Descartes
Abstract
A posthumous mathematical fragment on trigonometry and circular chords, with tables for computing a triangle’s angles from its sides. A pure exercise in analytic geometry, with no philosophical content.
Connections
Concetti: infinito
Testo originale francese · Arvensa Editions · pubblico dominio
Extrait
Connaissant la valeur de la corde dans un cercle, trouver la valeur de l’arc qu’elle sous-tend.
Je prends en général un cercle dont le rayon soit = 1, et j’y considère toutes les cordes qui sous-tendent des arcs dont la valeur, en parties, de la circonférence, est connue, de cette manière :
La corde de la moitié de la demi-circonférence
Mais peut-être ces expressions peuvent-elles être simplifiées, comme par exemple la valeur de 13/15 peut se réduire à :
Et cette table peut être continuée à l’infini, si l’on continue à chercher la valeur de la corde de la moitié de chaque arc, d’après la valeur de la corde de l’arc entier, de la manière suivante :
Soit a la corde d’une partie de la circonférence, la corde de la moitié de cette partie sera :
la corde du supplément sera :
Au moyen de cette seule règle on exprime en nombres tous les sinus que la géométrie peut trouver.
Cette table étant donc formée, si un triangle est donné dont on veuille trouver les angles, je décris un triangle qui lui soit semblable dans le cercle dont le rayon est = 1, et ensuite je regarde à quels nombres correspondent, dans notre table, les côtés de celui-ci ; et s’ils ne correspondent à aucun des nombres de notre table, alors nous affirmerons démonstrativement que nul des angles du triangle donné ne peut se trouver par la géométrie simple. Ou bien, d’une autre manière, je cherche la différence entre le carré de la base et la somme des carrés des côtés, et si je ne trouve qu’elle soit au rectangle compris entre les deux côtés du triangle donné, dans le même rapport que l’un des nombres de notre table est à l’unité, nous prononcerons affirmativement que cet angle (c’est-à-dire l’angle compris entre les deux côtés) ne peut se trouver par la géométrie simple : ou bien :
De là nous pouvons déduire la progression de la table de Pythagore à tous les angles : car comme dans le triangle rectangle le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, ainsi dans le triangle où l’angle au sommet est de 60° le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins le rectangle compris entre ceux-ci ; et dans le triangle où l’angle au sommet est le supplément de l’angle de 60°, c’est-à-dire est de 120°, le carré de la base excède la somme des carrés des côtés d’une quantité égale à ce même rectangle ; car la corde du supplément est dans notre table :
De la même manière dans le triangle dont l’angle au sommet est de 45°, le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins une quantité moyenne proportionnelle entre le rectangle compris entre les deux côtés et un rectangle double ; et dans le triangle dont l’angle au sommet est le supplément de l’angle de 45°, c’est-à-dire est de 135°, le carré de la base excède de cette même quantité la somme des carrés des côtés ; car la corde du supplément est :
De la même manière dans le triangle dont l’angle au sommet est de 30°, le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins une moyenne proportionnelle entre le rectangle compris entre les côtés et un rectangle triple, et dans le triangle ayant pour angle au sommet le supplément de l’angle de 30, le carré de la base surpasse la somme des carrés des côtés de la même quantité ; car la corde du supplément est :
Et généralement dans tout triangle aigu le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins le rectangle compris entre les côtés, multiplié par le nombre qui exprime, dans notre table, la corde du supplément.
Et plus généralement encore, dans tout triangle bdc, le carré de la base bc est excédé par la somme des carrés des côtés d’une quantité qui doit être au rectangle compris entre ceux-ci, comme le rectangle compris entre les lignes be et ea (dont l’une, c’est-à-dire be, est la corde du supplément, et l’autre, c’est-à-dire ea, est le rayon du cercle circonscrit au triangle donné) est au carré de la ligne ea ; ou bien comme be est à ea ; c’est-à-dire, soit ea à be comme le rectangle bdc à un quatrième terme que nous nommerons A, je dis que :
Au contraire, dans le triangle obtus bfc, le carré de la base surpasse la somme des carrés des côtés de cette même quantité.
Un triangle étant donné, on trouve aisément le diamètre du cercle circonscrit au moyen de la proportion suivante : comme la perpendiculaire bd est à l’un des côtés, ainsi l’autre côté est au diamètre cherché.
N. B. ac est la base, ab et bc les côtés.
On tire de ce qui a été dit ci-dessus le théorème suivant : si, deux triangles inégaux et dissemblables étant donnés, la différence entre le carré de la base et la somme des carrés des côtés est au rectangle compris entre les côtés dans le même rapport dans l’un que dans l’autre, les angles opposés à la base sont égaux dans les deux triangles (pourvu que la sommé des carrés excède dans tous les deux le carré de la base, ou en soit excédée dans tous les deux ; mais si elle excède dans l’un et est excédée dans l’autre, alors les angles opposés à la base sont le supplément l’un de l’autre).
Dans les triangles dont on peut exprimer tous les côtés en nombres rationnels, on peut aussi exprimer en nombres rationnels tous les angles, en prenant pour quantité de l’angle le rapport entre le rectangle compris entre les côtés et la différence dont le carré de la base opposée à l’angle surpasse la somme des carrés des côtés, ou en est surpassé. Elle la surpasse, si l’angle cherché est plus grand qu’un droit ; elle en est surpassée, s’il est moindre ; et il faut indiquer cela par quelque marque : comme, par exemple, dans le triangle dont les côtés sont 3, 8, 9, l’angle abc est ; l’angle cab est 9/17 ; l’angle acb est 27/26 ; l’angle acb est 3/1 + 0. Où il faut remarquer que je mets toujours au-dessus le nombre qui résulte de la multiplication des côtés, et au-dessous celui qui résulte de la différence entre le carré de la base et ceux des côtés ; et lorsque le carré de la base surpasse ceux des côtés, j’ajoute + 0, pour faire voir que l’angle est plus grand qu’un droit, car cet 0 est le nombre exposant de l’angle droit.
Tout nombre se compose ou d’un, ou de deux, ou de trois nombres triangulaires ; et encore il se compose ou d’un, ou de deux, ou de trois, ou de quatre nombres carrés ; et encore ou d’un, ou de deux, ou de trois, ou de quatre, ou de cinq pentagones ; et encore, ou d’un, ou de deux, ou de trois, ou de quatre, ou de cinq, ou de six nombres hexagones ; et ainsi à l’infini.
Si l’on multiplie par 8 un nombre triangulaire quelconque, et qu’on ajoute une unité au produit, le résultat est un nombre carré. Ce qui se démontre aisément. Car tout nombre triangulaire est exprimé par :
ce qui multiplié par 8 devient :
Ou :
à quoi si l’on ajoute 1, l’on a :
dont la racine est :
DES PARTIES ALIQUOTES DES NOMBRES.
Pour résoudre les questions sur les parties aliquotes des nombres, nous les imaginons composés ou de nombres premiers ou de puissances de nombres premiers, ou du produit de celles-ci par ceux-là. D’abord, nul nombre premier n’a de parties aliquotes, sinon l’unité. Les parties aliquotes d’une puissance quelconque d’un nombre premier, comme :
C’est-à-dire cette puissance moins l’unité, divisée par sa racine moins l’unité. Si nous voulons trouver les parties aliquotes d’un nombre premier, multiplié par un autre nombre dont on connaisse déjà les parties aliquotes ; par exemple, si les parties aliquotes de a sont b, et que x soit un nombre premier, les parties aliquotes de :
Si maintenant nous voulons trouver les parties aliquotes d’une puissance d’un nombre premier multipliée par une autre puissance d’un autre nombre (premier aussi), et que l’une de ces deux quantités soit an et l’autre c°, les parties aliquotes de an c° seront :
Si nous cherchons les parties aliquotes d’une puissance quelconque d’un nombre premier multipliée par un autre nombre dont on connaît les parties aliquotes, et qui, bien qu’il ne soit premier en lui-même, est néanmoins premier à l’égard de la puissance qu’il multiplie, soit la première quantité xn et la seconde a dont les parties aliquotes sont b, les parties aliquotes de la quantité axn seront :
Extract
Knowing the value of the chord in a circle, determine the value of the arc it subtends.
I generally take a circle with a radius of 1, and consider all the chords that form arcs whose portion of the circumference is known. I do this in the following way:
The string that represents half of the semi-circle’s circumference.
But perhaps these expressions can be simplified; for example, the value of 13/15 can be reduced to:
And this sequence can be continued infinitely, if we continue to determine the value of the string corresponding to half of each arch, based on the value of the string of the entire arch, in the following manner:
Either at one half of the circumference’s length, or at the length corresponding to half of that part.
The string for the supplement will be:
With this single rule, it is possible to express in numerical form all the sines that geometry can determine.
Since this table has thus been established, if a triangle is given for which we wish to find the angles, I describe a similar triangle within a circle whose radius is equal to 1, and then I determine which numbers in our table correspond to the sides of that triangle. If none of these numbers match, we can then demonstrate conclusively that no angle of the given triangle can be determined using simple geometry. Alternatively, I calculate the difference between the square of the base and the sum of the squares of the sides; if this difference corresponds precisely to the ratio of one of the numbers in our table to the unit, we can affirm that the angle corresponding to this ratio (i.e., the angle between the two given sides) cannot be determined through simple geometry.
From this, we can deduce the progression of Pythagorean triples for all angles: just as in a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two sides; similarly, in a triangle where the angle at the vertex is 60°, the square of the base is equal to the sum of the squares of the two sides minus the area of the rectangle formed by these sides; and in a triangle where the angle at the vertex is the complement of 60°, that is, 120°, the square of the base exceeds the sum of the squares of the two sides by an amount equal to the area of that same rectangle. For indeed, the relationship concerning the complement angles is directly stated in our table.
In the same way, in a triangle whose vertex angle is 45°, the square of the base is equal to the sum of the squares of the sides, minus a quantity that is proportional to both the rectangle enclosed by the two sides and a rectangle with twice the dimensions; and in a triangle whose vertex angle is the complement of 45°, that is, 135°, the square of the base exceeds the sum of the squares of the sides by exactly the same amount; because the length corresponding to the complementary angle is.
In the same way, in a triangle whose vertex angle is 30°, the square of the base is equal to the sum of the squares of the sides, minus a proportional mean between the rectangle enclosed by the sides and a rectangle with three times the dimensions of those sides; and in a triangle whose vertex angle is the supplement of the 30° angle, the square of the base exceeds the sum of the squares of the sides by the same amount, because the length corresponding to the supplementary angle is.
And generally, in any acute triangle, the square of the base is equal to the sum of the squares of the sides, minus the area of the rectangle formed by the sides, multiplied by the number that, in our table, corresponds to the length of the supplementary side.
And more generally still, in any triangle bdc, the square of the base bc is exceeded by the sum of the squares of its sides by a quantity that must be equal to the area of the rectangle enclosed by those sides. Just as the rectangle enclosed by the lines be and ea (of which one side, be, represents the chord of the supplementary angle, and the other, ea, represents the radius of the circle circumscribing the given triangle) is equal to the square of the line ea; or alternatively, just as be is to ea. In other words, either ea is to be as the rectangle bdc is to some fourth term that we will call A.
On the contrary, in the obtuse triangle bfc, the square of the base exceeds the sum of the squares of the sides by exactly that amount.
Given a triangle, the diameter of the circumscribed circle can be easily determined using the following proportion: just as the perpendicular bd is related to one of the sides of the triangle, so also the other side is related to the desired diameter.
N.B.: ac represents the base, while ab and bc represent the sides.
The following theorem can be derived from what has been stated above: If, given two unequal and distinct triangles, the difference between the square of the base and the sum of the squares of the sides is in the same proportion to the rectangle formed by these sides in one triangle as it is in the corresponding triangle, then the angles opposite the base are equal in both triangles (provided that the sum of the squares of the sides exceeds the square of the base in both triangles; or if it exceeds the square of the base in one triangle and falls short of it in the other, then the angles opposite the base are supplementary to each other).
In triangles whose sides can all be expressed as rational numbers, it is also possible to express all angles as rational numbers. To do this, one takes the ratio between the area of the triangle formed by the sides and the difference between the square of the base opposite the angle in question and the sum of the squares of the other two sides. If this difference is positive, it means the angle is greater than a right angle; if it is negative, the angle is less than a right angle. This distinction must be indicated explicitly. For example, in a triangle with sides measuring 3, 8, and 9: the angle abc is,; the angle cab is 9/17; the angle acb is 27/26; the angle acb is also equal to 3/1 + 0. It should be noted that I always place above the result obtained by multiplying the sides and below the result obtained from the difference between the square of the base and the squares of the sides. When the square of the base exceeds the sums of the squares of the sides, I add +0 to indicate that the angle is greater than a right angle—since this 0 represents the exponent of the right angle in terms of rational numbers.
Every number is composed either of one, two, or three triangular numbers; likewise, it can be composed of one, two, three, four square numbers; or one, two, three, four, five pentagonal numbers; or one, two, three, four, five, six hexagonal numbers; and so on ad infinitum.
If any triangular number is multiplied by 8 and then 1 is added to the result, the outcome is a square number. This can be easily demonstrated, because every triangular number can be expressed as follows:
what, when multiplied by 8, becomes:
Ou :
If we add 1 to that, we get:
whose root is.
Certain parts of numbers.
To address questions regarding the aliquot parts of numbers, we imagine them to be composed either of prime numbers or of powers of prime numbers, or of a combination of both. Firstly, no prime number has any aliquot parts except for the unit itself. The aliquot parts of any power of a prime number are, for example:
That is to say, this power minus one, divided by its root minus one. If we want to find the aliquots of a prime number multiplied by another number for which the aliquots are already known; for example, if the aliquots of a are b, and x is a prime number, then the aliquots of:
If we now wish to find the aliquot parts of one power of a prime number multiplied by another power of another prime number, and if one of these two quantities is a and the other is b, then the aliquot parts of a divided by b will be:
If we seek the aliquots of some power of a prime number multiplied by another number for which the aliquots are known, and which, although not prime in itself, is still prime with respect to the power it multiplies—let the first quantity be xn and the second be a, whose aliquots are b—then the aliquots of the quantity axn will be:
Estratto
Dato il valore della corda in un cerchio, determinare il valore dell’arco che essa sostiene.
Di solito utilizzo un cerchio il cui raggio è pari a 1 e considero tutte le corde che delimitano archi i cui valori, in termini di porzioni della circonferenza, sono noti.
Il cordone della metà della semicirconferenza
Ma forse queste espressioni possono essere semplificate; ad esempio, il valore di 13/15 può essere ridotto a.
E questa sequenza può essere prolungata all’infinito, se continuiamo a calcolare il valore della corda che rappresenta metà di ogni arco, in base al valore della corda dell’arco intero, nel seguente modo:
Se si prende una corda che rappresenta una parte della circonferenza, allora la corda che rappresenta metà di quella stessa parte avrà.
La corda del supplemento sarà:
Con questa singola regola si possono esprimere in termini numerici tutti i seni che la geometria è in grado di calcolare.
Poiché questa tavola è stata così formata, se ci viene dato un triangolo il cui angoli si vogliono determinare, io descrivo un triangolo simile a quello dato nel cerchio il cui raggio è uguale a 1; successivamente controllo quali numeri della nostra tavola corrispondono ai lati di questo nuovo triangolo. Se tali numeri non corrispondono a nessuno degli elementi presenti nella tavola, allora affermeremo in modo dimostrativo che nessuno degli angoli del triangolo dato può essere determinato tramite i metodi della geometria semplice. Oppure, in un altro modo: calcolo la differenza tra il quadrato della base e la somma dei quadrati dei lati; se questa differenza corrisponde esattamente al rapporto tra uno dei numeri presenti nella tavola e l’unità, allora affermeremo con certezza che tale angolo non può essere determinato tramite i metodi della geometria semplice.
Da ciò possiamo dedurre la progressione della tavola di Pitagora per tutti gli angoli: poiché, come nel triangolo rettangolo il quadrato della base è uguale alla somma dei quadrati dei lati, così anche nel triangolo in cui l’angolo al vertice è di 60° il quadrato della base è uguale alla somma dei quadrati dei lati, meno il rettangolo formato tra questi ultimi; e nel triangolo in cui l’angolo al vertice è l’aggiuntivo dell’angolo di 60°, cioè 120°, il quadrato della base supera la somma dei quadrati dei lati di una quantità uguale a quel stesso rettangolo; poiché la corda dell’aggiuntivo è inclusa nella nostra tavola.
Allo stesso modo, nel triangolo il cui angolo alla sommità è di 45°, il quadrato della base è uguale alla somma dei quadrati dei lati, meno una quantità media proporzionale tra il rettangolo compreso tra i due lati e un rettangolo doppio; e nel triangolo il cui angolo alla sommità è l’aggiuntivo dell’angolo di 45°, cioè 135°, il quadrato della base supera di questa stessa quantità la somma dei quadrati dei lati; poiché la corda dell’aggiuntivo è.
Allo stesso modo, nel triangolo il cui angolo alla sommità è di 30°, il quadrato della base è uguale alla somma dei quadrati dei lati, meno una media proporzionale tra il rettangolo compreso tra i lati e un rettangolo triplo; e nel triangolo il cui angolo alla sommità è pari all’aggiunta di 30° all’angolo di 30°, il quadrato della base supera la somma dei quadrati dei lati di quella stessa quantità; poiché la corda dell’aggiunta è.
E in generale, in ogni triangolo acuto, il quadrato della base è uguale alla somma dei quadrati dei lati, meno il rettangolo formato dai lati moltiplicato per il numero che, nella nostra tabella, indica l’altezza supplementare del triangolo.
E, in modo ancora più generale, in ogni triangolo bdc, il quadrato della base bc è superato dalla somma dei quadrati dei lati di una quantità che deve essere proporzionale al rettangolo compreso tra tali lati; proprio come il rettangolo compreso tra le rette be ed ea (di cui una, cioè be, rappresenta la corda del supplemento, e l’altra, cioè ea, rappresenta il raggio del cerchio circoscritto al triangolo dato) è proporzionale al quadrato della retta ea; oppure come be è proporzionale a ea; in altre parole, sia ea rispetto a be quanto il rettangolo bdc rispetto a un quarto termine che chiameremo A, allora.
Al contrario, nel triangolo ottuso bfc, il quadrato della base supera la somma dei quadrati dei lati di esattamente quella stessa quantità.
Data una triangolo, è possibile determinare facilmente il diametro del cerchio circoscritto utilizzando la seguente proporzione: così come la perpendicolare bd è in relazione a uno dei lati del triangolo, allo stesso modo l’altro lato è in relazione al diametro cercato.
Nota: “ac” rappresenta la base, mentre “ab” e “bc” indicano i lati.
Si può dedurre dal discorso precedente il seguente teorema: se, dati due triangoli disuguali e diversi, la differenza tra il quadrato della base e la somma dei quadrati dei lati è, nel primo come nel secondo, uguale al prodotto dei lati del rettangolo formato dai lati di quei triangoli, allora gli angoli opposti alla base sono uguali nei due triangoli (a condizione che la somma dei quadrati dei lati sia maggiore del quadrato della base in entrambi i casi; se invece è maggiore nel primo e minore nel secondo, allora gli angoli opposti alla base sono complementari l’uno rispetto all’altro).
Nei triangoli i cui lati possono essere espressi con numeri razionali, anche tutti gli angoli possono essere espressi con numeri razionali; per calcolare un angolo, si utilizza il rapporto tra il rettangolo formato dai lati del triangolo e la differenza tra il quadrato della base opposta a quell’angolo e la somma dei quadrati dei lati. Questa differenza è maggiore se l’angolo cercato è maggiore di un angolo retto, minore se è minore; tale differenza deve essere indicata con un simbolo specifico. Ad esempio, nel triangolo i cui lati sono 3, 8, 9: l’angolo abc ha valore 27/26; l’angolo cab ha valore 9/17; l’angolo acb ha valore 3/1 + 0. È importante notare che sempre metto sopra il numero ottenuto moltiplicando i lati e sotto quello derivante dalla differenza tra il quadrato della base e i quadrati dei lati; inoltre, quando il quadrato della base è maggiore dei quadrati dei lati, aggiungo +0 per indicare che l’angolo è maggiore di un angolo retto, poiché questo 0 rappresenta l’esponente dell’angolo retto.
Ogni numero si compone o di uno, o di due, o di tre numeri triangolari; inoltre, si compone o di uno, o di due, o di tre, o di quattro numeri quadrati; ancora, si compone o di uno, o di due, o di tre, o di quattro, o di cinque numeri pentagonali; e così via, fino all’infinito.
Se si moltiplica per 8 qualsiasi numero triangolare e si aggiunge un’unità al prodotto, il risultato è un numero quadrato. Ciò si dimostra facilmente, poiché ogni numero triangolare può essere espresso come.
Ciò, moltiplicato per 8, diventa:
Ou :
Se vi si aggiunge 1, si ottiene:
la cui radice è:
Alcune parti dei numeri.
Per risolvere i problemi relativi alle parti aliquote dei numeri, li immaginiamo composti da numeri primi o da potenze di numeri primi, oppure dal prodotto di tali potenze. Innanzitutto, nessun numero primo ha parti aliquote, se non l’unità stessa. Le parti aliquote di una qualsiasi potenza di un numero primo sono.
In altre parole, questa potenza meno l’unità, divisa per la sua radice meno l’unità. Se vogliamo trovare le parti alquotate di un numero primo moltiplicato per un altro numero il cui risultato abbia già delle parti alquotate note; ad esempio, se le parti alquotate di a sono b, e x sia un numero primo, allora le parti alquotate di ax saranno.
Se ora vogliamo trovare le parti alquotate di una potenza di un numero primo moltiplicata per un’altra potenza di un altro numero (anch’esso primo), e supponiamo che una di queste due quantità sia “a” e l’altra “b”, allora le parti alquotate di “a” divisa per “b” saranno:
Se cerchiamo le parti alquotate di una data potenza di un numero primo moltiplicata per un altro numero il cui prodotto presenta parti alquotate note, e che, sebbene non sia lui stesso un numero primo, lo è comunque rispetto alla potenza con la quale viene moltiplicato, allora le parti alquotate della quantità axn saranno:
Si nous avons deux nombres premiers entre eux, et leurs parties aliquotes, nous ayons aussi les parties aliquotes de leur produit ; comme si l’un des nombres est a et ses parties aliquotes b, l’autre nombre c, et ses parties aliquotes d, les parties aliquotes de ac seront :
Et il n’y a rien de neuf en cette matière qu’on ne puisse trouver à l’aide des théorèmes que je mets ici.
Si nous cherchons un cube et un carré égaux à un carré, nous avons 13824, 100, et 13924, dont les racines sont 24, 10, 118 ; et encore 27, 9, 36 ; et d’autres, à l’infini. N. B. J’ai trouvé une solution très aisée :
Partant :
et :
D’où l’on tire une infinité de valeurs pour x.
Pour extraire la racine cubique du binôme :
je cherche la racine de cette équation :
si a2 est plus grand que b ; l’ayant trouvée, je la multiplie par 3, j’y ajoute 2a, et la moitié de la racine cubique de cette somme est le premier terme de la racine cherchée. Si a3 est moindre que b, je cherche la racine de cette équation :
je la multiplie par 3 et je soustrais ce produit de 24 ; la moitié de la racine cubique de cette différence est le premier terme que je cherche. Ensuite je soustrais de a le cube de ce premier terme, et je divise la différence par le triple de ce même premier terme : la racine carrée du quotient est le second terme cherché.
Ainsi, ayant à trouver la racine cubique de :
J’ai :
dont la racine est 4, qui, multipliée par 3, devient 12 ; ajoutant 20, j’ai 32, dont la racine cubique est :
divisant par 2, j’obtiens :
pour premier terme. Ensuite 4 étant soustrait de 10, reste 6, que je divise par :
Le quotient est :
Dont la racine carrée est :
, pour le second terme
Et voulant trouver la racine cubique de :
, j’ai
dont la racine est 1. Je la multiplie par 3 et soustrais de de 4 le produit ; reste 1, dont la racine cubique est 1, et la moitié de celle-ci, 1/2, pour premier terme. Ensuite je soustrais le cube de 1/2 qui est 1/8, de 2, et j’ai 15/8, que je divise par 3/2, et le quotient est 5/4, dont la racine est :
, pour le second terme. Et ainsi des autres.
En général, pour trouver la racine cubique d’un binôme, j’appelle c le plus grand des deux termes qui le composent, et d le moindre, et j’extrais la racine de l’équation :
Je multiplie cette racine par 3, j’y ajoute 2c, et la moitié de la racine cubique de cette somme est une des parties de la racine cherchée. Je divise c par cette première partie, je soustrais du quotient le carré de cette même première partie, et le tiers de la différence qui en résulte est l’autre partie de la racine.
Pour carrer le cercle, je ne trouve rien de meilleur que d’ajouter au carré donné bf le rectangle cg compris entre les lignes ac, cb, et égal à la quatrième partie du carré bf ; puis, le rectangle dh, compris entre les lignes da, de, et égal à la quatrième partie du rectangle précédent ; puis, de la même manière, le rectangle ei, et ainsi à l’infini jusqu’à x ; rectangles qui tous, pris ensemble, équivaudront au tiers du carré bf, et la ligne ax sera le diamètre du cercle dont la circonférence est égale au périmètre de ce carré bf ; ac est le diamètre du cercle inscrit dans l’octogone isopérimètre au carré bf ; ad, le diamètre du cercle inscrit dans le polygone régulier de seize côtés isopérimètre au même carré bf, ae le diamètre du cercle inscrit dans le polygone de 32 côtés, et ainsi à l’infini.
Les courbes dont nous cherchons les tangentes ont leurs propriétés exprimées par des rapports ou de lignes droites seulement, ou de lignes courbes avec des droites ou d’autres courbes. Soit, par exemple, la courbe HRIC, dont C soit le sommet, CF l’axe ; et ayant décrit le demi-cercle COMG, soit pris un point quelconque dans la courbe, comme B, duquel il faut tirer la tangente RB. Du point B abaissons une perpendiculaire RMD sur la droite CDF, qui coupera le demi-cercle en M. Soit donc la propriété spécifique de la courbe, que la droite RD soit égale à la portion CM du cercle, plus l’ordonnée DM. Du point M soit tirée la droite MA tangente au cercle, et du point E la droite EOVIN parallèle à la droite RMD. Supposons trouvé ce que nous cherchons, et soit la droite DB, que l’on cherche,
, trouvée par construction, la portion de cercle
Établissons la proportion :
C’est-à-dire :
La droite doit donc être égalée à OE - +- CM - MO ; mais si nous voulons transformer ces termes en expressions analytiques pour la ligne OE, pour éviter l’asymétrie (les radicaux), considérons la droite EV comme ordonnée à la tangente, et pour la courbe MO prenons la portion de tangente MV qui est adjacente à cette même MO. Et pour trouver l’expression analytique de EV, faisons DA : AE : MD : EV,
C’est-à-dire :
pour trouver ensuite l’expression de MV, faisons :
C’est-à-dire :
La portion de cercle CM, que nous avons nommée n, est égale à z —r ; nous avons donc l’équation :
et
C’est-à-dire :
,
ou bien :
et la droite RB est tangente.
Soit le quart de cercle AIB, et la quadratrice AMC, à laquelle il faut tirer une tangente au point M ; ayant joint MI, du point I comme centre, avec le rayon IM, que l’on décrive le quart du cercle ZMD, que l’on abaisse la perpendiculaire MN, et qu’on fasse la proportion, la droite IM à la droite MN, comme la portion de cercle MD à la droite NO : la droite MO sera tangente à la quadratrice.
Si l’on donne l’équation ou bien
qu’il faille délivrer de l’asymétrie et réduire à une équation ordonnée, on peut faire cela aisément au moyen de trois multiplications, et le résultat prend la forme suivante :
où l’on a mis seulement un terme de chaque espèce, pour abréger, et au-dessous de chacun d’eux le nombre des individus de son espèce.
Mais si l’on propose de délivrer de l’asymétrie l’équation :
cela paraît difficile à quelques-uns qui ne font pas attention que le nombre des asymétries n’augmente pas par la multiplication, et que, par conséquent, on peut les faire disparaître toutes, en multipliant ; mais on en viendra à bout plus aisément au moyen de la formule précédente, en y substituant :
à la place de d, et le carré et le cube de cette même expression, à la place de d² et de d3 ; rassemblant ensuite dans un seul membre tous les termes affectés de :
de manière que, en élevant au carré toute l’équation, l’asymétrie disparaisse. Ou même on peut se contenter de chercher l’un des termes de chaque espèce pour avoir la forme générale de l’équation, qui est celle-ci :
Ainsi ce sont 18 espèces de termes, et le nombre des termes est 495. Et n’importe quels qu’aient été les signes des termes dans l’équation donnée, car celle-ci contient tous les cas possibles.
Étant donnés les points A, B, C, sur une ligne droite, trouver la courbe dont le sommet soit en A, dont l’axe soit B, et dont la courbure soit telle que les rayons qui y arrivent du point B, et qui s’y réfractent, continuent leur chemin comme s’ils venaient du point C ; ou au contraire.
Soit N le milieu entre. B et C : faisons NA = a, NB = b, CE - +- BE = 2a — 2y, et DA = x, entendant par x et y deux quantités indéterminées, dont l’une, restant indéterminée, désignera tous les points de la courbe, et l’autre sera déterminée par la manière dont la courbe doit être décrite. Pour trouver Cette manière, je cherche d’abord un point F, duquel, comme centre, j’imagine que soit décrit un cercle tangent à la courbe au point E ; ensuite je dis : la droite BE multipliée par FG est à CE multipliée par HF comme l’inclinaison du rayon réfracté dans l’un des milieux transparents est à l’inclinaison de ce même rayon dans l’autre.
Faisons maintenant NF = c, FE = d, deux quantités qu’il faudra trouver de ce que l’équation que donne le triangle rectangle FDE, dont les côtés sont déterminés, doit être égalée à celle-ci :
Faisant seulement la différence = x, et en même temps :
:
Ou bien :
If we have two prime numbers between which there are other integers that divide them evenly, then these same integers will also divide their product evenly. For example, if one of the numbers is a and its divisors are b, and the other number is c and its divisors are d, then the divisors of ac will also be.
And there is nothing new in this matter that cannot be found with the help of the theorems I present here.
If we look for a cube and a square that are both equal to a certain square, we find 13824, 100, and 13924; their roots are 24, 10, and 118 respectively, as well as 27, 9, and 36, and many others in fact. Note: I have found a very simple solution to this problem.
Starting from.
et :
From this, one can derive an infinite number of values for x.
To extract the cube root of the binomial:
I am looking for the root of this equation.
If a² is greater than b; having found it, I multiply it by 3, add 2a to it, and half of the cube root of this sum is the first term of the desired root. If a³ is less than b, then I seek the root of this equation.
I multiply it by 3 and then subtract that product from 24; half of the cube root of this difference is the first term I am looking for. Next, I subtract the cube of this first term from a, and then I divide the difference by three times this same first term; the square root of the quotient is the second term I am seeking.
Thus, in order to find the cube root of.
J’ai :
A number whose square root is 4; when multiplied by 3, it becomes 12; adding 20 to it gives me 32, and the cube root of 32 is.
When I divide by 2, I get:
As a first step. Then, when 4 is subtracted from 10, 6 remains, which I divide by.
The quotient is:
What is the square root of,?
, for the second term
And in attempting to find the cube root of.
, j’ai
A number whose square root is 1. I multiply it by 3 and then subtract the product from 4; what remains is 1, whose cube root is again 1, and half of that is 1/2, which becomes the first term. Next, I subtract the cube of 1/2, which is 1/8, from 2; I get 15/8, which I divide by 3/2, and the quotient is 5/4, whose square root is.
For the second term, and so on for the others.
Generally, to find the cube root of a binomial, I let c represent the larger of the two terms that make up the binomial, and d represent the smaller one, and then I solve for the root in the equation.
I multiply this root by 3, add 2c to the result, and half of the cube root of this sum is one of the parts of the desired root. I then divide c by this first part, subtract the square of this same first part from the quotient, and one-third of the resulting difference is the other part of the root.
To complete the construction of this circle, I find nothing better than to add the rectangle cg, which is bounded by the lines ac, cb, and is equal to one-fourth of the square bf; then, the rectangle dh, which is bounded by the lines da, de, and is also equal to one-fourth of the previous rectangle; and in the same manner, the rectangle ei, and so on ad infinitum until we reach the rectangle x. All these rectangles together will constitute two-thirds of the square bf, and the line ax will be the diameter of the circle whose circumference is equal to the perimeter of that square bf. The line ac is the diameter of the circle inscribed within the isoperimetric octagon with side length equal to the square root of bf; the line ad is the diameter of the circle inscribed within the regular sixteen-sided polygon with the same side length, and so on for polygons with 32 sides, and so forth ad infinitum.
The curves for which we seek the tangents have properties that can be expressed solely in terms of ratios or straight lines, or in terms of curved lines intersecting with straight lines or other curves. For example, consider the curve HRIC, where C is the vertex and CF is the axis; after describing the semicircle COMG, take any point on this curve, such as B, from which we need to draw the tangent RB. From point B, drop a perpendicular RMD onto the line CDF; this perpendicular will intersect the semicircle at point M. Therefore, a specific property of this curve is that the line RD is equal to the segment CM of the circle plus the ordinate DM. From point M, draw the line MA, which is tangent to the circle; from point E, draw the line EOVIN, which is parallel to the line RMD. Suppose we have found what we are looking for; let DB be the desired line.
That part of the circle, which is determined by the construction process.
Let us determine the ratio:
That is to say:
Therefore, the right-hand side must be equal to OE - +- CM - MO; but if we wish to express these terms in analytical form with respect to line OE, in order to avoid asymmetry (due to the radicals), let us consider the straight line EV as being perpendicular to the tangent. For the curve MO, we take the portion of the tangent MV that is adjacent to this same MO. And to find the analytical expression for EV, we set DA: AE: MD: EV.
That is to say:
To then find the expression for MV, let us do the following:
That is to say:
The portion of the circle CM, which we have named n, is equal to z – r; hence we have the equation:
et
That is to say:
,
or else:
and the right RB is tangent.
Let AB be a quarter of the circle ZMD, and let AMC be the corresponding square. Draw a tangent to this square at point M; join MI from point I as the center, using the radius IM as the diameter. Then draw the quarter of the circle ZMD, drop the perpendicular MN, and establish the proportion such that line IM is to line MN as the segment MD is to line NO: line MO will be tangent to the square AMC.
If we consider the equation, or alternatively.
In order to eliminate asymmetry and reduce it to a structured equation, this can be easily accomplished through three multiplications, and the result takes the following form:
where only one term for each species has been written in order to abbreviate, and below each of them the number of individuals belonging to that species.
But if we propose to eliminate asymmetry from the equation.
This seems difficult to some people who fail to realize that the number of asymmetries does not increase when multiplied, and that therefore it is possible to eliminate all of them by multiplication. However, it will be much easier to accomplish this using the previous formula, by substituting the appropriate values into it.
in place of ‘d’, and the square and cube of this same expression, in place of ‘d²’ and ‘d³’; then combining all terms that are affected by, into a single member.
In such a way that, by raising the entire equation to the power of two, the asymmetry disappears. Alternatively, one can simply seek one of the terms in each category to obtain the general form of the equation, which is as follows:
Thus, there are 18 types of terms in total, and the number of terms is 495. Moreover, regardless of what the symbols for these terms were in the given equation, it still encompasses all possible cases.
Given points A, B, and C on a straight line, find the curve such that its vertex is at point A, its axis is at point B, and whose curvature is such that the rays arriving from point B and refracting there continue their path as if they had originated from point C; or vice versa.
Let N be the midpoint between B and C: let NA = a, NB = b, CE ± BE = 2a – 2y, and DA = x, where x and y are two unspecified quantities. One of these quantities, remaining indeterminate, will designate all the points on the curve; the other will be determined by the manner in which the curve must be described. To find this manner, I first seek a point F such that, using it as a center, a circle can be drawn tangent to the curve at the point E. Then I state that the line BE, multiplied by FG, is to CE, multiplied by HF, as the inclination of the refracted ray in one of the transparent media is to the inclination of the same ray in the other medium.
Let us now denote NF as c and FE as d—two quantities that we need to determine. The equation derived from the right-angled triangle FDE, whose sides are already known, must be equal to this value.
It merely makes the difference equal to x; and at the same time.
:
Or else:
Se abbiamo due numeri primi tra loro, e le loro parti aliquote, allora avremo anche le parti aliquote del loro prodotto; come se uno dei numeri fosse a e le sue parti aliquote b, l’altro numero c e le sue parti aliquote d, allora le parti aliquote di ac saranno:
E in questa materia non c’è nulla di nuovo che non si possa trovare attraverso i teoremi che presento qui.
Se cerchiamo un cubo e un quadrato uguali a un altro quadrato, otteniamo i valori 13824, 100 e 13924; le loro radici sono rispettivamente 24, 10 e 118; esistono anche altre coppie come 27, 9 e 36, e così all’infinito. N.B.: Ho trovato una soluzione molto semplice.
Partendo da.
et :
Da ciò derivano infinite possibili valori per x.
Per estrarre la radice cubica del binomio:
Sto cercando la radice di questa equazione.
Se a² è maggiore di b; una volta trovata questa valore, la moltiplico per 3, vi aggiungo 2a, e metà della radice cubica di questa somma rappresenta il primo termine della radice cercata. Se a³ è minore di b, allora cerco la radice di questa equazione.
La moltiplico per 3 e poi sottraggo questo risultato da 24; metà della radice cubica di questa differenza rappresenta il primo termine che sto cercando. Successivamente sottraggo dal valore “a” il cubo di questo primo termine, e divido la differenza per il triplo dello stesso primo termine: la radice quadrata del quoziente costituisce il secondo termine che sto cercando.
Pertanto, per trovare la radice cubica di.
J’ai :
Il cui radicale è 4; moltiplicato per 3, diventa 12; aggiungendo 20, ottengo 32, il cui radicale cubico è.
Dividendo per 2, ottengo:
Per prima cosa. Successivamente, sottraendo 4 da 10, si ottiene 6; quindi dividiamo 6 per.
Il quoziente è:
La radice quadrata di, è:
, per quanto riguarda il secondo termine
E volendo trovare la radice cubica di.
, j’ai
Il cui radice è 1. Lo moltiplico per 3 e sottraggo dal risultato il prodotto di 1 e 4; rimane 1, il cui cubo radice è ancora 1, e metà di questo valore, ovvero 1/2, viene utilizzato come primo termine. Successivamente sottraggo il cubo di 1/2, che è 1/8, da 2; ottenendo così 15/8, che divido per 3/2; il quoziente è 5/4, il cui radice è.
Per il secondo termine. E così via per gli altri.
In generale, per trovare la radice cubica di un binomio, chiamo “c” il termine più grande dei due che lo compongono e “d” il termine più piccolo, e poi risolvo l’equazione per ottenere la radice.
Moltiplico questa radice per 3, vi aggiungo 2c, e metà della radice cubica di questa somma è una delle parti della radice cercata. Divido c con questa prima parte, sottraggo dal quoziente il quadrato di questa stessa prima parte, e un terzo della differenza risultante è l’altra parte della radice.
Per completare il cerchio, non trovo nulla di meglio che aggiungere al quadrato dato, bf, il rettangolo cg, compreso tra le linee ac, cb, e pari alla quarta parte del quadrato bf; poi, il rettangolo dh, compreso tra le linee da, de, e pari alla quarta parte del rettangolo precedente; e così via, all’infinito, fino a x. Tutti questi rettangoli, presi insieme, equivarranno al terzo del quadrato bf, e la linea ax sarà il diametro del cerchio la cui circonferenza è uguale al perimetro di quel quadrato bf; ac è il diametro del cerchio inscritto nell’ottagono isoperimetro con lato pari al quadrato bf; ad è il diametro del cerchio inscritto nel poligono regolare a sedici lati isoperimetro con lo stesso lato, ae è il diametro del cerchio inscritto nel poligono a 32 lati, e così via, all’infinito.
Le curve le cui tangenti cerchiamo hanno proprietà che possono essere espresse esclusivamente attraverso rapporti o linee rette, oppure attraverso linee curve e rette o altre curve. Prendiamo, ad esempio, la curva HRIC: sia C il suo vertice, CF l’asse; dopo aver descritto il semicerchio COMG, si prenda un punto qualsiasi sulla curva, come B, da cui bisogna tracciare la tangente RB. Dal punto B si traccia una perpendicolare RMD sulla retta CDF, che interseca il semicerchio in M. La proprietà specifica di questa curva è quindi che la retta RD sia uguale alla porzione CM del cerchio più all’ordinata DM. Dal punto M si traccia la retta MA, tangente al cerchio; dal punto E si traccia la retta EOVIN, parallela alla retta RMD. Supponiamo di aver trovato ciò che cercavamo: sia DB la retta che vogliamo determinare.
La porzione di cerchio, che è una conseguenza diretta della sua costruzione,
Stabiliamo questa proporzione:
In altre parole:
Pertanto, la retta deve essere uguale a OE – +- CM – MO; ma se vogliamo trasformare questi termini in espressioni analitiche relative alla retta OE, per evitare l’asimmetria (dovuta ai radicali), consideriamo la retta EV come ordinata rispetto alla tangente, e per la curva MO prendiamo la porzione di tangente MV che è adiacente a essa stessa. Per trovare l’espressione analitica di EV, facciamo DA: AE: MD: EV.
In altre parole:
Per trovare quindi l’espressione di MV, facciamo:
In altre parole:
La porzione di cerchio CM, che abbiamo chiamato n, è uguale a z – r; quindi abbiamo l’equazione:
et
In altre parole:
,
oppure:
e la retta di destra è tangente.
Sia il quarto di cerchio AIB e il quadrato AMC; bisogna tracciare una tangente al punto M su questo quadrato. Unendo MI, con il punto I come centro e il raggio IM, si descrive il quarto di cerchio ZMD; poi si traccia la perpendicolare MN e si stabilisce la proporzione: la retta IM rispetto alla retta MN è come la porzione del cerchio MD rispetto alla retta NO. La retta MO sarà quindi tangente al quadrato AMC.
Se si considera l’equazione, oppure.
Se si desidera eliminare l’asimmetria e ridurre l’espressione a un’equazione ordinata, ciò può essere fatto facilmente mediante tre moltiplicazioni; il risultato assume quindi la seguente forma.
Dove è stato inserito soltanto il nome di ogni specie, per brevità, e sotto ciascuno di essi il numero degli individui appartenenti a quella specie.
Ma se si propone di eliminare l’asimmetria dall’equazione.
Per alcuni sembra difficile comprendere che il numero delle asimmetrie non aumenta quando si effettua una moltiplicazione, e quindi che è possibile eliminarle tutte semplicemente moltiplicando; tuttavia, si arriverà allo stesso risultato in modo più facile utilizzando la formula precedente, sostituendo nei calcoli i valori appropriati.
al posto di “d”, e il quadrato e il cubo di questa stessa espressione, al posto di “d²” e “d³”; riunendo poi in un solo membro tutti i termini che sono soggetti a quel simbolo.
In modo che, elevando al quadrato tutta l’equazione, l’asimmetria scompaia. Oppure si può semplicemente cercare uno dei termini di ciascuna specie per ottenere la forma generale dell’equazione, che è proprio questa:
Quindi ci sono 18 tipi di termini, e il numero totale dei termini è 495. Inoltre, non importa quali siano stati i segni utilizzati per indicare questi termini nell’equazione data, poiché essa include tutti i casi possibili.
Dati i punti A, B, C su una retta, trovare la curva la cui sommità sia in A, la cui ascissa sia B, e la cui curvatura sia tale che i raggi che vi arrivano dal punto B e vi si rifrangono proseguano il loro percorso come se provenissero dal punto C; o viceversa.
Sia N il punto medio tra B e C: si abbiano NA = a, NB = b, CE – BE = 2a – 2y, e DA = x; con x e y si intendono due quantità indeterminate, di cui una, rimanendo indeterminata, designerà tutti i punti della curva, mentre l’altra sarà determinata dal modo in cui la curva deve essere descritta. Per individuare questo modo, cerco prima un punto F, intorno al quale immagino che venga descritto un cerchio tangente alla curva nel punto E; successivamente affermo che la retta BE moltiplicata per FG è alla CE moltiplicata per HF come l’inclinazione del raggio rifratto in uno dei mezzi trasparenti è all’inclinazione dello stesso raggio nell’altro mezzo.
Ora consideriamo NF = c e FE = d, due quantità che dovranno essere determinate in base all’equazione fornita dal triangolo rettangolo FDE, i cui lati sono già noti. Questa equazione deve risultare uguale a quella precedentemente indicata.
Si fa semplicemente la differenza tra y e x, e allo stesso tempo.
:
Oppure:
Étant donnés les points ca = 5, ba = n, et ar = 5, imaginons que soit décrite la courbe ae par le fil af fixé au foyer c, de là passant à e et à b, pour revenir ensuite à e et de là s’étendre à l’infini vers h, de manière qu’elle devienne plus Iongue à mesure que l’angle erc s’ouvre davantage, on aura toujours :
et ensuite si l’on fait :
le cercle décrit du centre f avec le rayon fe sera tangent à la courbe, et le produit de
par , sera au produit de
par , comme 3 est à 7.
Si donc la courbe ea contient un corps solide transparent dans lequel la réfraction se fasse : : 3 : 7, tous les rayons venant du point r se dirigeront vers c après s’être réfractés.
Soit maintenant
Soit maintenant
Étant donné les trois points a, b, c, on cherche la ligne au moyen de laquelle tous les rayons qui, dans le verre, paraissent venir du point a, se disposent, au sortir de la surface du verre, dont le sommet est en c, comme s’ils venaient du point b ; ou encore, telle que les rayons qui dans l’air paraissent venir du point a se disposent dans le verre comme s’ils venaient du point b.
Supposons que le point b tombe entre a et c, et que le centre f du cercle tangent à la courbe tombe entre a et b ; si l’on fait ae = a - y, be = cy + b, il y aura la proportion :
C’est-à-dire, l’inclinaison du rayon ae dans le verre à l’inclinaison du rayon be dans l’air comme x à c ; et la même chose aurait lieu lorsque le rayon passe de l’air dans le verre, si l’on faisait 1 plus grand que b. Mais cette supposition est erronée, et la ligne (que nous considérons) sert seulement pour la réflexion inégale, et non pour la réflexion, le point f tombant entre a et b.
Supposons que le point a tombe entre b et c, ce sera encore la même espèce de courbe, car les points a et b sont réciproques, et toujours le point f tombera entre a et b, lorsque l’on fera ae = a —y, et be = : b + cy. Mais que l’on fasse ae =a + y, et be = b — cy, le point f tombera entre b et c. Mais il ne paraît pas que cela puisse se faire, et par conséquent cette ligne ne sert point aux réfractions, mais seulement aux réflexions ; et il faut revenir à l’autre déjà trouvée, qui a trois foyers. Et même le point f peut alors tomber au-delà du point a vers g, dans lequel cas assurément la ligne ainsi décrite fait que les rayon qui dans le verre paraissent venir du point a, paraissent, dans l’air, venir du point B, après la réfraction faite dans la surface dont le sommet est en c ; ou au contraire, que les rayons qui, dans l’air, viennent du point b, se réfractent dans la surface concave du verre ayant le sommet en c, de manière qu’ils paraissent venir du point a.
Supposons maintenant :
le point f tombe entre b et c, et alors assurément tous les rayons qui viennent de a prennent des directions divergentes dans le verre, comme s’ils venaient de b, ou au contraire les rayons qui dans le verre paraissent venir de b prennent des directions convergentes dans l’air comme s’ils venaient de a.
Cherchons maintenant le point f, centre du cercle tangent à la courbe au point e, et faisons fc = f
Ajoutant le carré de fd au carré de ed, nous aurons :
D’où, par le théorème général pour trouver les lignes tangentes, je tire :
Et par conséquent la valeur de la droite cf = f sera :
A diviser comme ci-dessus :
A diviser de la même manière ; ou bien, en divisant l’un par l’autre par :
Supposons maintenant que le point c tombe entre a et b, et le point d entre a et c, il pourra se faire que ae soit = a + y, ou qu’il soit = a —y, et que a° soit = a —y ; dans ce second cas, la courbé est une de celles que nous cherchons. Mais si l’on fait ae — a + y, le point f tombera au-delà du point a, et la courbe, inutile pour notre but, ne pourra servir qu’aux réflexions inégales.
Dans la seconde figure, soit g le sommet de la courbe, de manière que bg soit plus grand que bd ; en supposant ae = a + y, et be — b + cy, nous aurons :
faisons, pour abréger, le carré de cette quantité, =x², et nous aurons :
soit h le centre du cercle tangent à la courbe au point e, hg sera :
Maintenant, dans la figure première, je cherche deux autres foyers de la courbe trouvée, que je suppose être en g et en h, et je prends :
d’où je tire la valeur de x ou de dc, et j’ai :
qui doit être identique à la valeur précédente de :
(d = c - n, c’est-à-dire, à la différence entre les termes du rapport) ; j’égale donc les deux diviseurs, c’est-à-dire g = a + b + h ; ensuite les termes affectés de y², et ensuite les termes affectés de y ; d’où je tire :
si c’est plus grand que l’unité, et ensuite
Ou bien la droite :
ou bien la droite ch, et la droite :
Et soit f dans la droite acb, entre a et c, le centre du cercle tangent à la courbe au point e ; on a :
d’où il est démontré clairement que tous les rayons venant du point b tendent vers a après s’être réfractés dans la courbe ec, ou au contraire, lorsque la courbe est convexe comme lorsqu’elle est concave, pourvu que la réfraction vers a soit à la réfraction vers b comme l’unité est à c.
Faisons maintenant :
Maintenant, pour énumérer toutes les espèces de courbes qui changent les réfractions d’un point à un autre, je suppose que a soit toujours plus grand que b, et c plus grand que d, et je fais :
Ce sont donc huit chefs, pour chacun desquels il faut voir si le sommet de la courbe est en C ou en B entre A et C, et encore si la concavité de la courbe regarde vers A, ou vers le côté opposé.
C entre A et B. Pour le premier chef D tombe entre A et C, et l’on a :
Pour le second et le troisième chef on ne trouve rien ici, ni pour le sixième et le huitième non plus, lorsqu’il coïncide avec le premier ; mais a et b ont été échangées entre elles.
Pour le cinquième chef la courbe est une spirale, et d’abord elle tourne la concavité vers A, et ensuite vers B ; elle n’est d’aucune utilité pour les réfractions, mais seulement pour les réflexions irrégulières, et même elle est fermée.
Enfin, pour le septième chef, la courbe est bien en forme d’ovale ; mais parce que le point F ne tombe point entre A et B, elle ne sert point aux réfractions, mais aux réflexions inégales seulement, et l’on a :
Pour le cinquième chef, si D tombe entre A et C, on a :
Supposons maintenant que B tombe entre A et C. Pour le premier chef D tombera entre B et C, et l’on aura :
et le point F peut se trouver entre A et B, ou le point A entre F et B.
Dans le premier cas on fait :
cette courbe ne peut servir qu’aux réflexions.
Dans le second cas, on fait :
et l’on a toujours :
Pour le troisième chef, toutes choses sont semblables à celui-ci, si ce n’est que les quantités c et d ont été échangées entre elles.
Le second manque, comme le sixième, le septième et le huitième.
Pour le quatrième chef, D est entre B et C, et l’on fait :
Ou A et B tombent entre F et C, et l’on a :
FIN DE L’EXTRAIT DES MANUSCRITS DE RENÉ DESCARTES
Given that ca = 5, ba = n, and ar = 5, let us assume that the curve ae is described by the line af, which originates at the focus c, passes through points e and b, then returns to point e before extending infinitely in the direction of h. In this way, the length of the curve will increase as the angle erc becomes larger and larger. It will always be the case that.
and then if one does.
The circle described with center at f and radius fe will be tangent to the curve, and the product of.
By means of,, it will be the result of.
By means of, for example, since 3 is related to 7 in that way.
Therefore, if the curve ea contains a solid, transparent medium in which the refractive index is 3:7, all rays originating from point r will be directed towards point c after undergoing refraction.
Let it be now.
Let it be now.
Given the three points a, b, c, we seek the line such that all rays that, within the glass, appear to originate from point a, when they emerge from the surface of the glass (whose vertex is at point c), arrange themselves as if they originated from point b; in other words, such that the rays that, in the air, appear to originate from point a arrange themselves within the glass as if they originated from point b.
Suppose that point b falls between a and c, and that the center f of the circle tangent to the curve also falls between a and b; if we define ae = a - y and be = cy + b, then there will exist a proportion.
In other words, the inclination of ray ae within the glass is equal to the inclination of ray be in the air, just as x is equal to c; and the same would hold true if the ray passed from the air into the glass, provided that 1 were made larger than b. However, this assumption is incorrect; the line we are considering is only useful for describing unequal reflections, not for reflections where the point of reflection falls between a and b.
Suppose that the point f falls between points b and c; it will still be the same type of curve, because points a and b are reciprocal to each other. Moreover, the point f will always fall between a and b when we set ae = a – y and be = b + cy. But if we set ae = a + y and be = b – cy, the point f will fall between b and c. However, it does not seem possible for this to happen; therefore, this line is not applicable to cases of refraction but only to cases of reflection. We must return to the other line that has already been identified, which has three focal points. In fact, in this case, the point f can even fall beyond point a, towards point g. If this happens, then the ray that appears to originate from point a within the glass will, after refraction at the surface with vertex at point c, appear to originate from point B in the air; conversely, the ray that originates from point b in the air will be refracted by the concave surface of the glass with vertex at point c, so that it appears to originate from point a.
Let us now assume.
The focal point lies between b and c; consequently, all the rays that originate from a will take diverging paths within the glass, as if they had originated from b. Conversely, the rays that appear to originate from b within the glass will take converging paths in the air, as if they had actually originated from a.
Let us now find point f, the center of the circle that is tangent to the curve at point e, and ensure that fc = f.
Adding the square of fd to the square of ed, we will have:
Therefore, using the general theorem for finding tangent lines, I conclude that:
And consequently, the value of the right-hand side, cf = f, will be:
A divider such as the one described above:
A divisor in the same manner; or alternatively, by dividing one by the other using the symbol:.
Suppose now that point c falls between a and b, and point d falls between a and c; it is possible that ae = a + y, or that ae = a – y, and that a° = a – y. In this second case, the curve is one of those we are looking for. But if we consider ae = a – y, then point f will fall beyond point a, and such a curve would be useless for our purposes, as it could only be used for unequal reflections.
In the second figure, let g be the vertex of the curve such that bg is greater than bd; assuming ae = a + y and be = b + cy, we will have:
For brevity, let’s take the square of this quantity, which is equal to x²; then we will have:
Let h be the center of the circle that is tangent to the curve at point e; then hg will be:
Now, in the first figure, I look for two other points on the curve that I assume to be at positions g and h, and I take.
From there, I derive the value of x or dc, and I obtain:
which must be identical to the previous value of:
(d = c – n, that is, the difference between the terms of the ratio); therefore, I equate the two divisors, which means g = a + b + h; then I consider the terms multiplied by y², and subsequently those multiplied by y; from this, I derive:
if it is larger than the unit, and then.
Or right-hand side:
or the right hand, and the right side.
Let f be a point in the right segment acb, between points a and c, such that it lies at the center of the circle that is tangent to the curve at point e; then we have:
It is thus clearly demonstrated that all rays originating from point b tend towards a after being refracted by the curve ec; conversely, whether the curve is convex or concave, this holds true as long as the ratio of the refraction towards a to the refraction towards b is the same as the ratio of 1 to c.
Let’s do it now:
Now, in order to list all the types of curves that change the refraction of light as it moves from one point to another, I assume that a is always greater than b, and c is greater than d, and then I proceed as follows:
Therefore, there are eight cases in total. For each case, it is necessary to determine whether the peak of the curve lies at point C or between points A and C, and also whether the concavity of the curve faces towards point A or in the opposite direction.
Between A and B. Firstly, D falls between A and C, and we have:
For the second and third chiefs, nothing is found here; neither for the sixth and eighth chiefs when they coincide with the first one; however, ‘a’ and ‘b’ have been exchanged with each other.
For the fifth case, the curve is a spiral; it first turns the concavity towards A, and then towards B. It is of no use for refractions, but only for irregular reflections—and moreover, it is closed.
Finally, regarding the seventh case, the curve is indeed in the shape of an oval; but since point F does not fall between points A and B, it is not used for refractions, but only for unequal reflections. Thus, we have:
For the fifth case, if D falls between A and C, then we have:
Now suppose that B falls between A and C. In that case, D will fall between B and C as well, and we would have:
And point F can be located between A and B, or point A can be located between F and B.
In the first case, one does the following:
This curve can only be used for reflection purposes.
In the second case, one does the following:
and it always remains the same:
For the third case, all things are similar to this one, except that the quantities c and d have been exchanged with each other.
The second one is missing, just like the sixth, seventh, and eighth ones.
For the fourth case, D is situated between B and C, and we proceed as follows:
Or if A and B fall between F and C, then we have:
END OF THE EXCERPT FROM THE MANUSCRIPTS OF RENE DESCARTES
Considerando i valori ca = 5, ba = n e ar = 5, immaginiamo che la curva ae venga descritta dal segmento af, fissato al fuoco c, che passi per i punti e e b, per poi tornare a e e proseguire all’infinito verso il punto h; in questo modo, la curva diventerà sempre più lunga man mano che l’angolo erc aumenta. Si avrà sempre:
E poi, se lo si fa.
Il cerchio descrit attorno al centro f con raggio fe sarà tangente alla curva, e il prodotto di.
per, sarà il risultato di.
Cioè, allo stesso modo in cui 3 è relativo a 7.
Quindi, se la curva ea contiene un corpo solido trasparente in cui avviene la rifrazione con un rapporto di 3:7, tutti i raggi provenienti dal punto r si dirigeranno verso il punto c dopo essere stati rifratti.
Ora, dunque.
Ora, dunque.
Data la presenza dei tre punti a, b, c, si cerca una linea tale che tutti i raggi che, all’interno del vetro, sembrano provenire dal punto a, al momento di uscire dalla superficie del vetro il cui vertice è in c, si dispongano come se provenissero dal punto b; oppure una linea tale che i raggi che, nell’aria, sembrano provenire dal punto a, all’interno del vetro si dispiegino come se provenissero dal punto b.
Supponiamo che il punto b cada tra a e c, e che il centro f del cerchio tangente alla curva cada anch’esso tra a e b; se si definiscono ae = a – y e be = cy + b, allora esisterà la seguente proporzione.
In altre parole, l’inclinazione del raggio ae nel vetro è uguale all’inclinazione del raggio be nell’aria, proprio come x è uguale a c; lo stesso accadrebbe se il raggio passasse dall’aria al vetro, purché 1 fosse maggiore di b. Tuttavia questa ipotesi è errata: la linea che stiamo considerando serve soltanto per spiegare i fenomeni di riflessione “ineguale”, e non per quelli in cui il punto di riflessione si trova tra a e b.
Supponiamo che il punto f cada tra i punti b e c: si tratterà comunque dello stesso tipo di curva, poiché i punti a e b sono reciprocamente correlati; inoltre, il punto f cadrà sempre tra a e b quando si applicano le relazioni ae = a – y e be = b + cy. Tuttavia, se si utilizzano le relazioni ae = a + y e be = b – cy, il punto f cadrà tra b e c. Ma sembra improbabile che ciò possa accadere; pertanto, questa linea non è utile per i fenomeni di rifrazione, ma soltanto per quelli di riflessione. Bisogna quindi tornare all’altra soluzione già individuata, quella che prevede l’utilizzo di tre focali. Anche in questo caso, il punto f può cadere al di là del punto a, verso il punto g; in tal caso, la linea descritta fa sì che i raggi che nel vetro sembrano provenire dal punto a, dopo la rifrazione nella superficie con vertice in c, appaiano nell’aria come se provenissero dal punto B. Al contrario, i raggi che nell’aria provengono dal punto b si rifrangono nella superficie concava del vetro con vertice in c, in modo che appaiano come se provenissero dal punto a.
Ora supponiamo.
Il punto f si trova tra b e c; di conseguenza, tutti i raggi che partono da a assumono direzioni diverse all’interno del vetro, come se provenissero da b; al contrario, i raggi che nel vetro sembrano provenire da b assumono direzioni convergenti nell’aria, come se provenissero da a.
Cerchiamo ora il punto f, centro del cerchio tangente alla curva nel punto e, e facciamo che fc = f.
Aggiungendo il quadrato di fd al quadrato di ed, otterremo:
Pertanto, applicando il teorema generale per trovare le rette tangenti, concludo che.
E di conseguenza, il valore della relazione cf = f sarà:
Da dividere come sopra indicato:
Si può dividere allo stesso modo; oppure, dividendo uno per l’altro con il segno:.
Supponiamo ora che il punto c cada tra a e b, e che il punto d cada tra a e c: può accadere che ae sia uguale a a + y, oppure a a — y, e che a° sia uguale a a — y; in questo secondo caso, la curva è proprio quella che cerchiamo. Tuttavia, se si considera ae = a — y, il punto f cadrebbe al di là del punto a, e tale curva, inutile per i nostri scopi, potrebbe essere utilizzata soltanto per riflessioni di tipo diseguale.
Nella seconda figura, supponendo che g sia il punto più alto della curva, in modo che bg sia maggiore di bd; considerando che ae = a + y e be = b + cy, avremo:
Per semplificare, calcoliamo il quadrato di questa quantità, cioè x², e otterremo:
Sia h il centro del cerchio tangente alla curva nel punto e, allora hg sarà:
Ora, nella figura iniziale, cerco altri due punti della curva che ho individuato; presumo che siano i punti “g” e “h”, e li seleziono.
Da qui ricavo il valore di x o di dc, e ottengo:
che deve essere identico al valore precedente di:
(d = c – n, ovvero la differenza tra i termini del rapporto); quindi equivoalo i due divisori, cioè g = a + b + h; successivamente considero i termini moltiplicati per y², e poi quelli moltiplicati per y; da ciò deduco:
se è più grande dell’unità, e poi.
Oppure destra.
oppure la destra “ch”, e la destra.
Sia f nel segmento retto acb, tra a e c, il centro del cerchio che è tangente alla curva nel punto e; allora si ha:
Da ciò si dimostra chiaramente che tutti i raggi provenienti dal punto b tendono verso il punto a dopo essere stati rifratti nella curva ec; al contrario, sia quando la curva è convessa che quando è concava, purché il rapporto tra la rifrazione verso a e quella verso b sia lo stesso che il rapporto tra l’unità e il numero c.
Ora facciamolo.
Ora, per elencare tutte le specie di curve che modificano il fenomeno della rifrazione da un punto all’altro, suppongo che a sia sempre maggiore di b, e c maggiore di d, e procedo così.
Quindi ci sono otto capi; per ciascuno di essi è necessario verificare se la sommità della curva sia posizionata in “C” o in “B” tra i punti A e C, nonché se la concavità della curva si diriga verso il punto A o verso il lato opposto.
Tra A e B. In primo luogo, D si trova tra A e C, quindi abbiamo:
Per il secondo e il terzo capo non si trova nulla qui, né per il sesto e l’ottavo quando coincidono con il primo; tuttavia, “a” ed “b” sono state scambiate tra loro.
Per il quinto caso, la curva è a spirale: inizialmente ruota la concavità verso A, e poi verso B; non ha alcuna utilità per le rifrazioni, ma soltanto per le riflessioni irregolari. E inoltre, tale curva è “chiusa”.
Infine, per il settimo caso, la curva ha effettivamente la forma di un ovale; ma poiché il punto F non si trova tra A e B, essa non è utilizzabile per le rifrazioni, bensì soltanto per le riflessioni disuguali. Ecco quindi.
Per il quinto caso, se D cade tra A e C, si ha:
Ora supponiamo che B cada tra A e C. In tal caso, per prima cosa, D cadrà tra B e C, e avremo.
E il punto F può trovarsi tra A e B, oppure il punto A tra F e B.
Nel primo caso si fa così:
Questa curva può essere utilizzata soltanto per riflessioni.
Nel secondo caso, si procede così:
e si ha sempre:
Per quanto riguarda il terzo caso, tutte le circostanze sono uguali a quelle del primo, ad eccezione del fatto che le quantità c e d sono state scambiate tra loro.
Il secondo manca, così come il sesto, il settimo e l’ottavo.
Per il quarto caso, D si trova tra B e C, e si procede come segue:
Oppure A e B cadono tra F e C, e allora abbiamo:
Fine dell’estrazione dai manoscritti di René Descartes.