Aristotle
Abstract
Spurious mathematical treatise that examines and largely refutes the arguments (including one attributed to Zeno) for the existence of indivisible lines as minimal units of magnitude, defending the infinite divisibility of the continuum.
Connections
Concetti: infinito
Forme: trattato
Scuole: Liceo (peripatetici)
Traduzione di W. S. Hett · Delphi Classics, 2013 · pubblico dominio
THIS is a most interesting and extremely difficult treatise, written by some author of the Peripatetic School. It refers directly to Euclid’s Elementa, Book X., and is unintelligible without some understanding of Euclid’s definitions. Unfortunately the condition of the manuscripts is most unsatisfactory. By kind permission of Messrs. Teubner, Apelt’s text has been used for this volume. This together with his comments in the Introduction has elucidated a number of difficulties, but, even so the thought as well as the terminology is involved. The treatise is mainly concerned with a refutation of the theory that every line contains a unit which is an indivisible line. Without the modern view of infinity, there is much which is mathematically brilliant, and on his own terms the author seems to prove his case. The main argument is a syllogism:
All lines consist of indivisible lines (Zeno).
All indivisible lines are points.
.-. all lines consist of points.
Aristotle then demonstrates the absurdity of this conclusion, thus demolishing the major premiss.
QUESTO è un trattato assai interessante ed estremamente difficile, scritto da un qualche autore della Scuola peripatetica. Esso si riferisce direttamente agli Elementi di Euclide, Libro X, ed è incomprensibile senza una certa conoscenza delle definizioni di Euclide. Purtroppo lo stato dei manoscritti è assai insoddisfacente. Per gentile concessione dei Signori Teubner, il testo di Apelt è stato usato per questo volume. Questo, unitamente ai suoi commenti nell’Introduzione, ha chiarito numerose difficoltà, ma, anche così, il pensiero, così come la terminologia, è intricato. Il trattato si occupa principalmente di una confutazione della teoria secondo cui ogni linea contiene un’unità che è una linea indivisibile. Senza la concezione moderna dell’infinito, vi è molto che è matematicamente brillante, e nei suoi stessi termini l’autore sembra dimostrare la sua tesi. L’argomento principale è un sillogismo:
Tutte le linee consistono di linee indivisibili (Zenone).
Tutte le linee indivisibili sono punti.
.-. tutte le linee consistono di punti.
Aristotele dimostra poi l’assurdità di questa conclusione, demolendo così la premessa maggiore.
Are there such things as indivisible lines, and must there be in all magnitudes some unit which has no parts, as some say?
If “much” and “big,” and their opposites “few” and “little,” are similarly constituted, and if that which has almost infinite divisions is not small, but big, it is evident that “few” and “little” will have a limited number of divisions; if, then, the divisions are limited, there must be some magnitude which has no parts, so that in all magnitudes there will be some indivisible unit, since in all of them there is a “few” and a “little.”
Moreover, if there is an idea of a line, and the Idea is the first of quantities so called, and if the parts are logically prior to the whole, this unit line must be indivisible, and the same argument will apply to the square, triangle, and other figures, and generally speaking to a plane figure or to any other body; for there must be some unit prior in their case too.
Again, if there are elements in a body, and there is nothing prior to the elements, and if the parts are prior to the whole, fire and, generally speaking, each of the elements of the body would be indivisible, so that there must be a unit without parts, not only in the world of thought, but also in the world of perception.
Again, according to the argument of Zeno, there must be some magnitude without parts, since it is impossible to touch an infinite number of things in a finite time, when touching each of them, and that which moves must first reach half-way, and half clearly belongs to that which is not without parts. But if anything travelling along a line touches an infinite series in a finite time, secondly if the faster it travels the greater the space it covers in the same time, and lastly if the movement of thought is the quickest movement, then even thought must touch an infinite series one by one in a finite time. If, then, thought touching the series one by one is counting, then it must be possible to count an infinite series in finite time. If this is impossible, then there must exist an indivisible line.
The next argument, we are told, is used by the mathematicians to prove that the indivisible line must exist, if we admit that “commensurate” lines are those which are measured by the same unit, and all the lines measured are “commensurate.” For there must be some length by which they are all measured. And this must be incapable of division. For if it is divisible, then its parts can also be expressed in the terms of some unit. For they are commensurate with the whole. So that the measurement of each part would be double its half; since this is impossible the unit of measurement must itself be indivisible.
Again, just as the lines built up from the unit of measurement are all composed of units without parts, so also must those be which are once measured by it. The same thing will also happen in plane figures; for all the squares on rational lines are commensurable with each other, so that their unit of measurement will also be without parts. Moreover if any one of them is cut (on any unit) by a fixed and finite line, this line will neither be rational nor irrational, nor will belong to any of the categories to which the rational functions belong, such as “apotome” or “of two terms”; but in themselves they have no natural characteristics, though they will be rational or irrational in relation to each other.
Now in the first place it does not follow that what admits of infinite division is not either “small” or “little”; for we can apply the term “small” to space, and size, and generally to anything which is continuous, and in a similar way we apply the term “little” where it is applicable, not but what we admit that they have infinite divisions.
Secondly, if among commensurables there are lines, we can apply the term “small” to these indivisible units, and they themselves contain an infinite number of points. But in so far as it is a line it admits of division at a point, and similarly at any other point; consequently every line which is not indivisible must have an infinite number of divisions.
Now some of these divisions are small; and possible ratios between the divisions are infinite. It is possible for every line which is not indivisible to be cut in accordance with any given ratio.
Moreover, if “great” is compounded of a number of “smalls,” “great” either has no meaning at all, or “great” will be that which has finite divisions. For the whole must be susceptible of the same divisions as its parts. But it is illogical to suppose that the small has finite divisions and the great infinite; yet this is what they claim.
So it is clear that the terms “great” and “small” are not applied because the one has finite, and the other infinite, divisions. Again, if any man claims that because in numbers the “little” has finite divisions, the “small” in lines must do the same, his argument is foolish. For in the case of numbers a the whole is built from units which have no parts, and there is some unit which is the basis of all numbers, and every number which is not infinite has finite divisions; but the same thing is not true of magnitudes.
But those who build up their theory of indivisible lines on Ideas have, I fancy, too slight a basis for the superstructure, the supposition that there are Ideas of these indivisible lines; and in a certain sense they destroy their own argument by their demonstration. For the whole theory of Ideas is destroyed by their arguments.
Again, in the case of bodily elements it is foolish to maintain that they are without parts. For, if any do actually demonstrate this, they are for the purpose of the argument under discussion assuming the major premiss of the argument. And the more this major premiss is assumed, the more does it appear that the body and length are divisible both in two dimensions and in one.
Again, Zeno’s reasoning does not prove that what moves along a line touches an infinite series in finite time on this same plan. For “time” and “length” must be called both infinite and finite, and admit of the same divisions.
Again, the process of the mind touching an infinite series one by one is not the process of counting, if indeed anyone supposes that the mind does in this way touch an infinite series. Perhaps this supposition is in itself impossible; for the movement of the mind does not take place like the movement of travelling bodies in continuous matter.
But to resume — even if its movement can be of this kind, this is not counting. For counting involves a series of pauses. But it is perhaps quite unreasonable that those who have failed to solve the riddle should be subservient to their own weakness, and should cheat themselves still more in an effort to reinforce their incapacity.
As for the argument about commensurate lines, namely that all lines are measured by one and the same unit of measurement, this is merely chopping logic, and does not agree with mathematical assumptions; for the mathematician does not lay this down, and it would be of no use to him if he did. In fact the two statements are actually contradictory — that all lines are commensurable, and that there is a common measure of all commensurable lines.
So their position is absurd; after professing that they are going to demonstrate the mathematicians’ own opinions, and to argue from their statements, they merely relapse into a contentious and casuistical argument, and a weak one at that. For it is weak from many points of view, and in every way fails to escape both contradictoriness and refutation.
Moreover it is unreasonable for them to be led astray on the one hand by the reasoning of Zeno, and presume the existence of indivisible lines merely because they cannot disprove their existence; and on the other to be unimpressed by the arguments both from the movement of a straight line in a semicircle, which must clearly touch all the infinite points of the circumference and its divisions, and again to neglect the convincing fact about a circle that there must be movement of some such kind, if the radius moves in a semicircle,” and all the other theorems demonstrated about lines showing that movement is impossible of such a kind that it does not fall upon all the intervening points in turn; for these theorems are far more universally admitted than the others.
Vi sono cose siffatte come le linee indivisibili, e deve esservi in tutte le grandezze qualche unità che non ha parti, come alcuni affermano?
Se “molto” e “grande”, e i loro opposti “poco” e “piccolo”, sono costituiti similmente, e se ciò che ha quasi infinite divisioni non è piccolo, ma grande, è evidente che “poco” e “piccolo” avranno un numero limitato di divisioni; se, quindi, le divisioni sono limitate, vi deve essere una qualche grandezza che non ha parti, cosicché in tutte le grandezze vi sarà una qualche unità indivisibile, poiché in tutte vi è un “poco” e un “piccolo”.
Inoltre, se vi è un’idea della linea, e l’Idea è la prima delle quantità così chiamate, e se le parti sono logicamente anteriori al tutto, questa linea unitaria deve essere indivisibile, e lo stesso argomento si applicherà al quadrato, al triangolo e alle altre figure, e in generale a una figura piana o a qualsiasi altro corpo; poiché anche nel loro caso vi deve essere qualche unità anteriore.
Inoltre, se vi sono elementi in un corpo, e nulla è anteriore agli elementi, e se le parti sono anteriori al tutto, il fuoco e, generalmente parlando, ciascuno degli elementi del corpo sarebbe indivisibile, cosicché deve esserci un’unità senza parti, non solo nel mondo del pensiero, ma anche nel mondo della percezione.
Di nuovo, secondo l’argomento di Zenone, deve esserci una grandezza senza parti, poiché è impossibile toccare un numero infinito di cose in un tempo finito, quando si tocchi ciascuna di esse, e ciò che si muove deve prima raggiungere la metà, e la metà appartiene chiaramente a ciò che non è senza parti. Ma se qualcosa che percorre una linea tocca una serie infinita in un tempo finito, in secondo luogo se quanto più velocemente si muove tanto maggiore è lo spazio che percorre nello stesso tempo, e in ultimo se il movimento del pensiero è il movimento più veloce, allora anche il pensiero deve toccare una serie infinita una a una in un tempo finito. Se, allora, il pensiero che tocca la serie una a una è contare, allora deve essere possibile contare una serie infinita in un tempo finito. Se questo è impossibile, allora deve esistere una linea indivisibile.
Il prossimo argomento, ci viene detto, è usato dai matematici per provare che la linea indivisibile deve esistere, se ammettiamo che le linee “commensurabili” sono quelle che sono misurate dalla stessa unità, e che tutte le linee misurate sono “commensurabili.” Poiché deve esserci una qualche lunghezza dalla quale sono tutte misurate. E questa deve essere incapace di divisione. Poiché se è divisibile, allora le sue parti possono anche essere espresse nei termini di qualche unità. Poiché sono commensurabili con il tutto. Cosicché la misura di ciascuna parte sarebbe doppia della sua metà; poiché ciò è impossibile, l’unità di misura deve essa stessa essere indivisibile.
Di nuovo, come le linee composte dall’unità di misura sono tutte formate di unità senza parti, così pure debbono essere quelle che sono una volta misurate da essa. Lo stesso accadrà anche nelle figure piane; poiché tutti i quadrati costruiti su linee razionali sono commensurabili tra loro, così anche la loro unità di misura sarà senza parti. Inoltre, se una di esse è tagliata (su una qualsiasi unità) da una linea fissa e finita, questa linea non sarà né razionale né irrazionale, né apparterrà ad alcuna delle categorie a cui appartengono le funzioni razionali, come “apotome” o “di due termini”; ma in sé stesse non hanno caratteristiche naturali, benché siano razionali o irrazionali l’una rispetto all’altra.
Ora, in primo luogo, non segue che ciò che ammette divisione infinita non sia né «piccolo» né «poco»; poiché possiamo applicare il termine «piccolo» allo spazio, e alla grandezza, e in generale a tutto ciò che è continuo, e similmente applichiamo il termine «poco» dove è applicabile, non che non ammettiamo che essi abbiano divisioni infinite.
In secondo luogo, se tra i commensurabili vi sono linee, possiamo applicare il termine “piccolo” a queste unità indivisibili, ed esse stesse contengono un numero infinito di punti. Ma in quanto è una linea, ammette divisione in un punto, e similmente in qualsiasi altro punto; di conseguenza ogni linea che non sia indivisibile deve avere un numero infinito di divisioni.
Ora alcune di queste divisioni sono piccole; e i possibili rapporti tra le divisioni sono infiniti. È possibile che ogni linea che non è indivisibile sia tagliata secondo un qualsiasi rapporto dato.
Inoltre, se il “grande” è composto di un numero di “piccoli,” o il “grande” non ha alcun significato, oppure il “grande” sarà ciò che ha divisioni finite. Poiché il tutto deve essere suscettibile delle stesse divisioni delle sue parti. Ma è illogico supporre che il piccolo abbia divisioni finite e il grande infinite; eppure è questo ciò che essi affermano.
Così è chiaro che i termini «grande» e «piccolo» non sono applicati perché l’uno ha divisioni finite e l’altro infinite. E ancora, se alcuno afferma che, poiché nei numeri il «piccolo» ha divisioni finite, anche il «piccolo» nelle linee deve comportarsi allo stesso modo, il suo ragionamento è stolto. Infatti nel caso dei numeri il tutto è costruito da unità che non hanno parti, e vi è una qualche unità che è il fondamento di tutti i numeri, e ogni numero che non è infinito ha divisioni finite; ma lo stesso non vale per le grandezze.
Ma coloro che costruiscono la loro teoria delle linee indivisibili sulle Idee hanno, a mio avviso, una base troppo esile per la sovrastruttura, la supposizione che vi siano Idee di queste linee indivisibili; e in un certo senso distruggono il loro stesso argomento con la loro dimostrazione. Poiché l’intera teoria delle Idee è distrutta dai loro argomenti.
Ancora, nel caso degli elementi corporei è stolto sostenere che essi siano senza parti. Infatti, se alcuni dimostrano effettivamente ciò, essi, ai fini dell’argomento in discussione, assumono la premessa maggiore dell’argomento. E quanto più questa premessa maggiore è assunta, tanto più appare che il corpo e la lunghezza siano divisibili sia in due dimensioni sia in una.
Ancora, il ragionamento di Zenone non dimostra che ciò che si muove lungo una linea tocchi una serie infinita in un tempo finito su questo stesso piano. Poiché “tempo” e “lunghezza” devono essere chiamati entrambi infiniti e finiti, e ammettono le stesse divisioni.
Inoltre, il processo della mente che tocca ad uno ad uno una serie infinita non è il processo del contare, se pure qualcuno suppone che la mente tocchi in questo modo una serie infinita. Forse questa supposizione è in sé stessa impossibile; poiché il movimento della mente non avviene come il movimento dei corpi viaggianti in una materia continua.
Ma per riprendere — anche se il suo movimento può essere di questo genere, questo non è contare. Infatti il contare implica una serie di pause. Ma è forse del tutto irragionevole che coloro che non sono riusciti a risolvere l’enigma debbano essere asserviti alla propria debolezza, e debbano ingannare se stessi ancora di più nello sforzo di rafforzare la propria incapacità.
Quanto all’argomento delle linee commensurate, cioè che tutte le linee si misurano con una medesima unità di misura, ciò è meramente cavillosità, e non si accorda con le supposizioni matematiche; imperocché il matematico non lo pone, e se lo ponesse, non gli gioverebbe. In realtà le due proposizioni sono contraddittorie — che tutte le linee siano commensurabili, e che vi sia una comune misura di tutte le linee commensurabili.
Dunque la loro posizione è assurda; dopo aver professato che dimostreranno le opinioni stesse dei matematici, e che argomenteranno dalle loro affermazioni, essi meramente ricadono in un argomento contenzioso e casuistico, e per di più debole. Infatti è debole da molti punti di vista, e in ogni modo non riesce a sfuggire tanto alla contraddittorietà quanto alla confutazione.
Inoltre è irragionevole che essi, da un lato, siano fuorviati dal ragionamento di Zenone e presumano l’esistenza di linee indivisibili solo perché non possono dimostrarne l’inesistenza; e che, dall’altro lato, non siano colpiti dagli argomenti sia dal movimento di una linea retta in un semicerchio, che deve chiaramente toccare tutti gli infiniti punti della circonferenza e le sue divisioni, e di nuovo trascurare il fatto convincente riguardo al cerchio, che ci debba essere un movimento di tal genere, se il raggio si muove in un semicerchio”, e tutti gli altri teoremi dimostrati intorno alle linee, i quali mostrano che è impossibile un movimento di tal genere che non cada su tutti i punti intermedi di volta in volta; poiché questi teoremi sono di gran lunga più universalmente ammessi degli altri.
It is, then, clear from the arguments we have adduced that it is not inevitable nor even plausible that indivisible lines should exist. But from what follows it will become still more obvious. First of all from theorems demonstrated and laid down as axiomatic in mathematics, which must either be accepted or removed by more convincing arguments.
For neither the definition of “line” nor of “straight line” will fit in with the “indivisible line,” because it does not lie between points nor has it a middle point.
Secondly all lines will be commensurate on the assumption of indivisible lines. For all lines will be measured by indivisible lines, both those which are commensurable in length and in their squares. But indivisible lines are commensurate in length; for they are all equal; so they must also be commensurate in their squares. If this is true, then every square will be rational.
Again, seeing that the line applied to the longer side determines the breadth of a rectangle, the rectangle which is equal in area to the square on the indivisible line (suppose it to be one foot long) will, when applied to a line twice the length, have a breadth shorter than the indivisible line (which is a priori impossible); for its breadth will be less than that of the square on the indivisible line. (See note a (1).)
Again, since a triangle can be made from three given straight lines, it will also be made from three indivisible lines. Now in every equilateral triangle the perpendicular from any angle bisects the base and so must divide the indivisible line. (See note a (2).)
(2) — ABC is an equilateral triangle, and AD the perpendicular dropped on BC from A. This figure produces exactly the same impossibility as the last.
(3) — ABCD is a square, of which AC is the diagonal. A perpendicular is dropped from D to the diagonal. Here again we have the same impossibility.
Again, if a square can be made of indivisible lines, then when a diagonal is drawn and a perpendicular dropped on it from an angle, the side of the square will equal the perpendicular plus half the diagonal, so that it will not be the smallest line. (See note a (3).)
Nor will the area which is the square on the diagonal be double the square on the indivisible line. For when the equal part is taken away, the remainder will be less than the indivisible line; but if it were equal, then the square on the diagonal would be four times that on the original square; one could of course collect other examples; for they are opposed practically to all mathematical principles.
Again, there is only one way of joining what has no parts to anything else, but two ways in the case of a line; for two lines may be joined lengthways, or on the other hand, end to end.
Again, a line fitted to another side by side will not make the whole any greater; for lines without parts when put together will not make them any longer.
Again, no continuous length can be made out of two lines without parts, for every continuous length can be divided into more than one part, and if every line is continuous in contrast with an indivisible line, then there can be no such thing as an indivisible line.
Again, if in contrast with the indivisible line every line can be divided into equal and unequal parts, even if it is constructed out of three indivisible lines or generally speaking out of any odd number, the indivisible line will be capable of division. Equally so every line can be cut in half; for every line made up of odd numbers will involve bisection of the indivisible line. But if no such lines can be bisected, unless they are composed of an even number of lines, even in this case it must be possible to divide a bisected line any number of times, and thus the indivisible line will be divided, whenever the line composed of an even number of parts is divided into unequal parts.
Again, if the moving object moves over half the line in half the time it takes to move over the whole line, it also moves over less than half in less than half the time, so that if the whole length is composed of an odd number of indivisible lines the bisection of indivisible lines will be seen again, if it covers half the length in half the time; for the time and the line will be divided in proportionate divisions. So that none of the component lines will admit of equal and unequal divisions; if they are divided proportionately to the time, they will not be indivisible lines. And yet, as has been said, constructing all these things from lines without parts belongs to the same argument.
Again, everything which is not unlimited has two limits; for by these the line is defined. But the indivisible line is not unlimited, and so will possess a limit. Therefore it is divisible: for the limit is not the same as that of which it is the limit. Or else there will be a line which is neither unlimited nor limited, beyond these two categories.
Again, there will not be a point in every line; for there will be no point in the indivisible line; for if there were one and one only, a line would be a point; if there are more than one, then the line is divisible.
But if there is no point in the indivisible line, then there is not generally in any line; for the other lines are made up of indivisible lines.
Again, (if such points exist in a line) there will be either nothing between them, or a line; if there is a line between, and more than one point in all lines, then the line will not be indivisible.
Again, it will not be possible to construct a square on every line; for a square will have length and breadth, so that it is divisible, since both its length and its breadth are quantities. But if the square is divisible, so also is the line upon which it is constructed.
Again, the limit of a line will be a line, and not a point. For the limit is the ultimate thing, and the indivisible line is ultimate. For if a point is the limit, the point will be the limit of an indivisible line, and a line will then be greater than another line by a point. But if the limiting point is within the indivisible line, because two connected lines have the same limit, there will be a limit to the line without parts. Generally speaking, then, what will be the difference between a point and a line? For in comparison with the point the indivisible line will have no property peculiar to it except the name.
Again, in the same sense, the plane figure and the solid will be indivisible. For if the one is indivisible, it will follow that the others are so, for the one is divided by means of the other. But the solid is not indivisible because it contains both depth and breadth; then a line cannot be indivisible; for a solid is formed by the addition of a line to a plane surface, and a plane surface by the addition of a line to a line.
But since the arguments by which they attempt to prove their case, are not only feeble but even false, and their opinions are opposed to all those which carry conviction, it is evident that there cannot be an indivisible line. For nearly all the same arguments will apply.
For instance, it must be possible to divide the point, when a line consisting of an odd number of points is divided into equal parts, or one consisting of an even number of points into unequal parts; also, the part of a line would not be a line, nor the part of a plane figure a plane figure.
Also, one line would have to be greater than another by a point; and it will then be greater than the elements out of which it is composed. That this is impossible is obvious from the principles of mathematics, and a further consequence will be that a travelling object will pass over a point in a definite time, since it travels over a greater distance in a longer time, and an equal distance in an equal time, but the excess of one time over another is in itself a time.
But perhaps time consists of a succession of “nows,” and both ideas belong to the same theory.
È quindi chiaro dagli argomenti che abbiamo addotto che non è inevitabile né anche plausibile che linee indivisibili esistano. Ma da ciò che segue diventerà ancora più evidente. In primo luogo dai teoremi dimostrati e posti come assiomatici nella matematica, i quali devono essere o accettati o rimossi da argomenti più convincenti.
Infatti né la definizione di “linea” né quella di “linea retta” si adatterà alla “linea indivisibile”, perché essa non giace tra i punti né ha un punto medio.
In secondo luogo, tutte le linee saranno commensurabili nell’assunzione delle linee indivisibili. Tutte le linee saranno infatti misurate da linee indivisibili, sia quelle commensurabili in lunghezza sia nei loro quadrati. Ma le linee indivisibili sono commensurabili in lunghezza; poiché sono tutte uguali; quindi devono essere commensurabili anche nei loro quadrati. Se ciò è vero, allora ogni quadrato sarà razionale.
Inoltre, vedendo che la linea applicata al lato più lungo determina la larghezza di un rettangolo, il rettangolo che è uguale in area al quadrato sulla linea indivisibile (supponiamo che sia lunga un piede) avrà, quando applicato a una linea lunga il doppio, una larghezza minore della linea indivisibile (il che è a priori impossibile); poiché la sua larghezza sarà minore di quella del quadrato sulla linea indivisibile. (Vedi nota a (1).)
Di nuovo, poiché un triangolo può essere formato da tre rette date, sarà formato anche da tre linee indivisibili. Ora in ogni triangolo equilatero la perpendicolare condotta da un angolo qualsiasi divide in due parti uguali la base, e quindi deve dividere la linea indivisibile. (Vedi nota a (2).)
(2) — ABC è un triangolo equilatero, e AD la perpendicolare abbassata da A su BC. Questa figura produce esattamente la stessa impossibilità della precedente.
(3) — ABCD è un quadrato, di cui AC è la diagonale. Una perpendicolare è abbassata da D sulla diagonale. Anche qui abbiamo la stessa impossibilità.
Inoltre, se un quadrato può essere composto di linee indivisibili, allora, tracciata una diagonale e abbassata una perpendicolare da un angolo su di essa, il lato del quadrato sarà uguale alla perpendicolare più la metà della diagonale, cosicché non sarà la linea minima. (Vedi nota a (3).)
Né l’area del quadrato sulla diagonale sarà doppia del quadrato sulla linea indivisibile. Poiché, tolta la parte uguale, il resto sarà minore della linea indivisibile; ma se fosse uguale, allora il quadrato sulla diagonale sarebbe quattro volte quello del quadrato originale; si potrebbero certo raccogliere altri esempi; poiché essi si oppongono praticamente a tutti i principi matematici.
Di nuovo, c’è un solo modo di congiungere ciò che non ha parti a qualsiasi altra cosa, ma due modi nel caso di una linea; infatti due linee possono essere congiunte per lungo, o, d’altra parte, estremità a estremità.
Ancora, una linea accostata a un’altra lato a lato non renderà il tutto più grande; poiché linee senza parti, messe insieme, non le renderanno più lunghe.
Inoltre, nessuna lunghezza continua può essere composta di due linee senza parti, poiché ogni lunghezza continua può essere divisa in più di una parte, e se ogni linea è continua in contrasto con una linea indivisibile, allora non può esserci alcuna cosa come una linea indivisibile.
Di nuovo, se a differenza della linea indivisibile ogni linea può essere divisa in parti uguali e disuguali, anche se è composta di tre linee indivisibili o, in generale, di un numero dispari qualsiasi, la linea indivisibile sarà capace di divisione. Ugualmente ogni linea può essere tagliata a metà; poiché ogni linea composta di numeri dispari comporterà la bisezione della linea indivisibile. Ma se nessuna di tali linee può essere bisecata, a meno che non siano composte di un numero pari di linee, anche in questo caso deve essere possibile dividere una linea bisecata un numero qualsiasi di volte, e così la linea indivisibile sarà divisa, ogniqualvolta la linea composta di un numero pari di parti è divisa in parti disuguali.
E ancora, se il mobile percorre metà della linea in metà del tempo impiegato a percorrere l’intera linea, percorrerà anche meno di metà in meno di metà del tempo; cosicché, se l’intera lunghezza è composta di un numero dispari di linee indivisibili, si vedrà di nuovo la bisezione delle linee indivisibili, qualora esso percorra metà della lunghezza in metà del tempo; infatti il tempo e la linea saranno divisi in divisioni proporzionali. Sicché nessuna delle linee componenti ammetterà divisioni uguali e disuguali; se sono divise proporzionalmente al tempo, non saranno linee indivisibili. Eppure, come si è detto, costruire tutte queste cose da linee senza parti appartiene allo stesso ragionamento.
Ancora, tutto ciò che non è illimitato ha due limiti; poiché per questi la linea è definita. Ma la linea indivisibile non è illimitata, e quindi possederà un limite. Perciò è divisibile: poiché il limite non è lo stesso di ciò di cui è limite. Oppure vi sarà una linea che non è né illimitata né limitata, al di là di queste due categorie.
Inoltre, non vi sarà un punto in ogni linea; poiché non vi sarà punto nella linea indivisibile; poiché se ve ne fosse uno e uno solo, una linea sarebbe un punto; se ve ne sono più di uno, allora la linea è divisibile.
Ma se non vi è alcun punto nella linea indivisibile, allora non ve n’è in generale in nessuna linea; poiché le altre linee sono composte di linee indivisibili.
Di nuovo, (se tali punti esistono in una linea) vi sarà o nulla tra di essi, o una linea; se vi è una linea in mezzo, e più di un punto in tutte le linee, allora la linea non sarà indivisibile.
Di nuovo, non sarà possibile costruire un quadrato su ogni linea; poiché un quadrato avrà lunghezza e larghezza, così da essere divisibile, essendo sia la sua lunghezza sia la sua larghezza quantità. Ma se il quadrato è divisibile, divisibile è anche la linea su cui è costruito.
Di nuovo, il limite di una linea sarà una linea, e non un punto. Poiché il limite è l’ultimo, e la linea indivisibile è ultima. Infatti, se un punto è il limite, il punto sarà il limite di una linea indivisibile, e una linea sarà allora maggiore di un’altra linea di un punto. Ma se il punto limite è interno alla linea indivisibile, poiché due linee congiunte hanno lo stesso limite, vi sarà un limite della linea senza parti. In generale, allora, quale differenza vi sarà tra un punto e una linea? Poiché in confronto al punto la linea indivisibile non avrà alcuna proprietà ad essa peculiare, eccetto il nome.
Ancora, nel medesimo senso, la figura piana e il solido saranno indivisibili. Poiché se l’uno è indivisibile, ne conseguirà che anche gli altri lo sono, giacché l’uno si divide per mezzo dell’altro. Ma il solido non è indivisibile, perché contiene insieme profondità e larghezza; allora una linea non può essere indivisibile; poiché un solido si forma mediante l’addizione di una linea a una superficie piana, e una superficie piana mediante l’addizione di una linea a una linea.
Ma poiché gli argomenti con cui tentano di provare la loro tesi non sono soltanto deboli, ma addirittura falsi, e le loro opinioni sono contrarie a tutte quelle che portano convincimento, è evidente che non può esserci una linea indivisibile. Infatti quasi tutti gli stessi argomenti si applicheranno.
Per esempio, deve essere possibile dividere il punto, quando una linea composta di un numero dispari di punti è divisa in parti uguali, o una composta di un numero pari in parti disuguali; inoltre, la parte di una linea non sarebbe una linea, né la parte di una figura piana una figura piana.
Inoltre, una linea dovrebbe essere maggiore di un’altra di un punto; e sarà allora maggiore degli elementi di cui è composta. Che ciò sia impossibile è evidente dai principi della matematica, e un’ulteriore conseguenza sarà che un oggetto in movimento passerà sopra un punto in un tempo determinato, poiché percorre una distanza maggiore in un tempo più lungo, e una distanza uguale in un tempo uguale, ma l’eccesso di un tempo su un altro è in sé stesso un tempo.
Ma forse il tempo consiste in una successione di “adesso,” e entrambe le idee appartengono alla stessa teoria.
But if a “now” is the beginning and the limit of time, and a point is in a similar relation to a line, the beginning and the end cannot be in themselves continuous, but there must be something in between, so that neither the “nows” (in time), nor the points (in a line) could by themselves form a continuous whole.
Again, the line is a certain magnitude, but an aggregation of points produces no magnitude, because such an aggregation fills no greater space. For when a line is added to a line and fitted on to it, the width does not increase.” If, then, points constitute lines, the points, however many, would occupy no larger space, so that they could not produce a magnitude.
Again, if they all touched every point, whether the whole was in contact with the whole, or a part with a part, or the whole with a part, and since the point is indivisible, the contact would be the whole with the whole. But the whole in contact with the whole must produce a unit. For if anything belongs to one which does not belong to the other, then the whole is not in contact with the whole. But if the indivisible parts are all in one place, then a number of things occupy the same space which was formerly occupied by a unit; for in the case of two things, which are together and yet have no power of extension, the same space must serve for both. But since what has no parts cannot have dimensions, nothing composed of units without parts can produce a continuous magnitude. Hence it follows that a line cannot be made out of a series of points, nor a time out of a series of “nows.”
Moreover, if a line were composed of points, a point would be in contact with a point. Suppose that from K two lines AB and TA are drawn, both the point which terminates ΔK and the point which terminates KΔ will meet in K, so that the two points will be in contact A with each other; for the indivisible touches the indivisible, as a whole touches a whole. So that it will occupy the same space as K, and the points will be in contact with each other in the same place. Conversely, if they are in the same place, they must be in contact; for in the first place things which are in the same space must touch, and, if this is so, the straight line touches a straight line in two points. For the point in AK touches both the points in KΓ, and also another (i e., the next point in AΓ which occupies the same place as K). So that AK touches TA in more points than one. And the same argument applies not merely to two lines in contact but to any number.
Again, the circumference of a circle would touch the tangent in more points than one. For both the point on the circumference and the point on the tangent are touching the point of contact, and each other. If this is impossible, then a point cannot touch a point; but if it cannot, then a line cannot consist of points; for otherwise it would be in contact.
Again, how will it affect the question of straight lines and curves? For there can be no difference between the contact of points in the straight and in the curved line. For the line without parts touches a similar line over all its length, and cannot touch it in any other way. If, then, there are lines of different kinds and no different kind of contact, a line will not depend on the elements of its construction, and so does not depend on points.
Again, the points must either be in contact with each other or not. If they are in contact in series, the argument is the same; if it is possible for the series to be continuous without contact, still by continuous we mean nothing except something whose component parts are in contact, so that on this supposition also the points must touch each other, or eke the line cannot be described as continuous.
Moreover, if it is absurd to put a point on a point to produce a line, and a line on a point to produce a plane surface, what they say cannot be true. For if either of the points is continuous then the line will not be cut at either of the points, but in between them; if, on the other hand, they touch, the line will be in the place of one point, and this is impossible.
Moreover, all geometrical figures could be divided and resolved into points, and a point would be part of a solid (i e., have three dimensions), since the solid is constructed out of the plane figure, the plane figure from lines, and lines from points. But if each thing consists of its original elements, then points would be the elements of solid bodies. So that elements would have the same name, and be no different in kind.
So it is clear from what we have already said that the line is not composed of points. Nor can the point be detached from the line. For if it can be so detached, it can also be added. But, when anything is added, that to which it is added will be greater than it was at the beginning, if the addition is of such a kind as to make a complete unit. Then one line will be greater than another by a point. But this is impossible. It is impossible, that is to say, in itself, but incidentally it is possible to take a point away from a line, by the fact of its existence in the line taken away. For if the whole is taken away, the beginning and end must be taken away, and the beginning and end of a line is a point. If, then, it is possible to take away a line from a line, it must be possible to take away a point. But this taking away of a point is only incidental. But if the end touches that of which it is the end — that is either touches itself, or any part of it — and the point also touches it in virtue of its being the end of a line, — then one line is greater than another by a point, and a point will consist of points; for there can be nothing in between two things which touch.
The same argument will apply to division, if division is of a point and if division touches something, both in the solid and plane figure; just in the same way the solid is made up of plane figures, and the plane figure of lines.
Nor, again, is it true to say of a point that it is the smallest component of a line.
For if it is the smallest component of a line, the “smallest” must be smaller than those things of which it is the smallest, but in the line there is nothing but points and lines, and a line is not greater than a point (any more than a plane figure can be called greater than a line), so that the smallest component of a line will not be a point.
Even if the point could be compared to the line, the word “smallest” can only be used of three terms, so that the point could not be the smallest component of a line. Also, there must be a third element in length beyond points and lines; for it is not composed of points. But if everything in space is either a point or a length or a plane figure or a solid, or is composed of these, and if the components of a line are in space (for a line is), and if there is neither a solid nor a plane figure nor any such thing in a line, there will be nothing in a given length besides points and lines.
Further, the term greater can only be applied to the following things in space — a length, a surface, or a solid, and a point is in space, but that which is in a length, besides points and lines, is none of the foregoing, so that the point cannot be the smallest component of a line.
Again, since the phrase “the smallest of the things in the house” is used without any reference to the size of the house, so also in other cases, nor will the smallest thing in a line have any reference to the line, so that the phrase smallest does not apply to the line.
Ma se un “ora” è principio e limite del tempo, e un punto sta in rapporto simile alla linea, il principio e la fine non possono essere continui per sé stessi, ma vi deve essere qualcosa in mezzo, cosicché né gli “ora” (nel tempo), né i punti (in una linea) potrebbero da sé soli formare un tutto continuo.
Inoltre, la linea è una certa grandezza, ma un aggregato di punti non produce alcuna grandezza, perché tale aggregato non riempie uno spazio maggiore. Infatti, quando una linea è aggiunta a una linea e accostata ad essa, la larghezza non aumenta.” Se, quindi, i punti costituiscono le linee, i punti, per quanto numerosi, occuperebbero uno spazio non maggiore, così che non potrebbero produrre una grandezza.
Inoltre, se tutti toccassero ogni punto, sia che il tutto fosse in contatto col tutto, o una parte con una parte, o il tutto con una parte, e poiché il punto è indivisibile, il contatto sarebbe il tutto col tutto. Ma il tutto in contatto col tutto deve produrre un’unità. Poiché se alcuna cosa appartiene all’uno, la quale non appartiene all’altro, allora il tutto non è in contatto col tutto. Ma se le parti indivisibili sono tutte in un medesimo luogo, allora più cose occupano lo stesso spazio che era prima occupato da un’unità; poiché nel caso di due cose, le quali stanno insieme e tuttavia non hanno alcun potere di estensione, lo stesso spazio deve servire per entrambe. Ma poiché ciò che non ha parti non può avere dimensioni, nulla composto di unità senza parti può produrre una grandezza continua. Onde segue che una linea non può essere fatta di una serie di punti, né un tempo di una serie di “ora”.
Inoltre, se una linea fosse composta di punti, un punto sarebbe in contatto con un punto. Si supponga che da K siano tracciate due linee AB e TA, tanto il punto che termina ΔK quanto il punto che termina KΔ si incontreranno in K, così che i due punti saranno in contatto A l’uno con l’altro; poiché l’indivisibile tocca l’indivisibile, come un intero tocca un intero. Cosicché occuperà lo stesso spazio di K, e i punti saranno in contatto gli uni con gli altri nello stesso luogo. Al contrario, se sono nello stesso luogo, devono essere in contatto; poiché in primo luogo le cose che sono nello stesso spazio devono toccarsi, e, se è così, la linea retta tocca una linea retta in due punti. Poiché il punto in AK tocca entrambi i punti in KΓ, e anche un altro (cioè, il punto successivo in AΓ che occupa lo stesso luogo di K). Cosicché AK tocca TA in più di un punto. E lo stesso argomento si applica non soltanto a due linee in contatto, ma a un numero qualsiasi.
Di nuovo, la circonferenza di un cerchio toccherebbe la tangente in più punti di uno. Poiché sia il punto sulla circonferenza sia il punto sulla tangente toccano il punto di contatto, e l’un l’altro. Se questo è impossibile, allora un punto non può toccare un punto; ma se non può, allora una linea non può consistere di punti; altrimenti sarebbe in contatto.
Di nuovo, in che modo ciò influirà sulla questione delle linee rette e delle curve? Poiché non può esservi alcuna differenza tra il contatto dei punti nella linea retta e nella linea curva. Infatti la linea senza parti tocca una linea simile per tutta la sua lunghezza, e non può toccarla in nessun altro modo. Se, dunque, vi sono linee di generi diversi e nessun genere diverso di contatto, una linea non dipenderà dagli elementi della sua costruzione, e quindi non dipende dai punti.
Di nuovo, i punti devono o essere in contatto tra loro o non esserlo. Se sono in contatto in serie, l’argomento è lo stesso; se è possibile che la serie sia continua senza contatto, tuttavia per continuo non intendiamo altro se non qualcosa le cui parti componenti sono in contatto, cosicché anche in questa supposizione i punti devono toccarsi, o anche la linea non può essere descritta come continua.
Inoltre, se è assurdo porre un punto su un punto per produrre una linea, e una linea su un punto per produrre una superficie piana, ciò che essi dicono non può essere vero. Poiché se uno dei due punti è continuo, la linea non sarà tagliata in alcuno dei punti, ma in mezzo ad essi; se, d’altra parte, si toccano, la linea sarà nel luogo di un punto, e questo è impossibile.
Inoltre, tutte le figure geometriche potrebbero essere divise e risolte in punti, e un punto sarebbe parte di un solido (cioè avrebbe tre dimensioni), poiché il solido è costruito a partire dalla figura piana, la figura piana dalle linee, e le linee dai punti. Ma se ogni cosa consiste dei suoi elementi originari, allora i punti sarebbero gli elementi dei corpi solidi. Sicché gli elementi avrebbero lo stesso nome, e non sarebbero differenti per genere.
È quindi chiaro da quanto abbiamo già detto che la linea non è composta di punti. Né il punto può essere separato dalla linea. Infatti, se può essere così separato, può anche essere aggiunto. Ma, quando qualcosa viene aggiunto, ciò a cui viene aggiunto sarà maggiore di quanto non fosse all’inizio, se l’aggiunta è di tal genere da formare un’unità completa. Allora una linea sarà maggiore di un’altra di un punto. Ma questo è impossibile. È impossibile, cioè, in sé, ma incidentalmente è possibile togliere un punto da una linea, per il fatto che esso esiste nella linea tolta. Infatti, se si toglie il tutto, si devono togliere anche il principio e la fine, e il principio e la fine di una linea sono un punto. Se, dunque, è possibile togliere una linea da una linea, deve essere possibile togliere un punto. Ma questo togliere un punto è soltanto incidentale. Ma se la fine tocca la linea di cui è la fine — cioè o tocca la linea stessa, o una qualsiasi parte di essa — e il punto la tocca anch’esso in virtù del fatto di essere la fine di una linea, — allora una linea sarà maggiore di un’altra di un punto, e un punto consisterà di punti; poiché non può esserci nulla in mezzo a due cose che si toccano.
Lo stesso argomento si applicherà alla divisione, se la divisione è di un punto e se la divisione tocca qualcosa, tanto nella figura solida quanto nella piana; proprio nello stesso modo il solido è composto di figure piane, e la figura piana di linee.
Né, ancora, è vero dire di un punto che esso è la più piccola componente di una linea.
Poiché se essa è la minima parte di una linea, il “minimo” deve essere minore di quelle cose di cui è il minimo, ma nella linea non vi è nulla se non punti e linee, e una linea non è maggiore di un punto (non più di quanto una figura piana possa dirsi maggiore di una linea), sicché la minima parte di una linea non sarà un punto.
Anche se il punto potesse essere paragonato alla linea, la parola “minimo” può essere usata solo di tre termini, cosicché il punto non potrebbe essere il minimo componente di una linea. Inoltre, nella lunghezza deve esserci un terzo elemento oltre ai punti e alle linee; poiché essa non è composta di punti. Ma se tutto ciò che è nello spazio è o un punto o una lunghezza o una figura piana o un solido, o è composto di questi, e se i componenti di una linea sono nello spazio (poiché una linea lo è), e se in una linea non c’è né un solido né una figura piana né alcuna cosa siffatta, non ci sarà nulla in una data lunghezza oltre a punti e linee.
Inoltre, il termine ‘maggiore’ può essere applicato soltanto alle seguenti cose nello spazio — una lunghezza, una superficie o un solido; e un punto è nello spazio, ma ciò che è in una lunghezza, oltre a punti e linee, non è nessuna delle suddette cose, cosicché il punto non può essere la più piccola componente di una linea.
Inoltre, poiché l’espressione “la più piccola delle cose in casa” è usata senza alcun riferimento alla grandezza della casa, così anche in altri casi, né la cosa più piccola in una linea avrà alcun riferimento alla linea, cosicché l’espressione “più piccolo” non si applica alla linea.
Further, if that which is not” in the house cannot be the smallest of the things in the house, just in the same way in other cases (for a point can exist by itself) it will not be true to say of the point that it is the smallest thing in the line.
Again, the point is not an indivisible joint; for the joint is the limit of two things, but the point is the limit of a single line. Again, the point is an end, but the joint is more a division. Again, the line and plane figure are joints; for they have some analogy with it. Again, the joint is in a sense connected with movement, wherefore Empedocles wrote the line “A joint binds two things”; but a point is among the immovable things. Again, no one has an infinite number of joints in the body, or in the hand, but they have an infinite number of points. Again, there can be no joints in a stone, nor has it any, but it has points.
Inoltre, se ciò che non è nella casa non può essere la minima delle cose nella casa, così anche negli altri casi (infatti un punto può esistere da sé) non sarà vero dire del punto che esso è la minima cosa nella linea.
Inoltre, il punto non è una giuntura indivisibile; poiché la giuntura è il limite di due cose, ma il punto è il limite di una sola linea. Inoltre, il punto è un termine, ma la giuntura è piuttosto una divisione. Inoltre, la linea e la figura piana sono giunture; poiché hanno qualche analogia con essa. Inoltre, la giuntura è in un certo senso connessa con il movimento, perciò Empedocle scrisse il verso: “Una giuntura lega due cose”; ma il punto è tra le cose immobili. Inoltre, nessuno ha un numero infinito di giunture nel corpo, o nella mano, ma si ha un numero infinito di punti. Inoltre, non possono esserci giunture in una pietra, né essa ne ha, ma ha punti.