of the outer circle is more rapid. The only thing left is for the object which is not controlled by the water to shift to the inside. Now each object always inclines not to be controlled. But since its arrival at the middle puts an end to the movement, the centre is the only part at rest, and everything therefore must collect there.
Perché gli oggetti che si muovono in acqua vorticosamente terminano tutti il loro movimento nel mezzo? È forse perché l’oggetto in movimento ha una grandezza determinata, così che si muove in due cerchi, uno minore e uno maggiore, trovandosi ciascuna delle sue estremità in uno di essi? Il cerchio maggiore, allora, poiché si muove più velocemente, fa ruotare l’oggetto e lo spinge di lato nel cerchio minore. Ma poiché l’oggetto in movimento ha larghezza, questo secondo cerchio produce lo stesso risultato, e di nuovo lo spinge nel cerchio successivo più interno, finché alla fine raggiunge il mezzo. Lì rimane perché, essendo nel mezzo, è nella stessa relazione con tutti i cerchi. Infatti in ogni cerchio il centro è alla stessa distanza dalla circonferenza. O può essere perché gli oggetti che il moto dell’acqua vorticoso non può controllare a causa del loro peso (cioè, che il peso dell’oggetto supera la velocità del cerchio rotante) devono essere lasciati indietro e devono muoversi più lentamente? Ma il cerchio minore si muove più lentamente; infatti il cerchio grande ruota nella stessa misura nello stesso tempo del cerchio minore, quando i due sono concentrici. Cosicché l’oggetto deve essere lasciato in ciascun cerchio minore successivamente finché giunge al centro. Nei casi in cui il moto prevale all’inizio, farà lo stesso finché non si ferma. Infatti il cerchio originario e poi il successivo devono prevalere con la loro velocità sul peso dell’oggetto, così che esso passerà successivamente a ogni cerchio minore per tutto il tempo. Infatti un oggetto che non prevale deve essere mosso o all’interno o all’esterno. Poiché ciò che non è superato non può continuare a muoversi nel cerchio in cui è originariamente. Tanto meno può rimanere nel cerchio esterno; infatti il moto del cerchio esterno è più rapido. L’unica cosa che resta è che l’oggetto che non è controllato dall’acqua si sposti verso l’interno. Ora ogni oggetto inclina sempre a non essere controllato. Ma poiché il suo arrivo al mezzo pone fine al movimento, il centro è l’unica parte in quiete, e tutto pertanto deve raccogliersi lì.