Abstract
A posthumous mathematical fragment on trigonometry and circular chords, with tables for computing a triangle’s angles from its sides. A pure exercise in analytic geometry, with no philosophical content.
Testo originale francese · Arvensa Editions · pubblico dominio
Extrait
Connaissant la valeur de la corde dans un cercle, trouver la valeur de l’arc qu’elle sous-tend.
Je prends en général un cercle dont le rayon soit = 1, et j’y considère toutes les cordes qui sous-tendent des arcs dont la valeur, en parties, de la circonférence, est connue, de cette manière :
La corde de la moitié de la demi-circonférence
Mais peut-être ces expressions peuvent-elles être simplifiées, comme par exemple la valeur de 13/15 peut se réduire à :
Et cette table peut être continuée à l’infini, si l’on continue à chercher la valeur de la corde de la moitié de chaque arc, d’après la valeur de la corde de l’arc entier, de la manière suivante :
Soit a la corde d’une partie de la circonférence, la corde de la moitié de cette partie sera :
la corde du supplément sera :
Au moyen de cette seule règle on exprime en nombres tous les sinus que la géométrie peut trouver.
Cette table étant donc formée, si un triangle est donné dont on veuille trouver les angles, je décris un triangle qui lui soit semblable dans le cercle dont le rayon est = 1, et ensuite je regarde à quels nombres correspondent, dans notre table, les côtés de celui-ci ; et s’ils ne correspondent à aucun des nombres de notre table, alors nous affirmerons démonstrativement que nul des angles du triangle donné ne peut se trouver par la géométrie simple. Ou bien, d’une autre manière, je cherche la différence entre le carré de la base et la somme des carrés des côtés, et si je ne trouve qu’elle soit au rectangle compris entre les deux côtés du triangle donné, dans le même rapport que l’un des nombres de notre table est à l’unité, nous prononcerons affirmativement que cet angle (c’est-à-dire l’angle compris entre les deux côtés) ne peut se trouver par la géométrie simple : ou bien :
De là nous pouvons déduire la progression de la table de Pythagore à tous les angles : car comme dans le triangle rectangle le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, ainsi dans le triangle où l’angle au sommet est de 60° le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins le rectangle compris entre ceux-ci ; et dans le triangle où l’angle au sommet est le supplément de l’angle de 60°, c’est-à-dire est de 120°, le carré de la base excède la somme des carrés des côtés d’une quantité égale à ce même rectangle ; car la corde du supplément est dans notre table :
De la même manière dans le triangle dont l’angle au sommet est de 45°, le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins une quantité moyenne proportionnelle entre le rectangle compris entre les deux côtés et un rectangle double ; et dans le triangle dont l’angle au sommet est le supplément de l’angle de 45°, c’est-à-dire est de 135°, le carré de la base excède de cette même quantité la somme des carrés des côtés ; car la corde du supplément est :
De la même manière dans le triangle dont l’angle au sommet est de 30°, le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins une moyenne proportionnelle entre le rectangle compris entre les côtés et un rectangle triple, et dans le triangle ayant pour angle au sommet le supplément de l’angle de 30, le carré de la base surpasse la somme des carrés des côtés de la même quantité ; car la corde du supplément est :
Et généralement dans tout triangle aigu le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins le rectangle compris entre les côtés, multiplié par le nombre qui exprime, dans notre table, la corde du supplément.
Et plus généralement encore, dans tout triangle bdc, le carré de la base bc est excédé par la somme des carrés des côtés d’une quantité qui doit être au rectangle compris entre ceux-ci, comme le rectangle compris entre les lignes be et ea (dont l’une, c’est-à-dire be, est la corde du supplément, et l’autre, c’est-à-dire ea, est le rayon du cercle circonscrit au triangle donné) est au carré de la ligne ea ; ou bien comme be est à ea ; c’est-à-dire, soit ea à be comme le rectangle bdc à un quatrième terme que nous nommerons A, je dis que :
Au contraire, dans le triangle obtus bfc, le carré de la base surpasse la somme des carrés des côtés de cette même quantité.
Un triangle étant donné, on trouve aisément le diamètre du cercle circonscrit au moyen de la proportion suivante : comme la perpendiculaire bd est à l’un des côtés, ainsi l’autre côté est au diamètre cherché.
N. B. ac est la base, ab et bc les côtés.
On tire de ce qui a été dit ci-dessus le théorème suivant : si, deux triangles inégaux et dissemblables étant donnés, la différence entre le carré de la base et la somme des carrés des côtés est au rectangle compris entre les côtés dans le même rapport dans l’un que dans l’autre, les angles opposés à la base sont égaux dans les deux triangles (pourvu que la sommé des carrés excède dans tous les deux le carré de la base, ou en soit excédée dans tous les deux ; mais si elle excède dans l’un et est excédée dans l’autre, alors les angles opposés à la base sont le supplément l’un de l’autre).
Dans les triangles dont on peut exprimer tous les côtés en nombres rationnels, on peut aussi exprimer en nombres rationnels tous les angles, en prenant pour quantité de l’angle le rapport entre le rectangle compris entre les côtés et la différence dont le carré de la base opposée à l’angle surpasse la somme des carrés des côtés, ou en est surpassé. Elle la surpasse, si l’angle cherché est plus grand qu’un droit ; elle en est surpassée, s’il est moindre ; et il faut indiquer cela par quelque marque : comme, par exemple, dans le triangle dont les côtés sont 3, 8, 9, l’angle abc est ; l’angle cab est 9/17 ; l’angle acb est 27/26 ; l’angle acb est 3/1 + 0. Où il faut remarquer que je mets toujours au-dessus le nombre qui résulte de la multiplication des côtés, et au-dessous celui qui résulte de la différence entre le carré de la base et ceux des côtés ; et lorsque le carré de la base surpasse ceux des côtés, j’ajoute + 0, pour faire voir que l’angle est plus grand qu’un droit, car cet 0 est le nombre exposant de l’angle droit.
Tout nombre se compose ou d’un, ou de deux, ou de trois nombres triangulaires ; et encore il se compose ou d’un, ou de deux, ou de trois, ou de quatre nombres carrés ; et encore ou d’un, ou de deux, ou de trois, ou de quatre, ou de cinq pentagones ; et encore, ou d’un, ou de deux, ou de trois, ou de quatre, ou de cinq, ou de six nombres hexagones ; et ainsi à l’infini.
Si l’on multiplie par 8 un nombre triangulaire quelconque, et qu’on ajoute une unité au produit, le résultat est un nombre carré. Ce qui se démontre aisément. Car tout nombre triangulaire est exprimé par :
ce qui multiplié par 8 devient :
Ou :
à quoi si l’on ajoute 1, l’on a :
dont la racine est :
DES PARTIES ALIQUOTES DES NOMBRES.
Pour résoudre les questions sur les parties aliquotes des nombres, nous les imaginons composés ou de nombres premiers ou de puissances de nombres premiers, ou du produit de celles-ci par ceux-là. D’abord, nul nombre premier n’a de parties aliquotes, sinon l’unité. Les parties aliquotes d’une puissance quelconque d’un nombre premier, comme :
C’est-à-dire cette puissance moins l’unité, divisée par sa racine moins l’unité. Si nous voulons trouver les parties aliquotes d’un nombre premier, multiplié par un autre nombre dont on connaisse déjà les parties aliquotes ; par exemple, si les parties aliquotes de a sont b, et que x soit un nombre premier, les parties aliquotes de :
Si maintenant nous voulons trouver les parties aliquotes d’une puissance d’un nombre premier multipliée par une autre puissance d’un autre nombre (premier aussi), et que l’une de ces deux quantités soit an et l’autre c°, les parties aliquotes de an c° seront :
Si nous cherchons les parties aliquotes d’une puissance quelconque d’un nombre premier multipliée par un autre nombre dont on connaît les parties aliquotes, et qui, bien qu’il ne soit premier en lui-même, est néanmoins premier à l’égard de la puissance qu’il multiplie, soit la première quantité xn et la seconde a dont les parties aliquotes sont b, les parties aliquotes de la quantité axn seront :
Si nous avons deux nombres premiers entre eux, et leurs parties aliquotes, nous ayons aussi les parties aliquotes de leur produit ; comme si l’un des nombres est a et ses parties aliquotes b, l’autre nombre c, et ses parties aliquotes d, les parties aliquotes de ac seront :
Et il n’y a rien de neuf en cette matière qu’on ne puisse trouver à l’aide des théorèmes que je mets ici.
Si nous cherchons un cube et un carré égaux à un carré, nous avons 13824, 100, et 13924, dont les racines sont 24, 10, 118 ; et encore 27, 9, 36 ; et d’autres, à l’infini. N. B. J’ai trouvé une solution très aisée :
Partant :
et :
D’où l’on tire une infinité de valeurs pour x.
Pour extraire la racine cubique du binôme :
je cherche la racine de cette équation :
si a2 est plus grand que b ; l’ayant trouvée, je la multiplie par 3, j’y ajoute 2a, et la moitié de la racine cubique de cette somme est le premier terme de la racine cherchée. Si a3 est moindre que b, je cherche la racine de cette équation :
je la multiplie par 3 et je soustrais ce produit de 24 ; la moitié de la racine cubique de cette différence est le premier terme que je cherche. Ensuite je soustrais de a le cube de ce premier terme, et je divise la différence par le triple de ce même premier terme : la racine carrée du quotient est le second terme cherché.
Ainsi, ayant à trouver la racine cubique de :
J’ai :
dont la racine est 4, qui, multipliée par 3, devient 12 ; ajoutant 20, j’ai 32, dont la racine cubique est :
divisant par 2, j’obtiens :
pour premier terme. Ensuite 4 étant soustrait de 10, reste 6, que je divise par :
Le quotient est :
Dont la racine carrée est :
, pour le second terme
Et voulant trouver la racine cubique de :
, j’ai
dont la racine est 1. Je la multiplie par 3 et soustrais de de 4 le produit ; reste 1, dont la racine cubique est 1, et la moitié de celle-ci, 1/2, pour premier terme. Ensuite je soustrais le cube de 1/2 qui est 1/8, de 2, et j’ai 15/8, que je divise par 3/2, et le quotient est 5/4, dont la racine est :
, pour le second terme. Et ainsi des autres.
En général, pour trouver la racine cubique d’un binôme, j’appelle c le plus grand des deux termes qui le composent, et d le moindre, et j’extrais la racine de l’équation :
Je multiplie cette racine par 3, j’y ajoute 2c, et la moitié de la racine cubique de cette somme est une des parties de la racine cherchée. Je divise c par cette première partie, je soustrais du quotient le carré de cette même première partie, et le tiers de la différence qui en résulte est l’autre partie de la racine.
Pour carrer le cercle, je ne trouve rien de meilleur que d’ajouter au carré donné bf le rectangle cg compris entre les lignes ac, cb, et égal à la quatrième partie du carré bf ; puis, le rectangle dh, compris entre les lignes da, de, et égal à la quatrième partie du rectangle précédent ; puis, de la même manière, le rectangle ei, et ainsi à l’infini jusqu’à x ; rectangles qui tous, pris ensemble, équivaudront au tiers du carré bf, et la ligne ax sera le diamètre du cercle dont la circonférence est égale au périmètre de ce carré bf ; ac est le diamètre du cercle inscrit dans l’octogone isopérimètre au carré bf ; ad, le diamètre du cercle inscrit dans le polygone régulier de seize côtés isopérimètre au même carré bf, ae le diamètre du cercle inscrit dans le polygone de 32 côtés, et ainsi à l’infini.
Les courbes dont nous cherchons les tangentes ont leurs propriétés exprimées par des rapports ou de lignes droites seulement, ou de lignes courbes avec des droites ou d’autres courbes. Soit, par exemple, la courbe HRIC, dont C soit le sommet, CF l’axe ; et ayant décrit le demi-cercle COMG, soit pris un point quelconque dans la courbe, comme B, duquel il faut tirer la tangente RB. Du point B abaissons une perpendiculaire RMD sur la droite CDF, qui coupera le demi-cercle en M. Soit donc la propriété spécifique de la courbe, que la droite RD soit égale à la portion CM du cercle, plus l’ordonnée DM. Du point M soit tirée la droite MA tangente au cercle, et du point E la droite EOVIN parallèle à la droite RMD. Supposons trouvé ce que nous cherchons, et soit la droite DB, que l’on cherche,
, trouvée par construction, la portion de cercle
Établissons la proportion :
C’est-à-dire :
La droite doit donc être égalée à OE - +- CM - MO ; mais si nous voulons transformer ces termes en expressions analytiques pour la ligne OE, pour éviter l’asymétrie (les radicaux), considérons la droite EV comme ordonnée à la tangente, et pour la courbe MO prenons la portion de tangente MV qui est adjacente à cette même MO. Et pour trouver l’expression analytique de EV, faisons DA : AE : MD : EV,
C’est-à-dire :
pour trouver ensuite l’expression de MV, faisons :
C’est-à-dire :
La portion de cercle CM, que nous avons nommée n, est égale à z —r ; nous avons donc l’équation :
et
C’est-à-dire :
,
ou bien :
et la droite RB est tangente.
Soit le quart de cercle AIB, et la quadratrice AMC, à laquelle il faut tirer une tangente au point M ; ayant joint MI, du point I comme centre, avec le rayon IM, que l’on décrive le quart du cercle ZMD, que l’on abaisse la perpendiculaire MN, et qu’on fasse la proportion, la droite IM à la droite MN, comme la portion de cercle MD à la droite NO : la droite MO sera tangente à la quadratrice.
Si l’on donne l’équation ou bien
qu’il faille délivrer de l’asymétrie et réduire à une équation ordonnée, on peut faire cela aisément au moyen de trois multiplications, et le résultat prend la forme suivante :
où l’on a mis seulement un terme de chaque espèce, pour abréger, et au-dessous de chacun d’eux le nombre des individus de son espèce.
Mais si l’on propose de délivrer de l’asymétrie l’équation :
cela paraît difficile à quelques-uns qui ne font pas attention que le nombre des asymétries n’augmente pas par la multiplication, et que, par conséquent, on peut les faire disparaître toutes, en multipliant ; mais on en viendra à bout plus aisément au moyen de la formule précédente, en y substituant :
à la place de d, et le carré et le cube de cette même expression, à la place de d² et de d3 ; rassemblant ensuite dans un seul membre tous les termes affectés de :
de manière que, en élevant au carré toute l’équation, l’asymétrie disparaisse. Ou même on peut se contenter de chercher l’un des termes de chaque espèce pour avoir la forme générale de l’équation, qui est celle-ci :
Ainsi ce sont 18 espèces de termes, et le nombre des termes est 495. Et n’importe quels qu’aient été les signes des termes dans l’équation donnée, car celle-ci contient tous les cas possibles.
Étant donnés les points A, B, C, sur une ligne droite, trouver la courbe dont le sommet soit en A, dont l’axe soit B, et dont la courbure soit telle que les rayons qui y arrivent du point B, et qui s’y réfractent, continuent leur chemin comme s’ils venaient du point C ; ou au contraire.
Soit N le milieu entre. B et C : faisons NA = a, NB = b, CE - +- BE = 2a — 2y, et DA = x, entendant par x et y deux quantités indéterminées, dont l’une, restant indéterminée, désignera tous les points de la courbe, et l’autre sera déterminée par la manière dont la courbe doit être décrite. Pour trouver Cette manière, je cherche d’abord un point F, duquel, comme centre, j’imagine que soit décrit un cercle tangent à la courbe au point E ; ensuite je dis : la droite BE multipliée par FG est à CE multipliée par HF comme l’inclinaison du rayon réfracté dans l’un des milieux transparents est à l’inclinaison de ce même rayon dans l’autre.
Faisons maintenant NF = c, FE = d, deux quantités qu’il faudra trouver de ce que l’équation que donne le triangle rectangle FDE, dont les côtés sont déterminés, doit être égalée à celle-ci :
Faisant seulement la différence = x, et en même temps :
:
Ou bien :
Étant donnés les points ca = 5, ba = n, et ar = 5, imaginons que soit décrite la courbe ae par le fil af fixé au foyer c, de là passant à e et à b, pour revenir ensuite à e et de là s’étendre à l’infini vers h, de manière qu’elle devienne plus Iongue à mesure que l’angle erc s’ouvre davantage, on aura toujours :
et ensuite si l’on fait :
le cercle décrit du centre f avec le rayon fe sera tangent à la courbe, et le produit de
par , sera au produit de
par , comme 3 est à 7.
Si donc la courbe ea contient un corps solide transparent dans lequel la réfraction se fasse : : 3 : 7, tous les rayons venant du point r se dirigeront vers c après s’être réfractés.
Soit maintenant
Soit maintenant
Étant donné les trois points a, b, c, on cherche la ligne au moyen de laquelle tous les rayons qui, dans le verre, paraissent venir du point a, se disposent, au sortir de la surface du verre, dont le sommet est en c, comme s’ils venaient du point b ; ou encore, telle que les rayons qui dans l’air paraissent venir du point a se disposent dans le verre comme s’ils venaient du point b.
Supposons que le point b tombe entre a et c, et que le centre f du cercle tangent à la courbe tombe entre a et b ; si l’on fait ae = a - y, be = cy + b, il y aura la proportion :
C’est-à-dire, l’inclinaison du rayon ae dans le verre à l’inclinaison du rayon be dans l’air comme x à c ; et la même chose aurait lieu lorsque le rayon passe de l’air dans le verre, si l’on faisait 1 plus grand que b. Mais cette supposition est erronée, et la ligne (que nous considérons) sert seulement pour la réflexion inégale, et non pour la réflexion, le point f tombant entre a et b.
Supposons que le point a tombe entre b et c, ce sera encore la même espèce de courbe, car les points a et b sont réciproques, et toujours le point f tombera entre a et b, lorsque l’on fera ae = a —y, et be = : b + cy. Mais que l’on fasse ae =a + y, et be = b — cy, le point f tombera entre b et c. Mais il ne paraît pas que cela puisse se faire, et par conséquent cette ligne ne sert point aux réfractions, mais seulement aux réflexions ; et il faut revenir à l’autre déjà trouvée, qui a trois foyers. Et même le point f peut alors tomber au-delà du point a vers g, dans lequel cas assurément la ligne ainsi décrite fait que les rayon qui dans le verre paraissent venir du point a, paraissent, dans l’air, venir du point B, après la réfraction faite dans la surface dont le sommet est en c ; ou au contraire, que les rayons qui, dans l’air, viennent du point b, se réfractent dans la surface concave du verre ayant le sommet en c, de manière qu’ils paraissent venir du point a.
Supposons maintenant :
le point f tombe entre b et c, et alors assurément tous les rayons qui viennent de a prennent des directions divergentes dans le verre, comme s’ils venaient de b, ou au contraire les rayons qui dans le verre paraissent venir de b prennent des directions convergentes dans l’air comme s’ils venaient de a.
Cherchons maintenant le point f, centre du cercle tangent à la courbe au point e, et faisons fc = f
Ajoutant le carré de fd au carré de ed, nous aurons :
D’où, par le théorème général pour trouver les lignes tangentes, je tire :
Et par conséquent la valeur de la droite cf = f sera :
A diviser comme ci-dessus :
A diviser de la même manière ; ou bien, en divisant l’un par l’autre par :
Supposons maintenant que le point c tombe entre a et b, et le point d entre a et c, il pourra se faire que ae soit = a + y, ou qu’il soit = a —y, et que a° soit = a —y ; dans ce second cas, la courbé est une de celles que nous cherchons. Mais si l’on fait ae — a + y, le point f tombera au-delà du point a, et la courbe, inutile pour notre but, ne pourra servir qu’aux réflexions inégales.
Dans la seconde figure, soit g le sommet de la courbe, de manière que bg soit plus grand que bd ; en supposant ae = a + y, et be — b + cy, nous aurons :
faisons, pour abréger, le carré de cette quantité, =x², et nous aurons :
soit h le centre du cercle tangent à la courbe au point e, hg sera :
Maintenant, dans la figure première, je cherche deux autres foyers de la courbe trouvée, que je suppose être en g et en h, et je prends :
d’où je tire la valeur de x ou de dc, et j’ai :
qui doit être identique à la valeur précédente de :
(d = c - n, c’est-à-dire, à la différence entre les termes du rapport) ; j’égale donc les deux diviseurs, c’est-à-dire g = a + b + h ; ensuite les termes affectés de y², et ensuite les termes affectés de y ; d’où je tire :
si c’est plus grand que l’unité, et ensuite
Ou bien la droite :
ou bien la droite ch, et la droite :
Et soit f dans la droite acb, entre a et c, le centre du cercle tangent à la courbe au point e ; on a :
d’où il est démontré clairement que tous les rayons venant du point b tendent vers a après s’être réfractés dans la courbe ec, ou au contraire, lorsque la courbe est convexe comme lorsqu’elle est concave, pourvu que la réfraction vers a soit à la réfraction vers b comme l’unité est à c.
Faisons maintenant :
Maintenant, pour énumérer toutes les espèces de courbes qui changent les réfractions d’un point à un autre, je suppose que a soit toujours plus grand que b, et c plus grand que d, et je fais :
Ce sont donc huit chefs, pour chacun desquels il faut voir si le sommet de la courbe est en C ou en B entre A et C, et encore si la concavité de la courbe regarde vers A, ou vers le côté opposé.
C entre A et B. Pour le premier chef D tombe entre A et C, et l’on a :
Pour le second et le troisième chef on ne trouve rien ici, ni pour le sixième et le huitième non plus, lorsqu’il coïncide avec le premier ; mais a et b ont été échangées entre elles.
Pour le cinquième chef la courbe est une spirale, et d’abord elle tourne la concavité vers A, et ensuite vers B ; elle n’est d’aucune utilité pour les réfractions, mais seulement pour les réflexions irrégulières, et même elle est fermée.
Enfin, pour le septième chef, la courbe est bien en forme d’ovale ; mais parce que le point F ne tombe point entre A et B, elle ne sert point aux réfractions, mais aux réflexions inégales seulement, et l’on a :
Pour le cinquième chef, si D tombe entre A et C, on a :
Supposons maintenant que B tombe entre A et C. Pour le premier chef D tombera entre B et C, et l’on aura :
et le point F peut se trouver entre A et B, ou le point A entre F et B.
Dans le premier cas on fait :
cette courbe ne peut servir qu’aux réflexions.
Dans le second cas, on fait :
et l’on a toujours :
Pour le troisième chef, toutes choses sont semblables à celui-ci, si ce n’est que les quantités c et d ont été échangées entre elles.
Le second manque, comme le sixième, le septième et le huitième.
Pour le quatrième chef, D est entre B et C, et l’on fait :
Ou A et B tombent entre F et C, et l’on a :
FIN DE L’EXTRAIT DES MANUSCRITS DE RENÉ DESCARTES