Descartes
Abstract
An unfinished methodological treatise, prior to the Discourse: it lays out twenty-one rules for directing the mind toward certain judgments, insisting on the unity of knowledge and on intuition and evidence as the foundation of knowledge — the first formulation of the Cartesian method.
Connections
Assi: Metodo
Posizioni: dubbio metodico
Concetti: ragione, idee chiare e distinte
Forme: trattato
Scuole: razionalismo continentale
Testo originale francese · Arvensa Editions · pubblico dominio
Règle première
Le but des études doit être de diriger l’esprit de manière à ce qu’il porte des jugements solides et vrais sur tout ce qui se présente à lui.
Toutes les fois que les hommes aperçoivent une ressemblance entre deux choses, ils sont dans l’habitude d’appliquer à l’une et à l’autre, même en ce qu’elles offrent de différent, ce qu’ils ont reconnu vrai de l’une des deux. C’est ainsi qu’ils comparent, mal à propos, les sciences qui consistent uniquement dans le travail de l’esprit, avec les arts qui ont besoin d’un certain usage et d’une certaine disposition corporelle. Et comme ils voient qu’un seul homme ne peut suffire à apprendre tous les arts à la fois, mais que celui-là seul y devient habile qui n’en cultive qu’un seul, parce que les mêmes mains peuvent difficilement labourer la terre et toucher de la lyre, et se prêter en même temps à des offices aussi divers, pensent qu’il en est ainsi des sciences ; et les distinguant entre elles par les objets dont elles s’occupent, ils croient qu’il faut les étudier à part et indépendamment l’une de l’autre. Or c’est là une grande erreur ; car comme les sciences toutes ensemble ne sont rien autre chose que l’intelligence humaine, qui reste une et toujours la même quelle que soit la variété des objets auxquels elle s’applique, sans que cette variété apporte à sa nature plus de changements que la diversité des objets n’en apporte à la nature du soleil qui les éclaire, il n’est pas besoin de circonscrire l’esprit humain dans aucune limite ; en effet, il n’en est pas de la connaissance d’une vérité comme de la pratique d’un art ; une vérité découverte nous aide à en découvrir une autre, bien loin de nous faire obstacle. Et certes il me semble étonnant que la plupart des hommes étudient avec soin les plantes et leurs vertus, le cours des astres, les transformations des métaux, et mille objets semblables, et qu’à peine un petit nombre s’occupe de l’intelligence ou de cette science universelle dont nous parlons ; et cependant si les autres études ont quelque chose d’estimable, c’est moins pour elles-mêmes que pour les secours qu’elles apportent à celle-ci. Aussi n’est-ce pas sans motif que nous posons cette règle à la tête de toutes les autres ; car rien ne nous détourne davantage de la recherche de la vérité que de diriger nos efforts vers des buts particuliers, au lieu de les tourner ; vers cette fin unique et générale. Je ne parle pas ici des buts mauvais et condamnables, tels que la vaine gloire et la recherche d’un gain honteux ; il est clair que le mensonge et les petites ruses des esprits vulgaires y mèneront par un chemin plus court que ne le pourrait faire une connaissance solide du vrai. J’entends ici parler des buts honnêtes et louables ; car ils sont pour nous un sujet d’illusions dont nous avons peine à nous défendre. En effet, nous étudions les sciences utiles ou pour les avantages qu’on en retire dans la vie, et pour ce plaisir qu’on trouve dans la contemplation du vrai, et qui, dans ce monde, est presque le seul bonheur pur et sans mélange. Voilà deux objets légitimes que nous pouvons-nous proposer dans l’étude des sciences ; mais si au milieu de nos travaux nous venons à y penser, il se peut faire qu’un peu de précipitation nous fasse négliger beaucoup de choses qui seraient nécessaires à la connaissance des autres, parce qu’au premier abord elles nous paraîtront ou peu utiles ou peu dignes de notre curiosité. Ce qu’il faut d’abord reconnaître, c’est que les sciences sont tellement liées ensemble qu’il est plus facile de les apprendre toutes à la fois que d’en détacher une seule des autres. Si donc on veut sérieusement chercher la vérité, il ne faut pas s’appliquer à une seule science ; elles se tiennent toutes entre elles et dépendent mutuellement l’une de l’autre. Il faut songer à augmenter ses lumières naturelles, non pour pouvoir résoudre telle ou telle difficulté de l’école, mais pour que l’intelligence puisse montrer à la volonté le parti qu’elle doit prendre dans chaque situation de la vie. Celui qui suivra cette méthode verra qu’en peu de temps il aura fait des progrès merveilleux, et bien supérieurs à ceux des hommes qui se livrent aux études spéciales, et que s’il n’a pas obtenu les résultats que ceux-ci veulent atteindre, il est parvenu à un but plus élevé, et auquel leurs vœux n’eussent jamais osé prétendre.
Règle deuxième
Il ne faut nous occuper que des objets dont notre esprit paraît capable d’acquérir une connaissance certaine et indubitable.
Toute science est une connaissance certaine et évidente ; et celui qui doute de beaucoup de choses n’est pas plus savant que celui qui n’y a jamais songé, mais il est moins savant que lui, si sur quelques-unes de ces choses il s’est formé des idées fausses. Aussi vaut-il mieux ne jamais étudier que de s’occuper d’objets tellement difficiles, que dans l’impossibilité de distinguer le vrai du faux, on soit obligé d’admettre comme certain ce qui est douteux ; on court en effet plus de risques de perdre la science qu’on a, que de l’augmenter. C’est pourquoi nous rejetons par cette règle toutes ces connaissances qui ne sont que probables ; et nous pensons qu’on ne peut se fier qu’à celles qui sont parfaitement vérifiées, et sur lesquelles on ne peut élever aucun doute. Et quoique les savants se persuadent peut-être que les connaissances de cette espèce sont en bien petit nombre, parce que sans doute, par un vice naturel à l’esprit humain, ils ont négligé de porter leur attention sur ces objets, comme trop faciles et à la portée de tous, je ne crains pas cependant de leur déclarer qu’elles sont plus nombreuses qu’ils ne pensent, et qu’elles suffisent pour démontrer avec évidence un nombre infini de propositions, sur lesquelles ils n’ont pu émettre jusqu’ici que des opinions probables, opinions que bientôt, pensant qu’il était indigne d’un savant d’avouer qu’il ignore quelque chose, ils se sont habitués à parer de fausses raisons, de telle, sorte qu’ils ont fini par se les persuader à eux-mêmes, et les ont débitées comme choses avérées.
Mais si nous observons rigoureusement notre règle, il restera peu de choses à l’étude : desquelles nous puissions nous livrer. Il existe à peine dans les sciences une seule question sur laquelle des hommes d’esprit n’aient pas été d’avis différents. Or, toutes les fois que deux hommes portent sur la même chose un jugement contraire, il est certain que l’un des deux se trompe. Il y a plus, aucun d’eux ne possède la vérité ; car s’il en avait une vue claire et nette, il pourrait l’exposer à son adversaire, de telle sorte qu’elle finirait par forcer sa conviction. Nous ne pouvons donc pas espérer d’obtenir la connaissance complète de toutes les choses sur lesquelles on n’a que des opinions probables, parce que nous ne pouvons sans présomption espérer de nous plus que les autres n’ont pu faire. Il suit de là que si nous comptons bien, il ne reste parmi les sciences faites que la géométrie et l’arithmétique, auxquelles l’observation de notre règle nous ramène.
Nous ne condamnons pas pour cela la manière de philosopher à laquelle on s’est arrêté jusqu’à ce jour, ni l’usage des syllogismes probables, armes excellentes pour les combats de la dialectique. En effet, ils exercent l’esprit des jeunes gens, et éveillent en eux l’activité de l’émulation. D’ailleurs il vaut mieux former leur esprit à des opinions, même incertaines, puisqu’elles ont été un sujet de controverse entre les savants, que de les abandonner à eux-mêmes libres et sans guides ; car alors ils courraient risque de tomber dans des précipices ; mais tant qu’ils suivent les traces qu’on leur a marquées, quoiqu’ils puissent quelquefois s’écarter du vrai, toujours est-il qu’ils s’avancent dans une route plus sûre, au moins en ce qu’elle a été reconnue par des plus habiles. Et nous aussi nous nous félicitons d’avoir reçu autrefois l’éducation de l’école ; mais comme maintenant nous sommes déliés du serment qui nous enchaînait aux paroles du maître, et que, notre âge étant devenu assez mûr, nous avons soustrait notre main aux coups de la férule, si nous voulons sérieusement nous proposer des règles, à l’aide desquelles nous puissions parvenir au faîte de la connaissance humaine, mettons au premier rang celle que nous venons d’énoncer, et gardons-nous d’abuser de notre loisir négligeant, comme font beaucoup de gens, les études aisées, et ne nous appliquant qu’aux choses difficiles. Ils pourront, il est vrai, former sur ces choses des conjectures subtiles et des systèmes probables ; mais, après beaucoup de travaux, ils finiront par s’apercevoir qu’ils ont augmenté la somme des doutes, sans avoir appris aucune science.
First rule
The purpose of study should be to guide the mind in such a way that it forms sound and true judgments regarding everything that presents itself to it.
Whenever people notice any resemblance between two things, they tend to apply to both, despite their differences, whatever they have concluded to be true about one of them. This is how they make inappropriate comparisons between sciences, which consist solely in the exercise of the mind, and arts that require certain physical skills and practices. Since they realize that a single person cannot learn all the arts at once, but only becomes proficient in one if they focus exclusively on it—because the same hands cannot easily plow the soil and play the lyre simultaneously—they assume the same applies to sciences. By distinguishing between them based on their subjects of study, they believe these disciplines should be studied separately and independently. Yet this is a grave mistake. For all sciences combined are nothing more than human intelligence itself, which remains one and unchanged regardless of the variety of objects it examines. This diversity does not alter its nature any more than the different objects that the sun illuminates change the sun’s own nature. There is no need to confine human intellect within any boundaries; indeed, understanding a truth is nothing like practicing an art—a discovered truth helps us uncover others, never becoming an obstacle in our path. It surprises me how most people devote much effort to studying plants and their properties, the movements of the stars, the transformations of metals, and countless other such subjects, while only a few bother to engage with the intellect or this universal science we are discussing. Yet if these other studies have any value, it is less in themselves than in the benefits they provide for this higher pursuit. Therefore, it is not without reason that we place this principle at the forefront of all others; nothing distracts us more from the search for truth than directing our efforts toward particular goals rather than toward this one ultimate and universal objective. I am not referring here to evil or despicable objectives, such as vain glory or the pursuit of shameful gain—clearly, deceit and petty cunning of a vulgar mind would lead us there more quickly than a solid understanding of the truth. Instead, I mean honorable and praiseworthy goals; for they often lead us into delusions from which we struggle to free ourselves. We study useful sciences either for the practical benefits they bring in life or for the pleasure we derive from contemplating the truth, which is perhaps the only pure and unalloyed happiness this world has to offer. These are two legitimate objects that we can consider in the study of sciences; but if, amidst our work, we focus solely on them, it is possible that haste will cause us to overlook many things that would be essential for understanding other aspects. What must first be recognized is that the sciences are so closely interconnected that it is easier to learn them all at once than to isolate any one of them. Therefore, if we truly wish to seek the truth, we should not concentrate on just one science; they are all interrelated and depend on each other. Our goal should be to expand our natural knowledge, not in order to solve particular difficulties encountered in academic studies, but so that our intellect can guide our will in making the right choices in every situation of life. Those who follow this approach will find that they make remarkable progress in a short time—progress far surpassing that of those who specialize in limited fields. And even if they do not achieve the same results as those specialists, they will have reached a higher goal, one that their own aspirations could never have dared to aspire to.
Second rule.
We should only concern ourselves with those objects regarding which our mind seems capable of acquiring certain and indisputable knowledge.
All science consists of certain and evident knowledge; and those who doubt many things are no wiser than those who have never even considered them, but they are indeed less knowledgeable, for if they have formed erroneous ideas about some of these matters, their understanding is diminished. Therefore, it is better never to engage in the study of subjects so difficult that, in the absence of the ability to distinguish truth from falsehood, one is forced to accept as certain what is in doubt. In doing so, one runs a far greater risk of losing the knowledge one already possesses than of acquiring any new understanding. It is for this reason that we reject, according to this principle, all knowledge that is merely probable; and we believe that one can rely only on that which has been thoroughly verified and about which no doubt is possible. Although scholars may assume that such knowledge is quite limited, perhaps because, due to a natural flaw in the human mind, they have neglected to focus their attention on these subjects—considering them too obvious and within everyone’s reach—I am not afraid to declare to them that such knowledge is actually more extensive than they imagine, and that it is sufficient to prove with absolute certainty an infinite number of propositions about which they have so far been able to express only probable opinions. These opinions, however, they have come to regard as truths, merely because they assumed it was beneath a scholar’s dignity to admit ignorance of anything.
But if we strictly adhere to our rule, there will be very few things left to study—very few matters on which we could engage in genuine inquiry. In the sciences, there is hardly a single issue regarding which men of intellect have not held differing opinions. And whenever two people form opposing judgments on the same matter, it is certain that one of them must be mistaken. Moreover, neither of them possesses the truth; for if either did have a clear and definite understanding of it, they would be able to present it to their opponent in such a way as to ultimately convince him. Therefore, we cannot hope to attain a complete knowledge of all those matters regarding which we can only form probable opinions, since we cannot, without presumption, expect to achieve more than others have been able to do. It follows then that, if we consider things carefully, among the sciences that have been established, there remain only geometry and arithmetic—fields in which the application of our rule leads us to genuine understanding.
We do not condemn, for this reason, the manner of philosophizing that has been followed until today, nor the use of probable syllogisms—excellent tools in the battles of dialectic. Indeed, they exercise the minds of young people and awaken within them a spirit of emulation. Moreover, it is better to train their minds with opinions, even if uncertain, since such opinions have been the subject of debate among scholars, than to leave them to themselves, unguided and free; for otherwise they might risk falling into error. But as long as they follow the paths that have been marked out for them, even if they sometimes deviate from the truth, at least they are moving along a safer path—one that has been recognized by those who are most skilled in their field. And we too are pleased to have received the education of the school in our youth; but now that we are free from the vows that once bound us to the teachings of our masters, and that our age has matured enough for us to abandon the restraints of discipline, if we truly wish to establish rules that will help us reach the pinnacle of human knowledge, let us place the principle we have just outlined at the forefront. And let us refrain from abusing our leisure by neglecting the easy studies and focusing only on the difficult ones. Indeed, those who do so may form subtle conjectures and probable systems regarding these difficult matters; but after much effort, they will often find that they have merely increased the number of their doubts without acquiring any real knowledge.
Regola fondamentale
Lo scopo dello studio deve essere quello di guidare la mente affinché possa formulare giudizi solidi e veritieri su tutto ciò che le si presenta.
Ogni volta che gli uomini notano una somiglianza tra due cose, hanno l’abitudine di applicare a entrambe, anche nelle loro differenze, ciò che hanno riconosciuto come vero per una delle due. È così che, in modo errato, confrontano le scienze, che consistono esclusivamente nel lavoro dell’intelletto, con gli arti che richiedono un certo uso e una certa disposizione fisica. Poiché vedono che un solo uomo non può imparare tutti gli arti contemporaneamente, ma che soltanto colui che ne pratica uno solo diventa abile in esso, dato che le stesse mani difficilmente possono arare la terra e suonare la lira allo stesso tempo, pensano che lo stesso valga per le scienze; e distinguendole in base agli oggetti di cui si occupano, credono che debbano essere studiate separatamente e indipendentemente l’una dall’altra. In realtà, questa è un’enorme errore: poiché tutte le scienze insieme non sono altro che l’intelligenza umana, che rimane una e sempre la stessa, indipendentemente dalla varietà degli oggetti a cui si applica; e questa varietà non apporta alla sua natura cambiamenti maggiori di quanto la diversità degli oggetti non ne apporti alla natura del sole che li illumina. Non c’è quindi bisogno di limitare l’intelligenza umana in alcun modo; infatti, conoscere una verità non è come praticare un’arte: scoprire una verità ci aiuta a scoprirne altre, e non ci ostacola affatto. Mi sembra davvero sorprendente che la maggior parte delle persone studi con cura le piante e le loro proprietà, il corso degli astri, le trasformazioni dei metalli e mille altri oggetti simili, mentre solo pochi si occupano dell’intelligenza o di quella scienza universale di cui parliamo; eppure, se anche gli altri studi hanno qualcosa di prezioso, è meno per loro stessi che per i benefici che apportano a questa scienza universale. Non a caso poniamo questa regola al primo posto tra tutte le altre: nulla ci allontana di più dalla ricerca della verità quanto concentrare i nostri sforzi su obiettivi particolari, invece di dirigerli verso quel fine unico e generale. Non parlo qui degli obiettivi cattivi e condannabili, come la vanità o la ricerca di guadagni disonorevoli; è chiaro che il mentire e le piccole astuzie degli spiriti volgari ci porterebbero a tale scopo in modo più rapido di quanto possa farlo una conoscenza solida della verità. Parlo qui degli obiettivi onesti e lodevoli; poiché rappresentano per noi una fonte di illusioni dalle quali faticiamo a difenderci. Infatti, studiamo le scienze utili sia per i vantaggi che ne derivano nella vita quotidiana, sia per il piacere che proviamo nel contemplare la verità, e che, in questo mondo, è quasi l’unico vero bene, puro e senza mescolanze. Ecco due oggetti legittimi che possiamo considerare nell’ambito dello studio delle scienze; tuttavia, se durante i nostri lavori ci soffermiamo su di essi, è facile che una certa precipitazione ci induca a trascurare molte cose necessarie per comprendere il resto, poiché a prima vista queste ultime potrebbero sembrarci poco utili o poco degne della nostra curiosità. Prima di tutto, bisogna riconoscere che le scienze sono così strettamente legate tra loro che è più facile impararle tutte insieme piuttosto che separarne una dalle altre. Pertanto, se si desidera seriamente cercare la verità, non bisogna concentrarsi su una sola disciplina scientifica: esse sono tutte interconnesse e dipendono l’una dall’altra. È necessario impegnarsi a ampliare le proprie conoscenze naturali, non per risolvere particolari difficoltà legate allo studio formale, ma affinché l’intelligenza possa guidare la volontà nella scelta giusta in ogni situazione della vita. Chi seguirà questo metodo scoprirà di aver compiuto progressi straordinari in poco tempo, ben superiori a quelli raggiunti da coloro che si dedicano allo studio di una singola materia; e se non avrà ottenuto i risultati desiderati da questi ultimi, avrà comunque raggiunto un obiettivo più elevato, al quale nemmeno loro avrebbero osato aspirare.
Regola seconda
Dovremmo occuparci soltanto di oggetti di cui la nostra mente sembra essere in grado di acquisire una conoscenza certa e indubitabile.
Tutta la scienza è una conoscenza certa ed evidente; colui che dubita di molte cose non è più sapiente di colui che non ci ha mai pensato, ma è meno sapiente di lui se, su alcune di queste cose, si è formato idee errate. Pertanto, è meglio non studiare affatto piuttosto che occuparsi di argomenti così difficili da rendere impossibile distinguere il vero dal falso, costringendoci ad accettare come certe cose che invece sono dubbi; infatti, corriamo maggior rischio di perdere la conoscenza che abbiamo che di aumentarla. Per questo motivo, rifiutiamo, seguendo questa regola, tutte quelle conoscenze che sono soltanto probabili, e riteniamo che si possa fidarsi soltanto di quelle che sono state perfettamente verificate e su cui non si può nutrire alcun dubbio. E sebbene gli scienziati possano essere convinti che questo tipo di conoscenze sia molto limitato, perché probabilmente, a causa di un vizio naturale dell’intelletto umano, hanno trascurato di prestare attenzione a questi argomenti, considerandoli troppo semplici e accessibili a tutti, non temo tuttavia di dichiarare loro che sono più numerose di quanto pensino, e che sono sufficienti per dimostrare con evidenza un numero infinito di proposizioni su cui finora hanno potuto esprimere soltanto opinioni probabili; opinioni che, credendo fosse indegno di uno scienziato ammettere di ignorare qualcosa, hanno finito per abituarsi a sostenerle con ragioni false, al punto da convincersene loro stessi e presentarle come verità assolute.
Ma se osserviamo rigorosamente questa regola, rimarranno poche cose da studiare: quelle su cui possiamo realmente esprimere un parere. Nelle scienze esiste appena una singola questione su cui gli uomini di intelletto non abbiano avuto opinioni diverse. Ora, ogni volta che due persone formulano giudizi contrari sulla stessa cosa, è certo che una delle due si sbaglia. Inoltre, nessuna delle due possiede la verità; perché se ne avesse una visione chiara e netta, potrebbe esporla al proprio avversario in modo tale da farlo cambiare opinione. Non possiamo quindi sperare di ottenere una conoscenza completa di tutte le cose su cui abbiamo soltanto opinioni probabili, perché non possiamo aspettarci di fare di più rispetto a quanto gli altri siano riusciti a fare. Da ciò consegue che, se calcoliamo bene, tra le scienze esistenti rimangono solo la geometria e l’aritmetica, alle quali il rispetto della nostra regola ci riporta inevitabilmente.
Non condanniamo quindi il modo di filosofare in cui ci si è fermati fino ad oggi, né l’uso dei sillogismi probabili, armi eccellenti per i combattimenti della dialettica. Infatti, questi esercitano l’intelletto dei giovani e suscitano in loro lo spirito di emulazione. Del resto, è meglio formare il loro pensiero su opinioni anche incerte, poiché queste sono state oggetto di controversie tra gli studiosi, piuttosto che abbandonarli a se stessi, liberi e senza guida; altrimenti correrebbero il rischio di cadere in errori. Ma finché seguono le tracce che loro sono state indicate, anche se talvolta si allontanano dalla verità, avanzano comunque su un percorso più sicuro, almeno per quanto riguarda ciò che è stato riconosciuto come vero da persone più esperte. Anche noi ci rallegriamo di aver ricevuto un’educazione scolastica in passato; ma poiché ora siamo liberati dal giuramento che ci legava alle parole dell’insegnante, e poiché la nostra età è ormai abbastanza matura da permetterci di non essere più sottoposti alla disciplina della scuola, se vogliamo seriamente stabilire regole per raggiungere la vetta della conoscenza umana, mettiamo al primo posto quella che abbiamo appena enunciato. E evitiamo di abusare del nostro tempo libero trascurando gli studi facili e dedicandoci soltanto alle cose difficili. Certo, coloro che si dedicano a queste ultime possono formulare congetture sofisticate e sistemi plausibili; ma dopo molti sforzi, finiranno per scoprire di aver aumentato il numero dei dubbi, senza aver acquisito alcuna vera conoscenza.
Mais comme nous avons dit plus haut que, parmi les sciences faites, il n’existe que l’arithmétique et la géométrie qui soient entièrement exemptes de fausseté ou d’incertitude, pour en donner la raison exacte, remarquons que nous arrivons à la connaissance des choses par deux voies, c’est à savoir l’expérience et la déduction. De plus, l’expérience est souvent trompeuse ; la déduction, au contraire, ou l’opération par laquelle on infère une chose d’une autre, peut ne pas se faire, si on ne l’aperçoit pas, mais n’est jamais mal faite, même par l’esprit le moins accoutumé à raisonner. Cette opération n’emprunte pas un grand secours des liens dans lesquels la dialectique embarrasse la raison humaine, en pensant la conduire ; encore bien que je sois loin de nier que ces formes ne puissent servir à d’autres usages. Ainsi, toutes les erreurs dans lesquelles peuvent tomber, je ne dis pas les animaux, mais les hommes, viennent, non d’une induction fausse, mais de ce qu’on part de certaines expériences peu comprises, ou qu’on porte des jugements hasardés et qui ne reposent sur aucune base solide.
Tout ceci démontre comment il se fait que l’arithmétique et la géométrie sont de beaucoup plus certaines que les autres sciences, puisque leur objet à elles seules est si clair et si simple, qu’elles n’ont besoin de rien supposer que l’expérience puisse révoquer en doute, et que toutes deux procèdent par un enchaînement de conséquences que la raison déduit l’une de l’autre. Aussi sont-elles les plus faciles et les plus claires de toutes les sciences, et leur objet est tel que nous le désirons ; car, à part l’inattention, il est à peine supposable qu’un homme s’y égare. Il ne faut cependant pas s’étonner que beaucoup d’esprits s’appliquent de préférence à d’autres études ou à la philosophie. En effet chacun se donne plus hardiment le droit de deviner dans un sujet obscur que dans un sujet clair, et il est bien plus facile d’avoir sur une question quelconque quelques idées vagues, que d’arriver à la vérité même sur la plus facile de toutes. De tout ceci il faut conclure, non que l’arithmétique et la géométrie soient les seules sciences qu’il faille apprendre, mais que celui qui cherche le chemin de la vérité ne doit pas s’occuper d’un objet dont il ne puisse avoir une connaissance égale à la certitude des démonstrations arithmétiques et géométriques.
Règle troisième
Il faut chercher sur l’objet de notre étude, non pas ce qu’en ont pensé les autres, ni ce que nous soupçonnons nous-mêmes, mais ce que nous pouvons voir clairement et avec évidence, ou déduire d’une manière certaine. C’est le seul moyen d’arriver à la science.
Nous devons lire les ouvrages des anciens, parce que c’est un grand avantage de pouvoir user des travaux d’un si grand nombre d’hommes, premièrement pour connaître les bonnes découvertes qu’ils ont pu faire, secondement pour être averti de ce qui reste encore à découvrir. Il est cependant à craindre que la lecture trop attentive de leurs ouvrages ne laisse dans notre esprit quelques erreurs qui y prennent racine malgré nos précautions et nos soins. D’ordinaire, en effet, toutes les fois qu’un écrivain s’est laissé aller par crédulité ou irréflexion à une opinion contestée, il n’est pas de raisons, il n’est pas de subtilités qu’il n’emploie pour nous amener à son sentiment. Au contraire, s’il a le bonheur de trouver quelque chose de certain et d’évident, il ne nous le présente que d’une manière obscure et embarrassée ; craignant sans doute que la simplicité de la forme ne diminue la beauté de la découverte, ou peut-être parce qu’il nous, envie la connaissance distincte de la vérité.
Il y a plus, quand même les auteurs seraient tous francs et clairs, et ne nous donneraient jamais le doute pour la vérité, mais exposeraient ce qu’ils savent avec bonne foi ; comme il est à peine une chose avancée par l’un dont on ne puisse trouver le contraire soutenu par l’autre, nous serions toujours dans l’incertitude auquel des deux ajouter foi, et il ne nous servirait de rien de compter les suffrages, pour suivre l’opinion qui a pour elle le plus grand nombre. En effet, s’agit-il d’une question difficile, il est croyable que la vérité est plutôt du côté du petit nombre que du grand. Même quand tous seraient d’accord, il ne nous suffirait pas encore de connaître leur doctrine ; en effet, pour me servir d’une comparaison, jamais nous ne serons mathématiciens, encore bien que nous sachions par cœur toutes les démonstrations des autres, si nous ne sommes pas capables de résoudre par nous-mêmes toute espèce de problème. De même, eussions-nous lu tous les raisonnements de Platon et d’Aristote, nous n’en serons pas plus philosophes, si nous ne pouvons porter sur une question quelconque un jugement solide. Nous paraîtrions en effet avoir appris non une science, mais de l’histoire.
Prenons garde en outre de jamais mêler aucune conjecture à nos jugements sur la vérité des choses.
Cette remarque est d’une grande importance ; et si dans la philosophie vulgaire on ne trouve rien de si évident et de si certain qui ne donne matière à quelque controverse, peut-être la meilleure raison en est-elle que les savants, non contents de reconnaître les choses claires et certaines, ont osé affirmer des choses obscures et inconnues qu’ils n’atteignaient qu’à l’aide de conjectures et de probabilités ; puis, y ajoutant successivement eux-mêmes une entière croyance, et les mêlant sans discernement aux choses vraies et évidentes, ils n’ont pu rien conclure qui ne parût dériver plus ou moins de quelqu’une de ces propositions incertaines, et qui partant ne fût incertain.
Mais, pour ne pas tomber dans la même erreur, rapportons ici les moyens par lesquels notre entendement peut s’élever à la connaissance sans crainte de se tromper. Or il en existe deux, l’intuition et la déduction. Par intuition j’entends non le témoignage variable des sens, ni le jugement trompeur de l’imagination naturellement désordonnée, mais la conception d’un esprit attentif, si distincte et si claire qu’il ne lui reste aucun doute sur ce qu’il comprend ; ou, ce qui devient au même, la conception évidente d’un esprit sain et attentif, conception qui naît de la seule lumière de la raison, et est plus sûre parce qu’elle est plus simple que la déduction elle-même, qui cependant, comme je l’ai dit plus haut, ne peut manquer d’être bien faite par l’homme. C’est ainsi que chacun peut voir intuitivement qu’il existe, qu’il pense, qu’un triangle est terminé par trois lignes, ni plus ni moins, qu’un globe n’a qu’une surface, et tant d’autres choses qui sont en plus grand nombre qu’on ne le pense communément, parce qu’on dédaigne de faire attention à des choses si faciles.
Mais de peur qu’on ne soit troublé par l’emploi nouveau du mot intuition, et de quelques autres que dans la suite je serai obligé d’employer dans un sens détourné de l’acception vulgaire, je veux : avertir ici en général que je m’inquiète peu du sens que dans ces derniers temps l’école a donné aux mots ; il serait très difficile en effet de se servir des mêmes termes, pour représenter des idées toutes différentes ; mais que je considère seulement quel sens ils ont en latin, afin que, toutes les fois que l’expression propre me manque, j’emploie la : métaphore qui me paraît la plus convenable pour rendre ma pensée.
Or cette évidence et cette certitude de l’intuition doit se retrouver non seulement dans une énonciation quelconque, mais dans tout raisonnement. Ainsi quand on dit deux et deux font la même chose que trois et un, il ne faut pas seulement voir par intuition que deux et deux égalent quatre, et que trois et un égalent quatre, il faut encore voir que de ces deux propositions il est nécessaire de conclure cette troisième, savoir, qu’elles sont égales.
But as we have stated earlier, among all the sciences that have been established, only arithmetic and geometry are entirely free from error or uncertainty. To give a precise reason for this, let us note that we acquire knowledge of things through two avenues: experience and deduction. Moreover, experience is often deceptive; whereas deduction—that is, the process by which we infer one thing from another—may not be possible if we fail to perceive the necessary connections, it is never flawed, even when performed by the least skilled thinker. This method does not rely on those logical relationships that dialectics often complicates for human reasoning, even though I am far from denying that such forms of reasoning can be useful for other purposes. In short, all errors—let me not say committed by animals, but certainly by humans—are due not to faulty induction, but rather to starting from poorly understood experiences or to making hasty judgments without any solid basis.
All of this demonstrates why arithmetic and geometry are far more certain than other sciences, for their objects are so clear and simple that they require no assumptions whatsoever that experience might challenge; moreover, both disciplines proceed through a chain of conclusions that reason can derive logically from one another. Hence, they are the easiest and most straightforward of all sciences, and their subjects are precisely what we desire to understand. Indeed, apart from negligence, it is hardly conceivable that anyone could fail to grasp them. Nevertheless, it is not surprising that many people prefer to devote themselves to other fields of study or philosophy. After all, one tends to feel more entitled to speculate about obscure matters than about clear and straightforward ones; moreover, it is much easier to form some vague ideas about any given issue than to attain the truth itself—even in the simplest of subjects. From all this, we must conclude not that arithmetic and geometry are the only sciences worth learning, but rather that anyone seeking the path to truth should avoid engaging with subjects about which they cannot possess a knowledge as certain as that derived from mathematical proofs.
Rule number three
We must search within the object of our study—not what others have thought about it, nor what we ourselves suspect, but what we can see clearly and undoubtedly, or what we can deduce in a definite manner. This is the only way to attain true knowledge.
We must read the works of the ancients, for it is a great advantage to be able to make use of the endeavors of so many people. Firstly, it allows us to learn about the valuable discoveries they have made; secondly, it helps us to become aware of what remains to be discovered. However, there is a risk that too attentive reading of their works might introduce some errors into our minds, despite all our precautions and care. Indeed, whenever a writer, driven by credulity or lack of reflection, holds a controversial opinion, he will employ every possible reason and subtlety to persuade us of his viewpoint. On the contrary, if he happens to discover something certain and evident, he will present it to us in a vague and awkward manner—perhaps fearing that the simplicity of the expression might diminish the value of the discovery, or perhaps out of envy for our ability to grasp the truth more clearly.
Moreover, even if all authors were entirely honest and clear in their presentations, never leaving us in doubt about the truth, but instead presenting what they knew in good faith—since it is hardly possible for one person to advance a viewpoint that another would not counter with opposing arguments—we would still be uncertain as to which of these views to believe. Counting the number of supporters would be of no help in deciding which opinion to follow, since in difficult matters, it is more likely that the truth lies with the minority rather than the majority. Even if everyone agreed, merely knowing their doctrines would not be sufficient; after all, to use an analogy, we could never become mathematicians just by memorizing all others’ proofs, unless we were ourselves capable of solving any problem independently. Similarly, even if we had read all of Plato’s and Aristotle’s arguments, we would still not be philosophers unless we could form a solid judgment on any given issue. In such cases, it would seem that we have learned not science itself, but merely its history.
Furthermore, we must always beware of never mixing any conjectures into our judgments regarding the truth of things.
This remark is of great importance; and if in vulgar philosophy one cannot find anything so evident and certain that it does not give rise to some form of controversy, perhaps the best reason for this is that scholars, not content with merely acknowledging what is clear and certain, have dared to assert things that are obscure and unknown, things they could only grasp through conjecture and probability. Moreover, by subsequently adding their own complete beliefs to these assertions and mixing them indiscriminately with what is true and evident, they have been unable to arrive at any conclusions that did not seem to derive more or less from some of those uncertain propositions—and thus, all such conclusions were necessarily uncertain themselves.
But in order to avoid falling into the same mistake, let us here outline the means by which our understanding can ascend to knowledge without fear of error. There are two such means: intuition and deduction. By intuition, I do not mean the fluctuating testimony of the senses, nor the misleading judgments of an inherently disordered imagination, but rather a clear and distinct conception arising from an attentive mind—a conception so lucid that it leaves no room for doubt whatsoever regarding what is understood. In other words, it is the evident understanding of a healthy and alert intellect, a perception born solely of the light of reason itself. This kind of intuition is even more reliable than deduction, for although deduction, as I have already stated, can certainly be performed correctly by humans when applied properly, intuition, being simpler in its approach, offers an even greater certainty. Indeed, there are countless other truths that we could intuitively grasp—such as the fact that a triangle is defined by three lines and nothing more, or that a sphere has only one surface—but we often fail to acknowledge them because we neglect to pay attention to such obvious matters.
However, lest one might be disturbed by the new usage of the word “intuition” and by a few other terms that I will subsequently be obliged to employ in a sense different from their common meaning, I would like to state here in general that I pay little attention to the meaning that schools have given to these words in recent times. It would indeed be very difficult to use the same terms to express entirely different ideas; rather, I am concerned solely with the meaning of these terms in Latin, so that whenever I lack an appropriate expression, I can resort to the metaphor that seems most suitable for conveying my thoughts.
Or this evidence and certainty of intuition must be present not only in some particular statement, but in every form of reasoning. Thus, when we say that two plus two equals the same thing as three plus one, it is not enough to intuitively understand that two plus two indeed equals four, and that three plus one also equals four; we must also recognize that it is necessary to infer this third conclusion from these two statements—that they are, in fact, equal.
Ma come abbiamo detto in precedenza, tra le scienze esistenti, solo l’aritmetica e la geometria sono completamente prive di falsità o incertezza. Per dare una spiegazione precisa di ciò, osserviamo che giungiamo alla conoscenza delle cose attraverso due vie: l’esperienza e la deduzione. Tuttavia, l’esperienza è spesso ingannevole; al contrario, la deduzione, ovvero l’operazione mediante la quale si inferisce una cosa da un’altra, può non riuscire se non viene compresa correttamente, ma non è mai errata, nemmeno da parte di chi meno abbia dimestichezza nel ragionare. Questa operazione non fa ricorso ai meccanismi logici attraverso i quali la dialettica ostacola il pensiero umano; anzi, non nego affatto che tali forme possano essere utilizzate per altri scopi. Pertanto, tutti gli errori in cui possono incorrere – non parlo degli animali, ma degli esseri umani – derivano non da una induzione errata, ma dal partire da esperienze poco comprese o da giudizi affrettati e privi di fondamento solido.
Tutto ciò dimostra come l’aritmetica e la geometria siano di gran lunga più certe delle altre scienze, poiché il loro oggetto è così chiaro e semplice da non richiedere alcuna ipotesi che possa essere confutata dall’esperienza; inoltre, entrambe si basano su una catena di conseguenze dedotte logicamente l’una dall’altra. Per queste ragioni, sono le scienze più semplici e comprensibili, e il loro oggetto corrisponde esattamente a ciò che desideriamo conoscere; infatti, ad eccezione della distrazione, è quasi impossibile che un uomo si perda in tali argomenti. Tuttavia, non sorprende che molti preferiscano dedicarsi ad altre discipline o alla filosofia: dopotutto, ognuno si permette più facilmente di formulare ipotesi su argomenti oscuri rispetto a quelli chiari, e è molto più semplice avere idee vaghe su una questione qualsiasi piuttosto che giungere alla verità stessa anche sulle cose più semplici. Da tutto ciò si può concludere che l’aritmetica e la geometria non siano le uniche scienze da studiare, ma che chi cerca la strada verso la verità non dovrebbe occuparsi di argomenti su cui non possa disporre di una conoscenza altrettanto certa quanto quella derivante dalle dimostrazioni aritmetiche e geometriche.
Regola terza
È necessario cercare nell’oggetto del nostro studio non ciò che altri ne hanno pensato, né ciò che noi stessi sospettiamo, ma ciò che possiamo vedere chiaramente e con evidenza, o dedurre in modo certo. Questo è l’unico modo per raggiungere la scienza.
Dobbiamo leggere gli scritti degli antichi, perché rappresenta un grande vantaggio poter disporre dei lavori di un così gran numero di persone: innanzitutto per conoscere le buone scoperte che sono riuscite a compiere, e in secondo luogo per essere avvertiti di ciò che ancora resta da scoprire. Tuttavia, si teme che una lettura troppo attenta dei loro scritti possa far insediare nella nostra mente alcune errori, nonostante le nostre precauzioni e i nostri sforzi per evitarli. Infatti, di solito, ogni volta che uno scrittore, spinto dalla credulità o dall’irreflessione, si pronuncia su un’opinione contestata, non esistono ragioni né sottigliezze che egli non utilizzi per convincerci della sua tesi. Al contrario, se ha la fortuna di scoprire qualcosa di certo ed evidente, ci presenta tale conoscenza in modo oscuro e imbarazzante; probabilmente teme che la semplicità della forma con cui esprime il proprio pensiero possa ridurre la bellezza della scoperta, o forse perché desidera per sé stesso una comprensione più profonda e chiara della verità.
Inoltre, anche se tutti gli autori fossero sinceri e chiari, e non ci lasciassero mai dubbi sulla verità, ma esponessero ciò che sanno con buona fede; poiché è raro che una tesi proposta da uno non abbia un’opinione contraria sostenuta da un altro, rimarremmo sempre incerti su quale delle due dobbiamo credere, e non ci sarebbe di alcun aiuto contare i voti per seguire l’opinione che ha il maggior numero di sostenitori. Infatti, quando si tratta di una questione difficile, è probabile che la verità sia piuttosto dalla parte del minor numero che di quello maggiore. Anche se tutti fossero d’accordo, non ci basterebbe ancora conoscere la loro dottrina; infatti, per fare un paragone, non diventeremo mai matematici, anche se ricordiamo a memoria tutte le dimostrazioni degli altri, se non siamo in grado di risolvere da soli ogni tipo di problema. Allo stesso modo, anche se avessimo letto tutti i ragionamenti di Platone e Aristotele, non saremmo comunque più filosofi, se non fossimo in grado di formulare un giudizio solido su una questione qualsiasi. Sembrierebbe quindi che abbiamo imparato non una scienza, ma semplicemente della storia.
Prendiamo inoltre attenzione a non mescolare mai alcuna congettura nei nostri giudizi sulla verità delle cose.
Questa osservazione è di grande importanza; e se nella filosofia comune non si trova nulla di così evidente e certo da non suscitare alcuna controversia, forse la migliore ragione per questo è che gli studiosi, non contenti di riconoscere solo le cose chiare e certe, hanno osato affermare cose oscure e sconosciute, alle quali potevano giungere soltanto attraverso congetture e probabilità; inoltre, aggiungendo loro stessi successivamente una fede totale e mescolandole senza discernimento con le cose vere ed evidenti, non sono riusciti a trarre alcuna conclusione che non sembrasse derivare, più o meno, da una di quelle proposizioni incerte, e quindi che non fosse essa stessa incerta.
Ma per non commettere lo stesso errore, riportiamo qui i mezzi attraverso i quali il nostro intelletto può elevarsi alla conoscenza senza temere di sbagliare. Esistono due tali mezzi: l’intuizione e la deduzione. Con intuizione intendo non il testimone variabile dei sensi, né il giudizio ingannevole dell’immaginazione naturalmente disordinata, ma quella concezione chiara e distinta che permette a un intelletto attento di comprendere senza alcun dubbio ciò che osserva; in altre parole, quella percezione evidente derivante esclusivamente dalla luce della ragione, più sicura proprio perché più semplice della deduzione stessa. Come ho già detto, tuttavia, anche la deduzione, se condotta con attenzione, non può mai fallire nell’uomo. È così che ognuno può intuire intuitivamente che esistiamo, che pensiamo, che un triangolo è formato da tre linee e basta, che una sfera ha una sola superficie, e molte altre cose ancora, di cui si potrebbero enumerare molte di più se solo ci si prendesse la briga di osservarle attentamente.
Ma per evitare che l’uso nuovo del termine “intuizione”, e di alcuni altri termini che in seguito sarò costretto ad utilizzare in un senso diverso da quello comune, possa causare confusione, desidero qui avvertire in generale che non mi preoccupo affatto del significato che negli ultimi tempi l’epoca attuale ha attribuito a questi termini; infatti sarebbe molto difficile utilizzare gli stessi termini per esprimere idee completamente diverse. Tuttavia, considero soltanto il significato che questi termini hanno in latino, affinché, ogni volta che mi manchi l’espressione più appropriata, possa ricorrere alla metafora che ritengo più adatta a trasmettere il mio pensiero.
Ora, questa evidenza e questa certezza derivanti dall’intuizione devono riscontrarsi non solo in alcuna enunciazione specifica, ma in ogni ragionamento. Quindi, quando si afferma che “due più due danno lo stesso risultato di tre più uno”, non basta intuire che due più due equivalgono a quattro e che tre più uno equivalgono anch’essi a quattro; è necessario anche dimostrare che da queste due proposizioni si possa concludere logicamente la terza, ovvero che siano effettivamente uguali.
On pourrait peut-être se demander pourquoi à l’intuition nous ajoutons cette autre manière de connaître par déduction, c’est-à-dire par l’opération, qui d’une chose dont nous avons la connaissance certaine, tire des conséquences qui s’en déduisent nécessairement. Mais nous avons dû admettre ce nouveau mode ; car il est un grand nombre de choses qui, sans être évidentes par elles-mêmes, portent cependant le caractère de la certitude, pourvu qu’elles soient déduites de principes vrais et incontestés par un mouvement continuel et non interrompu de la pensée, avec une intuition distincte de chaque chose ; tout de même que nous savons que le dernier anneau d’une longue chaîne tient au premier, encore que nous ne puissions embrasser d’un coup d’œil les anneaux intermédiaires, pourvu qu’après les avoir parcourus successivement nous nous rappelions que, depuis le premier jusqu’au dernier, tous se tiennent entre eux. Aussi distinguons-nous l’intuition de la déduction, en ce que dans l’une on conçoit une certaine marche ou succession, tandis qu’il n’en est pas ainsi dans l’autre, et en outre que la déduction n’a pas besoin d’une évidence présente comme l’intuition, mais qu’elle emprunte en quelque sorte toute sa certitude de la mémoire ; d’où il suit que l’on peut dire que les premières propositions, dérivées immédiatement des principes, peuvent être, suivant la manière de les considérer, connues tantôt par intuition, tantôt par déduction ; tandis que les principes eux-mêmes ne sont connus que par intuition, et les conséquences éloignées que par déduction.
Ce sont là les deux voies les plus sûres pour arriver à la science ; l’esprit ne doit pas en admettre davantage ; il doit rejeter toutes les autres comme suspectes et sujettes à l’erreur ; ce qui n’empêche pas que les vérités de la révélation ne soient les plus certaines de toutes nos connaissances, car la foi qui les fonde est, comme dans tout ce qui est obscur, un acte non de l’esprit, mais de la volonté, et si elle a dans l’intelligence humaine un fondement quelconque, c’est par l’une des deux voies dont j’ai parlé qu’on peut et qu’on doit le trouver, ainsi que je le montrerai peut-être quelque jour avec plus de détails.
Règle quatrième
Nécessité de la méthode dans la recherche de la vérité.
Les hommes sont poussés par une curiosité si aveugle, que souvent ils dirigent leur esprit dans des voies inconnues, sans aucun espoir fondé, mais seulement pour essayer si ce qu’ils cherchent n’y serait pas ; à peu près comme celui qui, dans l’ardeur insensée de découvrir un trésor, parcourrait perpétuellement tous les lieux pour voir si quelque voyageur n’y en a pas laissé un ; c’est dans cet esprit qu’étudient presque tous les chimistes, la plupart des géomètres, et bon nombre de philosophes. Et certes je ne disconviens pas qu’ils n’aient quelquefois le bonheur de rencontrer, quelque vérité ; mais je n’accorde pas qu’ils en soient pour cela plus habiles, mais seulement plus heureux. Aussi vaut-il bien mieux ne jamais songer à chercher la vérité que de le tenter sans méthode ; car il est certain que les études sans ordre et les méditations confuses obscurcissent les lumières naturelles et aveuglent l’esprit. Ceux qui s’accoutument ainsi à marcher dans les ténèbres s’affaiblissent tellement la vue, qu’ils ne peuvent plus supporter la lumière du jour ; ce que confirme l’expérience, puisque nous voyons des hommes qui jamais ne se sont occupés de lettres juger d’une manière plus saine et plus sûre de ce qui se présente que ceux qui ont passé leur vie dans les écoles. Or, par méthode, j’entends des règles certaines et faciles, qui, suivies rigoureusement, empêcheront qu’on ne suppose jamais ce qui est faux, et feront que sans consumer ses forces inutilement, et en augmentant graduellement sa science, l’esprit s’élève à la connaissance exacte de tout ce qu’il est capable d’atteindre.
Il faut bien noter ces deux points, ne pas supposer vrai ce qui est faux, et tâcher d’arriver à la connaissance de toutes choses. En effet si nous ignorons quelque chose de tout ce que nous pouvons savoir, c’est que nous n’avons jamais remarqué aucun moyen qui pût nous conduire à une pareille connaissance, ou parce que nous sommes tombés dans l’erreur contraire. Or si la méthode montre nettement comment il faut se servir de l’intuition pouf éviter de prendre le faux pour le vrai, et comment la déduction doit s’opérer pour nous conduire à la science de toutes choses, elle sera complète à mon avis, et rien ne lui manquera, puisqu’il n’y a de science qu’avec l’intuition et la déduction, ainsi que je l’ai dit plus haut. Toutefois elle ne peut pas aller jusqu’à apprendre comment se font ces opérations, parce qu’elles sont les plus simples et les premières de toutes ; de telle sorte que si notre esprit ne les sa voit faire d’avance, il ne comprendrait aucune des règles de la méthode, quelque faciles qu’elles fussent. Quant aux autres opérations de l’esprit, que la dialectique s’efforce de diriger à l’aide de ces deux premiers moyens, elles ne sont ici d’aucune utilité ; il y a plus, on doit les mettre au nombre des obstacles ; car on ne peut rien ajouter à la pure lumière de la raison, qui ne l’obscurcisse en quelque manière.
Comme l’utilité de cette méthode est telle que se livrer sans elle à l’étude des lettres soit plutôt une chose nuisible qu’utile, j’aime, à penser que depuis longtemps les esprits supérieurs, abandonnés à leur direction naturelle, l’ont en quelque sorte entrevue. En effet l’âme humaine possède je ne sais quoi de divin où sont déposés les premiers germes des connaissances utiles, qui, malgré la négligence et la gêne des études mal faites, y portent des fruits spontanés. Nous en avons une preuve dans les plus faciles de toutes les sciences, l’arithmétique et la géométrie. On a remarqué en effet que les anciens géomètres se servaient d’une espèce d’analyse, qu’ils étendaient à la solution des problèmes, encore bien qu’ils en aient envié la connaissance à la postérité. Et ne voyons-nous pas fleurir une certaine espèce d’arithmétique, l’algèbre, qui a pour but d’opérer sur les nombres ce que les anciens opéraient sur les figures ? Or ces deux analysés ne sont autre chose que les fruits spontanés des principes de cette méthode naturelle, et je ne m’étonne pas qu’appliquées à des objets si simples, elles aient plus heureusement réussi que dans d’autres sciences où de plus grands obstacles arrêtaient leur développement ; encore bien que même, dans ces sciences, pourvu qu’on les cultive avec soin, elles puissent arriver à une entière maturité.
C’est là le but que je me propose dans ce traité. En effet je ne ferais pas grand cas de ces règles, si elles ne servaient qu’à résoudre certains problèmes dont les calculateurs et les géomètres amusent leurs loisirs. Dans ce cas, que ferais-je autre chose que de m’occuper de bagatelles avec plus de subtilité peut-être que d’autres ? Aussi quoique, dans ce traité, je parle souvent de figures et de nombres, parce qu’il n’est aucune science à laquelle on puisse emprunter des exemples plus évidents et plus certains, celui qui suivra attentivement ma pensée verra que je n’embrasse ici rien moins que les mathématiques ordinaires, mais que j’expose une autre méthode, dont elles sont plutôt l’enveloppe que le fond. En effet, elle doit contenir les premiers rudiments de la raison humaine, et aider à faire sortir de tout sujet les vérités qu’il renferme ; et, pour parler librement, je suis convaincu qu’elle est supérieure à tout autre moyen humain de connaître, parce qu’elle est l’origine et la source de toutes les vérités. Or je dis que les mathématiques sont l’enveloppe de cette méthode, non que je veuille la cacher et l’envelopper, pour en éloigner le vulgaire, au contraire, je veux la vêtir et l’orner, de manière qu’elle soit plus à la portée de l’esprit.
One might perhaps wonder why, intuitively, we add this additional mode of knowledge through deduction—that is, by employing a process that takes something we already know with certainty and derives from it conclusions that necessarily follow. But we have had to accept this new method; for there are numerous things that, although not self-evident, possess the character of certainty whenever they are deduced from true and indisputable principles through a continuous and uninterrupted flow of thought, accompanied by an intuitive grasp of each individual step in the process. Just as we know that the last link in a long chain is connected to the first, even though we cannot see all the intermediate links at once, so long as we recall them in sequence after examining them one by one, we can be certain that they are all interconnected. Thus, we distinguish between intuition and deduction: in intuition, we conceive of a particular order or succession of events; in deduction, this order is not inherent. Moreover, deduction does not require immediate evidence like intuition does; rather, it draws its certainty from memory. It follows then that the first propositions, being directly derived from principles, can be known either through intuition or through deduction, depending on how they are considered; whereas the principles themselves can only be known through intuition, and the more distant consequences through deduction.
These are the two most certain paths to attain knowledge; the mind must accept no others; it must reject all others as suspect and liable to error. Nevertheless, the truths revealed by revelation are undoubtedly the most certain of all our knowledge, for the faith that underlies them is, just like in all matters that are obscure, an act not of the intellect but of the will. And if this faith has any basis within human understanding at all, it must be found through one of the two paths I have mentioned—just as I may perhaps demonstrate in greater detail some day.
Rule Four
The necessity of method in the pursuit of truth.
Men are driven by such blind curiosity that they often direct their thoughts down unknown paths, without any real hope, merely to see if what they seek might be found there; much like someone, in the frenzied desire to discover a treasure, endlessly searching every place to see if some traveler has left it behind. It is with this mindset that nearly all chemists, most geometers, and many philosophers pursue their studies. Indeed, I do not deny that they sometimes have the good fortune to uncover some truth; but I do not claim that they are thereby more skilled in their pursuits, merely more fortunate. Therefore, it is far better never even to think about seeking the truth than to attempt it without any method or order; for certain, disorderly study and confused contemplation only obscure one’s natural understanding and blind the mind. Those who habitually wander in the darkness end up so weakened in their vision that they can no longer endure the light of day—something confirmed by experience, for we see men who have never engaged in scholarship judge things more clearly and more accurately than those who have spent their lives in schools. By “method,” I mean definite and straightforward rules that, if strictly followed, will prevent one from ever assuming what is false and will ensure that, without wasting energy needlessly and by gradually expanding one’s knowledge, the mind can attain a precise understanding of everything within its reach.
It is essential to note these two points: not to assume that what is false is true, and to strive to attain knowledge of all things. Indeed, if there is something we know that we should know, it is either because we have never noticed any method that could lead us to such knowledge, or because we have fallen into the opposite error. Now, if this method clearly demonstrates how to use intuition in order to avoid mistaking the false for the true, and how deduction must be employed to lead us to the knowledge of all things, then in my opinion it is complete and lacks nothing, for there is no true science except that which arises from intuition and deduction, as I have stated earlier. However, this method cannot teach us how these operations are actually carried out, because they are the simplest and most fundamental among them; consequently, if our mind does not pre-understand how they are done, it will not be able to grasp any of the method’s rules, no matter how simple they may be. As for the other mental operations that dialectics seeks to guide through these two primary means, they are of no use here; on the contrary, they should be considered obstacles, for nothing can be added to the pure light of reason without in some way obscuring it.
Since the usefulness of this method is such that undertaking the study of the humanities without it would be more harmful than beneficial, I like to think that for a long time those with superior minds, left to follow their natural inclinations, must have had some vague notion of it. Indeed, the human soul possesses something divine within it—something in which the first seeds of useful knowledge are laid. Despite the neglect and the obstacles posed by poorly conducted studies, these seeds still produce spontaneous fruits. We have evidence of this in the simplest of all sciences: arithmetic and geometry. It has been observed that ancient geometers employed a kind of analysis in solving problems, though they themselves regretted that future generations would not possess such knowledge. And do we not see today the emergence of a particular branch of arithmetic—algebra—which aims to perform on numbers what the ancients did on geometric figures? These two forms of analysis are nothing but the spontaneous fruits of these natural principles. I am therefore not surprised that, applied to such simple objects, they have achieved greater success than in other sciences where far greater obstacles hinder their development; yet even in those sciences, with careful cultivation, they can reach full maturity.
This is the goal I set for myself in this treatise. Indeed, I would attach little importance to these rules if they were merely useful for solving certain problems that computers and geometers might engage in in their leisure time. In that case, what difference would it make if I approached such matters with more sophistication than others? Nevertheless, although I often refer to figures and numbers in this treatise, there is no other science from which one could draw more obvious and certain examples. Those who follow my reasoning closely will see that I am not merely addressing the ordinary mathematics here, but rather presenting another method—rather the outer shell than the essence of mathematics itself. Indeed, this new method must encompass the most fundamental aspects of human reason and help to extract from every subject the truths it contains. And, to speak frankly, I am convinced that it surpasses all other human means of knowledge, for it is the origin and source of all truth. When I say that mathematics is merely the outer shell of this method, it is not that I wish to conceal or obscure it, thereby keeping it out of the reach of the layperson. On the contrary, I aim to adorn and embellish it so that it becomes more accessible to the mind.
Si potrebbe forse chiedersi perché, per intuizione, aggiungiamo questo altro modo di conoscere, ovvero quello della deduzione: cioè quel processo attraverso il quale, partendo da una verità certa, si traggono conseguenze che ne derivano necessariamente. Tuttavia abbiamo dovuto adottare questo nuovo metodo; perché esistono molte cose che, pur non essendo evidenti di per sé, possiedono comunque il carattere della certezza, a condizione che vengano dedotte da principi veri e incontestabili, attraverso un processo continuo e senza interruzioni del pensiero, con un’intuizione chiara di ciascun elemento. È come sapere che l’ultimo anello di una lunga catena è collegato al primo, anche se non possiamo vedere tutti gli anelli intermedi in una sola volta; basta ricordare, dopo averli esaminati uno per uno, che da quello iniziale fino all’ultimo, tutti sono connessi tra loro. Pertanto distinguiamo l’intuizione dalla deduzione: nell’intuizione si concepisce una certa sequenza o successione di eventi, mentre nella deduzione ciò non avviene; inoltre, la deduzione non ha bisogno di un’evidenza immediata come l’intuizione, ma trae tutta la sua certezza dalla memoria. Da questo si può concludere che le prime proposizioni, derivate direttamente dai principi fondamentali, possono essere conosciute sia per intuizione che per deduzione, a seconda del modo in cui vengono considerate; mentre i principi stessi sono conosciuti soltanto per intuizione, e le conseguenze più lontane solo attraverso la deduzione.
Queste sono le due strade più sicure per giungere alla scienza; lo spirito non deve ammetterne altre; deve respingere tutte le altre come sospette e soggette all’errore. Ciò tuttavia non impedisce che le verità rivelate siano le più certe tra tutte le nostre conoscenze, poiché la fede che le sostiene è, come in tutto ciò che è oscuro, un atto non dello spirito, ma della volontà. E se questa fede ha nel pensiero umano qualche fondamento, allora tale fondamento può e deve essere trovato attraverso una delle due strade di cui ho parlato; forse un giorno ne dimostrerò i dettagli con maggiore precisione.
Regola quarta
La necessità del metodo nella ricerca della verità.
Gli uomini sono spinti da una curiosità così cieca che spesso indirizzano il proprio pensiero verso vie sconosciute, senza alcuna speranza fondata, ma soltanto per tentare di scoprire se ciò che cercano possa trovarsi lì; è più o meno come colui che, nell’ardore folle di trovare un tesoro, esplorerebbe continuamente tutti i luoghi per vedere se qualche viaggiatore non ne abbia lasciato uno. È con questo spirito che studiano quasi tutti i chimici, la maggior parte dei geometri e molti filosofi. Certo, non nego che a volte abbiano la fortuna di scoprire qualche verità; ma non ritengo che per questo siano più abili, bensì solo più fortunati. Pertanto, è molto meglio non pensare mai nemmeno a cercare la verità, piuttosto che tentarlo senza alcun metodo; poiché è certo che uno studio disordinato e delle meditazioni confuse offuscano le lumi naturali e accecano lo spirito. Coloro che si abituano a procedere nel buio indeboliscono talmente la propria vista da non poter più sopportare la luce del giorno; ciò è confermato dall’esperienza, poiché vediamo persone che non hanno mai studiato lettere giudicare in modo più sano e sicuro di ciò che si presenta rispetto a coloro che hanno trascorso tutta la loro vita nelle scuole. Per “metodo”, intendo regole certe e semplici che, se seguite rigorosamente, impediranno di supporre mai ciò che è falso e consentiranno allo spirito, senza dissipare inutilmente le proprie forze e aumentando gradualmente la propria conoscenza, di raggiungere una comprensione esatta di tutto ciò che è in suo potere ottenere.
È necessario prestare attenzione a questi due punti: non supporre vero ciò che è falso e cercare di raggiungere la conoscenza di tutte le cose. Infatti, se ignoriamo qualcosa di tutto ciò che potremmo sapere, significa che non abbiamo mai individuato alcun mezzo che possa condurci a tale conoscenza, oppure che siamo caduti in un errore opposto. Ora, se il metodo dimostra chiaramente come utilizzare l’intuizione per evitare di confondere il falso con il vero, e come la deduzione debba essere applicata per condurci alla conoscenza di tutte le cose, allora, a mio parere, tale metodo è completo e non gli manca nulla; infatti, non esiste scienza se non attraverso l’intuizione e la deduzione, come ho già detto in precedenza. Tuttavia, questo metodo non può arrivare a spiegare esattamente come avvengono queste operazioni mentali, poiché esse sono le più semplici e fondamentali; quindi, se la nostra mente non le comprende già in anticipo, non riuscirà ad afferrare nessuna delle regole del metodo, per quanto queste siano semplici. Per quanto riguarda le altre operazioni mentali che la dialettica cerca di guidare attraverso questi due primi mezzi, esse qui non sono di alcun utilità; anzi, vanno considerate degli ostacoli, poiché nulla può essere aggiunto alla pura luce della ragione senza offuscarla in qualche modo.
Poiché l’utilità di questo metodo è tale che dedicarsi allo studio delle lettere senza di esso rappresenta piuttosto un danno che un vantaggio, mi piace pensare che da molto tempo gli spiriti superiori, lasciati alla loro direzione naturale, ne abbiano intravisto i principi. Infatti, l’anima umana possiede qualcosa di divino in sé; in essa si trovano i primi germi delle conoscenze utili, che, nonostante la negligenza e gli ostacoli derivanti da uno studio mal fatto, producono frutti spontanei. Ne abbiamo una prova nelle scienze più semplici, come l’aritmetica e la geometria: si è notato infatti che gli antichi geometri utilizzavano un certo tipo di analisi per risolvere i problemi, anche se in seguito questa conoscenza fu invidiata dalle generazioni future. E non vediamo forse fiorire una sorta di aritmetica, l’algebra, il cui scopo è operare sui numeri esattamente come gli antichi operavano sulle figure? Ora, questi due tipi di analisi non sono altro che i frutti spontanei dei principi di questo metodo naturale; non mi sorprende quindi che, applicati a oggetti così semplici, abbiano avuto successo maggiore rispetto ad altre scienze in cui grandi ostacoli ne hanno impedito lo sviluppo. Tuttavia, anche in queste ultime, se coltivate con cura, possono raggiungere una piena maturità.
Ecco lo scopo che mi prefisso in questo trattato. Infatti, non darei grande importanza a queste regole se non servissero soltanto a risolvere alcuni problemi con cui calcolatori e geometri si divertono nei loro momenti di svago. In tal caso, cosa farei io se non occuparmi di questioni banali, forse con maggiore raffinatezza di altri? Pertanto, anche se in questo trattato parlo spesso di figure e numeri – poiché non esiste alcuna scienza che possa offrire esempi più evidenti e certi – chi seguirà attentamente il mio ragionamento comprenderà che qui affronto nulla di meno delle matematiche ordinarie, ma presento un metodo diverso, che rappresenta piuttosto la loro “involucro” che il loro nucleo essenziale. Infatti, questo metodo deve contenere i primi rudimenti della ragione umana e aiutare a estrarre da ogni argomento le verità che esso racchiude; e, per parlare francamente, sono convinto che sia superiore a qualsiasi altro mezzo umano di conoscenza, poiché rappresenta l’origine e la fonte di tutte le verità. Dico quindi che le matematiche sono l’involucro di questo metodo, non perché voglia nasconderlo o avvolgerlo per allontanarlo dal pubblico comune, ma al contrario, per abbellirlo e renderlo più accessibile alla mente umana.
Quand j’ai commencé à m’adonner aux mathématiques, j’ai lu la plupart des ouvrages de ceux qui les ont cultivées, et j’ai étudié de préférence l’arithmétique et la géométrie, parce qu’elles étaient, disait-on, les plus simples, et comme la clef de toutes les autres sciences ; mais je ne rencontrais dans l’une ni l’autre un auteur qui me satisfît complètement. J’y voyais diverses propositions sur les nombres dont, calcul fait, je reconnaissais la vérité ; quant aux figures, on me mettait, pour ainsi dire, beaucoup de vérités sous les yeux, et on en concluait quelques autres par analogie ; mais on ne me paraissait pas dire assez clairement à l’esprit pourquoi les choses étaient comme on les montrait, et par quels moyens on parvenait à leur découverte. Aussi, je ne m’étonnais plus de ce que des hommes habiles et savants abandonnassent ces sciences, après les avoir à peine effleurées, comme des connaissances puériles et vaines, ou, d’autre part, tremblassent de s’y livrer, comme à des études difficiles et embarrassées. En effet il n’y a rien de plus vide que de s’occuper de nombres et de figures imaginaires, comme si on voulait s’arrêter à la connaissance de pareilles bagatelles ; et de s’appliquer à ces démonstrations superficielles que le hasard découvre plus souvent que l’art, de s’y appliquer, dis-je, avec tant de soins, qu’on désapprouve, en quelque sorte, de se servir de sa raison ; sans compter qu’il n’y a rien de plus difficile que de dégager, par cette méthode, les difficultés nouvelles qui se présentent pour la première fois, de la confusion des nombres qui les enveloppent. Mais quand, d’autre part, je me demandai pourquoi donc les premiers inventeurs de la philosophie voulaient n’admettre à l’étude de la sagesse que ceux qui avaient étudié les mathématiques, comme si cette science eût été la plus facile de toutes et la plus nécessaire pour préparer et dresser l’esprit à en comprendre de plus élevées, j’ai soupçonné qu’ils reconnaissaient une certaine science mathématique différente de celle de notre âge. Ce n’est pas que je croie qu’ils en eussent une connaissance parfaite : leurs transports insensés et leurs sacrifices pour les plus minces découvertes, prouvent combien ces études étaient alors dans l’enfance. Je ne suis point non plus touché des éloges que prodiguent les historiens à quelques-unes de leurs inventions ; car, malgré leur simplicité, on conçoit qu’une multitude ignorante et facile à étonner les ait louées comme des prodiges. Mais je me persuade que certains germes primitifs des vérités que la nature a déposées dans l’intelligence humaine, et que nous étouffons en nous à force de lire et d’entendre tant d’erreurs diverses, avaient, dans cette simple et naïve Antiquité, tant de vigueur et de force, que les hommes éclairés de cette lumière de raison qui leur faisait préférer la vertu aux plaisirs, l’honnête à l’utile, encore qu’ils ne sussent pas la raison de cette préférence, s’étaient fait des idées vraies et de la philosophie et des mathématiques, quoiqu’ils ne pussent pas encore pousser ces sciences jusqu’à la perfection. Or, je crois rencontrer quelques traces de ces mathématiques véritables dans Pappus et Diophantes, qui, sans être de la plus haute Antiquité, vivaient cependant bien des siècles avant nous. Mais je croirais volontiers que les écrivains eux-mêmes en ont, par une ruse coupable, supprimé la connaissance ; semblables à quelques artisans qui cachent leur secret, ils ont craint peut-être que la facilité et la simplicité de leur méthode, en les popularisant, n’en diminuât l’importance, et ils ont mieux aimé se faire admirer en nous laissant, comme produit de leur art, quelques vérités stériles subtilement déduites, que de nous enseigner cet art lui-même, dont la connaissance eût fait cesser toute notre admiration. Enfin quelques hommes d’un grand esprit ont, dans ce siècle, essayé de relever cette méthode ; car elle ne paraît autre que ce qu’on appelle du nom barbare d’algèbre, pourvu qu’on la dégage assez de cette multiplicité de chiffres et de ces figures inexplicables qui l’écrasent, pour lui donner cette clarté et cette facilité suprême qui, selon nous, doit se trouver dans les vraies mathématiques. Ces pensées m’ayant détaché de l’étude spéciale de l’arithmétique et de la géométrie, pour m’appeler à la recherche d’une science mathématique en général, je me suis demandé d’abord ce qu’on entendait précisément par ce mot mathématiques, et pourquoi l’arithmétique et la géométrie seulement, et non l’astronomie, la musique, l’optique, la mécanique et tant d’autres sciences, passaient pour en faire partie : car ici il ne suffît pas de connaître l’étymologie du mot. En effet le mot mathématiques ne signifiant que science, celles que j’ai nommées ont autant de droit que la géométrie à être appelées mathématiques f et cependant il n’est personne qui, pour peu qu’il soit entré dans une école, ne puisse distinguer sur-le-champ ce qui se rattache aux mathématiques proprement dites, d’avec ce qui appartient aux autres sciences. Or i en réfléchissant attentivement à ces choses, j’ai découvert que toutes les sciences qui ont pour but la recherche de l’ordre et de la mesure, se rapportent aux mathématiques, qu’il importe peu que ce soit dans les nombres, les figures, les astres, les sons ou tout autre objet qu’on cherche cette mesure, qu’ainsi il doit y avoir une science générale qui explique tout ce qu’on peut trouver sur l’ordre et la mesure, prises indépendamment de toute application à une matière spéciale, et qu’enfin cette science est appelée d’un nom propre, et depuis longtemps consacré par l’usage, savoir les mathématiques, parce qu’elle contient ce pourquoi les autres sciences sont dites faire partie des mathématiques. Et une preuve qu’elle surpasse de beaucoup les sciences qui en dépendent, en facilité et en importance, c’est que d’abord elle embrasse tous les objets auxquels celles-ci s’appliquent, plus un grand nombre d’autres ; et qu’ensuite, si elle contient quelques difficultés, elles existent dans les autres, lesquelles en ont elles-mêmes de spéciales qui naissent de leur objet particulier, et qui n’existent pas pour la science générale. Maintenant, quand tout le monde connaît le nom de cette science, quand on en conçoit l’objet, même sans y penser beaucoup, d’où vient qu’on recherche péniblement la connaissance des autres sciences qui en dépendent, et que personne ne se met en peine de l’étudier elle-même ? Je m’en étonnerais assurément, si je ne savais que tout le monde la regarde comme fort aisée, et si je n’avais remarqué, depuis quelque temps, que toujours l’esprit humain, laissant de côté ce qu’il croit facile, se hâte de courir à des objets nouveaux et plus élevés. Pour moi, qui ai la conscience de ma faiblesse, j’ai résolu d’observer constamment, dans la recherche des connaissances, un tel ordre que, commençant toujours par les plus simples et les plus faciles, je ne fisse jamais un pas en avant pour passer à d’autres, que je ne crusse n’avoir plus rien à désirer sur les premières. C’est pourquoi j’ai cultivé jusqu’à ce jour, autant que je l’ai pu, cette science mathématique universelle, de sorte que je crois pouvoir me livrer à l’avenir à des sciences plus élevées, sans craindre que mes efforts soient prématurés. Mais, avant d’en sortir, je chercherai à rassembler et à mettre en ordre ce que j’ai recueilli de plus digne de remarque dans mes études précédentes, tant pour pouvoir les retrouver au besoin dans ce livre, à l’âge où la mémoire s’affaiblit, que pour en décharger ma mémoire elle-même, et porter dans d’autres études un esprit plus libre.
Règle cinquième
Toute la méthode consiste dans l’ordre et dans la disposition des objets sur lesquels l’esprit doit tourner ses efforts pour arriver à quelques vérités. Pour la suivre, il faut ramener graduellement les propositions embarrassées et obscures à de plus simples, et ensuite partir de l’intuition de ces dernières pour arriver, par les mêmes degrés, à la connaissance des autres.
C’est en ce seul point que consiste la perfection de la méthode, et cette règle doit être gardée par celui qui veut entrer dans la science, aussi fidèlement que le fil de Thésée par celui qui voudrait pénétrer dans le labyrinthe. Mais beaucoup de gens ou ne réfléchissent pas à ce qu’elle enseigne, ou l’ignorent complètement, ou présument qu’ils n’en ont pas besoin ; et souvent ils examinent les questions les plus difficiles avec si peu d’ordre, qu’ils ressemblent à celui qui d’un saut voudrait atteindre le faîte d’un édifice élevé, soit en négligeant les degrés qui y conduisent, soit en ne s’apercevant pas qu’ils existent. Ainsi font tous les astrologues, qui, sans connaître la nature des astres, sans même en avoir soigneusement observé les mouvements, espèrent pouvoir en déterminer les effets. Ainsi font beaucoup de gens qui étudient la mécanique sans savoir la physique, et fabriquent au hasard de nouveaux moteurs ; et la plupart des philosophes, qui, négligeant l’expérience, croient que la vérité sortira de leur cerveau comme Minerve du front de Jupiter.
When I began to delve into mathematics, I read most of the works written by those who had cultivated this field of study. I preferred to focus on arithmetic and geometry, as they were considered the simplest disciplines and the key to all other sciences. However, I found no author in either field whose explanations fully satisfied me. In arithmetic, I encountered various propositions about numbers whose truth I could verify through calculation; as for geometry, many truths were presented before my eyes, and some additional conclusions were drawn through analogy. Yet, it seemed that these explanations failed to clearly explain why things were the way they were or what methods had been used to discover them. Therefore, I no longer found it surprising that skilled and learned individuals dismissed mathematics as trivial and futile, or that others hesitated to engage with it, considering it a difficult and perplexing subject. After all, there is nothing more futile than pondering over imaginary numbers and shapes, as if one were content to merely grasp such trivialities; nor is there anything more challenging than trying to unravel new complexities from the tangled web of numbers using such superficial methods—methods that are often stumbled upon by chance rather than through deliberate effort. But then, I wondered why the early pioneers of philosophy insisted that only those who had studied mathematics be allowed to pursue the study of wisdom. It seemed as if they regarded mathematics as the easiest and most essential discipline for preparing the mind to comprehend more profound truths. I began to suspect that they were referring to a form of mathematics different from the one we know today. It is not that I believe they possessed perfect knowledge in this area—their reckless enthusiasm and willingness to make extreme sacrifices for even minor discoveries prove how nascent these studies were at that time. Nor am I impressed by the praise historians bestow upon some of their inventions; after all, despite their simplicity, it is easy to understand why an ignorant and easily awestruck public might have hailed them as miracles. But I am convinced that certain primitive seeds of truths which nature has implanted in the human intellect—seeds that we stifle within ourselves by constantly being exposed to so many errors—must have possessed, in that simple and naive antiquity, such vigor and strength that those men of wisdom who were guided by the light of reason, which made them prefer virtue to pleasure, honesty to utility—even though they did not understand the reasons for this preference—were able to form true ideas and develop philosophy and mathematics, even if they were not yet capable of perfecting these sciences. Indeed, I believe that some traces of these genuine mathematics can be found in Pappus and Diophantine; although they did not live in the most ancient times, they lived many centuries before us. Yet I would readily suppose that the very writers themselves, through some guilty deceit, have suppressed knowledge of these truths. Like certain craftsmen who hide their secrets, they may have feared that the simplicity and ease of their methods, if made popular, would diminish their importance; therefore, they preferred to earn our admiration by presenting us with some seemingly sterile but subtly derived truths as the products of their art, rather than teaching us the art itself—knowledge of which would have eliminated all such admiration. Finally, in this century, some men of great intellect have tried to revive this method; for it seems nothing more than what is called algebra, provided that it is freed from the overwhelming multitude of numbers and incomprehensible symbols that obscure it, and given the clarity and simplicity that, in our view, should characterize true mathematics. These thoughts led me to abandon the specialized study of arithmetic and geometry and to embark on a search for mathematics in its broader sense. First, I asked myself what exactly was meant by the term “mathematics” and why only arithmetic and geometry, and not astronomy, music, optics, mechanics, and so many other sciences, were considered part of it—because in this case, knowing the etymology of the word is not enough. Indeed, since the word “mathematics” simply means “science,” those subjects I have mentioned have just as much right to be called mathematics as geometry. Yet anyone who has even briefly attended school can immediately distinguish what belongs to mathematics proper from what belongs to other sciences. Or, upon reflecting carefully on these matters, I discovered that all sciences whose purpose is to seek order and measure are related to mathematics—whether it be in numbers, shapes, stars, sounds, or any other object for which such measurement is sought. Therefore, there must exist a general science that explains everything we can find regarding order and measure, independently of any particular application to a specific subject. And this science has long been given its own proper name by common usage: mathematics, precisely because it contains the essence of what makes the other sciences considered part of mathematics. Moreover, one clear indication that mathematics far surpasses the sciences that depend on it, in terms of both ease and importance, is that it encompasses not only all the objects to which those other sciences are applied but also a much larger number of others. Furthermore, while mathematics may contain certain difficulties, these exist within those other sciences as well—only in their specific contexts—and not within the general science itself. Now, since everyone knows the name of this science and understands its scope, it is puzzling why people struggle so hard to acquire knowledge of the sciences that depend on it, yet make no effort to study mathematics themselves. I would certainly be surprised if I did not know that everyone regards mathematics as being extremely easy to learn. Moreover, I have observed that human nature always tends to pursue new and more challenging subjects, neglecting what it considers easy. For my part, being aware of my own limitations, I have resolved to follow a systematic approach in my pursuit of knowledge—always starting with the simplest and easiest matters, never moving on to others until I am certain that I have fully understood the former. This is why I have devoted so much time to studying this universal science of mathematics; it allows me to prepare myself for more advanced studies without worrying that my efforts are premature. But before embarking on those, I will endeavor to organize and systematize what I have learned in my previous studies—both so that I can easily refer to it in the future, when my memory may fail, and also so as to free my mind and approach other subjects with a clearer and more focused mindset.
Rule number five
The entire method consists in the order and arrangement of those objects upon which the mind must direct its efforts in order to attain certain truths. To follow this method, it is necessary to gradually simplify those propositions that are difficult or obscure, and then to proceed from the intuition of these simpler propositions to the understanding of the more complex ones, step by step.
It is in this single aspect that the perfection of this method lies, and those who wish to enter into the realm of science must adhere to this rule as faithfully as one who wishes to navigate a labyrinth would follow the thread of Theseus. Yet many people either fail to reflect on what it teaches, or completely ignore it, or assume that they do not need it at all. Often, they approach the most difficult issues in such a disorganized manner that they resemble those who attempt to climb to the top of a tall building by leaping directly upwards, either by neglecting the steps that lead there or by failing to realize their existence at all. This is precisely what all astrologers do—they hope to determine the effects of the stars without understanding their nature or even observing their movements carefully. Many people who study mechanics without knowing physics also act in this manner, randomly constructing new machines. And most philosophers, by neglecting empirical evidence, believe that truth will emerge directly from their own minds, just as Minerva emerged from Jupiter’s forehead.
Quando iniziai ad dedicarmi ai matematici, lessi la maggior parte degli scritti di coloro che si erano dedicati a questo studio, preferendo l’aritmetica e la geometria, poiché si diceva fossero le più semplici e la chiave di tutte le altre scienze; tuttavia, in nessuno di questi testi trovai un autore che mi soddisfacesse completamente. Nell’aritmetica vedevo diverse proposizioni sui numeri le cui verità riconoscevo dopo i calcoli necessari; quanto alle figure geometriche, mi venivano presentate molte verità evidenti, e da queste si deducevano altre attraverso analogie; tuttavia non mi sembrava che venisse spiegato con chiarezza perché le cose fossero così come venivano mostrate, né quali metodi si utilizzassero per scoprirle. Per questo motivo, non mi meravigliavo più che persone abili e colte abbandonassero queste scienze, dopo averle appena sfiorate, considerandole conoscenze infantili e vane; d’altra parte, non mi stupivo nemmeno che altri temessero di dedicarsi ad esse, come se si trattasse di studi difficili e complessi. Infatti, non c’è nulla di più vuoto che occuparsi di numeri e figure immaginarie, come se si volesse fermarsi alla conoscenza di simili banalità; inoltre, dedicare tanta attenzione a dimostrazioni superficiali, che spesso vengono scoperte per caso piuttosto che attraverso il metodo scientifico, significa, in qualche modo, disprezzare l’uso della propria ragione. Senza contare che non c’è nulla di più difficile che risolvere i problemi nuovi che si presentano per la prima volta, tra le complesse relazioni tra i numeri. Ma quando mi chiesi perché i primi filosofi volessero permettere lo studio della saggezza soltanto a coloro che avevano studiato i matematici, come se questa scienza fosse la più semplice e la più necessaria per preparare l’intelletto ad affrontare concetti più elevati, cominciai a sospettare che esistesse una forma di matematica diversa da quella che conosciamo oggi. Non credo certo che ne avessero una comprensione perfetta: i loro eccessi e i loro sacrifici per scoperte apparentemente insignificanti dimostrano quanto questi studi fossero ancora in fase iniziale all’epoca. Né sono colpito dagli elogi che gli storici riservano ad alcune delle loro invenzioni; poiché, nonostante la loro semplicità, è facile immaginare che molte persone ignoranti e facilmente impressionabili le abbiano lodate come se fossero veri miracoli. Ma sono convinto che alcuni germi primordiali di quelle verità che la natura ha depositato nell’intelligenza umana, e che noi soffochiamo in noi stessi a causa della lettura e dell’ascolto di così tante errori diversi, avessero, in quell’antichità semplice e ingenua, tanta vitalità e forza, che gli uomini illuminati da quella luce della ragione che li spingeva a preferire la virtù ai piaceri, l’onesto all’utile – anche se non conoscevano la ragione di questa preferenza – riuscivano comunque ad avere idee vere e a comprendere i principi della filosofia e delle matematiche, anche se non erano ancora in grado di perfezionare queste scienze. Credo infatti di trovare alcune tracce di queste verità matematiche in Pappo e Diophante, che, pur non appartenendo all’antichità più remota, vissero comunque molti secoli prima di noi. Tuttavia sono disposto a credere che gli stessi autori abbiano, con una sorta di astuzia colpevole, cancellato la conoscenza di queste verità; simili a alcuni artigiani che nascondono i loro segreti, forse temevano che la facilità e la semplicità del loro metodo, rendendolo più popolare, potessero diminuirne l’importanza, e preferirono quindi farsi ammirare da noi presentandoci, come prodotto del loro “arte”, alcune verità sterili ma dedotte con abilità, piuttosto che insegnarci direttamente quell’arte stessa, la cui conoscenza avrebbe potuto far cessare ogni nostra ammirazione per esse. Infine, alcuni uomini di grande ingegno hanno cercato, in questo secolo, di rilanciare questo metodo; poiché esso non sembra altro che ciò che viene chiamato, con un nome barbaro, “algebra”, a condizione che venga liberato da quella moltitudine di numeri e figure incomprensibili che lo soffocano, per dargli quella chiarezza e quella facilità supreme che, secondo noi, dovrebbero caratterizzare le vere matematiche. Queste riflessioni mi hanno spinto a abbandonare lo studio specifico dell’aritmetica e della geometria, per dedicarmi alla ricerca di una scienza matematica in senso generale; quindi mi sono chiesto innanzitutto cosa si intenda esattamente con il termine “matematiche”, e perché soltanto l’aritmetica e la geometria, e non l’astronomia, la musica, l’ottica, la meccanica e molte altre scienze, siano considerate parte delle matematiche: poiché in questo caso non basta conoscere l’etimologia del termine. Infatti, il termine “matematiche”, che significa semplicemente “scienza”, permette alle scienze che ho menzionate di essere chiamate anch’esse “matematiche” con lo stesso diritto della geometria; eppure nessuno, che abbia anche solo frequentato una scuola, non riesce a distinguere immediatamente ciò che appartiene alle matematiche propriamente dette da ciò che riguarda le altre scienze. Ora, riflettendo attentamente su queste cose, ho scoperto che tutte le scienze il cui scopo è la ricerca dell’ordine e della misura sono in qualche modo legate alle matematiche; non importa se si tratti di numeri, figure, astri, suoni o qualsiasi altro oggetto su cui si cerchi questa misura: deve esistere quindi una scienza generale che spieghi tutto ciò che si può trovare riguardo all’ordine e alla misura, considerati indipendentemente da qualsiasi applicazione a una materia specifica. Questa scienza ha un nome proprio, da tempo consacrato dall’uso: le matematiche. Il fatto che essa superi di gran lunga le altre scienze che ne dipendono, sia per facilità che per importanza, è dimostrato dal fatto che include tutti gli oggetti a cui si applicano queste ultime, oltre a un numero molto maggiore di altri; inoltre, sebbene contenga alcune difficoltà, queste esistono anche nelle altre scienze, le quali presentano difficoltà particolari legate al loro oggetto specifico, mentre nella scienza generale tali difficoltà non si riscontrano. Ora, poiché tutti conoscono il nome di questa scienza e ne comprendono l’oggetto, perché allora si cerca con tanta fatica la conoscenza delle altre scienze che ne dipendono, mentre nessuno si impegna a studiarla direttamente? Mi sorprenderei sicuramente se non sapessi che tutti la considerano molto semplice da comprendere; inoltre, ho notato che l’intelligenza umana, spesso trascurando ciò che ritiene facile, si affretta a cercare oggetti nuovi e più elevati. Per quanto mi riguarda, essendo consapevole delle mie debolezze, ho deciso di seguire sempre un ordine preciso nella ricerca della conoscenza: partire sempre da ciò che è più semplice e facile, senza mai affrettarmi a passare ad argomenti più complessi, fino a quando non credessi di aver raggiunto tutto ciò che desideravo conoscere. È per questo motivo che ho coltivato, finora, questa scienza matematica universale, nella speranza di poter in futuro dedicarmi ad altre discipline più elevate, senza temere che i miei sforzi siano prematuri. Ma prima di procedere oltre, cercherò di raccogliere e sistemare tutto ciò che ho trovato di particolarmente interessante nelle mie ricerche precedenti: sia per poterlo ritrovare facilmente in questo libro, quando la memoria comincerà ad affievolirsi, sia per liberare la mia mente da questi pensieri, permettendomi così di dedicarmi con maggiore libertà ad altre attività di studio.
Regola quinta
L’intera metodologia consiste nell’ordine e nella disposizione degli oggetti su cui lo spirito deve concentrare i propri sforzi per giungere a determinate verità. Per seguirla, è necessario ridurre gradualmente le proposizioni complesse e oscure a forme più semplici, e successivamente partire dall’intuizione di queste ultime per arrivare, attraverso stadi simili, alla conoscenza delle altre proposizioni.
È proprio in questo unico aspetto che risiede la perfezione di questo metodo, e questa regola deve essere rispettata da chiunque voglia intraprendere lo studio di questa scienza, con la stessa fedeltà con cui il filo di Teseo guida colui che desidera attraversare un labirinto. Tuttavia, molte persone o non riflettono su ciò che questa regola insegna, o la ignorano completamente, o presumono di non averne bisogno; spesso esaminano le questioni più complesse con una tale mancanza di ordine, da assomigliare a coloro che cercano di raggiungere la cima di un edificio alto con un solo balzo, ignorando i gradini che vi conducono o non rendendosi conto della loro esistenza. È così che fanno tutti gli astrologi, che, senza conoscere la natura degli astri e senza nemmeno averne osservato attentamente i movimenti, sperano di poterne determinare gli effetti. Lo stesso accade per molte persone che studiano la meccanica senza conoscere la fisica, e che costruiscono nuovi motori a caso; inoltre, la maggior parte dei filosofi, trascurando l’esperienza, crede che la verità emerga direttamente dal loro cervello, come Minerva dalla fronte di Giove.
Or c’est contre cette règle qu’ils pèchent tous ; mais parce que l’ordre qu’on exige ici est assez obscur et assez embarrassé pour que tous ne puissent reconnaître quel il est, il est à craindre qu’en voulant le suivre on ne s’égare, à moins qu’on n’observe soigneusement ce qui sera exposé dans la règle suivante.
Règle sixième
Pour distinguer les choses les plus simples de celles qui sont enveloppées, et suivre cette recherche avec ordre, il faut, dans chaque série d’objets, ou de quelques vérités nous avons déduit d’autres vérités, reconnaître quelle est la chose la plus simple, et comment toutes les autres s’en éloignent plus ou moins, ou également.
Quoique cette règle ne paraisse apprendre rien de nouveau, elle contient cependant tout le secret de la méthode, et il n’en est pas de plus utile dans tout ce Traité. Elle nous apprend que toutes les choses peuvent se classer en diverses séries, non en tant qu’elles se rapportent à quelque espèce d’être (division qui rentrerait dans les catégories des philosophes), mais en tant qu’elles peuvent être connues l’une par l’autre, en sorte qu’à la rencontre d’une difficulté, nous puissions reconnaître s’il est des choses qu’il soit bien d’examiner les premières, quelles elles sont, et dans quel ordre il faut les examiner.
Or, pour le faire convenablement, il faut remarquer d’abord que les choses, pour l’usage qu’en veut faire notre règle, qui ne les considère pas isolément, mais les compare entre elles pour connaître l’une par l’autre, peuvent être appelées ou absolues ou relatives.
J’appelle absolu tout ce qui est l’élément simple et indécomposable de la chose en question, comme, par exemple, tout ce qu’on regarde comme indépendant, cause, simple, universel, un, égal, semblable, droit, etc. ; et je dis que ce qu’il y a de plus simple est ce qu’il y a de plus facile, et ce dont nous devons nous servir pour arriver à la solution des questions.
J’appelle relatif ce qui est de la même nature, ou du moins y tient par un côté par où l’on peut le rattacher à l’absolu, et l’en déduire. Mais ce mot renferme encore certaines autres choses que j’appelle des rapports, tel est tout ce qu’on nomme dépendant, effet, composé, particulier, multiple, inégal, dissemblable, oblique, etc. Ces rapports s’éloignent d’autant plus de l’absolu qu’ils contiennent un plus grand nombre de rapports qui leur sont subordonnés, rapports que notre règle recommande de distinguer les uns des autres, et d’observer, dans leur connexion et leur ordre mutuel, de manière que, passant par tous les degrés, nous puissions arriver successivement à ce qu’il y a de plus absolu.
Or tout l’art consiste à chercher toujours ce qu’il y a de plus absolu. En effet, certaines choses sont sous un point de vue plus absolues que sous un autre, et envisagées autrement, elles sont plus relatives. Ainsi l’universel est plus absolu que le particulier, parce que sa nature est plus simple ; mais en même temps il peut être dit plus relatif, parce qu’il faut des individus pour qu’il existe. De même encore certaines choses sont vraiment plus absolues que d’autres, mais ne sont pas les plus absolues de toutes. Si nous envisageons les individus, l’espèce est l’absolu ; si nous regardons le genre, elle est le relatif. Dans les corps mesurables, l’absolu c’est l’étendue ; mais dans l’étendue, c’est la longueur, etc. Enfin, pour mieux faire comprendre que nous considérons ici les choses, non quant à leur nature individuelle, mais quant aux séries dans lesquelles nous les ordonnons pour les connaître l’une par l’autre, c’est à dessein que nous avons mis au nombre des choses absolues la cause et l’égal, quoique de leur nature elles soient relatives ; car, dans le langage des philosophes, cause et effet sont deux termes corrélatifs. Cependant, si nous voulons trouver ce que c’est que l’effet, il faut d’abord connaître la cause, et non pas l’effet avant la cause. Ainsi les choses égales se correspondent entre elles ; mais pour connaître l’inégal, il faut le comparer à l’égal.
Il faut noter, en second lieu, qu’il y a peu d’éléments simples et indispensables que nous puissions voir en eux-mêmes, indépendamment de tous autres, je ne dis pas seulement de prime abord, mais même par des expériences et à l’aide de la lumière qui est en nous. Aussi je dis qu’il faut les observer avec soin ; car ce sont là ceux que nous avons appelés les plus simples de chaque série. Tous les autres ne peuvent être perçus qu’en les déduisant de ceux-ci, soit immédiatement et prochainement, soit après une ou deux conclusions, ou un plus grand nombre, conclusions dont il faut encore noter le nombre, pour reconnaître si elles sont éloignées par plus ou moins de degrés de la première et de la plus simple proposition ; tel doit être partout l’enchaînement qui peut produire ces séries de questions, auxquelles il faut réduire toute recherche pour pouvoir l’examiner avec méthode. Mais, parce qu’il n’est pas aisé de les rappeler toutes et qu’il faut moins les retenir de mémoire que savoir les reconnaître par une certaine pénétration de l’esprit, il faut former les intelligences à pouvoir les retrouver aussitôt qu’elles en auront besoin. Or, pour y parvenir, j’ai éprouvé que le meilleur moyen était de nous accoutumer à réfléchir avec attention aux moindres choses que nous avons précédemment déterminées.
Notons, en troisième lieu, qu’il ne faut pas commencer notre étude par la recherche des choses difficiles ; mais, avant d’aborder une question, recueillir au hasard et sans choix les premières vérités qui se présentent, voir si de celles-là on peut en déduire d’autres, et de celles-ci d’autres encore, et ainsi de suite. Cela fait, il faut réfléchir attentivement sur les vérités déjà trouvées, et voir avec soin pourquoi nous avons pu découvrir les unes avant les autres, et plus facilement, et reconnaître quelles elles sont. Ainsi, quand nous aborderons une question quelconque, nous saurons par quelle recherche il nous faudra d’abord commencer. Par exemple, je vois que le nombre 6 est le double de 3 ; je chercherai le double de 6, c’est-à-dire 12 ; je chercherai encore le double de celui-ci, c’est-à-dire 24, et de celui-ci ou 48 ; et de là je déduirai, ce qui n’est pas difficile, qu’il y a la même proportion entre 3 et 6 qu’entre 6 et 12, qu’entre 12 et 24, etc. ; et qu’ainsi les nombres 3, 6, 12, 24, 48, sont en proportion continue. Quoique toutes ces choses soient si simples qu’elles paraissent presque puériles, elles m’expliquent, lorsque j’y réfléchis attentivement, de quelle manière sont enveloppées toutes les questions relatives aux proportions et aux rapports des choses, et dans quel ordre il faut en chercher la solution, ce qui contient toute la science des mathématiques pures.
D’abord je remarque que je n’ai pas eu plus de peine à trouver le double de 6 que le double de 3, et que de même, en toutes choses, ayant trouvé le rapport entre deux grandeurs quelconques, je peux en trouver un grand nombre d’autres qui sont entre elles dans le même rapport ; que la nature de la difficulté ne change pas, que l’on cherche trois ou quatre, ou un plus grand nombre de ces propositions, parce qu’il faut les trouver chacune à part, et indépendamment les unes des autres. Je remarque ensuite, qu’encore bien qu’étant données les grandeurs 3 et 6, j’en trouve facilement une troisième en proportion continue ; il ne m’est pas si facile, étant donnés les deux extrêmes 6 et 12, de trouver la moyenne 6. Cela m’apprend qu’il y a ici un autre genre de difficulté toute différente de la première ; car, si on veut trouver la moyenne proportionnelle, il faut penser est même temps aux deux extrêmes et au rapport qui est entre eux, pour en tirer un nouveau par la division ; ce qui est tout diffèrent de ce qu’il faut faire, lorsqu’étant données deux quantités on veut en trouver une troisième qui soit avec elles en proportion continue. Je poursuis, et j’examine si, étant données les grandeurs 3 et 24, les deux moyennes proportionnelles auraient pu être trouvées aussi facilement l’une que l’autre. Et ici je rencontre un autre genre de difficulté plus embarrassante que les précédentes ; car il ne faut pas penser seulement à un ou deux nombres à la fois, mais à trois, afin d’en découvrir un quatrième. On peut aller plus loin, et voir si, étant donnés 3 et 48, il serait encore plus difficile de trouver une des trois moyennes proportionnelles 6, 12, 24 ; ce qui paraîtra au premier coup d’œil ; mais on voit aussitôt que la difficulté peut se diviser, et ainsi se simplifier, si l’on cherche d’abord une seule moyenne entre 3 et 48, savoir 12 ; une autre entre 3 et 12, savoir 6 ; puis une autre entre 12 et 48, savoir 24 ; et qu’ainsi on est ramené à la seconde difficulté déjà exposée.
Or it is against this rule that they all transgress; but because the order that is demanded here is rather obscure and ambiguous, so that not everyone can clearly understand what it is, there is a risk that in attempting to follow it, one might go astray, unless one pays close attention to what will be stated in the next rule.
Sixth rule
In order to distinguish between the simplest things and those that are more complex and intertwined, and to pursue this investigation in an orderly manner, it is necessary, within each series of objects or set of truths from which we have deduced other truths, to identify what the simplest element is, and how all the others deviate from it—to some extent, or perhaps equally.
Although this rule may seem to teach nothing new, it actually contains the entire secret of this method, and it is perhaps the most useful principle throughout this entire treatise. It teaches us that all things can be classified into various groups, not in terms of their relation to some particular kind of being (a division that would fall within the categories established by philosophers), but rather in terms of how they can be understood in relation to one another. This means that when we encounter a difficulty, we can determine whether there are certain things that it is advisable to examine first, what those things are, and in what order they should be studied.
Or, in order to express this properly, it must first be noted that things, as used by our rule—which does not consider them in isolation but compares them with one another in order to understand each one through the other—can be referred to as either absolute or relative.
I call “absolute” everything that constitutes the simple and indecomposable element of a given thing—for example, anything that is regarded as independent, a cause, simple, universal, one, equal, similar, right, etc.; and I claim that what is simplest is also what is easiest to understand or utilize, and that it is precisely what we must rely on in order to find solutions to problems.
I call “relative” whatever is of the same nature, or at least can be connected to the absolute in some way and thus derived from it. However, this term also encompasses certain other things that I refer to as “relations”—that is, everything that is considered dependent, effect, composite, particular, multiple, unequal, dissimilar, oblique, etc. These relations move further away from the absolute the more numerous the subordinate relationships they contain; our method advises us to distinguish between these relationships and to observe their connections and mutual order, so that, by progressing through all these degrees, we may ultimately arrive at what is most absolutely true.
Or the whole art consists in constantly seeking out what is most absolute. Indeed, certain things are more absolute from one perspective than from another; viewed differently, they become relative. Thus, the universal is more absolute than the particular, because its nature is simpler; yet at the same time, it can be considered relative, since individual entities are necessary for its existence. Similarly, some things are truly more absolute than others, but they are not the most absolute of all. If we consider individual entities, the species represents the absolute; if we look at genera, they represent the relative. In measurable quantities, the absolute is extent; but within extent, it is length, and so on. Finally, to make it clearer that what we are considering here are things not in terms of their individual nature, but in terms of the sequences in which we arrange them to understand them one by one, we have deliberately included cause and equality among the absolute concepts, even though they are relative in nature; for in the language of philosophers, cause and effect are correlative terms. However, if we wish to understand what an effect is, we must first know the cause—not the effect before the cause. Thus, equal things correspond to each other; but to understand the unequal, it must be compared to the equal.
Secondly, it must be noted that there are very few simple and indispensable elements that we can perceive in their own right, independently of everything else—not merely at first glance, but even through experiments and with the aid of the light within us. Therefore, I say that we must observe them carefully; for these are precisely what we have referred to as the simplest elements in each series. All the others can only be perceived by deducing them from these; either directly and immediately, or after one or two conclusions, or even a greater number of them. It is also necessary to note the exact number of these conclusions in order to determine whether they are more or less distant from the first and simplest proposition. Such must always be the chain of reasoning that enables us to construct these series of questions; all other inquiries must be reduced to these in order to be examined methodically. However, since it is not easy to recall them all, and since it is more important to know how to recognize them than to memorize them, we must train our minds to be able to retrieve them immediately whenever needed. To achieve this, I have found that the best approach is to habituate ourselves to reflecting carefully on the smallest details that we have previously identified.
Thirdly, it should be noted that we must not begin our study by attempting to address difficult issues; rather, before tackling a particular question, we should first collect whatever true statements come to mind, without any selection or preference. We should then see whether these initial truths can lead us to others, and those in turn to still more, and so on. Once this has been done, we must carefully reflect on the truths that have been discovered, examining why some were found before others and more easily, and identifying their true nature. In this way, whenever we confront a question, we will know from what approach we should begin our investigation. For example, if I observe that the number 6 is twice the number 3, I will then seek out what is twice 6, which is 12; next, I will find what is twice 12, which is 24, and so on. From this, it will not be difficult to deduce that there exists the same proportion between 3 and 6 as between 6 and 12, between 12 and 24, and so forth; consequently, the numbers 3, 6, 12, 24, 48 are in a continuous series of proportions. Although all these concepts seem extremely simple and even somewhat childish at first glance, upon careful reflection, they reveal to me how all issues related to proportion and the relationships between things are structured, and in what order their solutions should be sought. This understanding encompasses the entire essence of pure mathematics.
Firstly, I notice that finding the double of 6 was no more difficult than finding the double of 3; moreover, in any given situation, once I have determined the relationship between two quantities, I can easily find many other pairs that share the same ratio. The nature of the difficulty remains unchanged, whether I am looking for three, four, or even more such pairs—after all, each pair must be identified independently of the others. Next, I observe that while it is straightforward to find a third quantity in continuous proportion given 3 and 6, it is far less easy to determine the mean value between 6 and 12. This teaches me that there is a completely different type of difficulty at play here; to find a proportional mean, one must consider both extremes and their relationship in order to derive a new intermediate value through division—something entirely distinct from the process of finding a third quantity that maintains a continuous proportion with two given numbers. I then proceed to examine whether it would have been equally easy to find the two proportional means between 3 and 24. Here, I encounter an even more challenging difficulty: one must consider not just one or two numbers but three in order to discover a fourth. Furthermore, I consider whether finding one of the three proportional means between 3 and 48 (6, 12, 24) would be even more difficult at first glance; however, upon closer analysis, it becomes clear that the problem can be simplified by breaking it down into smaller steps: first finding the mean between 3 and 48 (which is 12), then between 3 and 12 (which is 6), and finally between 12 and 48 (which is 24)—thus returning to the second challenge that was initially posed.
Ora, è proprio contro questa regola che tutti commettono errori; ma poiché l’ordine richiesto in questo caso è abbastanza oscuro e complicato da rendere difficile per tutti comprenderlo chiaramente, si teme che nel tentativo di seguirlo si possa finire per sbagliare, a meno di prestare attenzione a quanto verrà spiegato nella regola successiva.
Regola sesta
Per distinguere le cose più semplici da quelle che sono complesse, e per proseguire questa ricerca in modo ordinato, è necessario, all’interno di ogni serie di oggetti o di verità da cui ne abbiamo dedotte altre, individuare quale sia la cosa più semplice, e capire in che modo tutte le altre si discostino da essa, in misura maggiore o minore, oppure in modo equivalente.
Sebbene questa regola possa sembrare non insegnare nulla di nuovo, essa contiene tuttavia il segreto fondamentale di questo metodo e non c’è nulla di più utile in tutto questo trattato. Ci insegna che tutte le cose possono essere classificate in diverse serie, non in base al loro rapporto con qualche tipo di ente (una divisione che rientrerebbe nelle categorie dei filosofi), ma in base al fatto che possano essere conosciute l’una attraverso l’altra; in questo modo, di fronte a una difficoltà, possiamo capire se sia opportuno esaminare prima alcune cose, quali siano e in quale ordine vadano esaminate.
Ora, affinché ciò venga compiuto correttamente, è necessario notare innanzitutto che le cose, per lo scopo a cui le utilizza la nostra regola – che non le considera isolate, ma le confronta tra loro al fine di comprenderle meglio – possono essere definite o assolute o relative.
Defino “assoluto” tutto ciò che rappresenta l’elemento semplice e indecomponibile di una data cosa; ad esempio, tutto ciò che viene considerato indipendente, causa, semplice, universale, unico, uguale, simile, giusto, ecc. Affermo quindi che ciò che è più semplice sia anche ciò che è più facile da comprendere e da utilizzare per risolvere i problemi.
Defino “relativo” ciò che è della stessa natura, o comunque legato in qualche modo all’assoluto, e che può essere dedotto da esso. Tuttavia, questo termine include anche altre cose che chiamo “rapporti”: tutto ciò che viene definito dipendente, effetto, composto, particolare, multiplo, disuguale, dissimile, obliquo, ecc. Questi rapporti si allontanano sempre di più dall’assoluto quanto contengono un numero maggiore di altri rapporti subordinati a loro; rapporti che la nostra regola raccomanda di distinguere l’uno dall’altro, e di osservare nella loro connessione e nel loro ordine reciproco, in modo da poter arrivare, attraverso tutti questi gradi, gradualmente a ciò che è veramente assoluto.
L’intero arte consiste nel cercare sempre ciò che è più assoluto. Infatti, alcune cose sono, da un certo punto di vista, più assolute di altre, mentre se considerate in modo diverso appaiono più relative. Così, l’universale è più assoluto del particolare, poiché la sua natura è più semplice; ma allo stesso tempo può essere considerato anche più relativo, poiché per esistere ha bisogno di individui concreti. Allo stesso modo, alcune cose sono davvero più assolute di altre, ma non necessariamente le più assolute in assoluto. Se consideriamo gli individui, la specie rappresenta l’assoluto; se guardiamo al genere, esso diventa relativo. Nei corpi misurabili, l’assoluto è l’estensione; ma nell’estensione stessa, ciò che è assoluto può essere la lunghezza, ecc. Infine, per far meglio comprendere che qui consideriamo le cose non in base alla loro natura individuale, ma in relazione alle serie in cui le ordiniamo per conoscerle l’una attraverso l’altra, abbiamo volutamente incluso tra le cose assolute la causa e l’uguale, anche se per natura esse sono relative; poiché nel linguaggio dei filosofi, causa ed effetto sono termini correlati. Tuttavia, per comprendere veramente cosa sia un effetto, è necessario prima conoscere la causa, e non l’effetto prima della causa. Così, le cose uguali si corrispondono tra loro; ma per comprendere ciò che è diverso, bisogna confrontarlo con l’uguale.
In secondo luogo, è da notare che esistono pochi elementi semplici e indispensabili che possiamo osservare direttamente in sé stessi, indipendentemente da qualsiasi altra considerazione; non parlo solo di una percezione immediata, ma anche di esperienze condotte con l’aiuto della “luce” interiore che possediamo. Pertanto, è necessario osservarli con attenzione: sono proprio questi gli elementi che abbiamo definito i più semplici all’interno di ciascuna serie. Tutti gli altri possono essere compresi solo deducendoli da questi primi elementi, sia in modo diretto e immediato, sia dopo una o due conclusioni, o ancora dopo un numero maggiore di ragionamenti; è necessario anche conoscere con precisione il numero di queste conclusioni per capire fino a che punto siano lontane dalla proposizione originale e più semplice. Tale deve essere ovunque il processo logico che permette di sviluppare queste serie di riflessioni, alle quali bisogna ridurre ogni ricerca al fine di esaminarla in modo metodico. Tuttavia, poiché non è facile ricordarle tutte e poiché è più importante saperle riconoscere attraverso una certa capacità di analisi mentale, è necessario allenare l’intelligenza a ritrovarle immediatamente quando se ne ha bisogno. Per raggiungere questo scopo, ho constatato che il miglior metodo consiste nell’abituarsi a riflettere con attenzione sulle cose più semplici che abbiamo precedentemente analizzato.
In terzo luogo, è importante non iniziare lo studio cercando subito le cose più difficili; piuttosto, prima di affrontare una questione, bisogna raccogliere casualmente e senza selezione le prime verità che si presentano, verificare se da queste si possono dedurre altre, e da queste ancora altre, e così via. Una volta fatto ciò, è necessario riflettere attentamente sulle verità già scoperte, capire perché alcune sono state trovate prima di altre e più facilmente, e riconoscere quale sia la loro natura. In questo modo, quando affronteremo una qualsiasi questione, sapremo da quale ricerca dobbiamo iniziare. Ad esempio: vedendo che il numero 6 è il doppio di 3, cercherò il doppio di 6, cioè 12; poi cercherò il doppio di 12, ovvero 24, e così via; da ciò dedurrò, senza alcuna difficoltà, che esiste la stessa proporzione tra 3 e 6 come tra 6 e 12, tra 12 e 24, ecc.; e che quindi i numeri 3, 6, 12, 24, 48 sono in rapporto continuo. Anche se tutte queste cose sembrano molto semplici, riflettendoci attentamente mi aiutano a comprendere in quale modo siano legate tra loro tutte le questioni relative alle proporzioni e ai rapporti tra le cose, e in quale ordine sia necessario cercare la soluzione; questo rappresenta, in sostanza, l’intera scienza delle matematiche pure.
Innanzitutto noto che non ho avuto alcuna difficoltà a trovare il doppio di 6 tanto quanto quello di 3, e che, allo stesso modo, in ogni caso, una volta individuato il rapporto tra due grandezze qualsiasi, posso trovarne moltissime altre che presentano lo stesso rapporto tra loro; la natura della difficoltà non cambia, anche se si cercano tre, quattro o un numero maggiore di tali relazioni, poiché bisogna individuarle una per una e indipendentemente le une dalle altre. Inoltre, sebbene date le grandezze 3 e 6 sia facile trovare una terza grandezza in proporzione continua, non lo è altrettanto trovare la media tra i due estremi 6 e 12; questo mi insegna che esiste un altro tipo di difficoltà, completamente diverso dal primo: infatti, per trovare una media proporzionale, bisogna considerare contemporaneamente sia gli estremi che il rapporto che li lega, al fine di ricavarne una nuova grandezza attraverso la divisione; questo è molto diverso da ciò che si deve fare quando si vogliono trovare due nuove grandezze in proporzione continua a partire da due date. Proseguo quindi nell’esaminare se, date le grandezze 3 e 24, fosse stato possibile trovare altrettanto facilmente le due medie proporzionali; qui mi imbatto in un altro tipo di difficoltà ancora più complessa delle precedenti: infatti non basta considerare uno o due numeri alla volta, ma tre, al fine di individuare un quarto numero. Si può andare ancora oltre e verificare se, date le grandezze 3 e 48, sia ancora più difficile trovare una delle tre medie proporzionali 6, 12, 24; a prima vista sembrerebbe così, ma in realtà la difficoltà può essere suddivisa e quindi semplificata, se si cerca innanzitutto una media tra 3 e 48, ovvero il numero 12; poi un’altra media tra 3 e 12, ovvero il numero 6; infine un’altra media tra 12 e 48, ovvero il numero 24; in questo modo si torna alla seconda difficoltà già analizzata.
De tout ce qui précède je remarque comment on peut arriver à la connaissance d’une même chose par deux voies diverses, dont l’une est plus difficile et plus obscure que l’autre. Par exemple, pour trouver ces quatre nombres en proportion continue, 3, 6, 12, 24, si on donne les deux conséquents 3 et 6, ou bien 6 et 12, 12 et 24, rien ne sera plus facile que de trouver les autres nombres à l’aide de ceux-là. Dans ce cas, je dis que la difficulté à résoudre est examinée directement. Si on prend deux termes alternativement, 3 et 12, 6 et 24, pour trouver les autres, je dis que la difficulté est examinée indirectement de la première manière. Si on prend les deux extrêmes, 3 et 24, pour trouver les moyens 6 et 12, je dis que la difficulté est examinée indirectement de la seconde manière. Je pourrais poursuivre ces remarques plus loin, et tirer de ce seul exemple beaucoup d’autres conséquences ; mais cela suffit pour montrer au lecteur ce que j’entends, quand je dis qu’une proposition est déduite directement ou indirectement, et pour lui apprendre que les choses les plus faciles et les plus élémentaires, bien connues, peuvent même dans les autres études fournir à l’homme qui met de l’attention et de la sagacité dans ses recherches, un grand nombre de découvertes.
Règle septième
Pour compléter la science il faut que la pensée parcoure, d’un mouvement non interrompu et suivi, tous les objets qui appartiennent au but qu’elle veut atteindre, et qu’ensuite elle les résume dans une énumération méthodique et suffisante.
L’observation de la règle ici proposée est nécessaire pour qu’on puisse placer au nombre des choses certaines ces vérités qui, comme nous l’avons dit plus haut, ne dérivent pas immédiatement de principes évidents par eux-mêmes. On y arrive en effet par une si longue suite de conséquences, qu’il n’est pas facile de se rappeler tout le chemin qu’on a fait. Aussi disons-nous qu’il faut suppléer à la faculté de la mémoire par un exercice continuel de la pensée. Si, par exemple, après diverses opérations, je trouve quel est le rapport entre les grandeurs A et B, ensuite entre B et C, puis entre C et D, enfin entre D et E, je ne vois pas pour cela le rapport des grandeurs A et E, et je ne puis le conclure avec précision des rapports connus, si ma mémoire ne me les représente tous. Aussi j’en parcourrai la suite de manière que l’imagination à la fois en voie une et passe à une autre, jusqu’à ce que je puisse aller de la première à la dernière avec une telle rapidité que, presque sans le secours de la mémoire, je saisisse l’ensemble d’un coup d’œil. Cette méthode, tout en soulageant la mémoire, corrige la lenteur de l’esprit et lui donne de l’étendue.
J’ajoute que la marche de l’esprit ne doit pas être interrompue ; souvent, en effet, ceux qui cherchent à tirer de principes éloignés des conclusions trop rapides, ne peuvent pas suivre avec tant de soin la chaîne des déductions intermédiaires qu’il ne leur en échappe quelqu’une. Et cependant, dès qu’une conséquence, fut-elle la moins importante de toutes, a été oubliée, la chaîne est rompue, et la certitude de la conclusion ébranlée.
Je dis de plus que la science a besoin pour être complète de l’énumération. En effet, les autres préceptes servent à résoudre une infinité de problèmes ; mais l’énumération seule peut nous rendre capables de porter sur l’objet quelconque auquel nous nous appliquons un jugement sûr et fondé, conséquemment de ne laisser absolument rien échapper, et d’avoir sur toutes choses des lumières certaines.
Or ici l’énumération, ou l’induction, est la recherche attentive et exacte de tout ce qui a rapport à la question proposée. Mais cette recherche doit être telle que nous puissions conclure avec certitude que nous n’avons rien omis à tort. Quand donc nous l’aurons employée, si la question n’est pas éclaircie, au moins serons-nous plus savants, en ce que nous saurons qu’on ne peut arriver à la solution par aucune des voies à nous connues ; et si, par aventure, ce qui a lieu assez souvent, nous avons pu parcourir toutes les routes ouvertes à l’homme pour arriver à la vérité, nous pourrons affirmer avec assurance que la solution dépasse la portée de l’intelligence humaine.
Il faut remarquer en outre que, par énumération suffisante ou induction, nous entendons ce moyen qui nous conduit à la vérité plus sûrement que tout autre, excepté l’intuition pure et simple. En effet, si la chose est telle que nous ne puissions la ramener à l’intuition, ce n’est pas dans des formes syllogistiques, mais dans l’induction seule que nous devons mettre notre confiance. Car toutes les fois que nous avons déduit des propositions immédiatement l’une de l’autre, si la déduction a été évidente, elles seront ramenées à une véritable intuition. Mais si nous déduisons une proposition d’autres propositions nombreuses, disjointes et multiples, souvent la capacité de notre intelligence n’est pas telle, qu’elle puisse en embrasser l’ensemble d’une seule vue : dans ce cas la certitude de l’induction doit nous suffire. C’est ainsi que, sans pouvoir d’une seule vue distinguer tous les anneaux d’une longue chaîne, si cependant nous avons vu l’enchaînement de ces anneaux entre eux, cela nous permettra de dire comment le premier est joint au dernier.
J’ai dit que cette opération devait être suffisante, car souvent elle peut être défectueuse, et ainsi sujette à l’erreur. Quelquefois, en effet, en parcourant une suite de propositions de la plus grande évidence, si nous venons à en oublier une seule, fût-ce la moins importante, la chaîne est rompue, notre conclusion perd toute sa certitude. D’autres fois nous n’oublions rien dans notre énumération, mais nous ne distinguons pas nos propositions l’une de l’autre, et nous n’avons du tout qu’une connaissance confuse.
Or quelquefois Cette énumération doit être complète, d’autres fois distincte, quelquefois elle ne doit avoir aucun de ces deux caractères, aussi ai-je dit qu’elle doit être suffisante. En effet, si je veux prouver par énumération combien il y a d’êtres corporels, ou qui tombent sous les sens, je ne dirai pas qu’il y en a un tel nombre, ni plus ou moins, avant de savoir avec certitude que je les ai rapportés tous et distingués les uns des autres. Mais si je veux, par le même moyen, prouver que l’âme rationnelle n’est pas corporelle, il ne sera pas nécessaire que l’énumération soit complète ; mais il suffira que je rassemble tous les corps sous quelques classes, pour prouver que l’âme ne peut se rapporter à aucune d’elles. Si enfin je veux montrer par énumération que la surface d’un cercle est plus grande que la surface de toutes les figures dont le périmètre est égal, je ne passerai pas en revue toutes les figures, mais je me contenterai de faire la preuve de ce que j’avance sur quelques figures, et de le conclure par induction pour toutes les autres.
J’ai ajouté que l’énumération devait être méthodique, parce qu’il n’y a pas de meilleur moyen d’éviter les défauts dont nous avons parlé, que de mettre de l’ordre dans nos recherches, et parce qu’ensuite il arrive souvent que s’il fallait trouver à part chacune des choses qui ont rapport à l’objet principal de notre étude, la vie entière d’un homme n’y suffirait pas, soit à cause du nombre des objets, soit à cause des répétitions fréquentes qui ramènent les mêmes objets sous nos yeux. Mais si nous disposons toutes choses dans le meilleur ordre, on verra le plus souvent se former des classes fixes et déterminées, dont il suffira de connaître une seule, ou de connaître celle-ci plutôt que cette autre, ou seulement quelque chose de l’une d’elles ; et du moins nous n’aurions pas à revenir sur nos pas inutilement. Cette marche est si bonne, que par là on vient à bout sans peine et en peu de temps d’une science qui au premier abord paraissait immense.
Mais l’ordre qu’il faut suivre dans l’énumération peut quelquefois varier, et dépendre du caprice de chacun ; aussi, pour qu’il soit satisfaisant le plus possible, il faut se rappeler ce que nous avons dit dans la règle cinquième. Dans les moindres choses, tout le secret de la méthode consiste souvent dans l’heureux choix de cet ordre. Ainsi, voulez-vous faire un anagramme parfait en transposant les lettres d’un mot ? il ne vous sera pas nécessaire d’aller du plus facile au moins facile, de distinguer l’absolu du relatif ; ces principes ne sont ici d’aucune application : il suffira seulement de se tracer, dans l’examen des transpositions que les lettres peuvent subir, un ordre tel qu’on ne revienne jamais sur la même, puis de les ranger en classes, de manière à pouvoir reconnaître de suite dans laquelle il y a le plus d’espoir de trouver ce qu’on cherche. Ces préparatifs une fois faits, le travail ne sera plus long, il ne sera que puéril.
From all of the above, I observe how one can come to know the same thing through two different approaches, one of which is more difficult and obscure than the other. For example, in order to find these four numbers in a continuous proportion—3, 6, 12, 24—if one starts with the consecutive pairs 3 and 6, or 6 and 12, or 12 and 24, it becomes quite easy to determine the remaining numbers using these initial pairs. In this case, I say that the difficulty of solving the problem is approached directly. If, on the other hand, one starts with alternate pairs such as 3 and 12, or 6 and 24, to find the missing numbers, then I say that the difficulty is approached indirectly in the first manner. Lastly, if one begins with the extreme numbers 3 and 24 to determine the intermediate numbers 6 and 12, then I say that the difficulty is approached indirectly in the second manner. I could continue these observations further and draw many more conclusions from this single example; but this is sufficient to illustrate to the reader what I mean when I say that a proposition can be derived directly or indirectly, and to show him how even the simplest and most fundamental things, well-known as they are, can provide a person who applies attention and wisdom in their inquiries with a great many discoveries.
Rule Seven
In order to complete the pursuit of knowledge, it is necessary for thought to systematically and continuously examine all those elements that are related to the goal one wishes to achieve, and then to summarize them in a methodical and comprehensive manner.
Observing the rule proposed here is necessary in order to include among certain truths those that, as we have stated earlier, do not directly derive from self-evident principles. In fact, reaching such truths requires a lengthy series of logical conclusions, making it difficult to recall the entire process involved. Therefore, we say that the power of memory must be supplemented by constant exercise of thought. For example, after carrying out various steps in reasoning, if I determine the relationships between quantities A and B, then between B and C, then between C and D, and finally between D and E, I will not be able to see directly the relationship between A and E. Nor can I conclude it accurately based on the known relationships, unless my memory retains them all in its grasp. Thus, I will go through the entire process step by step, allowing my imagination to connect one link with another until I am able to move swiftly from the first to the last step, enabling me to grasp the whole sequence at a glance—almost without relying on my memory at all. This method not only relieves the burden on memory but also improves the speed and scope of one’s thinking.
I would also like to add that the process of reasoning must not be interrupted; often, those who attempt to draw hasty conclusions from distant principles fail to carefully follow the chain of intermediate deductions, and as a result, some steps in that chain are overlooked. And yet, once even the least significant of these consequences is forgotten, the entire chain of reasoning is broken, and the certainty of the final conclusion is shaken.
I further state that science requires the use of enumeration in order to be complete. Indeed, other principles serve to solve an infinite number of problems; but only enumeration can enable us to form a sure and well-founded judgment regarding any object upon which we apply it, thereby ensuring that nothing is overlooked and allowing us to possess certain understandings of all things.
Here, enumeration or induction consists in a careful and precise search for everything that is relevant to the proposed question. However, this search must be conducted in such a way that we can be certain of having omitted nothing unintentionally. Whenever we employ it, if the question remains unresolved, at least we will have gained more knowledge, for we will then know that no known approach can lead to a solution. And if, as often happens, we have indeed explored every possible path open to mankind in our search for the truth, we can assert with certainty that the solution lies beyond the reach of human intelligence.
It should also be noted that by “sufficient enumeration” or “induction,” we mean that method which leads us to truth more securely than any other, except for pure intuition itself. Indeed, if a matter cannot be reduced to intuition, it is not through syllogistic reasoning but solely through induction that we must place our trust. For whenever we deduce one proposition directly from another, if the deduction is evident, then the first proposition can indeed be considered a true intuition. However, when we deduce one proposition from numerous, discrete, and varied propositions, often our intellect does not possess the capacity to grasp them all at once: in such cases, the certainty provided by induction must suffice us. Just as we cannot, with a single glance, distinguish all the links in a long chain, yet if we have seen how those links are connected to each other, this knowledge will enable us to understand how the first link is related to the last.
I said that this procedure should be sufficient, because often it can be flawed and thus subject to error. Indeed, sometimes, when we go through a series of propositions that seem utterly evident, if we forget even one of them, no matter how insignificant, the whole chain is broken, and our conclusion loses all its certainty. Other times, we may not forget anything in our enumeration, but we fail to distinguish one proposition from another, and as a result, our understanding remains utterly confused.
Sometimes, this enumeration must be complete; other times, it must be selective. Yet at other times, it need not possess either of these characteristics—hence I said that it must be sufficient. Indeed, if I were to attempt to prove by enumeration how many corporeal beings exist, or which ones fall within the scope of the senses, I would not claim to know their exact number before being certain that I had listed them all and distinguished one from another. But if, by the same means, I were to prove that the rational soul is not corporeal, it would not be necessary for my enumeration to be complete; it would suffice for me to group all corporeal entities into a few categories in order to demonstrate that the soul cannot belong to any of them. Finally, if I wished to prove by enumeration that the area of a circle is greater than the area of any other figure with the same perimeter, I would not have to examine every possible figure; instead, I would prove my point for a few selected cases and then generalize the conclusion to all others through induction.
I added that the enumeration must be methodical, because there is no better way to avoid the flaws we have discussed than to organize our research in an orderly manner. Moreover, it often happens that if one were to try to list separately every item related to the main subject of our study, a person’s entire life would not be enough—either due to the sheer number of items or because of the frequent repetitions that would cause the same objects to reappear repeatedly. But if we arrange everything in the best possible order, we will often find that fixed and definite categories emerge; knowing just one of these categories, or even that one rather than another, or merely something about one of them, will be sufficient. At the very least, we would avoid having to repeat our efforts needlessly. This approach is so effective that it enables us to master a subject that at first seems immense, with ease and in a short amount of time.
However, the order to be followed in enumeration can sometimes vary and depend on each person’s whims; therefore, in order to ensure it is as satisfactory as possible, we must recall what we said in rule five. In even the smallest matters, the whole secret of this method often lies in making the right choice of order. For instance, if you want to create a perfect anagram by rearranging the letters of a word, you won’t need to proceed from the easiest option to the least difficult, nor will you need to distinguish between absolute and relative elements—these principles are utterly irrelevant here. All you need to do is determine an order for the rearrangement of the letters in such a way that no letter is used more than once, and then organize them into categories so that you can immediately identify which category offers the best chance of finding what you’re looking for. Once these preparations are completed, the actual task will be quick and straightforward.
Da tutto ciò che precede, si può notare come sia possibile giungere alla conoscenza di una stessa cosa attraverso due vie diverse, di cui una è più difficile e oscura dell’altra. Ad esempio, per trovare questi quattro numeri in proporzione continua – 3, 6, 12, 24 – se si partono dai due termini consecutivi 3 e 6, o da 6 e 12, o da 12 e 24, non sarà affatto difficile trovare gli altri numeri utilizzando questi. In questo caso, si può dire che la difficoltà risulta immediatamente evidente nel procedimento di soluzione. Se invece si partono alternativamente dai due termini iniziali – 3 e 12, o 6 e 24 – per trovare gli altri numeri, allora si può dire che la difficoltà viene affrontata in modo indiretto. Se si considerano i due estremi – 3 e 24 – per individuare i termini intermedi – 6 e 12 – ancora una volta si osserva che il procedimento è di natura indiretta. Potrei continuare queste riflessioni, e trarre da questo solo esempio molte altre conclusioni; ma ciò basta per far comprendere al lettore ciò che intendo quando dico che una proposizione può essere dedotta in modo diretto o indiretto, e per insegnargli che anche le cose più semplici ed elementari, ben conosciute, possono offrire, se si applicano attenzione e saggezza nella loro analisi, molte opportunità di scoperta.
Regola settima
Per completare la scienza, è necessario che il pensiero percorra, con un movimento ininterrotto e sistematico, tutti gli elementi che rientrano nell’obiettivo che si vuole raggiungere, e successivamente li riassuma in un elenco metodico e completo.
L’osservanza della regola qui viene proposta è necessaria affinché si possano considerare certe queste verità che, come abbiamo detto in precedenza, non derivano immediatamente da principi evidenti di per sé stessi. Si arriva infatti a esse attraverso una lunga serie di conseguenze, tale che non è facile ricordare tutto il percorso seguito. Per questo motivo diciamo che è necessario integrare la capacità della memoria con un esercizio continuo del pensiero. Ad esempio, dopo diverse operazioni matematiche in cui ho individuato i rapporti tra le grandezze A e B, poi tra B e C, successivamente tra C e D, e infine tra D ed E, se la mia memoria non mi ricorda tutti questi rapporti, non sarò in grado di dedurre con precisione il rapporto tra A ed E. Pertanto dovrò ripercorrere mentalmente tutto il processo, in modo che l’immaginazione possa passare da un elemento all’altro con tale rapidità da permettermi di comprendere l’intero insieme di relazioni in un istante, quasi senza l’aiuto della memoria. Questo metodo, oltre a ridurre il carico sulla memoria, aumenta la velocità del pensiero e ne amplia le capacità.
Aggiungo che il corso del pensiero non deve mai essere interrotto; spesso, infatti, coloro che cercano di trarre conclusioni troppo rapide da principi lontani non riescono a seguire con sufficiente attenzione la catena delle deduzioni intermedie, e così ne trascurano alcune. Eppure, non appena una conseguenza, anche la meno importante, viene dimenticata, tutta la catena logica si interrompe e la certezza della conclusione ne risulta compromessa.
Dico inoltre che la scienza ha bisogno, per essere completa, dell’enumerazione. Infatti, gli altri principi servono a risolvere un’infinità di problemi; ma solo l’enumerazione può renderci capaci di formulare su qualsiasi oggetto ci occupiamo giudizi sicuri e fondati, permettendoci così di non tralasciare assolutamente nulla e di disporre di lumi certi su tutte le cose.
In questo caso, l’enumerazione, o l’induzione, consiste nella ricerca attenta e accurata di tutto ciò che è correlato alla questione posta. Ma tale ricerca deve essere condotta in modo tale da permetterci di concludere con certezza di non aver tralasciato nulla per errore. Quindi, quando l’avremo utilizzata e la questione non sarà stata risolta, almeno sapremo di più, poiché avremo compreso che non è possibile giungere alla soluzione attraverso nessuno dei metodi conosciuti dall’uomo; e se, cosa abbastanza frequente, avessimo esplorato tutte le strade possibili per raggiungere la verità, potremmo affermare con sicurezza che tale soluzione va al di là delle capacità dell’intelligenza umana.
È inoltre da notare che, per enumerazione sufficiente o induzione, intendiamo quel metodo che ci conduce alla verità in modo più sicuro di qualsiasi altro, ad eccezione dell’intuizione pura e semplice. Infatti, se una cosa è tale che non possiamo ridurla all’intuizione, non dobbiamo fidarci delle forme sillogistiche, ma soltanto dell’induzione stessa. Poiché ogni volta che deduciamo una proposizione da un’altra in modo immediato, se la deduzione è evidente, tali proposizioni saranno comunque riconducibili a un’intuizione vera e propria. Tuttavia, quando deduciamo una proposizione da molte altre proposizioni diverse, spesso la capacità della nostra intelligenza non è tale da poterle comprendere tutte in un’unica visione: in questo caso, la certezza derivante dall’induzione deve bastarci. È così che, sebbene non possiamo distinguere con un solo sguardo tutti gli anelli di una lunga catena, se abbiamo visto comunque il legame tra questi anelli, ciò ci permetterà di comprendere come il primo sia collegato all’ultimo.
Ho detto che questa operazione doveva essere sufficiente, perché spesso può risultare errata e quindi soggetta a errori. Infatti, a volte, nel esaminare una serie di proposizioni di estrema evidenza, se ne dimentichiamo anche solo una, per quanto insignificante, l’intera catena logica viene interrotta e la nostra conclusione perde ogni certezza. Altre volte, invece, non dimentichiamo nulla nell’elenco che facciamo, ma non riusciamo a distinguere chiaramente le singole proposizioni, e di conseguenza la nostra comprensione rimane confusa.
A volte questa enumerazione deve essere completa, altre volte distinta; altre volte non deve avere nessuno di questi due caratteri. Per questo ho detto che deve essere sufficiente. Infatti, se voglio dimostrare, attraverso un’enumerazione, quante siano le entità corporee o quelle percepite dai sensi, non dirò che ne esistono un certo numero, né più né meno, prima di essere sicuro di averne elencate tutte e distinte l’una dall’altra. Ma se voglio, con lo stesso metodo, dimostrare che l’anima razionale non è corporea, non sarà necessario che l’enumerazione sia completa; basterà che raggruppi tutti i corpi in alcune categorie per dimostrare che l’anima non può appartenere a nessuna di esse. Infine, se voglio dimostrare, attraverso un’enumerazione, che la superficie di un cerchio è maggiore della superficie di tutte le figure il cui perimetro è uguale, non passerò in rassegna tutte le figure, ma mi limiterò a dimostrare ciò che affermo su alcune di esse e ne trarrò la conclusione per tutte le altre attraverso l’induzione.
Ho aggiunto che l’elenco delle cose deve essere compilato in modo metodico, perché non esiste modo migliore per evitare gli errori di cui abbiamo parlato se non quello di mettere ordine nelle nostre ricerche. Spesso, infatti, se si volessero individuare separatamente tutte le informazioni relative all’oggetto principale dello studio, l’intera vita di una persona non sarebbe sufficiente, sia a causa del gran numero di elementi da considerare, sia a causa delle ripetizioni frequenti che portano allo stesso argomento più volte. Tuttavia, se disponiamo tutte le informazioni nell’ordine giusto, molto spesso si formano classi ben definite e ordinate; conoscere una sola di queste classi, o anche solo alcune caratteristiche specifiche di una di esse, è sufficiente per procedere correttamente. Almeno in questo modo non saremo costretti a ripetere inutilmente gli stessi passaggi. Questo approccio è così efficace che permette di padroneggiare facilmente e in poco tempo una scienza che, a prima vista, sembrava estremamente complessa.
Ma l’ordine da seguire nell’elencamento può talvolta variare e dipendere dal capriccio di ciascuno; pertanto, affinché sia il più possibile soddisfacente, è necessario ricordare ciò che abbiamo detto nella regola quinta. Anche nelle cose più semplici, il segreto di questo metodo consiste spesso nel scegliere con attenzione l’ordine giusto. Ad esempio, se volete creare un anagramma perfetto sostituendo le lettere di una parola, non sarà necessario procedere dal più facile al meno facile, né distinguere tra ciò che è assoluto e ciò che è relativo: questi principi qui non hanno alcuna applicazione. Basterà semplicemente stabilire un ordine preciso per le possibili sostituzioni delle lettere, in modo da evitare di ripetere lo stesso ordine più volte, e poi raggrupparle in categorie in modo da poter individuare immediatamente quella che offre maggiori possibilità di trovare ciò che si cerca. Una volta fatti questi preparativi, il lavoro diventerà molto semplice, quasi banale.
Au reste nos trois dernières propositions ne doivent pas se séparer, mais il faut les avoir toutes ensemble présentes à l’esprit, parce qu’elles concourent également à la perfection de la méthode. Peu importait laquelle nous mettrions la première ; et si nous ne leur donnons pas ici plus de développement, c’est que dans tout le reste de ce traité nous n’aurons presque autre chose à faire que de les expliquer, en montrant l’application particulière des principes généraux que nous venons d’exposer.
Règle huitième
Si dans la série des questions il s’en présente une que notre esprit ne peut comprendre parfaitement, il faut s’arrêter là, ne pas examiner ce qui suit, mais s’épargner un travail superflu.
Les trois règles précédentes tracent l’ordre et l’expliquent ; celle-ci montre quand il est nécessaire, quand seulement il est utile. Car ce qui constitue un degré entier dans l’échelle qui conduit du relatif à l’absolu, et réciproquement, doit être examiné avant de passer outre ; il y a là nécessité. Mais si, ce qui arrive souvent, beaucoup de choses se rapportent au même degré, il est toujours utile de les parcourir par ordre. Cependant l’observation du principe n’est pas ici si rigoureuse, et souvent sans connaître à fond toutes ces choses, seulement un petit nombre, ou même une seule d’elles, on pourra passer outre.
Cette règle suit nécessairement des raisons qui appuient la seconde. Cependant il ne faut pas croire qu’elle ne contienne rien de nouveau pour faire avancer la science, quoiqu’elle paraisse seulement nous détourner de l’étude de certaines choses, ni qu’elle n’expose aucune vérité, parce qu’elle paraît n’apprendre aux étudiants qu’à ne pas perdre leur temps, par le même motif à peu près que la seconde. Mais ceux qui connaissent parfaitement les sept règles précédentes, peuvent apprendre dans celle-ci comment en chaque science il leur est possible d’arriver au point de n’avoir plus rien à désirer. Celui, en effet, qui, dans la solution d’une difficulté, aura suivi exactement les premières règles, averti par celle-ci de s’arrêter quelque part, connaîtra qu’il n’est aucun moyen pour lui d’arriver à ce qu’il cherche, et cela non par la faute de son esprit, mais à cause de la nature de la difficulté ou de la condition humaine. Or, cette connaissance n’est pas une moindre science que celle qui nous éclaire sur la nature même des choses, et certes ce ne serait pas faire preuve d’un bon esprit que de pousser au-delà sa curiosité.
Éclaircissons tout ceci par un ou deux exemples. Si un homme qui ne connaît que les mathématiques cherche la ligne appelée en dioptrique anaclastique, dans laquelle les rayons parallèles se réfractent, de manière qu’après la réfraction ils se coupent tous en un point, il s’apercevra facilement, d’après la cinquième et sixième règle, que la détermination de cette ligne dépend du rapport des angles de réfraction aux angles d’incidence. Mais comme il ne pourra faire cette recherche, qui n’est pas du ressort des mathématiques, mais de la physique, il devra s’arrêter là où il ne lui servirait de rien de demander la solution de cette difficulté aux philosophes et à l’expérience. Il pécherait contre la règle troisième. En outre, la proposition est composée et relative ; or, ce n’est que dans les choses simples et absolues qu’on peut s’en fier à l’expérience, ce que nous démontrerons en son lieu ; En vain encore supposera-t-il entre ces divers angles un rapport qu’il soupçonnera être le véritable ; ce ne sera pas là chercher l’anaclastique, mais seulement une ligne qui puisse rendre compte de sa supposition.
Mais si un homme sachant autre chose que des mathématiques, désireux de connaître, d’après la règle première, la vérité sur tout ce qui se présente à lui, vient à rencontrer la même difficulté, il ira plus loin, et trouvera que le rapport entre les angles d’incidence et les angles de réfraction dépend de leur changement, à cause de la variété des milieux ; que ce changement à son tour dépend du milieu, parce que le rayon pénètre dans la totalité du corps diaphane ; il verra que cette propriété de pénétrer ainsi un corps suppose connue la nature de la lumière ; qu’enfin pour connaître la nature de la lumière, il faut savoir ce qu’est en général une puissance naturelle, dernier terme et le plus absolu de toute cette série de questions. Après avoir vu toutes ces propositions clairement à l’aide de l’intuition, il repassera les mêmes degrés d’après la règle cinquième ; et si au second degré il ne peut connaître du premier coup la nature de la lumière, il énumèrera, par la règle septième, toutes les autres puissances naturelles, afin que, de la connaissance d’une d’elles, il puisse au moins déduire par analogie la connaissance de ce qu’il ignore. Cela fait, il cherchera comment le rayon traverse un tout diaphane, et poursuivant ainsi la suite des propositions, il arrivera enfin à l’anaclastique même, que beaucoup de philosophes, il est vrai, ont jusqu’ici cherchée en vain, mais qui, selon nous, ne doit offrir aucune difficulté à celui qui saura se servir de notre méthode.
Mais donnons l’exemple le plus noble de tous. Qu’un homme se propose pour question d’examiner toutes les vérités à la connaissance desquelles l’esprit humain peut suffire, question que, selon moi, doivent se faire, une fois au moins en leur vie, ceux qui veulent sérieusement arriver à la sagesse ; il trouvera, à l’aide des règles que j’ai données, que la première chose à connaître, c’est l’intelligence, puisque c’est d’elle que dépend la connaissance de toutes les autres choses, et non réciproquement. Puis, examinant ce qui suit immédiatement la connaissance de l’intelligence pure, il passera en revue tous les autres moyens de connaître que nous possédons, non compris l’intelligence ; il trouvera qu’il n’y en a que deux, l’imagination et les sens. Il donnera donc tous ses soins à examiner et à distinguer ces trois moyens de connaître, et voyant qu’à proprement parler, la vérité et l’erreur ne peuvent être que dans l’intelligence toute seule, et que les deux autres modes de connaître n’en sont que les occasions, il évitera avec soin tout ce qui peut l’égarer, et comptera toutes les voies qui sont ouvertes à l’homme pour arriver à la vérité, afin de suivre la bonne. Or, elles ne sont pas tellement nombreuses qu’il ne les trouve facilement toutes après une énumération suffisante. Et ce qui paraîtra étonnant et incroyable à ceux qui n’en ont pas fait l’expérience, sitôt qu’il aura distingué les connaissances qui remplissent ou ornent la mémoire d’avec celles qui font le vrai savant, distinction qu’il fera aisément… ; il verra que s’il ignore quelque chose, ce n’est ni faute d’esprit ni de capacité, et qu’il n’est pas une chose dont un autre possède la connaissance qu’il ne soit capable de connaître comme lui, pourvu qu’il y applique convenablement son attention. Et quoiqu’on puisse souvent lui présenter des questions dont notre règle lui interdise la recherche, comme il verra qu’elles dépassent la portée de l’esprit humain, il ne s’en croira pas pour cela plus ignorant qu’un autre ; mais ce peu qu’il saura, c’est-à-dire que personne ne peut rien savoir sur la question, devra, s’il est sage, satisfaire pleinement sa curiosité.
Or pour ne pas rester dans une incertitude continuelle sur ce que peut notre esprit, et ne pas nous consumer en efforts stériles et malheureux, avant d’aborder la connaissance de chaque chose en particulier, il faut une fois en sa vie s’être demandé quelles sont les connaissances que peut atteindre la raison humaine. Pour y réussir, entre deux moyens également faciles, il faut toujours commencer par celui qui est le plus utile.
Furthermore, our last three propositions should not be considered separately; rather, they must all be kept in mind simultaneously, since they all contribute to the perfection of this method. It would not matter which one we presented first; and if we do not elaborate further on them here, it is because throughout the rest of this treatise, our main task will be to explain them by illustrating their specific applications in relation to the general principles we have just discussed.
Rule Eight
If, in a series of questions, there is one that our mind cannot fully comprehend, then we must stop there; we should not proceed to examine what follows, thus avoiding unnecessary effort.
The previous three rules establish the order and explain it; this rule indicates when it is necessary to proceed, and when it is merely useful to do so. For what constitutes a complete stage on the scale that leads from the relative to the absolute, and vice versa, must be examined before moving on; there is a necessity for this. However, if—as often happens—many things relate to the same stage, it is still useful to go through them in order. Nevertheless, the application of this principle is not here so strict; often, without having a thorough understanding of all these things, merely knowing a few of them, or even just one, will be sufficient to proceed.
This rule must necessarily be based on reasons that support its second aspect. However, one should not assume that it contains nothing new that could advance science, even though it may seem to divert us from studying certain matters; nor should one think that it reveals no truths, merely because it appears to teach students only how not to waste their time—much in the same way as the second rule does. But those who have a thorough understanding of the seven previous rules can learn from this one how, in every field of study, it is possible to reach a point where one no longer has anything left to desire. Indeed, anyone who, in solving a difficult problem, has strictly followed the first rules and been warned by them to stop at a certain point will realize that there is no way for him to achieve his goal—not because of any deficiency in his intellect, but due to the nature of the problem itself or the limitations of human condition. And this knowledge is no less valuable than that which sheds light on the very essence of things. Moreover, it would certainly not be a sign of poor judgment to pursue one’s curiosity beyond its proper limits.
Let us clarify all this with one or two examples. If a man who knows only mathematics were to seek the line known in dioptrics as the anaclastic line—on which parallel rays undergo refraction in such a way that after refraction they all intersect at a single point—he would easily realize, according to the fifth and sixth rules of optics, that determining this line depends on the ratio of the angles of refraction to the angles of incidence. However, since this task falls within the realm of physics rather than mathematics, he would be obliged to stop there; seeking help from philosophers or relying on experimentation would be utterly futile in this case—and such an approach would violate the third rule of scientific method. Moreover, the problem at hand is composed and relative in nature; yet it is only in simple and absolute matters that one can truly rely on experimental evidence—something we will demonstrate in due course. In vain would he attempt to establish a particular ratio between these angles, assuming it to be the correct one; such an approach would not lead him to the true anaclastic line, but merely to a line that might seem to support his hypothesis.
But if a man who knows something other than mathematics, and who is eager to understand the truth about everything that presents itself to him, encounters the same difficulties, he will persevere further and discover that the relationship between the angles of incidence and the angles of refraction depends on how these angles change as they pass through different media; that this change in turn depends on the nature of the medium, since light rays must penetrate entirely through any transparent substance; he will also realize that this ability of light to penetrate such substances presupposes a prior understanding of the nature of light itself; and finally, that to understand the nature of light, one must first grasp what a “natural power” is—in other words, the ultimate and most fundamental concept in this entire series of inquiries. After clearly understanding all these points through intuition, he will then apply the fifth rule to examine them again. If, at the second stage of his analysis, he still cannot immediately understand the nature of light, he will use the seventh rule to list all other natural powers, so that by knowing one of them, he may at least infer, through analogy, the nature of those he does not yet understand. Having done this, he will then attempt to explain how light rays pass through transparent substances, and by continuing this process step by step, he will ultimately arrive at what many philosophers have so far vainly sought—though in our view, this understanding should present no difficulty whatsoever for anyone who knows how to use our method.
But let us take the noblest example of all. Suppose a person resolves to examine all those truths of which the human mind is capable of having knowledge—that is, in my opinion, something that everyone who truly seeks wisdom should do at least once in their life. Using the rules I have provided, they will find that the first thing to understand is intelligence itself, for it is from intelligence that knowledge of all other things derives, and not vice versa. Then, by examining what follows immediately after gaining a clear understanding of intelligence, they will review all the other means of knowledge we possess, excluding intelligence itself. They will discover that there are only two such means: imagination and the senses. Therefore, they should devote all their attention to studying and distinguishing these three methods of knowledge. Realizing that truth and error can exist solely within intelligence itself, while the other two modes of knowledge are merely means to acquire them, they will carefully avoid anything that might lead them astray, and consider every path open to man in pursuit of truth, in order to follow the right one. In fact, these paths are not so numerous that it is difficult for anyone to identify them all after a thorough examination. And what may seem astonishing or unbelievable to those who have not experienced this approach, once they make the distinction between the knowledge that fills or embellishes the memory and the knowledge that truly qualifies a person as a sage—a distinction that can be easily made—they will realize that if they lack knowledge of something, it is neither due to a lack of intelligence nor ability. In other words, there is nothing that someone else knows which they themselves cannot also come to know, provided they apply their attention properly. Moreover, even if they are presented with questions whose investigation our rules prohibit, and they realize that these questions exceed the scope of human understanding, they should not consider themselves any less knowledgeable than others. Instead, they should accept that what little they do know—namely, that no one can truly understand such matters—is sufficient to satisfy their curiosity, if they are wise enough to do so.
Or, in order not to remain in a constant state of uncertainty about what our mind is capable of, and in order not to waste ourselves in futile and unhappy efforts, before undertaking the study of each particular thing, one must at some point in life ask oneself what knowledge the human reason is able to attain. To achieve this goal, among two equally feasible methods, one should always begin with the one that is most useful.
Del resto, le nostre ultime tre proposizioni non dovrebbero essere considerate separatamente, ma bisogna tenerle tutte presenti nella mente, poiché contribuiscono ugualmente alla perfezione del metodo. Non importa quale di esse introduciamo per prima; e se qui non ne diamo un’esplicazione più dettagliata, è perché nel resto di questo trattato avremo quasi esclusivamente il compito di spiegarle, mostrando l’applicazione concreta dei principi generali che abbiamo appena esposto.
Regola ottava
Se nella serie di domande se ne presenta una che la nostra mente non è in grado di comprendere appieno, bisogna fermarsi lì, non esaminare ciò che segue, ma risparmiarsi uno sforzo inutile.
Le tre regole precedenti delineano l’ordine e lo spiegano; questa regola indica quando sia necessario, quando soltanto sia utile procedere in un certo modo. Poiché ciò che rappresenta un determinato grado nella scala che va dal relativo all’assoluto, e viceversa, deve essere esaminato attentamente prima di passare oltre; in questi casi sussiste una vera necessità. Tuttavia, se, come spesso accade, molte cose rientrano nello stesso grado, è comunque utile esaminarle nell’ordine corretto. Tuttavia, l’applicazione di questo principio non è qui così rigida; spesso, senza conoscere a fondo tutte queste cose, basta considerarne soltanto un piccolo numero, o addirittura una sola, per poter procedere oltre.
Questa regola segue necessariamente ragioni che giustificano il suo contenuto. Tuttavia, non si deve credere che essa non contenga nulla di nuovo per il progresso della scienza, anche se sembra semplicemente allontanarci dall’indagine su alcune questioni, né che non esponga verità genuine, poiché appare destinata soltanto ad insegnare agli studenti a non sprecare tempo, per lo stesso motivo approssimativamente indicato dalla seconda regola. Ma coloro che conoscono perfettamente le sette regole precedenti possono imparare da questa quale sia il modo per raggiungere, in ogni ambito scientifico, il punto in cui non ci sia più nulla da desiderare. Infatti, colui che, nella risoluzione di una difficoltà, abbia seguito esattamente le prime regole e si sia fermato al punto indicato da queste, comprenderà che non esiste alcun mezzo per raggiungere l’obiettivo cercato, e ciò non a causa della sua mancanza di intelligenza, ma a causa della natura stessa della difficoltà o delle condizioni umane. Ora, questa conoscenza non è certo inferiore a quella che ci illumina sulla vera natura delle cose; anzi, non sarebbe affatto segno di una mente brillante cercare di andare oltre i limiti della propria curiosità.
Chiariamo tutto ciò con uno o due esempi. Se un uomo che conosce soltanto la matematica cerca quella linea chiamata “anaclastica” in ottica, nella quale i raggi paralleli vengono rifratti in modo che, dopo la rifrazione, si intersechino tutti in un punto, facilmente comprenderà, secondo le regole quinta e sesta, che la determinazione di questa linea dipende dal rapporto tra gli angoli di rifrazione e gli angoli di incidenza. Tuttavia, poiché tale ricerca non rientra nell’ambito della matematica, ma della fisica, dovrà fermarsi lì, senza cercare di risolvere questa difficoltà presso i filosofi o attraverso l’esperimento; altrimenti commetterebbe un errore secondo la terza regola. Inoltre, la proposizione in questione è composta e relativa; mentre soltanto nelle cose semplici e assolute si può fare affidamento sull’esperienza, come dimostreremo in seguito. Inutile anche supporre tra questi angoli un rapporto che si ritiene essere quello vero: ciò non significherebbe cercare l’“anaclastica”, ma soltanto una linea che possa giustificare tale ipotesi.
Ma se un uomo che conosce qualcosa di diverso dalle matematiche desidera, secondo la prima regola, conoscere la verità su tutto ciò che gli si presenta davanti, e incontra lo stesso tipo di difficoltà, procederà oltre e scoprirà che il rapporto tra gli angoli di incidenza e gli angoli di rifrazione dipende dal cambiamento che subiscono a causa della diversità dei mezzi; che questo cambiamento, a sua volta, dipende dal mezzo stesso, poiché il raggio penetra nell’intera massa del corpo trasparente; comprenderà che questa proprietà di penetrare in tal modo un corpo presuppone già conosciuta la natura della luce; e infine, per conoscere la natura della luce, è necessario sapere cosa sia in generale una “forza naturale”, termine finale e assoluto di tutta questa serie di questioni. Dopo aver chiaramente compreso tutte queste proposizioni grazie all’intuizione, ripasserà gli stessi passaggi seguendo la quinta regola; e se al secondo livello non riuscirà a comprendere immediatamente la natura della luce, elencherà, con l’aiuto della settima regola, tutte le altre “forze naturali”, affinché, conoscendone una, possa almeno dedurre per analogia ciò che ignora. Una volta fatto ciò, cercherà di capire come il raggio attraversi un corpo trasparente; proseguendo in questo modo nella sequenza delle proposizioni, arriverà infine all’anaclastica stessa, che molti filosofi hanno cercato invano fino ad oggi, ma che, a nostro parere, non dovrebbe rappresentare alcuna difficoltà per chi sappia utilizzare il nostro metodo.
Ma diamo l’esempio più nobile di tutti: supponiamo che un uomo si proponga di esaminare tutte le verità di cui lo spirito umano può disporre, una questione che, a mio parere, coloro che desiderano seriamente raggiungere la saggezza dovrebbero porsi almeno una volta nella loro vita. Con l’aiuto delle regole che ho fornito, scoprirà che la prima cosa da conoscere è l’intelligenza, poiché da essa dipende la comprensione di tutte le altre cose, e non viceversa. Successivamente, esaminando tutti gli altri mezzi di conoscenza a nostra disposizione – esclusa l’intelligenza stessa – ne individuerà soltanto due: l’immaginazione e i sensi. Pertanto dedicherà ogni sforzo ad analizzare e distinguere questi tre mezzi di conoscenza, e, riconoscendo che la verità e l’errore esistono esclusivamente nell’intelligenza stessa, mentre gli altri due modi di conoscenza ne sono soltanto i strumenti, eviterà con attenzione tutto ciò che potrebbe distorcerne la comprensione, e valuterà attentamente tutte le vie aperte all’uomo per raggiungere la verità, al fine di scegliere quella giusta. In realtà, queste vie non sono così numerose da rendere difficile individuarle tutte dopo un’adeguata analisi. E ciò che potrebbe sembrare sorprendente e inverosimile a coloro che non hanno sperimentato questo approccio, diventerà evidente non appena distingueranno chiaramente le conoscenze che arricchiscono la memoria da quelle che rendono veramente sagge le persone; scopriranno infatti che, se ignorano qualcosa, ciò non dipende né dalla mancanza di intelligenza né di capacità, e che non esiste nulla che un altro possa conoscere e che loro non siano in grado di comprendere, a condizione che vi dedichino l’attenzione necessaria. E anche se spesso si troveranno di fronte a domande la cui ricerca è vietata dalle nostre regole, poiché comprenderanno che tali questioni esulano dall’ambito delle capacità umane, non si considereranno meno saggi degli altri; anzi, riconosceranno che ciò che sanno – ovvero che nessuno può conoscere veramente certe cose – sarà sufficiente per soddisfare pienamente la loro curiosità, se sono saggi.
O per non rimanere costantemente nell’incertezza riguardo a ciò che il nostro spirito è in grado di compiere, e per non dissipare energie in sforzi sterili e infruttuosi, prima di affrontare la conoscenza di ogni singola cosa, è necessario, almeno una volta nella vita, chiedersi quali siano le conoscenze che la ragione umana può acquisire. Per riuscirci, tra due metodi altrettanto semplici, bisogna sempre iniziare con quello che si rivela più utile.
Cette méthode imite celles des professions mécaniques, qui n’ont pas besoin du secours des autres, mais qui donnent elles-mêmes les moyens de construire les instruments qui leur sont nécessaires. Qu’un homme, par exemple, veuille exercer le métier de forgeron ; s’il était privé de tous les outils nécessaires, il sera forcé de se servir d’une pierre dure ou d’une masse grossière de fer ; au lieu d’enclume, de prendre un caillou pour marteau, de disposer deux morceaux de bois en forme de pinces, et de se faire ainsi les instruments qui lui sont indispensables. Cela fait, il ne commencera pas par forger, pour l’usage des autres, des épées et des casques, ni rien de ce qu’on fait avec le fer ; avant tout il se forgera des marteaux, une enclume, des pinces, et tout ce dont il a besoin. De même, ce n’est pas à notre début, avec quelques règles peu éclaircies, qui nous sont données par la constitution même de notre esprit plus tôt qu’elles ne nous sont enseignées par l’art, qu’il faudra de prime abord tenter de concilier les querelles des philosophes, et résoudre les problèmes des mathématiciens. Il faudra d’abord nous servir de ces règles pour trouver ce qui nous est le plus nécessaire à l’examen de la vérité, puisqu’il n’y a pas de raison pour que cela soit plus difficile à découvrir qu’aucune des questions qu’on agite en géométrie, en physique, ou dans les autres sciences.
Or, ici il n’est aucune question plus importante à résoudre que celle de savoir ce que c’est que la connaissance humaine, et jusqu’où elle s’étend, deux choses que nous réunissons dans une seule et même question qu’il faut traiter avant tout d’après les règles données plus haut. C’est là une question qu’il faut examiner une fois en sa vie, quand on aime tant soit peu la vérité, parce que cette recherche contient toute la méthode, et comme les vrais instruments de la science. Rien ne me semble plus absurde que de discuter audacieusement sur les mystères de la nature, sur l’influence des astres, sur les secrets de l’avenir, sans avoir une seule fois cherché si l’esprit humain peut atteindre jusque-là. Et il ne doit pas nous sembler difficile et pénible de fixer ainsi les limites de notre esprit dont nous avons conscience, quand nous ne balançons pas de porter un jugement sur des choses qui sont hors de nous, et qui nous sont complètement étrangères. Ce n’est pas non plus un travail immense que de chercher à embrasser par la pensée les objets que renferme ce monde, pour reconnaître comment chacun d’eux peut être saisi par notre esprit. En effet il n’y a rien de si multiple et de si épars qui ne puisse être renfermé dans de certaines bornes, et ramené sous un certain nombre de chefs, au moyen de l’énumération dont nous avons parlé. Pour en faire l’expérience, dans la question posée plus haut, nous diviserons en deux parties tout ce qui s’y rapporte : elle est relative, en effet, ou à nous, qui sommes capables de connaître ; ou aux choses, qui peuvent être connues : ces deux points seront traités séparément.
Et d’abord nous remarquerons qu’en nous l’intelligence seule est capable de connaître, mais qu’elle peut être ou empêchée ou aidée par trois autres facultés, c’est à savoir, l’imagination, les sens, et la mémoire. Il faut donc voir successivement en quoi ces facultés peuvent nous nuire pour l’éviter, ou nous servir pour en profiter. Ce premier point sera complètement traité par une énumération suffisante, ainsi que la règle suivante le fera voir.
Il faut ensuite passer aux objets eux-mêmes, et ne les considérer qu’en tant que notre intelligence peut les atteindre. Sous ce rapport, nous les divisons en choses simples, et complexes ou composées. Les simples ne peuvent être que spirituelles ou corporelles, ou spirituelles et corporelles tout à la fois. Les composées sont de deux sortes : l’esprit trouve les unes avant qu’il puisse en rien dire de positif ; il fait les autres lui-même, opération qui sera exposée plus au long dans la règle douzième, où l’on montrera que l’erreur ne peut se trouver que dans les choses que l’intelligence a composées. Aussi distinguons-nous même ces dernières en deux espèces, celles qui se déduisent des choses les plus simples, qui sont connues par elles-mêmes ; nous leur consacrerons le livre suivant : et celles qui en présupposent d’autres, que l’expérience nous apprend être essentiellement composées ; le livre troisième leur sera entièrement consacré.
Or dans tout ce traité nous tâcherons de suivre avec exactitude et d’aplanir les voies qui peuvent conduire l’homme à la découverte de la vérité, en sorte que l’esprit le plus médiocre, pourvu qu’il soit pénétré profondément de cette méthode, verra que la vérité ne lui est pas plus interdite qu’à tout autre, et que, s’il ignore quelque chose, ce n’est faute ni d’esprit ni de capacité. Mais toutes les fois qu’il voudra connaître une chose quelconque, ou il la trouvera tout d’un coup, ou bien il verra que sa connaissance dépend d’une expérience qu’il n’est pas en son pouvoir de faire ; et alors il n’accusera pas son esprit de ce qu’il est forcé de s’arrêter sitôt, ou enfin il reconnaîtra que la chose cherchée surpasse les efforts de l’esprit humain ; ainsi il ne s’en croira pas plus ignorant, parce qu’être arrivé à ce résultat est déjà une science qui en vaut une autre.
Règle neuvième
Il faut diriger toutes les forces de son esprit sur les choses les plus faciles et de la moindre importance, et s’y arrêter longtemps, jusqu’à ce qu’on ait pris l’habitude de voir la vérité clairement et distinctement.
Après avoir exposé les deux opérations de l’intelligence, l’intuition et la déduction, les seules qui puissent nous conduire à la connaissance, nous continuons d’expliquer, dans cette règle et dans la suivante, par quels moyens nous pouvons devenir plus habiles à produire ces actes, et en même temps à cultiver les deux principales facultés de notre esprit, savoir la perspicacité, en envisageant distinctement chaque chose, et la sagacité, en déduisant habilement les choses l’une de l’autre.
La manière dont nous nous servons de nos yeux suffit pour nous apprendre l’usage de l’intuition. Celui qui veut embrasser beaucoup de choses d’un seul et même regard ne voit rien distinctement ; de même celui qui, par un seul acte de la pensée, veut atteindre plusieurs objets à la fois a l’esprit confus. Au contraire, les ouvriers qui s’occupent d’ouvrages délicats, et qui ont coutume de diriger attentivement leur regard sur chaque point en particulier, acquièrent, par l’usage, la facilité de voir les choses les plus petites et les plus fines. De même ceux qui ne partagent pas leur pensée entre mille objets divers, mais qui l’occupent tout entière à considérer les choses les plus simples et les plus faciles, acquièrent une grande perspicacité.
C’est un vice commun parmi les hommes que les choses les plus difficiles leur paraissent les plus belles. La plupart ne croient rien savoir, quand ils trouvent aux choses une cause claire et simple ; aussi admirent-ils certaines raisons subtiles et profondes des philosophes, quoiqu’elles reposent souvent sur des fondements que personne n’a rigoureusement vérifiés. C’est préférer les ténèbres à la lumière. Or il faut remarquer que ceux qui savent véritablement reconnaissent avec une égale facilité, la vérité, soit qu’ils l’aient trouvée dans un sujet simple ou obscur. En effet, c’est par un acte toujours distinct et toujours semblable qu’ils comprennent chaque vérité une fois qu’ils y sont parvenus ; toute la différence est dans la route, qui certes doit être plus longue, si elle conduit à une vérité plus éloignée des principes primitifs et absolus.
Il faut donc s’accoutumer à embrasser par la pensée si peu d’objets à la fois, et des objets si amples, qu’on ne croie savoir que ce dont on a une intuition aussi claire que de la chose la plus claire du monde. C’est un talent qui a été donné par la nature aux uns beaucoup plus qu’aux, autres ; mais l’art et l’exercice peuvent encore augmenter considérablement les dispositions naturelles. Il n’y point sur lequel je ne puis trop insister, c’est que chacun se persuade bien fermement que ce n’est pas des choses grandes et difficiles, mais seulement des choses les plus simples et les plus faciles qu’il faut déduire les sciences même les plus cachées.
This method imitates those of mechanical trades, which do not require the assistance of others but instead provide their own means to construct the instruments they need. For instance, if a man wishes to practice the trade of blacksmithing and is deprived of all necessary tools, he will be forced to use a hard stone or a rough piece of iron in place of an anvil, take a pebble as a hammer, and arrange two pieces of wood into the shape of tongs—thus creating for himself the instruments he cannot do without. Once these are made, he will not begin by forging swords and helmets for the use of others, nor anything else that is typically done with iron; rather, he will first forge hammers, anvils, tongs, and everything else he needs. Similarly, at the beginning, it is not with a few poorly-defined rules given to us by the very structure of our minds—rules that are taught to us only later through the arts—that we should attempt to reconcile the disputes of philosophers or solve the problems of mathematicians. Instead, we should first use these rules to discover what is most essential for examining the truth, since there is no reason to believe that this would be any more difficult than resolving any issue in geometry, physics, or any other science.
Or, here there is no more important question to resolve than that of understanding what human knowledge truly is and to what extent it extends—two aspects that we combine into a single question that must be addressed foremost according to the rules outlined earlier. This is a question that one should examine at some point in their life, if one has even the slightest regard for truth, for this inquiry encompasses the entire methodology and constitutes the true tools of science. Nothing seems more absurd than to boldly discuss the mysteries of nature, the influence of the stars, or the secrets of the future without having once examined whether the human mind is capable of reaching such depths. And it should not seem difficult or arduous for us to establish the limits of our own consciousness when we refrain from attempting to judge matters that lie outside our grasp and are entirely foreign to us. Nor is it an overwhelming task to endeavor to comprehend, through thought, the objects contained within this world and to understand how each of them can be grasped by our intellect. Indeed, nothing that is so diverse and scattered can cannot be brought within certain boundaries and categorized under a finite number of headings, through the process of enumeration we have discussed. To put this into practice, regarding the question posed earlier, we will divide everything related to it into two parts: on the one hand, what concerns us as beings capable of knowledge; on the other hand, what relates to the objects that can be known—these two aspects will be examined separately.
First and foremost, we must note that within us, only intelligence is capable of knowledge itself; however, this ability may be either hindered or aided by three other faculties: imagination, the senses, and memory. It is therefore necessary to examine in detail how these faculties can either harm us if not used wisely or benefit us if utilized properly. This first point will be thoroughly discussed through a sufficient enumeration of examples, and the following rule will further clarify this matter.
We must then turn to the objects themselves and consider them only insofar as our intelligence is able to grasp them. In this regard, we divide them into simple things and complex or composite things. Simple things can be either spiritual, corporeal, or both at once. Composite things fall into two categories: some are such that the intellect can perceive them without being able to say anything positive about them; others are created by the intellect itself—a process that will be explained in more detail in the twelfth rule, where it will be shown that error can only arise in those things that the intellect has composed itself. Therefore, we even distinguish these composite things into two further categories: those that are derived from the simplest things, which are known through themselves; we will dedicate the next book to them; and those that presuppose other things, about whose essential composition experience teaches us. The third book will be entirely devoted to these latter.
Or throughout this entire treatise, we shall endeavor to follow precisely and to clear away those paths that may lead man to the discovery of truth. In this way, even the most mediocre mind, so long as it is thoroughly imbued with this method, will realize that truth is no more barred to it than to any other; and that if it fails to understand something, it is neither due to a lack of intelligence nor capacity. Whenever it wishes to comprehend anything, it will either discover it instantly, or it will see that its understanding depends on an experience beyond its power to attain; and then it will not blame its intellect for being forced to stop at that point—or rather, it will acknowledge that the thing sought lies beyond the reach of human endeavor. Thus, it will not consider itself any less knowledgeable, for achieving such a result is in itself a form of knowledge worthy of equal respect.
Rule Nine
One must direct all the powers of one’s mind towards the simplest and most insignificant things, and dwell upon them for a long time until one has developed the habit of seeing the truth clearly and distinctly.
After having explained the two operations of intelligence—intuition and deduction—the only means by which we can attain knowledge—we continue to illustrate, in this rule and the next one, how we can become more adept at carrying out these acts, and at the same time cultivate the two principal faculties of our mind: perspicacity, which enables us to consider each thing separately; and sagacity, which allows us to deduce things skillfully from one another.
The way in which we use our eyes is sufficient to teach us how to employ intuition. He who attempts to grasp many things at once with a single glance sees nothing clearly; likewise, he who tries to comprehend multiple objects through a single act of thought finds his mind confused. On the contrary, those who engage in delicate tasks and habitually direct their attention carefully to each individual detail acquire, through practice, the ability to perceive even the smallest and finest things. In the same way, those who do not scatter their thoughts among countless diverse objects but focus them entirely on examining the simplest and most straightforward matters develop a high degree of perspicacity.
It is a common vice among men that the most difficult things seem to them the most beautiful. Most people pretend not to know anything when they find clear and simple explanations for various phenomena; therefore, they admire the subtle and profound reasoning of philosophers, even though such arguments often rely on foundations that no one has rigorously verified. This is tantamount to preferring darkness over light. Yet it should be noted that those who truly understand how to discern truth recognize it with equal ease, whether it arises from a simple or obscure subject. In fact, they always employ the same distinct yet identical method in understanding any truth once they have succeeded in uncovering it; the only difference lies in the path taken—which must certainly be longer if it leads to a truth that is further removed from fundamental and absolute principles.
One must therefore get used to embracing, in the realm of thought, so few objects at once—and yet such vast objects—that one believes oneself to know only what one has an intuition as clear about as one does about the most obvious things in the world. This is a talent that nature has granted to some much more than to others; but art and practice can still greatly enhance these natural abilities. There is nothing I could emphasize enough: everyone must firmly believe that it is not difficult or complex matters, but rather the simplest and easiest things, that are required in order to deduce even the most esoteric sciences.
Questo metodo imita quello delle professioni meccaniche, che non hanno bisogno dell’aiuto altrui, ma che forniscono loro stesse i mezzi necessari per costruire gli strumenti di cui hanno bisogno. Ad esempio, se un uomo volesse esercitare la professione di fabbro, e fosse privo di tutti gli attrezzi necessari, sarebbe costretto a utilizzare una pietra dura o un grosso pezzo di ferro; al posto di una incudine, prenderebbe un sasso come martello, disporrebbe due pezzi di legno in forma di pinze, e così si fabbricherebbe gli strumenti indispensabili per il proprio lavoro. Non inizierebbe certo producendo spade o elmi, né nulla di ciò che si realizza con il ferro; prima di tutto, si farebbe dei martelli, un’incudine, delle pinze, e tutto ciò di cui ha bisogno. Allo stesso modo, non è nel nostro inizio, con poche regole poco chiare che ci vengono fornite dalla stessa struttura del nostro intelletto prima ancora che vengano insegnateci dall’arte, che dovremmo cercare di conciliare le controversie dei filosofi e risolvere i problemi dei matematici. Dovremmo prima utilizzare queste regole per scoprire ciò che è più necessario al nostro studio della verità, poiché non c’è motivo perché questo sia più difficile da comprendere di qualsiasi problema affrontato in geometria, fisica o nelle altre scienze.
Ora, non esiste question più importante da risolvere di quella che riguarda la natura della conoscenza umana e i suoi limiti: due aspetti che uniamo in una sola domanda, che deve essere affrontata innanzitutto secondo le regole già espresse in precedenza. Si tratta di una questione che ogni persona dovrebbe esaminare almeno una volta nella vita, se ama anche solo un po’ la verità; tale indagine contiene infatti tutta la metodologia necessaria e costituisce gli strumenti essenziali della scienza. Non mi sembra affatto assurdo discutere audacemente sui misteri della natura, sull’influenza degli astri o sui segreti del futuro, senza prima aver verificato se la mente umana sia davvero in grado di comprenderli. Inoltre, non dovrebbe risultare difficile né faticoso stabilire i limiti della nostra mente, quando non ci sforziamo di giudicare cose che ci sono completamente estranee e al di fuori del nostro controllo. Non è nemmeno un compito arduo cercare di comprendere, attraverso il pensiero, gli oggetti che questo mondo contiene, per capire come ciascuno di essi possa essere afferrato dalla nostra mente. Infatti, nulla di ciò che esiste nel mondo può essere considerato così vario e disperso da non poter essere racchiuso entro determinati confini e classificato secondo categorie ben definite, utilizzando proprio il metodo di enumerazione di cui abbiamo parlato. Per metterlo alla prova, nella questione sollevata in precedenza, divideremo tutto ciò che vi è correlato in due parti: da un lato, ciò che riguarda noi stessi, capaci di conoscere; dall’altro, le cose che possono essere conosciute. Questi due aspetti verranno trattati separatamente.
Innanzitutto noteremo che in noi soltanto l’intelligenza è capace di conoscere, ma che essa può essere ostacolata o aiutata da altre tre facoltà: l’immaginazione, i sensi e la memoria. È quindi necessario esaminare successivamente in che modo queste facoltà possano nuocerci, al fine di evitarlo, oppure esserci utili per ne trarre vantaggio. Questo primo punto verrà trattato in modo completo attraverso un’elenco esaustivo, così come la regola seguente lo chiarirà ulteriormente.
È necessario passare quindi agli oggetti stessi e considerarli soltanto nella misura in cui la nostra intelligenza può raggiungerli. In questo senso, li dividiamo in cose semplici e in cose complesse o composte. Le cose semplici possono essere solo spirituali o corporee, oppure sia spirituali che corporee allo stesso tempo. Le cose composte sono di due tipi: per alcune l’intelligenza le scopre prima ancora di poterne dire qualcosa di concreto; per altre, invece, è l’intelligenza stessa a comprenderle, un processo che verrà spiegato più in dettaglio nella dodicesima regola, dove si dimostrerà che gli errori possono verificarsi soltanto nelle cose che l’intelligenza ha composte. Pertanto, distinguiamo anche queste ultime in due categorie: quelle che derivano da cose ancora più semplici e che sono già conosciute di per sé; a queste dedicheremo il libro successivo; e quelle che presuppongono l’esistenza di altre cose, le quali, come sappiamo dall’esperienza, sono essenzialmente composte; al terzo libro verranno dedicate interamente.
In tutto questo trattato cercheremo di seguire con esattezza e di aprire la strada che possa condurre l’uomo alla scoperta della verità; in modo che anche lo spirito più mediocre, purché sia profondamente improntato a questo metodo, si renda conto che la verità non gli è meno accessibile che a chiunque altro, e che, se ignora qualcosa, ciò non dipende né da mancanza di intelligenza né di capacità. Tuttavia, ogni volta che vorrà conoscere qualcosa, o la scoprirà immediatamente, oppure si renderà conto che tale conoscenza dipende da un’esperienza che non è in suo potere compiere; e allora non incolperà il proprio spirito per essere costretto a fermarsi lì, o riconoscerà che ciò che cerca va al di là degli sforzi dell’intelligenza umana; così non si sentirà più ignorante, poiché giungere a tale conclusione rappresenta già una conoscenza degna di essere considerata tale.
Regola nona
È necessario concentrare tutte le proprie forze mentali sulle cose più semplici e di minore importanza, e soffermarvisi a lungo, fino a quando non si acquisisca l’abitudine di vedere la verità in modo chiaro e distinto.
Dopo aver descritto le due operazioni dell’intelligenza: l’intuizione e la deduzione, le uniche capaci di portarci alla conoscenza, continuiamo a spiegare, in questa e nella regola successiva, con quali mezzi possiamo diventare più abili nel compiere tali attività e, al contempo, coltivare le due principali facoltà del nostro spirito: la perspicacia, che consiste nel considerare distintamente ogni cosa, e la saggezza, che consiste nel dedurre abilmente un’informazione dall’altra.
Il modo in cui utilizziamo i nostri occhi è sufficiente per insegnarci l’uso dell’intuizione. Chi vuole comprendere molte cose con un solo sguardo non riesce a vedere nulla in modo chiaro e distinto; allo stesso modo, chi cerca di affrontare contemporaneamente diversi argomenti con un unico pensiero finisce per confondere le idee. Al contrario, coloro che si dedicano a lavori delicati e abituano a concentrare attentamente lo sguardo su ogni singolo dettaglio acquisiscono, con la pratica, la capacità di percepire anche le cose più piccole e sottili. Anche coloro che non distribuiscono la propria attenzione tra mille oggetti diversi, ma la concentrano interamente sulle cose più semplici e chiare, sviluppano una grande perspicacia.
È un vizio comune tra gli uomini il ritenere le cose più difficili anche le più belle. La maggior parte delle persone non crede di sapere nulla quando trova alle cose una causa chiara e semplice; per questo ammirano certe ragioni sottili e profonde dei filosofi, anche se spesso queste si basano su fondamenti che nessuno ha verificato rigorosamente. È come preferire le tenebre alla luce. Tuttavia, coloro che sanno veramente riconoscere la verità riescono a farlo con uguale facilità, sia che l’abbiano trovata in un argomento semplice o oscuro. Infatti, è sempre attraverso un atto distinto ma simile che comprendono ogni verità una volta raggiunta; l’unica differenza risiede nel percorso seguito, che certamente deve essere più lungo se conduce a una verità più lontana dai principi primordiali e assoluti.
È quindi necessario abituarsi a considerare con il pensiero, contemporaneamente, così pochi oggetti e al contempo oggetti così vasti, da credere di conoscere soltanto ciò che si intuisce con chiarezza, proprio come le cose più evidenti del mondo. Questo è un talento che la natura ha concesso a alcuni in misura molto maggiore rispetto ad altri; tuttavia, l’arte e l’esercizio possono ancora migliorare notevolmente queste predisposizioni naturali. Non c’è nulla su cui io possa insistere abbastanza: è fondamentale che ognuno si convinca fermamente che non sono le cose grandi e difficili, ma soltanto quelle più semplici e facili a permettere di dedurre anche le scienze più complesse.
Par exemple, voulant reconnaître si une puissance naturelle quelconque peut dans le mémo instant arriver à un lieu éloigné et traverser le milieu qui l’en sépare, je n’irai pas penser à la force magnétique, ou à l’influence des astres, ni même à la rapidité de la lumière pour chercher si ces mouvements sont instantanés. Cela serait plus difficile à prouver que ce que je cherche. Je réfléchirai plutôt au mouvement local des corps, car il n’est dans ce genre rien de plus sensible, et je remarquerai qu’une pierre ne peut dans un instant passer d’un lieu dans un autre, parce qu’elle est un corps, tandis qu’une puissance semblable à celle qui meut cette pierre ne peut se communiquer qu’instantanément, si elle passe toute seule d’un sujet à un autre. Ainsi, quand je remue l’extrémité d’un bâton, quelque long qu’il soit, je conçois facilement que la puissance qui le meut met aussi en mouvement dans un seul et même instant ses autres parties, parce qu’elle se communique seule, et qu’elle n’entre pas dans un corps, dans une pierre, par exemple, qui la transporte avec elle.
De la même façon, si je veux reconnaître comment une seule et même cause peut produire en même temps des effets contraires, je n’emprunterai pas aux médecins des remèdes qui chassent certaines humeurs et en retiennent d’autres ; je n’irai pas dire follement de la lune qu’elle échauffe par sa chaleur, et refroidit par sa qualité occulte. Je regarderai une balance, où le même poids dans un seul et même instant élève un des bassins et abaisse l’autre.
Règle dixième
Pour que l’esprit acquière de la facilité, il faut l’exercer à trouver les choses que d’autres ont déjà découvertes, et à parcourir avec méthode même les arts les plus communs, surtout ceux qui expliquent l’ordre ou le supposent.
J’avoue que je suis né avec un esprit tel, que le plus grand bonheur de l’étude consiste pour moi, non pas à entendre les raisons des autres, mais à les trouver moi-même. Cette disposition seule m’excita jeune encore à l’étude des sciences ; aussi, toutes les fois qu’un livre quelconque me promettait par son titre une découverte nouvelle, avant d’en pousser plus loin la lecture, j’essayais si ma sagacité naturelle pouvait me conduire à quelque chose de semblable, et je prenais grand soin qu’une lecture empressée ne m’enlevât pas cet innocent plaisir. Cela me réussit tant de fois que je m’aperçus enfin que j’arrivais à la vérité, non plus comme les autres hommes après des recherches aveugles et incertaines, par un coup de fortune plutôt que par art, mais qu’une longue expérience m’avait appris des règles fixes, qui m’aidaient merveilleusement, et dont je me suis servi dans la suite pour trouver plusieurs vérités. Aussi ai-je pratiqué avec soin cette méthode, persuadé que dès le principe j’avais suivi la direction la plus utile.
Mais comme tous les esprits ne sont pas également aptes à découvrir tout seuls la vérité, cette règle nous apprend qu’il ne faut pas tout-à-coup s’occuper de choses difficiles et ardues, mais commencer par les arts les moins importants et les plus simples, ceux surtout où l’ordre règne, comme sont les métiers du tisserand, du tapissier, des femmes qui brodent ou font de la dentelle ; comme sont encore les combinaisons des nombres, et tout ce qui a rapport à l’arithmétique, tant d’autres arts semblables en un mot, qui exercent merveilleusement l’esprit, pourvu que nous n’en empruntions pas la connaissance aux autres, mais que nous les découvrions nous-mêmes. En effet, comme ils n’ont rien d’obscur, et qu’ils sont parfaitement à la portée de l’intelligence humaine, ils nous montrent distinctement des systèmes innombrables, divers entre eux, et néanmoins réguliers. Or c’est à en observer rigoureusement l’enchaînement que consiste presque toute la sagacité humaine. Aussi avons-nous averti qu’il faut examiner ces choses avec méthode ; or la méthode, dans ces arts subalternes, n’est autre que la constante observation de l’ordre qui se trouve dans la chose même, ou qu’y a mis une heureuse invention. De même, quand nous voulons lire des caractères inconnus au milieu desquels nous ne découvrons aucun ordre, nous en imaginons d’abord un, soit pour vérifier les conjectures qui se présentent à nous sur chaque signe, chaque mot ou chaque phrase, soit pour les disposer de manière que nous puissions connaître par énumération ce qu’on en peut déduire. Il faut surtout prendre garde de perdre notre temps à deviner de pareilles choses par hasard ou sans méthode. En effet, quoiqu’il fut souvent possible de les découvrir sans le secours de l’art, et même avec du bonheur plus vite que par la méthode, elles émousseraient l’esprit, et l’accoutumeraient tellement aux choses vaines et puériles, qu’il courrait risque de s’arrêter à la superficie sans jamais pénétrer plus avant. Gardons-nous cependant de tomber dans l’erreur de ceux qui n’occupent leurs pensées que de choses sérieuses et élevées, dont après beaucoup de peines ils n’acquièrent que des notions confuses, tout en en voulant de profondes. Il faut donc commencer par des choses faciles, mais avec méthode, pour nous accoutumer à pénétrer par les chemins ouverts et connus, comme en nous jouant, jusqu’à la vérité intime des choses. Par ce moyen nous deviendrons insensiblement, et en moins de temps que nous ne pourrions l’espérer, capables de déduire avec une égale facilité de principes évidents un grand nombre de propositions qui nous paraissent très difficiles et très embarrassées.
Plusieurs personnes s’étonneront peut-être que, traitant ici des moyens de nous rendre plus propres à déduire des vérités les unes des autres, nous omettions de parler des préceptes des dialecticiens, qui croient diriger la raison humaine en lui prescrivant certaines formules de raisonnement si concluantes, que la raison qui s’y confie, encore bien qu’elle se dispense de donner à la déduction même une attention suivie, peut cependant par la vertu de la forme seule arriver à une conclusion certaine. Nous remarquons en effet que la vérité échappe souvent à ces liens, et que ceux qui s’en servent y restent enveloppés. C’est ce qui n’arrive pas si souvent à ceux qui n’en font pas usage, et notre expérience nous a démontré que les sophismes les plus subtils ne trompent que les sophistes, et presque jamais ceux qui se servent de leur seule raison.
Aussi, dans la crainte que la raison ne nous abandonne quand nous recherchons la vérité dans quelque chose, nous rejetons toutes ces formules comme contraires à notre but, et nous rassemblons seulement tous les secours qui peuvent retenir notre pensée attentive, ainsi que nous le montrerons par, la suite. Or pour se convaincre plus complètement que cet art syllogistique ne sert en rien à la découverte de la vérité, il faut remarquer que les dialecticiens ne peuvent, former aucun syllogisme qui conclue le vrai, sans en avoir eu avant la matière, c’est-à-dire sans avoir connu d’avance la vérité que ce syllogisme développe. De là il suit que cette forme ne leur donne rien de nouveau ; qu’ainsi la dialectique vulgaire est complètement inutile à celui qui veut découvrir la vérité, mais que seulement elle peut servir à exposer plus facilement aux autres les vérités déjà connues, et qu’ainsi il faut la renvoyer de la philosophie à la rhétorique.
Règle onzième
Après avoir aperçu par l’intuition quelques propositions simples, si nous en concluons quelque autre, il est mutile de les suivre sans interrompre un seul instant le mouvement de la pensée, de réfléchir à leurs rapports mutuels, et d’en concevoir distinctement à la fois le plus grand nombre possible ; c’est le moyen de donner à notre science plus de certitude et à notre esprit plus d’étendue.
C’est ici le lieu d’expliquer avec plus de clarté ce que nous avons dit de l’intuition à la règle troisième et septième. Dans l’une nous l’avons opposée à la déduction, dans l’autre seulement à l’énumération, que nous avons définie une collection de plusieurs choses distinctes, tandis que la simple opération de déduire une chose d’une autre se fait par l’intuition.
For example, if I were to attempt to determine whether some natural force could instantly travel from one distant place to another and traverse the intervening medium, I would not consider magnetic force, the influence of celestial bodies, or even the speed of light in order to assess whether such movements are instantaneous. Such proofs would be far more difficult than what I am actually seeking to establish. Instead, I would focus on the local motion of objects, since nothing in this regard is more readily observable. I would observe that a stone cannot instantly move from one place to another, simply because it is a physical object; whereas a force akin to that which moves the stone can only be transmitted instantaneously—if at all. Thus, when I move one end of a stick, no matter how long it is, I can easily understand that the force causing this motion also instantly affects every other part of the stick, because it travels without any need to pass through a physical medium such as a stone that carries it along.
In the same way, if I wish to understand how a single cause can produce opposite effects at the same time, I will not borrow from doctors those remedies that expel certain humors while retaining others; I will not foolishly claim that the moon warms us with its heat and cools us with its other, more hidden qualities. Instead, I will observe a balance—where the same weight, at exactly the same moment, raises one pan and lowers the other.
Tenth Rule
In order for the mind to gain proficiency, it is necessary to exercise it in finding things that others have already discovered, and to methodically study even the most common of arts—especially those that explain or assume an existing order.
I must admit that I was born with such an inclination that the greatest pleasure of studying, for me, lay not in listening to others’ reasons but in discovering them myself. This very attitude inspired me to pursue scientific studies at a young age. Whenever a book promised to reveal some new discovery through its title, before delving further into its contents, I would first try to see if my natural intelligence could lead me to the same conclusion. I took great care not to rush through the reading and thus deprive myself of this innocent joy. This approach proved successful on many occasions, and I soon realized that I was arriving at the truth not in the same way as other people—through blind and uncertain searches or by sheer luck—but rather because long experience had taught me fixed rules that served me wonderfully well. In fact, I continued to use this method diligently, convinced from the very beginning that I had chosen the most effective path.
But since not all minds are equally capable of discovering the truth on their own, this rule teaches us that we should not immediately undertake difficult and arduous tasks, but rather begin with the least important and simplest arts—especially those in which order reigns supreme, such as the crafts of weavers, tapestries, and women who embroider or create lace; as well as the manipulation of numbers and everything related to arithmetic. In short, there are many such arts that wonderfully exercise the mind, provided that we acquire their knowledge through our own efforts rather than relying on others. Indeed, since they contain nothing obscure and are perfectly within the reach of human intelligence, they clearly demonstrate to us countless systems that are diverse yet orderly. It is precisely by rigorously observing this order that much of human sagacity is derived. Therefore, we have advised that these matters should be examined methodically; and in these subordinate arts, the method consists merely in constantly observing the order inherent in the things themselves or that has been deliberately established through ingenious invention. Similarly, when attempting to decipher unknown characters for which no apparent order exists, we first imagine one in order to verify our hypotheses regarding each symbol, word, or phrase, or to arrange them in a way that allows us to deduce their meaning through enumeration. Above all, we must beware of wasting time guessing such things haphazardly or without method. Indeed, although it is sometimes possible to discover these truths without the aid of any particular art—and even more quickly by sheer luck—such approaches would dull the mind and habituate it to trivial and childish pursuits, risking a superficial understanding rather than a deeper comprehension. Let us, therefore, avoid falling into the mistake of those who devote their thoughts only to serious and elevated matters, yet end up with vague notions despite their efforts to gain a profound understanding. Instead, let us begin with easy tasks but approach them methodically, so as to gradually become accustomed to exploring the known paths that lead to the inner truth of things. In this way, we will soon be able to deduce with equal ease numerous propositions that at first seem extremely difficult and perplexing, from seemingly obvious principles.
Some may be surprised that, while discussing here the means by which we can become better equipped to deduce one truth from another, we have chosen to omit mention of the doctrines of the dialecticians—those who claim to guide human reason by prescribing certain forms of reasoning so conclusive that, even if one does not pay close attention to the process of deduction itself, one can still arrive at a definite conclusion merely through the formality of these methods. Indeed, we observe that truth often eludes those who rely on such constructs, leaving them trapped within their own frameworks. This is not necessarily the case for those who do not employ such techniques; our experience has shown us that even the most subtle sophisms can deceive only those who are skilled in them—and hardly ever those who rely solely on their own reason.
Therefore, out of fear that reason might abandon us when we seek the truth in something, we reject all such methods as being contrary to our goal, and we gather only those means that can help maintain our focused attention—as we shall demonstrate further on. To convince ourselves more thoroughly that this syllogistic method is of no use in discovering the truth, it must be noted that dialecticians cannot construct any syllogism that leads to the truth without first possessing the necessary material, that is, without already knowing the truth that the syllogism aims to establish. It follows therefore that this method does not provide them with anything new; consequently, vulgar dialectics is utterly useless for those who seek to discover the truth. Instead, it can merely serve to make already-known truths more accessible to others—which is why it should be relegated from philosophy to rhetoric.
Eleventh Rule
After having intuitively perceived a few simple propositions, if we wish to derive others from them, it is essential not to pause for a single moment in the flow of our thought. We must consider their interrelationships and endeavor to grasp as many of them as possible. Only in this way can we impart greater certainty to our knowledge and broaden the scope of our understanding.
This is the place to explain more clearly what we have said about intuition in relation to the third and seventh rules. In one case, we opposed intuition to deduction; in the other case, we only opposed it to enumeration—which we defined as a collection of several distinct things—but the simple act of deducing one thing from another is accomplished through intuition.
Ad esempio, volendo verificare se una qualche forza naturale possa, in un istante stesso, raggiungere un luogo lontano e attraversare il mezzo che la separa da esso, non penserò né alla forza magnetica, né all’influenza degli astri, né nemmeno alla velocità della luce per stabilire se tali movimenti siano istantanei. Questo sarebbe più difficile da dimostrare di ciò che sto cercando di verificare. Piuttosto, rifletterò sul movimento locale dei corpi, poiché in questo ambito non esiste nulla di più evidente; noterò quindi che una pietra non può, in un istante, passare da un luogo all’altro, perché è un corpo fisico, mentre una forza simile a quella che muove questa pietra può essere trasmessa soltanto istantaneamente, se si sposta da un soggetto all’altro da sola. Così, quando muovo l’estremità di un bastone, per quanto lungo esso sia, riesco facilmente a comprendere che la forza che lo fa muovere mette in movimento, nello stesso istante, anche le sue altre parti, perché si trasmette da sola e non entra in un corpo fisico, come ad esempio una pietra, che la trasporta insieme a esso.
Allo stesso modo, se voglio comprendere come una singola causa possa produrre contemporaneamente effetti contrari, non prenderò in prestito dai medici rimedi che eliminano alcune “umori” corporei e ne trattenute altre; non dirò assurdamente che la luna riscalda per il suo calore e raffredda per una sua qualità “occulta”. Guarderò invece una bilancia, dove lo stesso peso, in un istante preciso, solleva uno dei piatti e abbassa l’altro.
Decima regola
Affinché lo spirito acquisca maggiore facilità nell’apprendimento, è necessario esercitarlo nella ricerca di quelle cose che altri hanno già scoperto, e studiare con metodo anche le arti più semplici, soprattutto quelle che spiegano o presuppongono un certo ordine.
Ammetto di essere nato con un modo di pensare tale che il più grande piacere nell’apprendimento consistesse, per me, non nel comprendere le ragioni altrui, ma nel trovarle da solo. Solo questa predisposizione mi spinse fin da giovane ad approfondire lo studio delle scienze; quindi, ogni volta che un libro prometteva, dal suo titolo, una nuova scoperta, prima di proseguire nella lettura, cercavo di capire se la mia intelligenza naturale potesse portarmi a qualcosa di simile, e facevo grande attenzione affinché una lettura troppo frettolosa non mi privasse di quel piacere innocente. Ci riuscii molte volte, fino a rendermi conto che raggiungevo la verità non come gli altri uomini, attraverso ricerche cieche e incerte, più per fortuna che per abilità, ma perché una lunga esperienza mi aveva insegnato regole fisse che mi aiutavano in modo straordinario; queste regole le ho poi utilizzate per scoprire molte altre verità. Per questo motivo ho continuato a seguire con cura questo metodo, convinto fin dall’inizio di aver intrapreso la strada più utile.
Ma poiché non tutti gli intelletti sono ugualmente capaci di scoprire da soli la verità, questa regola ci insegna che non dobbiamo affrontare all’improvviso questioni difficili e ardue, ma piuttosto iniziare con le arti meno importanti e più semplici, soprattutto quelle in cui regna l’ordine: come i mestieri del tessitore, del tappezziere, delle donne che ricamano o fanno la dentellatura; così come le combinazioni dei numeri e tutto ciò che riguarda l’aritmetica, insomma, tante altre arti simili che esercitano meravigliosamente l’intelletto, a condizione che non ne acquisiamo la conoscenza dagli altri, ma che le scopriamo da soli. Infatti, poiché queste arti non contengono nulla di oscuro e sono perfettamente alla portata dell’intelligenza umana, ci mostrano chiaramente innumerevoli sistemi diversi tra loro, ma pur sempre regolari. Ed è proprio osservando rigorosamente questa sequenza che si basa quasi tutta la saggezza umana. Per questo abbiamo sottolineato l’importanza di esaminare queste cose con metodo; e il metodo, in queste arti secondarie, non è altro che l’osservazione costante dell’ordine che si trova nella stessa cosa, o che è stato creato grazie a un’invenzione felice. Allo stesso modo, quando vogliamo leggere caratteri sconosciuti tra cui non riconosciamo alcun ordine, ne immaginiamo prima uno, sia per verificare le congetture che ci vengono in mente riguardo a ogni segno, parola o frase, sia per disporli in modo da poter conoscere, attraverso l’elenco, ciò che si può dedurre da essi. È soprattutto necessario fare attenzione a non sprecare tempo a indovinare queste cose casualmente o senza metodo. Infatti, anche se spesso è stato possibile scoprirle senza l’aiuto di alcuna tecnica, e persino più rapidamente così facendo, ciò finirebbe per indebolire l’intelletto e abituarlo a cose vane e banali, con il rischio che si fermasse alla superficie senza mai approfondirsi. Tuttavia, evitiamo di commettere l’errore di coloro che dedicano le loro riflessioni solo a questioni serie ed elevate, dalle quali, dopo molti sforzi, non ottengono che nozioni confuse, pur desiderando conoscenze profonde. Dobbiamo quindi iniziare con cose semplici, ma seguendo un metodo preciso, per abituarci a penetrare, attraverso vie aperte e conosciute, fino alla verità intima delle cose. Con questo approccio diventeremo gradualmente, e in meno tempo di quanto possiamo immaginare, capaci di dedurre con uguale facilità da principi evidenti un gran numero di proposizioni che ci sembrano molto difficili e complesse.
Molte persone potrebbero meravigliarsi che, trattando qui dei mezzi per renderci più capaci di dedurre le une dalle altre verità, omettiamo di parlare dei precetti dei dialettici, i quali ritengono di guidare la ragione umana imponendole determinate formule di ragionamento così convincenti che, anche se si rinuncia a prestare un’attenzione continua alla stessa deduzione, è comunque possibile giungere a una conclusione certa grazie soltanto alla forma di tali procedure. Notiamo infatti che la verità spesso sfugge a questi schemi logici, e coloro che li utilizzano rimangono intrappolati al loro interno; ciò non accade invece così frequentemente a coloro che non ne fanno uso. La nostra esperienza ci ha dimostrato che i sofismi più subdoli ingannano soltanto gli stessi sofisti, e quasi mai coloro che si affidano esclusivamente alla propria ragione.
Pertanto, temendo che la ragione ci abbandoni quando cerchiamo la verità in qualcosa, rifiutiamo tutte queste formule considerandole contrarie al nostro scopo, e raccolgiamo soltanto tutti quegli elementi che possono mantenere la nostra attenzione concentrata, come dimostreremo in seguito. Ora, per convincerci ancora di più che questa tecnica sillogistica non sia affatto utile alla scoperta della verità, è necessario notare che i dialettici non sono in grado di formulare alcun sillogismo che concluda correttamente sulla verità, se prima non ne hanno già posseduto il contenuto, cioè se non conoscono in anticipo la verità che quel sillogismo intende esporre. Da ciò deriva che questa forma logica non offre loro nulla di nuovo; pertanto, la dialettica comune è del tutto inutile per chi desidera scoprire la verità, ma può servire soltanto a esporre più facilmente agli altri le verità già conosciute. Per questo motivo, essa dovrebbe essere ricondotta dalla filosofia alla retorica.
Regola undicesima
Dopo aver intuito alcune proposizioni semplici, se ne deduciamo altre, è inutile seguirle senza interrompere nemmeno per un istante il flusso del pensiero, riflettendo sui loro rapporti reciproci e cercando di comprenderne il maggior numero possibile; questo è il modo per conferire alla nostra conoscenza maggiore certezza e al nostro spirito maggiore ampiezza.
È qui che possiamo spiegare più chiaramente ciò che abbiamo detto sull’intuizione rispetto alla terza e alla settima regola. Nella prima di queste due regole, l’intuizione è stata contrapposta alla deduzione; nella seconda, invece, è stata contrapposta soltanto all’enumerazione, che definiamo come una raccolta di più cose distinte, mentre l’operazione semplice di dedurre una cosa da un’altra avviene attraverso l’intuizione.
Il en a dû être ainsi ; car nous exigeons deux conditions pour l’intuition, savoir que la proposition apparaisse claire et distincte, ensuite qu’elle soit comprise tout entière à la fois et non successivement. La déduction au contraire, si, comme dans la règle troisième, nous examinons sa formation, ne paraît pas s’opérer instantanément, mais elle implique un certain mouvement de notre esprit inférant une chose d’une autre ; aussi dans cette règle l’avons-nous à bon droit distinguée de l’intuition. Mais si nous la considérons comme faite, suivant ce que nous avons dit à la règle septième, alors elle ne désigne plus un mouvement, mais le terme d’un mouvement. Aussi supposons-nous qu’on la voit par intuition quand elle est simple et claire, mais non quand elle est multiple et enveloppée. Alors nous lui avons donné le nom d’énumération et d’induction, parce qu’elle ne peut pas être comprise tout entière d’un seul coup par l’esprit, mais que sa certitude dépend en quelque façon de la mémoire, qui doit conserver les jugements portés sur chacune des parties, afin d’en conclure un jugement unique.
Toutes ces distinctions étaient nécessaires pour l’intelligence de cette règle. La neuvième ayant traité de l’intuition et la dixième de l’énumération, la règle actuelle explique comment ces deux règles s’aident et se perfectionnent mutuellement, au point de paraître n’en faire qu’une seule, en vertu d’un mouvement de la pensée qui considère attentivement chaque objet en particulier et en même temps passe à d’autres objets.
Nous trouvons à cela le double avantage, d’une part de connaître avec plus de certitude la conclusion qui nous occupe, d’autre part de rendre notre esprit plus apte à en découvrir d’autres. En effet, la mémoire, dont nous avons dit que dépend la certitude des conclusions trop complexes pour que l’intuition puisse les embrasser d’un seul coup, la mémoire, faible et fugitive de sa nature, a besoin d’être renouvelée et raffermie par ce mouvement continuel et répété de la pensée. Ainsi quand, après plusieurs opérations, je viens à connaître quel est le rapport entre une première et une seconde grandeur, entre une seconde et une troisième, entre une troisième et une quatrième, enfin entre une quatrième et une cinquième, je ne vois pas pour cela le rapport de la première à la cinquième, et je ne puis le déduire des rapports déjà connus sans me les rappeler tous. Il est donc nécessaire que ma pensée les parcoure de nouveau, jusqu’à ce qu’enfin je puisse passer de k première à la dernière assez vite pour paraître, presque sans le secours de la mémoire, en embrasser la totalité d’une seule et même intuition.
Cette méthode, comme tout le monde le voit, remédie à la lenteur de l’esprit, et augmente même son étendue. Mais ce qu’il faut en outre remarquer, c’est que l’utilité de cette règle consiste surtout en ce que, accoutumés à réfléchir à la dépendance mutuelle de propositions simples, nous acquérons l’habitude de distinguer d’un seul coup celles qui sont plus ou moins relatives, et par quels degrés il faut passer pour les ramener à l’absolu. Par exemple, si je parcoure un certain nombre de grandeurs en proportion continue, je remarquerai tout ceci : savoir, que c’est par une conception égale, et ni plus ni moins facile, que je reconnais le rapport de la première à la deuxième, de la deuxième à la troisième, de la troisième à la quatrième, et ainsi de suite, tandis qu’il ne m’est pas si facile de reconnaître dans quelle dépendance est la seconde de la première et de la troisième tout à la fois, beaucoup plus difficile de reconnaître dans quelle dépendance est la seconde de la première et de la quatrième, et ainsi des autres. Par là je comprends pourquoi, si on ne me donne que la première et la seconde, je puis trouver la troisième et la quatrième et les autres, parce que cela se faisait par des conceptions particulières et distinctes ; si au contraire on ne me donne que la première ou la troisième, je ne découvrirai pas si facilement celle du milieu, parc, ce que cela ne se peut faire que par une conception qui embrasse à la fois deux des précédentes. Si l’on ne me donne que la première et la quatrième, il me sera plus difficile encore de trouver les deux moyennes, parce qu’il faut d’un seul coup embrasser trois conceptions ; en sorte que conséquemment il paraîtrait encore plus difficile, la première et la cinquième étant données, de trouver les trois moyennes. Mais il est une autre raison pour qu’il en arrive autrement, c’est qu’encore bien qu’il y ait dans notre dernier exemple quatre conceptions jointes ensemble, il est possible cependant de les séparer, parce que le nombre quatre se divise par un autre nombre. Ainsi je puis chercher la troisième grandeur seulement entre, la première et la cinquième ; ensuite la deuxième entre la première et la troisième, etc. L’homme accoutumé à réfléchir à ce procédé, chaque fois qu’il examinera une question nouvelle, reconnaîtra aussitôt la cause de la difficulté et en même temps le mode de solution le plus simple de tous, ce qui est le plus puissant secours pour la connaissance de la vérité.
Règle douzième
Enfin il faut se servir de toutes les ressources de l’intelligence, de l’imagination, des sens, de la mémoire, pour avoir une intuition distincte des propositions simples, pour comparer convenablement ce qu’on cherche avec ce qu’on connaît, et pour trouver les choses qui doivent être ainsi comparées entre elles ; en un mot on ne doit négliger aucun des moyens dont l’homme est pourvu.
Cette règle renferme tout ce qui a été dit plus haut, et montre en général ce qu’il fallait expliquer en particulier.
Pour arriver à la connaissance, il n’y a que deux choses à considérer, nous qui connaissons, et les objets qui doivent être connus. Il y a en nous quatre facultés dont nous pouvons nous servir pour connaître, l’intelligence, l’imagination, les sens et la mémoire. L’intelligence seule est capable de concevoir la vérité. Elle doit cependant s’aider de l’imagination, des sens et de la mémoire, afin de ne laisser sans emploi aucun de nos moyens. Quant aux objets eux-mêmes, trois choses seulement sont à considérer ; il faut voir d’abord ce qui s’offre à nous spontanément, ensuite comment une chose est connue par une autre ; enfin quelles choses sont déduites des autres, et desquelles elles sont déduites. Cette énumération me paraît complète, elle embrasse tout ce que les facultés de l’homme peuvent atteindre.
M’arrêtant donc sur le premier point, je voudrais pouvoir montrer ici ce que c’est que l’âme de l’homme, ce que c’est que son corps, comment l’un est formé par l’autre ; quelles sont, dans ce tout complexe, les facultés qui servent à la connaissance, et en quoi y contribue chacune d’elles ; mais les bornes de cet écrit ne peuvent contenir tous les préliminaires nécessaires pour que ces vérités soient évidentes pour tous. En effet, je désire toujours écrire de manière à ne rien prononcer d’affirmatif sur les questions controversées, avant d’avoir exposé les raisons qui m’ont conduit à mon opinion, et par lesquelles je pense que les autres peuvent aussi être persuadés ; mais comme cela ne m’est pas permis ici, il me suffira d’indiquer le plus brièvement possible la manière, selon moi, la plus utile à mon dessein, de concevoir toutes les facultés qui sont en nous destinées à l’acquisition des connaissances. Vous êtes libre de ne pas croire que les choses sont ainsi ; mais qui empêche que vous n’adoptiez les mêmes suppositions, s’il est évident que, sans altérer la vérité, elles rendent seulement tout plus clair ? de même qu’en géométrie vous faites sur une quantité des suppositions qui n’ébranlent nullement la force des démonstrations, quoique souvent la physique nous donne de la nature de cette quantité une idée différente.
It had to be this way; for we require two conditions for intuition: firstly, that the proposition should appear clear and distinct; secondly, that it should be understood in its entirety at once, rather than successively. In contrast, deduction—whether we examine its process as outlined in the third rule or not—does not seem to occur instantaneously. It involves a certain movement of our mind, inferring one thing from another; hence, in this regard, we have rightfully distinguished it from intuition. However, if we consider deduction as something that has already been accomplished, as we stated in the seventh rule, then it no longer represents a process but rather the outcome of such a process. Therefore, we say that it is achieved through enumeration and induction, because the mind cannot grasp it in its entirety at once; rather, its certainty depends to some extent on memory, which must retain the judgments made regarding each individual component before allowing us to draw a single, unified conclusion.
All these distinctions were necessary for understanding this rule. Since the ninth rule dealt with intuition and the tenth with enumeration, the current rule explains how these two rules complement and enhance each other, to the extent that they seem to merge into one single principle, as a result of a mental process that attentively considers each individual object while simultaneously moving on to others.
We gain from this a dual advantage: on the one hand, we become more certain of the conclusions we seek to reach; on the other hand, it makes our minds better equipped to discover other conclusions as well. Indeed, memory—of which we have said that it is essential for gaining certainty regarding those complex matters that intuition cannot grasp at once—is inherently weak and fleeting. Therefore, it needs to be renewed and strengthened through this continuous and repetitive process of thought. When, after several steps in reasoning, I come to understand the relationships between one quantity and another, between two quantities and a third, between three quantities and a fourth, and finally between four quantities and a fifth, I am still unable to see directly the relationship between the first and the fifth quantity. Nor can I deduce it from the relationships I already know without recalling them all in detail. It is thus necessary for my thought to go through them again until, eventually, I can move swiftly from the first to the last quantity, seemingly without the need for memory at all, and grasp their entire relationship in a single intuitive insight.
This method, as everyone can see, remedies the slowness of the mind and even increases its scope. But what is also worth noting is that the usefulness of this rule lies mainly in the fact that, by becoming accustomed to reflecting on the mutual dependence of simple propositions, we develop the habit of immediately distinguishing between those that are more or less related to each other, and of identifying the degrees through which they can be reduced to their absolute essence. For example, if I examine a series of quantities arranged in a continuous proportion, I will realize that I recognize the relationship between any two of them by means of an equally easy concept—neither more nor less difficult. However, it is not so easy to determine in what manner the second quantity depends on both the first and the third, or on the first and the fourth, and so on. From this, I understand why, given only the first and second quantities, I can deduce the third, the fourth, and so on, since this can be done through specific and distinct conceptual processes; whereas if given only the first or the third quantity, it becomes much harder to determine the middle one, because this requires a concept that encompasses two of the previous ones at once. Moreover, if given only the first and the fourth quantities, it is even more difficult to find the two intermediate ones, since this would require encompassing three concepts simultaneously. Consequently, it might seem even more impossible to determine the three intermediate quantities if only the first and fifth were known. But there is another reason why this is not the case: although our last example involves four interconnected concepts, it is still possible to separate them, since the number four can be divided by another number. Thus, I can seek the third quantity solely by considering the relationship between the first and the fifth; then the second quantity between the first and the third, and so on. A person accustomed to this way of thinking will immediately recognize the cause of any difficulty when encountering a new problem and at the same time identify the simplest solution possible—something that is undoubtedly of great help in pursuing knowledge of the truth.
Twelfth Rule
Ultimately, it is necessary to make use of all the resources of intelligence, imagination, the senses, and memory in order to gain a clear intuition of simple propositions, to properly compare what one is seeking with what one knows, and to identify those things that must be compared with each other in this manner; in short, one should not neglect any of the means that humanity possesses.
This rule encompasses everything that has been mentioned earlier and generally illustrates what needed to be explained in more detail.
To attain knowledge, there are only two things to consider: we who know, and the objects that must be known. Within us, there are four faculties that we can use for knowledge: intelligence, imagination, the senses, and memory. Only intelligence is capable of conceiving truth. However, it must also make use of imagination, the senses, and memory in order to make full use of all our means of cognition. As for the objects themselves, only three things need to be considered: first, what presents itself to us spontaneously; second, how one thing is known through another; and third, which things are deduced from others and from what they are deduced. This list seems complete to me; it encompasses everything that human faculties can attain.
Therefore, focusing on the first point, I would like to explain here what the human soul is, what the human body is, and how one is formed from the other; which faculties within this complex whole are used for knowledge, and in what way each of them contributes to it. However, the limitations of this text prevent me from including all the necessary preliminaries required to make these truths clear to everyone. Indeed, I always strive to write in such a way that I do not assert anything definitive on controversial matters until I have presented the reasons that led me to my opinion and that, in my view, could also convince others. But since this is not possible here, I will merely indicate as briefly as possible the approach that I consider most useful for achieving my goal of explaining all those faculties within us that are intended for the acquisition of knowledge. You are free to disagree with me; but what prevents you from adopting the same assumptions, if it is clear that they do not alter the truth but rather make it clearer? Just as in geometry, we make certain assumptions about quantities without compromising the validity of the demonstrations, even though physics often gives us a different understanding of the nature of those quantities.
È stato necessario che fosse così; poiché per l’intuizione richiediamo due condizioni: che la proposizione appaia chiara e distinta, e che venga compresa nel suo insieme contemporaneamente e non in modo successivo. Al contrario, la deduzione, sebbene, come indicato nella terza regola, il suo processo possa essere analizzato, non sembra avvenire istantaneamente; implica infatti un certo movimento del nostro pensiero che inferisce una cosa da un’altra. Per questo motivo l’abbiamo giustamente distinta dall’intuizione nella terza regola. Tuttavia, se la consideriamo come già compiuta, secondo quanto detto nella settima regola, allora essa non indica più un movimento, ma il risultato di tale movimento. Pertanto, supponiamo che possa essere percepita intuitivamente quando è semplice e chiara, ma non quando è complessa e articolata in parti multiple. Per questo motivo l’abbiamo definita “enumerazione” e “induzione”, poiché non può essere compresa immediatamente dal pensiero nel suo insieme; la sua certezza dipende infatti dalla memoria, che deve conservare i giudizi formulati su ciascuna delle parti per poterne trarre una conclusione unica.
Tutte queste distinzioni erano necessarie per comprendere questa regola. La nona riguardava l’intuizione, mentre la decima trattava dell’enumerazione; la regola attuale spiega come queste due regole si aiutino a vicenda e si perfezionino reciprocamente, al punto di sembrare formare una sola entità, grazie a un movimento del pensiero che considera attentamente ciascun oggetto in particolare e allo stesso tempo passa ad altri oggetti.
Troviamo in questo approccio un duplice vantaggio: da un lato, conosciamo con maggiore certezza la conclusione a cui miriamo; dall’altro, rendiamo il nostro pensiero più capace di scoprirne altre. Infatti, la memoria – di cui abbiamo detto che dipende la certezza delle conclusioni troppo complesse per essere afferrate immediatamente dall’intuizione – è, per sua natura, debole e fugace; pertanto ha bisogno di essere rinnovata e rafforzata attraverso questo movimento continuo e ripetuto del pensiero. Così, dopo diverse operazioni mentali, quando riesco a comprendere quale sia il rapporto tra due grandezze, tra queste e una terza, poi tra questa e una quarta, infine tra la quarta e la quinta, non riesco immediatamente a individuare il rapporto tra la prima e la quinta; inoltre, non posso dedurlo dai rapporti già noti senza ricordarli tutti. È quindi necessario che il mio pensiero li percorra nuovamente, fino a quando non riesca finalmente a passare dalla prima alla quinta con sufficiente rapidità, tanto da poter afferrare l’intero insieme di questi rapporti quasi senza l’aiuto della memoria, attraverso un’unica e diretta intuizione.
Questo metodo, come tutti possono vedere, elimina la lentezza del pensiero e addirittura ne amplia l’ambito. Ma ciò che è ancora importante notare è che l’utilità di questa regola risiede soprattutto nel fatto che, abituandoci a riflettere sulla dipendenza reciproca delle proposizioni semplici, acquisiamo l’abitudine di distinguere immediatamente quelle che sono più o meno correlate tra loro, e in quale misura sia possibile ridurle all’assoluto. Ad esempio, se esamino una serie di grandezze disposte in modo continuo, noterò subito che riconosco il rapporto tra la prima e la seconda, tra la seconda e la terza, e così via, grazie a un processo di riflessione semplice ed equilibrato; al contrario, non è altrettanto facile comprendere in quale relazione sia la seconda grandezza rispetto alla prima e alla terza insieme, né ancora più facile individuare il rapporto tra la seconda e la quarta. Da questo capisco perché, se mi vengono date solo la prima e la seconda grandezza, posso facilmente trovare le altre due; viceversa, se mi vengono date solo la prima o la terza, non riesco a individuare con facilità quella centrale, poiché ciò richiede una riflessione che includa contemporaneamente due delle grandezze precedenti. Se mi vengono date solo la prima e la quarta, risulta ancora più difficile trovare le due medie, poiché è necessario comprendere simultaneamente tre concetti diversi; di conseguenza, sembrerebbe ancora più arduo individuare la terza media se mi venissero date solo la prima e la quinta. Tuttavia, c’è un’altra ragione per cui le cose vanno in questo modo: anche se nel nostro ultimo esempio sono presenti quattro concetti collegati tra loro, è comunque possibile separarli, poiché il numero quattro può essere diviso da un altro numero. Pertanto, posso facilmente individuare la terza grandezza considerando solo la prima e la quinta; successivamente, la seconda considerando la prima e la terza, e così via. L’uomo abituato a riflettere in questo modo riconoscerà immediatamente la causa della difficoltà e allo stesso tempo il metodo più semplice per risolverla ogni volta che affronti un problema nuovo; ciò rappresenta senza dubbio il mezzo più efficace per comprendere la verità.
Regola dodicesima
Infine, è necessario utilizzare tutte le risorse dell’intelligenza, dell’immaginazione, dei sensi e della memoria per ottenere un’intuizione chiara delle proposizioni semplici, per confrontare correttamente ciò che si cerca con ciò che si conosce, e per individuare quelle cose che devono essere effettivamente messe a confronto tra loro; in altre parole, non si deve trascurare alcuno dei mezzi di cui l’uomo è dotato.
Questa regola comprende tutto ciò che è stato detto in precedenza e, in generale, indica ciò che doveva essere spiegato in modo più specifico.
Per giungere alla conoscenza, ci sono soltanto due elementi da considerare: noi che conosciamo e gli oggetti che devono essere conosciuti. In noi esistono quattro facoltà che possiamo utilizzare per conoscere: l’intelligenza, l’immaginazione, i sensi e la memoria. Solo l’intelligenza è in grado di concepire la verità; tuttavia, deve avvalersi anche dell’immaginazione, dei sensi e della memoria, affinché nessuno dei nostri mezzi venga lasciato inutilizzato. Per quanto riguarda gli oggetti stessi, ci sono soltanto tre aspetti da considerare: innanzitutto ciò che ci si presenta spontaneamente, poi il modo in cui un oggetto viene conosciuto attraverso un altro, e infine quali oggetti derivino da altri e da quali siano stati dedotti. Questa enumerazione mi sembra completa; include tutto ciò che le facoltà umane sono in grado di raggiungere.
Quindi, soffermandomi sul primo punto, vorrei essere in grado di spiegare qui cosa sia l’anima dell’uomo, cosa sia il suo corpo, come l’uno sia formato dall’altro; quali siano, in questo insieme complesso, le facoltà che servono alla conoscenza e in che modo ciascuna di esse vi contribuisca; ma i limiti di quest’opera non possono contenere tutti i preliminari necessari affinché queste verità risultino evidenti a tutti. Infatti, desidero sempre scrivere in modo da non pronunciare nulla di affermativo su questioni controversie, prima di aver esposto le ragioni che mi hanno portato alla mia opinione e grazie alle quali penso che anche gli altri possano essere convinti; ma poiché questo non è possibile qui, mi limiterò ad indicare, nel modo più breve possibile, il modo che, a mio parere, sia il più utile al mio scopo per comprendere tutte le facoltà che sono in noi destinate all’acquisizione della conoscenza. Siete liberi di non credere che le cose siano così; ma cosa vi impedisce di adottare le stesse ipotesi, se è evidente che, senza alterare la verità, esse rendono semplicemente tutto più chiaro? Proprio come in geometria si fanno su una certa quantità delle supposizioni che non minano affatto la validità delle dimostrazioni, anche se spesso la fisica ci fornisce un’idea diversa sulla natura di quella quantità.
Il faut concevoir, avant tout, que les sens externes, en tant qu’ils font partie du corps, quoique nous les appliquions aux objets par notre action, c’est-à-dire en vertu d’un mouvement local, ne sentent toutefois que passivement, c’est-à-dire de la même manière que la cire reçoit l’empreinte d’un cachet. Et il ne faut pas croire que cette comparaison soit prise seulement de l’analogie, mais il faut bien concevoir que la forme externe du corps sentant est réellement modifiée par l’objet, de la même manière que la superficie de la cire est modifiée par le cachet. Cela n’a pas seulement lieu lorsque nous touchons un corps en tant que figuré, dur, âpre, etc., mais même lorsque par le tact nous avons la perception de la chaleur et du froid. Il en est de même des autres sens. Ainsi la partie d’abord opaque qui est dans l’œil reçoit la figure que lui apporte l’impression de la lumière teinte des différentes couleurs. La peau des oreilles, des narines, de la langue, d’abord impénétrable à l’objet, emprunte également une nouvelle figure du son, de l’odeur et de la saveur. Il est commode de concevoir ainsi toutes ces choses ; en effet, rien ne tombe plus facilement sous les sens qu’une figure : on la touche, on la voit ; cette supposition n’entraîne pas plus d’inconvénient que toute autre. La preuve en est que la conception de la figure est si simple et si commune qu’elle est contenue dans tout objet sensible. Par exemple, supposez que la couleur soit tout ce qu’il vous plaira, vous ne pourrez nier qu’elle ne soit toujours quelque chose d’étendu, par conséquent de figuré. Quel inconvénient y a-t-il donc à ce qu’au lieu d’admettre une hypothèse inutile, et sans nier de la couleur ce qu’il plaît aux autres d’en penser, nous ne la considérions qu’en tant que figurée, et que nous concevions la différence qui existe entre le blanc, le bleu et le rouge, etc., comme la différence qui est entre ces figures et d’autres semblables ?
Or on peut en dire autant de toutes choses, puisque l’infinie multitude des figures suffit pour exprimer les différences des objets sensibles.
En second lieu, il faut concevoir qu’à l’instant où le sens externe est mis en mouvement par l’objet, la figure qu’il reçoit est portée à une autre partie du corps qui se nomme le sens commun ; et cela instantanément, et sans qu’il existe un passage réel d’aucun être d’un point à un autre ; tout de même que quand j’écris, je sais qu’à l’instant où chaque caractère est tracé sur le papier, non seulement la partie inférieure de ma plume est en mouvement, mais encore qu’elle ne peut recevoir le moindre mouvement qui ne se communique simultanément à la plume tout entière, dont la partie supérieure décrit en l’air les mêmes figures, encore bien que rien de réel ne passe d’une extrémité à l’autre. Or, qui pourrait croire la connexion des parties du corps humain moins entière que celle de la plume, et où trouver une image plus simple pour la représenter ?
Il faut, en troisième lieu, concevoir que le sens commun joue le rôle du cachet, qui imprime dans l’imagination, comme dans de la cire, ces figures ou idées que les sens externes envoient pures et incorporelles ; que cette imagination est une véritable partie du corps, et d’une grandeur telle que ses diverses parties peuvent revêtir plusieurs figures distinctes l’une de l’autre, et même en garder longtemps l’empreinte : dans ce cas, on l’appelle mémoire.
En quatrième lieu, il faut concevoir que la force motrice ou les nerfs eux-mêmes prennent naissance dans le cerveau, qui contient l’imagination, laquelle les meut de mille façons, comme le sens commun est mû par le sens externe, ou la plume tout entière par son extrémité inférieure ; exemple qui montre comment l’imagination peut être la cause d’un grand nombre de mouvements dans les nerfs, sans qu’il soit besoin qu’elle en possède en elle-même l’empreinte, pourvu qu’elle possède d’autres empreintes dont ces mouvements puissent être la suite ; en effet toute la plume n’est pas mue comme sa partie inférieure. Il y a plus, elle paraît, dans sa plus grande partie, suivre un mouvement inverse tout à fait contraire. Cela explique comment naissent tous les mouvements de tous les animaux, quoiqu’on ne leur accorde aucune connaissance des choses, mais seulement une imagination purement corporelle, et comment se produisent en nous toutes les opérations qui n’ont pas besoin du concours de la raison.
Cinquièmement enfin, il faut concevoir que cette force par laquelle nous connaissons proprement les objets, est purement spirituelle, et n’est pas moins distincte du corps tout entier que ne l’est le sang des os et la main de l’œil ; qu’elle est une et identique, soit qu’avec l’imagination elle reçoive les figures que lui envoie le sens commun, soit qu’elle s’applique à celles que la mémoire garde en dépôt, soit qu’elle en forme de nouvelles, lesquelles s’emparent tellement de l’imagination qu’elle ne peut suffire à recevoir en même temps les idées que lui apporte le sens commun, ou à les transmettre à la force motrice, selon le mode de dispensation qui lui convient. Dans tous ces cas, la force qui connaît est tantôt passive et tantôt active ; elle imite tantôt le cachet, tantôt la cire ; comparaison qu’il ne faut prendre cependant que comme une simple analogie ; car, parmi les objets matériels, il n’existe rien qui lui ressemble. C’est toujours une seule et même force qui, s’appliquant avec l’imagination au sens commun, est dite voir, toucher, etc. ; à l’imagination, en tant qu’elle revêt des formes diverses, est dite se souvenir ; à l’imagination qui crée des formes nouvelles, est dite imaginer ou concevoir ; qui enfin, lorsqu’elle agit seule, est dite comprendre, ce que nous expliquerons plus longuement en son lieu. Aussi reçoit-elle, à raison de ces diverses facultés, les noms divers d’intelligence pure, d’imagination, de mémoire, de sensibilité. Elle s’appelle proprement esprit, lorsqu’elle forme dans l’imagination de nouvelles idées, ou lorsqu’elle s’applique à celles qui sont déjà formées, et que nous la considérons comme la cause de ces différentes opérations. Il faudra plus tard observer la distinction de ces noms. Toutes ces choses une fois bien conçues, le lecteur attentif n’aura pas de peine à conclure de quel secours chacune de ces facultés nous peut être, et jusqu’à quel point l’art peut suppléer aux défauts naturels de l’esprit.
Car comme l’intelligence peut être mue par l’imagination, et agir sur elle, comme celle-ci à son tour peut agir sur les sens à l’aide de la force motrice en les appliquant aux objets, et que les sens d’autre part agissent sur elle en y peignant les images des corps, comme en outre la mémoire, au moins celle qui est corporelle et qui ressemble à celle des bêtes, est identique avec l’imagination, il suit de là que si l’intelligence s’occupe de choses qui n’ont rien de corporel ou d’analogue au corps, en vain espèrera-t-elle du secours de ces facultés. Il y a plus, pour que son action n’en soit pas arrêtée, il faut écarter les sens, et dépouiller, autant qu’il est possible, l’imagination de toute impression distincte. Si, au contraire, l’intelligence se propose d’examiner quelque chose qui puisse se rapporter à un corps, il faudra s’en former dans l’imagination l’idée la plus distincte possible. Pour y parvenir plus facilement, il faut montrer aux sens externes l’objet même que cette idée représentera. La pluralité des objets ne facilitera pas l’intuition distincte d’un objet individuel ; mais si de cette pluralité on veut distraire un individu, ce qui est souvent nécessaire, il faut débarrasser l’imagination de tout ce qui pourrait partager l’attention, afin que le reste se grave mieux dans la mémoire. De la même manière, il ne faudra pas présenter les objets eux-mêmes aux sens externes, mais seulement en offrir des images abrégées, qui, pourvu qu’elles ne nous induisent pas en erreur, seront d’autant meilleures qu’elles seront plus courtes. Ce sont là les préceptes qu’il faut observer, si l’on ne veut rien omettre de ce qui est relatif à la première partie de notre règle.
Venons à la seconde, et distinguons avec soin les notions des choses simples de celles des choses composées ; voyons dans lesquelles peut être la fausseté, pour prendre nos précautions relativement à celles-ci ; celles dans lesquelles peut se trouver la certitude, pour nous appliquer exclusivement à leur étude. Ici, comme dans notre précédente recherche, il faut admettre certaines propositions qui peut-être n’auront pas l’assentiment de tout le monde ; mais peu importe qu’on ne les croie pas plus vraies que ces cercles imaginaires qui servent aux astronomes à renfermer leurs phénomènes, pourvu qu’elles nous aident à distinguer de quels objets on peut avoir une connaissance vraie ou fausse.
Above all, it must be understood that the external senses, since they are part of the body, may indeed be applied to objects through our actions—that is, through local movements—but they can only perceive things passively, in just the same way as wax receives the impression of a seal. Moreover, this analogy should not be considered merely illustrative; it must be clearly understood that the external form of the sensory organs is indeed altered by the objects they encounter, just as the surface of wax is modified by the seal’s imprint. This occurs not only when we touch an object—whether solid, rough, or otherwise—but also when our sense of touch allows us to perceive heat or cold. The same principle applies to all other senses. For instance, the originally opaque part of the eye assumes the form imposed upon it by the light of different colors; the skin of our ears, nose, and tongue, which are initially impermeable to external objects, also take on new characteristics as they perceive sound, smell, and taste. It is quite convenient to conceive things in this way; after all, nothing is more readily perceived by the senses than a form: we can touch it, see it—and this assumption poses no greater difficulty than any other. The proof lies in the fact that the concept of form is so fundamental and widespread that it is inherent in every perceptible object. For example, if color were whatever one might wish it to be, one could not deny that it would always possess some extent, and therefore be a form. So what harm is there in assuming that, rather than accepting unnecessary hypotheses or denying what others may think about color, we should simply consider it as a form, and understand the differences between white, blue, red, etc., as the differences between these forms and others of similar nature?
The same can be said of all things, for the infinite variety of forms is sufficient to express the differences among sensible objects.
Secondly, it must be understood that the moment the external sense is activated by an object, the form or perception resulting from this interaction is transmitted immediately to another part of the body known as the “common sense.” This transfer occurs instantaneously, without any actual movement of any part of the body from one point to another. Just as when I write, I know that the moment each character is traced on paper, not only does the lower part of my pen move, but this movement is simultaneously transmitted to the entire pen, whose upper part traces corresponding lines in the air—even though nothing tangible actually passes from one end of the pen to the other. Yet who could possibly believe that the connection between the various parts of the human body is less seamless than that of a pen? And where else could one find a simpler analogy to illustrate this process?
Thirdly, it must be understood that common sense serves as a kind of “seal” that imprints upon the imagination—just like wax—those images or ideas which the external senses send to us in their pure, incorporeal form; that this imagination is actually a true part of the body, and one of such magnitude that its various parts can assume multiple distinct forms, even retaining the impression of these forms for a long time. In this case, we call it memory.
Fourthly, it must be understood that the motor force itself, or the nerves themselves, originate in the brain, which contains imagination—the power that moves them in countless ways, just as the senses are guided by external stimuli, or how a whole feather is moved by its lower tip. This example shows how imagination can be the cause of numerous movements in the nerves, without it itself necessarily possessing those particular patterns; provided that it possesses other patterns from which these movements can arise. Indeed, not every part of a feather moves in the same way as its lower tip. Moreover, it appears that the greater part of a feather follows a completely opposite direction of movement. This explains how all movements in animals come about, even though they are not endowed with any knowledge of things, but only with a purely physical imagination—and how all those processes within us can occur without the involvement of reason.
Fifthly and finally, it must be understood that this power by which we truly come to know objects is purely spiritual in nature, and is no less distinct from the entire body than blood is distinct from bones, or a hand from an eye. This power is one and identical whether it receives the images conveyed to it by the senses through imagination, whether it applies itself to those images stored in memory, or whether it creates new ones—images that so thoroughly occupy the faculty of imagination that it is unable simultaneously to receive the ideas supplied by the senses or to transmit them to the motor powers, according to the particular manner in which these functions are carried out. In all these cases, the power of cognition is sometimes passive and sometimes active; at times it resembles a seal, and at other times it resembles wax—though this comparison should be regarded merely as an analogy, for among material objects there is nothing that truly corresponds to it. It is always the same power that, when applied through imagination to the senses, is called seeing, touching, etc.; when it gives form to various images within imagination, it is called memory; when it creates new images, it is called imagination or conception; and when it acts independently, it is called understanding—topics that we will discuss more fully in their proper place. Accordingly, depending on these different functions, this power is given various names: pure intelligence, imagination, memory, sensibility. It is properly called the “spirit” when it generates new ideas within imagination or when it processes those that have already been formed—and in this capacity it is regarded as the cause of these various cognitive operations. We will further examine the distinctions between these terms at a later stage. Once all these concepts have been clearly understood, the attentive reader will easily grasp the role each of these faculties plays in our understanding of the world, and how much art can compensate for the natural limitations of the human mind.
For since intelligence can be influenced by imagination and act upon it, just as imagination in turn can affect the senses by applying their motor power to objects, and since the senses, on their part, influence intelligence by presenting images of objects within it—and moreover since memory, at least that which is bodily and resembles the memory of animals, is essentially identical with imagination—it follows that if intelligence engages in matters that have nothing corporeal about them or bear no resemblance to physical objects, it will vainly seek assistance from these faculties. Furthermore, in order for its efforts not to be thwarted, it is necessary to distract the senses and, as much as possible, deprive imagination of all distinct impressions. On the other hand, if intelligence aims to examine something that may be related to a physical object, then it is essential to form in imagination the most precise and distinct idea possible of that object. To achieve this more easily, it is necessary to present the external senses with the very object that this idea will represent. The plurality of objects will not facilitate a clear and distinct perception of any single one; but if it is necessary to isolate one particular object from among them—which is often the case—it is essential to free imagination from everything that might distract attention, so that the remaining details can be more effectively retained in memory. Similarly, it is not advisable to present the objects themselves directly to the external senses; rather, brief and concise representations of them should be used—as long as they do not lead to misunderstanding. These are the principles that must be observed if one wishes to encompass everything relevant to the first part of our rule.
Let us turn to the second point and carefully distinguish between the concepts of simple things and those of composite things; let us identify in which cases falsehood may arise, so that we can take appropriate precautions regarding them; and let us determine in which cases certainty is possible, so that we can focus our efforts exclusively on their study. Here, just as in our previous inquiry, it is necessary to accept certain propositions that may not be agreed upon by everyone; but it matters little whether they are considered more or less true than those imaginary circles used by astronomers to enclose their celestial phenomena—so long as they help us to distinguish between objects about which we can have genuine or false knowledge.
È necessario comprendere innanzitutto che i sensi esterni, in quanto fanno parte del corpo, anche se li utilizziamo per percepire gli oggetti attraverso il nostro movimento, percepiscono soltanto in modo passivo, esattamente come la cera riceve l’impronta di un sigillo. Non si deve credere che questa analogia sia basata semplicemente sulla somiglianza superficiale; è invece fondamentale riconoscere che la forma esterna del corpo viene effettivamente modificata dall’oggetto che lo stimola, proprio come la superficie della cera viene alterata dal sigillo. Ciò avviene non solo quando tocchiamo un oggetto concreto e tangibile, ma anche quando percepiamo il caldo o il freddo attraverso il tatto. Lo stesso vale per gli altri sensi: ad esempio, la parte dell’occhio che inizialmente è opaca riceve la forma impressa dalla luce di diversi colori; la pelle delle orecchie, del naso e della lingua, anch’essa inizialmente impermeabile agli stimoli esterni, assume una nuova “forma” a seconda dei suoni, degli odori e dei sapori che percepisce. È molto semplice comprendere queste cose: dopo tutto, nulla è più facile da percepire con i sensi di una forma; possiamo toccarla, vederla. E questa concezione non comporta alcun inconveniente rispetto ad altre. La prova sta nel fatto che l’idea stessa di “forma” è così semplice e comune da essere presente in ogni oggetto percepibile. Ad esempio, se consideriamo il colore come qualsiasi cosa vogliamo, non possiamo negare che sia sempre qualcosa di esteso, quindi di “figurato”. Quale inconveniente ci sarebbe allora nel riconoscere il colore semplicemente come una forma, e nel considerare le differenze tra il bianco, il blu, il rosso, ecc., come differenze tra queste forme e altre simili?
Ogni cosa può essere considerata allo stesso modo, poiché la infinita varietà delle forme è sufficiente a esprimere le differenze tra gli oggetti sensoriali.
In secondo luogo, bisogna concepire che nel momento in cui il senso esterno viene messo in movimento dall’oggetto, la forma che ne deriva viene trasmessa a un’altra parte del corpo, chiamata “senso comune”; e ciò avviene istantaneamente, senza che esista alcun passaggio reale da un punto all’altro di qualsiasi essere vivente. Proprio come quando scrivo: so che nel momento in cui ogni carattere viene tracciato sulla carta, non solo la parte inferiore della mia penna è in movimento, ma anche che tale movimento viene immediatamente trasmesso all’intera penna, la cui parte superiore disegna nello stesso istante le stesse forme nell’aria; eppure nulla di reale passa da un’estremità all’altra della penna. E chi potrebbe mai ritenere che il collegamento tra le varie parti del corpo umano sia meno efficace di quello della penna? E dove si potrebbe trovare un’espressione più semplice per rappresentare questo processo?
In terzo luogo, è necessario concepire che il senso comune svolga il ruolo di un “sigillo” che imprime nell’immaginazione, come su della cera, quelle figure o idee che i sensi esterni inviano in forma pura e incorporea; che questa immaginazione sia una vera parte del corpo, e di tale entità da poter assumere diverse forme distinte l’una dall’altra, conservandone addirittura a lungo l’impronta: in questo caso, viene chiamata memoria.
In quarto luogo, è necessario concepire che la forza motrice, o i nervi stessi, prendano origine nel cervello, il quale contiene l’immaginazione; quest’ultima li muove in mille modi diversi, proprio come il senso comune viene stimolato dai sensi esterni, o tutta la penna è guidata dalla sua estremità inferiore. Questo esempio dimostra come l’immaginazione possa essere la causa di numerosi movimenti nei nervi, senza che essa stessa ne possieda necessariamente l’“impronta” interna; basta infatti che possieda altre “impronte” dalle quali tali movimenti possano derivare. Del resto, non tutta la penna viene mossa nello stesso modo della sua parte inferiore; anzi, nella sua maggior parte sembra seguire un movimento inverso e completamente opposto. Ciò spiega come nascano tutti i movimenti di tutti gli animali, anche se a questi non si attribuisce alcuna conoscenza delle cose, ma soltanto un’immaginazione puramente corporea; inoltre, spiega come in noi possano verificarsi tutte quelle operazioni che non richiedono il contributo della ragione.
In quinto luogo, bisogna concepire che questa forza grazie alla quale conosciamo veramente gli oggetti sia puramente spirituale, e non meno distinta dal corpo intero di quanto il sangue lo sia dalle ossa o la mano dall’occhio; che essa sia una e identica, sia quando, con l’aiuto dell’immaginazione, riceve le forme che le invia il senso comune, sia quando si applica a quelle che la memoria conserva nella sua memoria, sia quando ne crea di nuove, le quali prendono talmente possesso dell’immaginazione da non essere in grado di ricevere contemporaneamente le idee che le fornisce il senso comune, né di trasmetterle alla forza motrice, secondo il modo in cui ciò è necessario. In tutti questi casi, la forza conoscitiva è talvolta passiva e talvolta attiva; a volte imita il sigillo, altre volte la cera; ma questa analogia va intesa soltanto come un semplice paragone, poiché tra gli oggetti materiali non esiste nulla che le assomigli. È sempre una sola e stessa forza quella che, applicandosi con l’immaginazione al senso comune, viene chiamata “vedere”, “toccare”, ecc.; che, quando l’immaginazione assume forme diverse, viene chiamata “ricordare”; che, quando crea nuove forme, viene chiamata “immaginare” o “concettuare”; e infine, quando agisce da sola, viene chiamata “comprendere”, di ciò parleremo più ampiamente in seguito. Per queste diverse funzioni, essa riceve nomi diversi: intelligenza pura, immaginazione, memoria, sensibilità. Viene propriamente chiamata “spirito” quando crea nuove idee nell’immaginazione, o quando si applica a quelle che sono già formate, e viene considerata la causa di queste diverse operazioni. Più avanti analizzeremo più in dettaglio questa distinzione tra questi nomi. Una volta ben comprese tutte queste cose, il lettore attento non avrà difficoltà a capire di quale aiuto possa ciascuna di queste facoltà disporre per noi, e fino a che punto l’arte possa compensare le carenze naturali dello spirito.
Poiché l’intelligenza può essere guidata dall’immaginazione e agire su di essa, così come quest’ultima può influenzare i sensi applicandoli agli oggetti attraverso la forza motrice, e poiché i sensi a loro volta agiscono sull’intelligenza proiettandovi le immagini dei corpi, inoltre poiché la memoria – almeno quella corporea, simile a quella degli animali – è identica all’immaginazione, ne consegue che se l’intelligenza si occupa di cose prive di caratteristiche corporee o di analogie con il corpo, invano spererà di ottenere aiuto da queste facoltà. Perché la sua azione non venga ostacolata, è necessario allontanare i sensi e privare l’immaginazione, per quanto possibile, di qualsiasi impressione distinta. Al contrario, se l’intelligenza intende esaminare qualcosa che possa essere collegato a un corpo, è necessario formarsi nell’immaginazione l’idea più chiara e precisa possibile. Per raggiungere questo scopo in modo più efficace, bisogna mostrare ai sensi esterni lo stesso oggetto che questa idea rappresenterà. La pluralità degli oggetti non facilita l’intuizione di un singolo individuo; tuttavia, se si desidera isolare uno di questi individui – cosa spesso necessaria – è fondamentale liberare l’immaginazione da tutto ciò che potrebbe distogliere l’attenzione, affinché il resto possa essere meglio ricordato. Allo stesso modo, non è opportuno presentare direttamente gli oggetti ai sensi esterni, ma soltanto offrirne immagini ridotte; queste immagini, purché non inducano in errore, saranno tanto migliori quanto più concise saranno. Questi sono i principi che bisogna seguire se si vuole evitare di trascurare nulla di ciò che riguarda la prima parte della nostra regola.
Passiamo ora alla seconda questione e distinguiamo con attenzione le nozioni relative alle cose semplici da quelle relative alle cose composte; individuiamo in quali casi possa esistere l’errore, al fine di prendere le dovute precauzioni riguardo a queste ultime; e individuiamo in quali casi possa esistere la certezza, per dedicarci esclusivamente allo studio di tali casi. Anche qui, come nella nostra precedente indagine, dobbiamo ammettere alcune proposizioni che forse non saranno condivise da tutti; ma non importa se queste vengono ritenute meno vere di quei cerchi immaginari utilizzati dagli astronomi per delimitare i loro fenomeni: l’importante è che ci aiutino a distinguere quali oggetti possano essere conosciuti in modo vero o falso.
Nous disons donc premièrement que les choses doivent être considérées sous un autre point de vue quand nous les examinons par rapport à notre intelligence, qui ne les connaît que quand nous en parlons par rapport à leur existence réelle. Ainsi soit un corps étendu et figuré : en lui-même nous avouons que c’est quelque chose d’un et de simple ; en effet, on ne peut pas dire qu’il soit composé parce qu’il a la corporalité, l’étendue et la figure, car ces éléments n’ont jamais existé indépendants l’un de l’autre. Mais, par rapport à notre intelligence, c’est un composé de ces trois éléments, parce que chacun d’eux se présente séparément à notre esprit, avant que nous ayons le temps de reconnaître qu’ils se trouvent tous trois réunis dans un seul et même sujet. Ainsi, ne traitant ici des choses que dans leur rapport avec notre intelligence, nous appellerons simples celles-là seulement dont la notion est si claire et si distincte que l’esprit ne puisse la diviser en d’autres notions plus simples encore ; telles sont la figure, l’étendue, le mouvement, etc. Nous concevons toutes les autres comme étant, en quelque sorte, composées de celles-ci ; ce qu’il faut entendre de la manière la plus générale, sans excepter même les choses qu’il nous est possible d’abstraire de ces notions simples, comme quand on dit que la figure est la limite de l’étendue, entendant ainsi par limite quelque chose de plus général que la figure, parce qu’on peut dire la limite de la durée, du mouvement, etc. Dans ce cas, bien que la notion délimité soit abstraite de celle de figure, elle n’en doit pas pour cela paraître plus simple que celle-ci. Au contraire, comme on l’attribue à d’autres choses essentiellement différentes de la figure, telles que la durée et le mouvement, il a fallu l’abstraire même de ces notions, et conséquemment c’est un composé d’éléments tout à fait divers, à chacun desquels elle ne s’appliqua que par équivoque.
Nous disons, en second lieu, que les choses appelées simples par rapport à notre intelligence sont ou purement intellectuelles, ou purement matérielles, ou intellectuelles et matérielles tout à la fois. Sont purement intellectuelles les choses que l’intelligence connaît à l’aide d’une certaine lumière naturelle, et sans le secours d’aucune image corporelle. Or il en est un grand nombre de cette espèce ; et, par exemple, il est impossible de se faire une image matérielle du doute, de l’ignorance, de l’action de la volonté, qu’on me permettra d’appeler volition, et de tant d’autres choses, que cependant nous connaissons effectivement, et si facilement qu’il nous suffit pour cela d’être doués de raison. Sont purement matérielles les choses que l’on ne connaît que dans les corps, comme la figure, l’étendue, le mouvement, etc. Enfin il faut appeler communes celles qu’on attribue indistinctement aux corps et aux esprits, comme l’existence, l’unité, la durée, et d’autres semblables. A cette classe doivent être rapportées ces notions communes, qui sont comme des liens qui unissent entre elles diverses natures simples, et sur l’évidence desquelles reposent les conclusions du raisonnement ; par exemple, la proposition, deux choses égales à une troisième sont égales entre elles ; et encore, deux choses qui ne peuvent pas être rapportées de la même manière à une troisième, ont entre elles quelque diversité. Or ces idées peuvent être connues, ou par l’intelligence pure, ou par l’intelligence examinant les images des objets matériels.
Au nombre des choses simples, il faut encore placer leur négation et leur privation, en tant qu’elles tombent sous notre intelligence, parce que l’idée du néant, de l’instant, du repos, n’est pas une idée moins vraie que celle de l’existence, de la durée, du mouvement. Cette manière de voir nous permettra de dire, dans la suite, que toutes les autres choses que nous connaîtrons sont composées de ces éléments simples : ainsi quand je juge qu’une figure n’est pas en mouvement, je puis dire que mon idée est composée, en quelque façon, de la figure et du repos, et ainsi des autres.
Nous dirons, en troisième lieu, que ces éléments simples sont tous connus par eux-mêmes, et ne contiennent rien de faux, ce qui se verra facilement si nous distinguons la faculté de l’intelligence qui voit et connaît les choses, de celle qui juge en affirmant et en niant. Il peut se faire en effet que nous croyions ignorer les choses que nous savons réellement ; par exemple, si nous supposons qu’outre ce que nous voyons et ce que nous atteignons par la pensée, elles contiennent encore quelque chose qui nous est inconnu, et que cette supposition soit fausse. A ce compte, il est évident que nous nous trompons, si nous croyons ne pas connaître tout entière quelqu’une de les natures simples ; car si notre intelligence se met le moins du monde en rapport avec elles, ce qui est nécessaire puisque nous sommes supposés en porter un jugement quelconque, il faut conclure de là que nous la connaissons tout entière. Autrement on ne pourrait pas dire qu’elle est simple, mais bien composée, d’abord, de ce que nous connaissons d’elle, ensuite, de ce que nous en croyons ignorer.
Nous disons, en quatrième lieu, que la liaison des choses simples entre elles est nécessaire ou contingente. Elle est nécessaire, lorsque l’idée de l’une est tellement mêlée à l’idée de l’autre, qu’en voulant les juger séparées, il nous est impossible de concevoir distinctement l’une des deux. C’est de cette manière que la figure est liée à l’étendue, le mouvement à la durée ou au temps, parce qu’il est impossible de concevoir la figure privée d’étendue, et le mouvement de durée. De même quand je dis, quatre et trois font sept, cette liaison est nécessaire, parce qu’on ne peut pas concevoir distinctement le nombre sept sans y renfermer d’une manière confuse le nombre quatre et le nombre trois. De même encore tout ce qu’on démontre des figures et des nombres est nécessairement lié à la chose sur laquelle porte affirmation. Cette nécessité n’a pas seulement lieu dans les objets sensibles. Par exemple, si Socrate dit qu’il doute de tout, il s’ensuit nécessairement cette conséquence, donc il comprend au moins qu’il doute ; et celle-ci, donc il connaît que quelque chose peut être vrai ou faux : car ce sont là des notions qui accompagnent nécessairement le doute. La liaison est contingente quand les choses ne sont pas liées entre elles inséparablement, par exemple lorsque nous disons, le corps est animé, l’homme est habillé. Il est même beaucoup de propositions qui sont nécessairement jointes entre elles, et que le grand nombre range parmi les contingentes, parce qu’on n’en remarque pas la relation : par exemple, Je suis, donc Dieu est ; Je comprends, donc j’ai une âme distincte de mon corps. Enfin il faut remarquer qu’il est un grand nombre de propositions nécessaires, dont la réciproque est contingente : ainsi, quoique, de ce que je suis, je conclue avec certitude que Dieu est, je ne puis réciproquement affirmer, de ce que Dieu est, que j’existe.
Nous disons, en cinquième lieu, que nous ne pouvons rien comprendre au-delà de ces natures simples, et des composées qui s’en forment ; et même il est souvent plus facile d’en examiner plusieurs jointes ensemble que d’en abstraire une seule. Ainsi je puis connaître un triangle sans avoir jamais remarqué que cette connaissance contient celle de l’angle, de la ligne, du nombre trois, de la figure, de l’étendue, etc. ; ce qui n’empêche pas que nous ne disions que la nature du triangle est un composé de toutes ces natures, et qu’elles sont mieux connues que le triangle, puisque ce sont elles que l’on comprend en lui. Il y a plus, dans cette même notion du triangle, il en est beaucoup d’autres qui s’y trouvent et qui nous échappent, telles que la grandeur des angles, qui sont égaux à deux droits, et les innombrables rapports des côtés aux angles ou à la capacité de l’aire.
We thus assert, first and foremost, that things must be considered from a different perspective when we examine them in relation to our intelligence—which knows them only when we discuss them in terms of their actual existence. Take, for instance, a corporeal entity that possesses extension and form: in itself, we acknowledge that it is something singular and simple. Indeed, one cannot claim that it is composed of various elements merely because it has extension, form, and solidity, since these qualities never existed independently of each other. However, from the perspective of our intelligence, this entity appears to be composed of these three elements, because each of them is separately perceived by our mind before we realize that they are all united within a single entity. Therefore, when considering things solely in relation to our intelligence, we will refer to those whose concepts are so clear and distinct that the mind cannot divide them into even simpler components as “simple” entities—such as form, extension, motion, etc. We regard all other entities as being composed of these simple ones in some way. In the most general sense, this applies even to those things that we can abstract from these simple concepts; for instance, when we say that form is the limit of extension, we mean by “limit” something that is broader than form itself, since we can also speak of the limit of duration or motion, etc. In such cases, although the concept of “limit” is derived from the concept of form, it does not necessarily appear simpler than form. On the contrary, since we attribute this concept to things that are fundamentally different from form—such as duration and motion—it means that we have abstracted it even from these concepts themselves, and consequently, it represents a composite of entirely diverse elements, each of which is only indirectly related to the concept of form.
Secondly, we say that those things which are called simple in relation to our intellect are either purely intellectual, or purely material, or both at once. Things that are purely intellectual are those which the intellect understands through a certain natural light, without the aid of any bodily representation. There are numerous such things; for instance, it is impossible to form a bodily representation of doubt, ignorance, the action of the will—which I am permitted to call volition—and of many other things that we nevertheless know quite clearly and easily, merely by being endowed with reason. Things that are purely material are those which we can only understand in relation to bodies, such as shape, extent, motion, etc. Finally, we must call common those qualities that are attributed indistinctly both to bodies and to spirits, such as existence, unity, duration, and others of this kind. To this category belong those general concepts which serve as links connecting various simple realities together, and upon the certainty of which depend the conclusions of reasoning; for example, the proposition that “two things equal to a third thing are equal to each other”; or also that “two things which cannot be related to a third thing in the same way must differ from each other.” These ideas can be understood either through pure intellect or by the intellect examining the representations of material objects.
Among these simple entities, we must also include their negation and privation, since they fall within the scope of our understanding. After all, the concepts of nothingness, instant, and rest are no less true than those of existence, duration, and motion. This way of viewing things will enable us to say, in the future, that all other entities we know are composed of these simple elements. For instance, when I conclude that a figure is not in motion, I can say that my understanding of this situation is, in some way, composed of the concepts of figure and rest—and so on for other cases as well.
Thirdly, we may say that these simple elements are all known to us in themselves, and that they contain nothing false; this will become clear if we distinguish between the faculty of intelligence that perceives and knows things, and that which judges by affirming or denying them. It is indeed possible for us to believe that we ignore things which we actually know; for instance, if we assume that, in addition to what we see and what we comprehend through thought, there is something else about these things that remains unknown to us, and if this assumption is false. In that case, it is evident that we are mistaken if we believe that we do not fully understand any of these simple entities; for as long as our intelligence relates in the slightest way to them—which is necessary since we are supposed to form some judgment about them—we must conclude that we know them in their entirety. Otherwise, we could not say that they are simple, but rather that they are composed, firstly, of what we know about them, and secondly, of what we believe to be unknown about them.
Fourthly, we say that the connection between simple things is either necessary or contingent. It is necessary when the concept of one thing is so intertwined with the concept of another that, in attempting to consider them separately, it becomes impossible to conceive one of them distinctly. In this way, shape is connected to extent, motion to duration or time, because it is impossible to conceive shape without extent, or motion without duration. Similarly, when I say “four plus three equals seven,” this connection is necessary because it is impossible to conceive the number seven separately without including the numbers four and three within it in some vague way. Likewise, everything we prove about shapes and numbers is necessarily connected to the thing about which we are making that assertion. This necessity does not apply only to sensible objects. For example, if Socrates says that he doubts everything, it necessarily follows that he understands at least that he doubts; and since he understands this, it follows that he knows that something can be true or false—because these concepts inevitably accompany doubt. The connection between things is contingent when they are not inseparably linked; for example, when we say “the body is animate” or “a man is clothed.” In fact, there are many propositions that are necessarily connected to each other, yet are classified as contingent by most scholars because their relationship is not immediately apparent. For instance, “I exist, therefore God exists”; “I understand, therefore I have a soul distinct from my body.” Finally, it should be noted that there are numerous necessary propositions whose converse are contingent. Thus, although I can confidently conclude from what I am that God exists, I cannot, conversely, assert from what God is that I exist.
Fifthly, we say that we cannot comprehend anything beyond these simple natures and the compounds formed from them; in fact, it is often easier to examine several such compounds together than to abstract a single one from them. Thus, I can come to know what a triangle is without ever realizing that this knowledge necessarily involves an understanding of concepts such as angle, line, the number three, shape, extent, and so on. Nevertheless, we would still say that the nature of a triangle is a composite of all these elements, and that these elements are in fact better understood than the triangle itself, since it is they that we truly comprehend when we study the triangle. Moreover, within this very concept of a triangle, there are many other aspects that exist but escape our awareness, such as the precise measure of its angles (which equal two right angles) and the countless relationships between its sides, angles, or the area it occupies.
Dichiamo quindi, in primo luogo, che le cose devono essere considerate da un altro punto di vista quando vengono esaminate in relazione alla nostra intelligenza, la quale le conosce soltanto quando ne parliamo in base alla loro esistenza reale. Un corpo esteso e dotato di forma, ad esempio, è qualcosa di unitario e semplice in sé stesso; infatti non si può dire che sia composto, poiché possiede estensione, forma e corporeità, elementi che mai sono esistiti separatamente l’uno dall’altro. Tuttavia, in relazione alla nostra intelligenza, tale corpo è considerato un composto di questi tre elementi, poiché ciascuno di essi si presenta separatamente alla nostra mente, prima ancora che noi riusciamo a comprendere che sono tutti e tre riuniti nello stesso soggetto. Pertanto, trattando qui le cose soltanto in relazione alla nostra intelligenza, chiameremo semplici quelle cose la cui nozione è così chiara e distinta da non poter essere ulteriormente suddivisa in altre nozioni ancora più semplici; tra queste figurano forma, estensione, movimento, ecc. Tutte le altre cose, invece, vengono considerate come composte da queste; ciò si può intendere in senso molto generale, anche per quelle cose che possiamo estrarre da tali nozioni semplici – ad esempio quando si dice che la forma è il limite dell’estensione: con “limite” si intende qualcosa di più generale della forma stessa, poiché si può parlare anche del limite della durata, del movimento, ecc. In questo caso, anche se la nozione di “limite” viene estrapolata da quella di “forma”, ciò non significa che essa sia più semplice di quest’ultima; al contrario, poiché viene attribuita a cose essenzialmente diverse dalla forma – come durata e movimento – è necessario estrarla anche da tali nozioni, il che la rende un composto di elementi del tutto diversi tra loro, a ciascuno dei quali essa si applica soltanto in modo ambiguo.
In secondo luogo, affermiamo che le cose chiamate “semplici” rispetto alla nostra intelligenza sono o puramente intellettuali, o puramente materiali, o sia intellettuali che materiali allo stesso tempo. Sono puramente intellettuali quelle cose che l’intelligenza conosce grazie a una certa “luce naturale”, senza il bisogno di alcuna immagine corporea; ne esistono molte di questo tipo: ad esempio, è impossibile formarsi un’immagine materiale del dubbio, dell’ignoranza, dell’azione della volontà – che permetterò di chiamare “volontà” – e di molte altre cose che tuttavia conosciamo effettivamente, e con tale facilità che ci basta essere dotati di ragione per comprenderle. Sono puramente materiali quelle cose che si conoscono soltanto nei corpi, come la forma, l’estensione, il movimento, ecc. Infine, si devono considerare “comuni” quelle proprietà che vengono attribuite indistintamente sia ai corpi che agli spiriti, come l’esistenza, l’unità, la durata, e altre simili. A questa classe appartengono queste nozioni comuni, che fungono da legami che uniscono tra loro diverse nature semplici; sull’evidenza di tali nozioni si basano le conclusioni del ragionamento: ad esempio, l’affermazione “due cose uguali a una terza sono uguali tra loro”; oppure “due cose che non possono essere collegate allo stesso modo con una terza presentano qualche differenza tra di loro”. Queste idee possono essere comprese sia attraverso l’intelligenza pura, sia esaminando le immagini degli oggetti materiali.
Tra le cose semplici, va inclusa anche la loro negazione e la loro privazione, poiché rientrano nell’ambito della nostra comprensione; infatti, l’idea del nulla, dell’istante, del riposo non è affatto meno vera dell’idea dell’esistenza, della durata, del movimento. Questo modo di vedere ci permetterà in seguito di affermare che tutte le altre cose che conosceremo sono composte da questi elementi semplici: ad esempio, quando giudico che una figura non è in movimento, posso dire che la mia idea è composta, in qualche modo, dalla figura stessa e dal riposo, e così via.
In terzo luogo, possiamo affermare che questi elementi semplici sono tutti noti di per sé e non contengono nulla di falso; ciò diventa evidente se distinguiamo la facoltà dell’intelligenza che vede e conosce le cose da quella che giudica, affermando o negando. È infatti possibile che crediamo di ignorare cose che in realtà conosciamo; ad esempio, se supponiamo che, oltre a ciò che vediamo e a ciò che raggiungiamo con il pensiero, queste cose contengano ancora qualcosa che ci è sconosciuto, e che questa ipotesi sia falsa. In tal caso, è evidente che ci sbagliamo se crediamo di non conoscere completamente uno qualsiasi di questi elementi semplici; poiché se la nostra intelligenza entra anche solo in relazione con essi – il che è necessario, dato che siamo costretti a formarci un giudizio su di loro – allora dobbiamo concludere che li conosciamo completamente. Altrimenti non potremmo definirli semplici, ma piuttosto composti: da ciò che ne conosciamo, e da ciò che crediamo di ignorare.
In quarto luogo, affermiamo che il legame tra le cose semplici sia necessario o contingente. È necessario quando l’idea di una cosa è talmente mescolata con quella di un’altra che, nel tentativo di considerarle separatamente, diventa impossibile concepire chiaramente ciascuna di esse. È così che la figura è legata all’estensione, il movimento alla durata o al tempo: infatti è impossibile concepire una figura priva di estensione, o un movimento privo di durata. Allo stesso modo, quando diciamo “quattro più tre fanno sette”, questo legame è necessario, poiché non possiamo concepire chiaramente il numero sette senza includere in esso, in modo confuso, i numeri quattro e tre. Anche tutto ciò che si dimostra riguardo alle figure e ai numeri è necessariamente collegato alla cosa su cui si basa l’affermazione. Questa necessità non si verifica soltanto negli oggetti sensibili: ad esempio, se Socrate afferma di dubitare di tutto, ne consegue necessariamente che almeno sa di dubitare; e questo significa che riconosce l’esistenza di qualcosa che può essere vero o falso, poiché queste sono nozioni che accompagnano inevitabilmente il dubbio. Il legame tra le cose è invece contingente quando non sono strettamente connesse tra loro in modo inscindibile; ad esempio, quando diciamo “il corpo è animato” o “l’uomo è vestito”. Esistono anche molte proposizioni che, pur essendo necessariamente collegate tra loro, vengono considerate contingenti, perché la loro relazione non viene immediatamente percepita: ad esempio, “Io sono, quindi Dio è” o “Comprendo, quindi ho un’anima distinta dal mio corpo”. Infine, va notato che esistono molte proposizioni necessarie le cui conseguenze sono invece contingenti; ad esempio, anche se da ciò che sono io posso concludere con certezza l’esistenza di Dio, non posso affermare al contrario che, poiché Dio esiste, io esisto.
In quinto luogo, affermiamo di non poter comprendere nulla al di là di queste nature semplici e delle composizioni che ne derivano; spesso è persino più facile esaminare più elementi insieme che ricavarne uno solo in modo astratto. Ad esempio, posso conoscere un triangolo senza mai aver notato che tale conoscenza include quella dell’angolo, della linea, del numero tre, della figura, dell’estensione, ecc.; ciò non impedisce tuttavia di affermare che la natura stessa del triangolo è una composizione di tutte queste caratteristiche, e che queste ultime siano più conosciute del triangolo stesso, poiché sono proprio esse che si comprendono al suo interno. Inoltre, nella stessa nozione di triangolo esistono molte altre proprietà che ci sfuggono, come la grandezza degli angoli, uguali a due retti, nonché i numerosi rapporti tra i lati, gli angoli o l’area del triangolo.
Nous disons, en sixième lieu, que les natures appelées composées sont connues de nous, parce que nous trouvons par expérience qu’elles sont composées, ou parce que nous les composons nous-mêmes. Nous connaissons, par exemple, tout ce que nous percevons par les sens, tout ce que nous entendons dire par d’autres, et généralement tout ce qui arrive à notre entendement, soit d’ailleurs, soit de la contemplation réfléchie de l’entendement par lui-même. Il faut ici noter que l’entendement ne peut être trompé par aucune expérience, s’il se borne à l’intuition précise de l’objet, tel qu’il le possède dans son idée ou dans son image. Et qu’on ne juge pas pour cela que l’imagination nous représente fidèlement les objets des sens : les sens eux-mêmes ne réfléchissent pas la véritable figure des choses ; et enfin les objets externes ne sont pas toujours tels qu’ils nous apparaissent ; nous sommes à tous ces égards exposés à l’erreur, tout comme nous pouvons prendre un conte pour une histoire véritable. L’homme attaqué de la jaunisse croit que tout est jaune, parce que son œil est de cette couleur : un esprit malade et mélancolique peut prendre pour des réalités les vains fantômes de son imagination. Mais ces mêmes choses n’induiront pas en erreur l’intelligence du sage, parce que, tout en reconnaissant que ce qui lui vient de l’imagination y a été empreint réellement, il n’affirmera jamais que la notion soit arrivée non altérée des objets externes aux sens, et des sens à l’imagination, à moins qu’il n’ait quelque autre moyen de s’en assurer. D’autre part, c’est nous qui composons nous-mêmes les objets de notre connaissance, toutes les fois que nous croyons qu’ils contiennent quelque chose que notre esprit perçoit immédiatement sans aucune expérience. Ainsi, quand l’homme malade de la jaunisse se persuade que ce qu’il voit est jaune, sa connaissance est composée et de ce que son imagination lui représente, et de ce qu’il tire de lui-même, savoir, que la couleur jaune vient non d’un défaut de son œil, mais de ce que les choses qu’il voit sont réellement jaunes. Il suit de tout ceci que nous ne pouvons nous tromper que quand nous composons nous-mêmes les notions que nous admettons.
Nous disons, en septième lieu, que cette composition peut se faire de trois manières, par impulsion, par conjecture, ou par déduction. Ceux-là composent leurs jugements sur les choses par impulsion qui se portent d’eux-mêmes à croire quelque chose sans être persuadés par aucune raison, mais seulement déterminés, ou par une puissance supérieure, ou par leur propre liberté, ou par une disposition de leur imagination. La première ne trompe jamais ; la seconde, rarement ; la troisième, presque toujours : mais la première n’appartient pas à ce traité, parce qu’elle ne tombe pas sous les règles de l’art. La composition se fait par conjecture quand, par exemple, de ce que l’eau, plus éloignée du centre de la terre, est aussi d’une substance plus ténue ; de ce que l’air, placé au-dessus de la terre, est aussi plus léger qu’elle, nous concluons qu’au-delà de l’air il n’y a rien qu’une substance éthérée, très pure, et beaucoup plus ténue que l’air lui-même. Les notions que nous composons de cette manière ne nous trompent pas, pourvu que nous ne les prenions que pour des probabilités, jamais pour des vérités ; mais elles ne nous rendent pas plus savants.
Reste donc la seule déduction par laquelle nous puissions composer des potions de la justesse desquelles nous soyons sûrs ; et cependant il peut s’y commettre encore un grand nombre d’erreurs. Par exemple, de ce que dans l’air il n’est rien que la vue, le tact ou quelque autre sens puisse saisir, nous concluons que l’espace qui le renferme est vide, nous joignons mal à propos la nature du vide à celle de l’espace ; or il en arrive ainsi toutes les fois que d’une chose particulière et contingente nous croyons pouvoir déduire quelque chose de général et de nécessaire. Mais il est en notre pouvoir d’éviter cette erreur, c’est de ne jamais faire de liaisons que celles que nous avons reconnues nécessaires : comme, par exemple, quand nous concluons que rien ne peut être figuré qui ne soit étendu, de ce que la figure a avec l’étendue un rapport nécessaire.
De tout cela il résulte premièrement que nous avons exposé clairement, et, ce me semble, par une énumération suffisante, ce que nous n’avons pu montrer au commencement que confusément et sans art ; savoir, qu’il n’y a que deux voies ouvertes à l’homme pour arriver à une connaissance certaine de la vérité, l’intuition évidente, et la déduction nécessaire. Nous avons de plus expliqué ce que c’est que ces natures simples dont il est question dans la règle huitième. Il est clair que l’intuition s’applique et à ces natures, et à leur connexion nécessaire entre elles, et enfin à toutes les autres choses que l’entendement trouve par une expérience précise, soit en lui-même, soit dans, l’imagination. Quant à la déduction, nous en traiterons plus au long dans les règles suivantes.
Il s’ensuit secondement qu’il ne faut pas se donner beaucoup de peine pour connaître ces natures simples, car elles sont suffisamment connues par elles-mêmes. Il faut seulement les distinguer les unes des autres, et les considérer avec attention successivement et à part. Il n’est personne en effet d’un esprit si obtus qui ne s’aperçoive qu’il y a une différence quelconque à être assis et à être debout. Mais tous ne distinguent pas aussi nettement la nature de la position des autres choses contenues dans cette idée, et ils ne peuvent affirmer que dans ce cas rien n’est changé que la position. Et nous ne faisons pas cette remarque en vain, parce que les savants sont d’habitude assez ingénieux pour trouver le moyen de répandre des ténèbres même dans les choses qui sont évidentes par elles-mêmes, et que les paysans n’ignorent pas. Cela leur arrive lorsqu’ils cherchent à exposer, à l’aide de quelque chose de plus évident, des choses qui sont connues par elles-mêmes. En effet, ou ils expliquent autre chose, ou ils n’expliquent rien du tout ; car qui ne connaît pas parfaitement le changement quelconque qui s’opère quand nous changeons de lieu, et quel homme concevra l’idée de ce même changement quand on lui dira, Le lieu est la superficie du corps ambiant, puisque cette superficie peut changer moi restant immobile et ne changeant pas de place, et d’autre part se mouvoir avec moi de telle sorte que, encore bien que ce soit toujours la même qui m’entoure, je ne me trouve plus dans le même lieu ? Mais n’est-ce pas paraître proférer des paroles magiques, qui ont une vertu cachée et passent la portée de l’esprit humain, que de dire que le mouvement (la chose la mieux connue de chacun) est l’acte d’une puissance, en tant que puissance ? Qui comprend ces paroles, et qui ignore ce que c’est que le mouvement ? Qui n’avouerait que c’est là chercher un nœud dans un brin de jonc ? On doit donc reconnaître qu’il ne faut jamais expliquer les choses de cette espèce par des définitions, de peur de prendre le simple pour le composé, mais seulement les distinguer les unes des autres, et les examiner attentivement selon les lumières de son esprit.
Il suit, en troisième lieu, que toute la science humaine consiste seulement à voir distinctement comment ces pâtures simples concourent entre elles à la formation des autres choses, remarque très utile à faire. Car toutes les fois qu’on propose une difficulté à examiner, presque tous s’arrêtent au début, incertains à quelles pensées ils doivent d’abord se livrer, et persuadés qu’ils ont à chercher une nouvelle espèce d’être qui leur est inconnue. Ainsi, quand on demande quelle est la nature de l’aimant, aussitôt, et parce qu’ils augurent que la chose est difficile et ardue, éloignant leur esprit de tout ce qui est évident, ils l’appliquent à ce qu’il y a de plus difficile, et attendent dans le vague si par hasard, en parcourant l’espace vide de causes infinies, ils ne trouveront pas quelque chose de nouveau. Mais celui qui pense qu’on ne peut rien connaître dans l’aimant qui ne soit formé de certaines natures simples et connues par elles-mêmes, sûr de ce qu’il doit faire, rassemble d’abord avec soin toutes les expériences qu’il possède sur cette pierre, et cherche ensuite à en déduire quel doit être le mélange nécessaire de natures simples pour produire les effets qu’il a reconnus dans l’aimant. Cela trouvé, il peut affirmer hardiment qu’il connaît la véritable nature de l’aimant, autant qu’un homme avec les expériences données peut y parvenir.
Sixthly, we say that those things which are called composite are known to us either because we find by experience that they are composed of other elements, or because we ourselves compose them. For instance, we know everything that our senses perceive, everything that we hear others say, and in general everything that comes to our knowledge, whether through direct perception or through the reflective contemplation of our own intellect. It should be noted here that the intellect cannot be deceived by any experience, provided that it confines itself to a precise intuition of the object as it exists in its ideas or representations within the intellect itself. However, this does not mean that imagination faithfully represents to us the objects perceived by the senses: the senses themselves do not reflect the true nature of things; moreover, external objects are not always what they appear to be to us; in all these respects, we are susceptible to error, just as we might mistake a tale for real history. A person suffering from jaundice believes that everything is yellow because his eyes appear that color; a sick and melancholic mind may regard the empty phantasms of its imagination as realities. But these same things will not deceive the wisdom of a sage, for although he acknowledges that what comes to him through imagination has indeed been imprinted upon it from external objects perceived by the senses, he would never assert that such concepts have arrived at him unaltered, directly from those objects to the senses and then to imagination, unless he had some other means to confirm this. Furthermore, it is we ourselves who construct the objects of our knowledge whenever we believe that they contain certain elements which our intellect perceives immediately without any experience. Thus, when a person with jaundice believes that what he sees is yellow, his understanding is based on a combination of what imagination presents to him and on his own subjective interpretations—namely, that the yellow color arises not from a defect in his eyes but from the fact that the things he sees are indeed yellow. In conclusion, we can only deceive ourselves when we ourselves construct the concepts we hold to be true.
In seventh place, we say that such compositions can be made in three ways: by impulse, by conjecture, or by deduction. Those who form their judgments about things through impulse act on the basis of an inherent tendency to believe something without being persuaded by any reason—rather, they are determined either by some superior power, by their own freedom, or by a particular disposition of their imagination. The first method never leads to error; the second, rarely; the third, almost always. However, the first method does not fall within the scope of this treatise, since it does not adhere to the rules of art. Compositions based on conjecture arise when, for example, we observe that water, being farther from the center of the earth, must be of a thinner substance; and that air, located above the earth, is lighter than it. From these observations, we conclude that beyond air there must exist some ethereal substance, pure and far more delicate than air itself. The notions thus derived do not deceive us, so long as we regard them merely as probabilities rather than as truths; yet they do not make us any wiser.
Therefore, it remains the only method of deduction through which we can concoct potions whose correctness we are certain of; yet, numerous errors can still be made in this process. For instance, merely because nothing in the air can be perceived by sight, touch, or any other sense, we conclude that the space containing it must be empty—yet we wrongly associate the nature of emptiness with that of space. This error occurs whenever we attempt to deduce something general and necessary from something particular and contingent. However, it is within our power to avoid such mistakes by ensuring that we make only those connections that we have recognized as necessary. For example, when we conclude that nothing can be conceived that is not extended, we are basing this conclusion on the necessary relationship between form and extension.
From all this, it follows first and foremost that we have clearly presented—what I believe in a sufficiently thorough manner—what we were only able to indicate vaguely and without proper articulation at the beginning. In other words, there are only two paths open to man if he wishes to attain certain knowledge of the truth: intuitive understanding and logical deduction. Furthermore, we have explained what these so-called “simple natures” are, as mentioned in rule eight. It is clear that intuition applies not only to these simple natures but also to their necessary connections with one another, as well as to all other things that the intellect can discover through precise experience—either within itself or through the imagination. As for logical deduction, we will address it more extensively in the following rules.
It follows therefore that one need not go to much effort to understand these simple concepts, for they are already sufficiently clear in themselves. One merely needs to distinguish them from one another and examine them carefully, separately and in succession. Indeed, no one whose mind is not utterly obtuse would fail to realize that there is some difference between being seated and being standing. However, not everyone distinguishes as clearly the nature of this distinction from that of other aspects contained within this concept; nor can they affirm that, in such cases, anything other than the position changes. We make this observation not in vain, for scholars are usually clever enough to find ways to obscure even things that are inherently clear and well-known to everyone—even to peasants. This happens when they attempt to explain things that are already self-evident using something even more obvious. Either they end up explaining something else entirely different, or they fail to explain anything at all. For who does not fully understand the change that takes place when we change location? And how could anyone grasp the concept of this same change if someone were to tell them that “location is the surface of the surrounding environment,” since this surface can change while I remain immobile and in the same place, or it can move along with me so that, even though it remains the same thing surrounding me, I am no longer in the same location? But would not such statements seem like the utterance of some magical words, possessing hidden powers beyond the grasp of the human mind? Who could understand these words, when they ignore what motion actually is? Who would not realize that such an explanation is like trying to untie a knot with a piece of reed? It is therefore clear that we should never attempt to explain things of this kind through definitions, for doing so would risk mistaking the simple for the complex. Instead, we must merely distinguish them from one another and examine them carefully, guided by the light of our own understanding.
Thirdly, it follows that all of human science consists merely in clearly understanding how these simple elements interact with each other to form other things—a very useful observation to make. For whenever a difficult problem is presented for examination, nearly everyone stops at the beginning, unsure as to which thoughts they should engage first, and convinced that they must seek some new, previously unknown entity. Thus, when asked what the nature of a magnet is, people immediately assume it must be something complex and difficult to understand, leading them to focus on the most obscure aspects rather than what is obvious. They hope to discover something new by pondering the infinite possibilities of causes. But those who believe that nothing about a magnet can be understood unless it is reduced to simple, inherently known elements proceed differently: they carefully gather all available experimental data about this substance and then attempt to deduce the necessary combination of these elements to produce the observed effects. Once this is accomplished, they can confidently claim to have understood the true nature of the magnet—just as any person with the right empirical evidence can do so.
In sesto luogo, affermiamo che le nature chiamate “composte” sono conosciute da noi perché, attraverso l’esperienza, constatiamo che esse sono effettivamente composte, oppure perché le compiliamo noi stessi. Conosciamo, ad esempio, tutto ciò che percepiamo con i sensi, tutto ciò che sentiamo dire dagli altri, e in generale tutto ciò che arriva alla nostra mente, sia attraverso la percezione diretta, sia attraverso la riflessione dell’intelletto su di esso stesso. È importante notare che l’intelletto non può essere ingannato da alcuna esperienza, purché si limiti a una percezione precisa dell’oggetto, così come lo possiede nella sua idea o nella sua immagine. Tuttavia, questo non significa che l’immaginazione ci rappresenti fedelmente gli oggetti dei sensi: i sensi stessi, infatti, non riflettono la vera natura delle cose; inoltre, gli oggetti esterni non sono sempre tali come ci appaiono; in tutti questi casi siamo esposti all’errore, proprio come possiamo scambiare una finzione per la realtà. Ad esempio, una persona affetta da itterizia crede che tutto sia giallo perché il suo occhio presenta tale colore; allo stesso modo, uno spirito malato e melanconico può considerare fantasmi vani come realtà. Tuttavia, queste cose non inganneranno l’intelligenza di un saggio, poiché, pur riconoscendo che ciò che arriva alla sua mente attraverso l’immaginazione è effettivamente derivato da esperienze reali, egli non affermerà mai che tali concetti siano giunti inalterati dagli oggetti esterni ai sensi e dai sensi all’immaginazione, a meno di disporre di prove concrete al riguardo. Inoltre, è proprio noi stessi a “comporre” le nozioni che riconosciamo, ogni volta che crediamo che esse contengano informazioni percepite direttamente dall’intelletto senza alcuna esperienza concreta. Così, quando una persona affetta da itterizia crede che ciò che vede sia giallo, la sua conoscenza è in realtà composta da ciò che l’immaginazione le rappresenta e da informazioni derivanti dalla sua stessa percezione; quindi, essa ritiene che il colore giallo derivi non da un difetto del suo occhio, ma dal fatto che le cose che vede siano effettivamente di quel colore. Da tutto ciò si deduce che possiamo ingannarci soltanto quando “componiamo” noi stessi le nozioni che accettiamo come vere.
In settimo luogo, affermiamo che questa forma di ragionamento può avvenire in tre modi: per impulso, per congettura o per deduzione. Coloro che formano i loro giudizi sulle cose per impulso si lasciano guidare da un istinto naturale che li spinge a credere in qualcosa senza che alcuna ragione li convinca, ma semplicemente su base di una forza superiore, della propria libertà o di un’immaginazione particolare. Il primo metodo non inganna mai; il secondo, raramente; il terzo, quasi sempre. Tuttavia, il primo metodo non rientra nell’ambito di questo trattato, poiché non segue le regole dell’arte razionale. La composizione dei giudizi per congettura avviene quando, ad esempio, osservando che l’acqua, essendo più lontana dal centro della Terra, è anche di una sostanza più leggera, e che l’aria, situata al di sopra della Terra, è ancora più leggera dell’acqua, si arriva alla conclusione che al di là dell’aria non esista nulla se non una sostanza eterea, molto pura e ancora più sottile dell’aria stessa. Le idee che si formano in questo modo non ci ingannano, purché le consideriamo soltanto probabilità e mai verità. Tuttavia, queste idee non ci rendono necessariamente più saggi.
Resta quindi l’unica deduzione attraverso la quale possiamo comporre delle formule la cui correttezza siamo certi; eppure è ancora possibile commettere molti errori in questo processo. Ad esempio, poiché nell’aria non vi è nulla che possa essere percepito dalla vista, dal tatto o da qualche altro senso, concludiamo che lo spazio che la contiene sia vuoto; uniamo quindi in modo improprio la natura del vuoto a quella dello spazio. Ciò accade ogni volta che riteniamo di poter dedurre qualcosa di generale e necessario da una cosa particolare e contingente. Tuttavia è in nostro potere evitare questo errore: basta non stabilire collegamenti se non quelli che abbiamo riconosciuto come necessari, come ad esempio quando concludiamo che nulla può essere rappresentato se non ciò che è esteso, sulla base del rapporto necessario che esiste tra la figura e l’estensione.
Da tutto ciò deriva, in primo luogo, che abbiamo esposto chiaramente, e credo in modo sufficientemente dettagliato, ciò che all’inizio eravamo soltanto in grado di mostrare in modo confuso e senza metodo: cioè che per l’uomo esistono soltanto due strade per giungere a una conoscenza certa della verità: l’intuizione evidente e la deduzione necessaria. Abbiamo inoltre spiegato cosa siano queste “nature semplici” di cui parla la regola ottava. È chiaro che l’intuizione si applichi sia a queste nature, sia alla loro connessione necessaria tra di esse, e infine a tutte le altre cose che l’intelletto riesce a comprendere attraverso un’esperienza precisa, sia in se stesso, sia nell’immaginazione. Per quanto riguarda la deduzione, ne tratteremo più ampiamente nelle regole successive.
Di conseguenza, non è necessario sforzarsi troppo per comprendere queste nature semplici, poiché sono già sufficientemente conosciute di per sé. È sufficiente distinguerle l’una dall’altra e considerarle attentamente, una dopo l’altra. Infatti, non esiste nessuno il cui intelletto sia così ottuso da non rendersi conto che esista una qualche differenza tra stare seduti e stare in piedi. Tuttavia, non tutti riescono a distinguere con chiarezza la natura di questa posizione rispetto ad altre cose contenute in quell’idea; possono soltanto affermare che, in questo caso, l’unica cosa che cambia è la posizione stessa. E non facciamo questa osservazione a vanvera: gli scienziati, infatti, sono spesso abbastanza ingegnosi da trovare modi per diffondere oscurità anche nelle cose che sono ovvie di per sé, e nemmeno i contadini ne sono ignari. Ciò accade quando cercano di spiegare, utilizzando qualcosa di ancora più evidente, cose che già sono conosciute in modo diretto. Infatti, o spiegano qualcos’altro, oppure non spiegano nulla affatto; poiché chi non comprende perfettamente il cambiamento che avviene quando cambiamo luogo, come potrebbe concepire l’idea di questo stesso cambiamento se gli si dicesse che “il luogo è la superficie del corpo circostante”, visto che questa superficie può cambiare mentre io rimango fermo e non mi sposto da nessuna parte, oppure può muoversi insieme a me in modo tale che, pur essendo sempre la stessa superficie a circondarmi, io non mi trovi più nello stesso luogo? Ma non è forse come pronunciare parole magiche, dotate di un potere nascosto e al di là della comprensione umana, dire che il movimento – la cosa più conosciuta da tutti – sia l’atto di una qualche forza, in quanto tale forza? Chi può comprendere queste parole, se non colui che conosce già il significato del movimento stesso? Non è forse come cercare di risolvere un problema usando strumenti inadeguati? Pertanto, bisogna riconoscere che non si dovrebbero mai spiegare queste cose attraverso definizioni, per evitare di confondere il semplice con il complesso; basta semplicemente distinguerle l’una dall’altra e esaminarle attentamente, alla luce delle proprie capacità intellettive.
In terzo luogo, segue che tutta la scienza umana consiste soltanto nel comprendere chiaramente in che modo queste semplici “nature” interagiscono tra loro per formare le altre cose: un’osservazione molto utile da fare. Infatti, ogni volta che si presenta una difficoltà da esaminare, quasi tutti si fermano subito all’inizio, incerti su quali riflessioni intraprendere prima, e convinti di dover cercare qualcosa di nuovo e sconosciuto. Ad esempio, quando si chiede quale sia la natura del magnete, immediatamente, ritenendo che la questione sia difficile e complessa, le persone allontanano il proprio pensiero da tutto ciò che è ovvio e lo rivolgono verso ciò che appare più arduo, nella speranza di scoprire qualcosa di nuovo attraverso un’analisi delle infinite possibili cause. Ma colui che ritiene che non si possa conoscere nulla riguardo al magnete se non attraverso l’esame di alcune semplici e note nature, essendo sicuro di ciò che deve fare, inizia innanzitutto raccogliendo con cura tutte le esperienze disponibili su questo materiale, per poi cercare di dedurne quale debba essere il giusto insieme di queste “nature” semplici affinché si producano gli effetti osservati nel magnete. Una volta trovata la risposta, può affermare con certezza di conoscere la vera natura del magnete, proprio come un uomo può arrivarci attraverso le esperienze disponibili.
Il résulte quatrièmement de ce que nous avons dit, qu’il ne faut pas regarder une connaissance comme plus obscure qu’une autre, puisque toutes sont de la même nature, et consistent seulement dans la composition des choses qui sont connues par elles-mêmes : c’est une vérité à laquelle peu font attention. Mais, prévenus de l’opinion contraire, les plus présomptueux se permettent de donner leurs conjectures comme des démonstrations réelles ; et dans des choses qu’ils ignorent complètement ils se flattent de voir comme à travers un nuage des vérités cachées, ils ne craignent pas de les mettre en avant, et enveloppent leurs conceptions de certaines paroles, qui leur servent à discourir longtemps et à parler de suite, mais que dans le fait ni eux ni leurs auditeurs ne comprennent. Les plus modestes s’abstiennent d’examiner beaucoup de choses quelquefois très faciles et très importantes pour la vie, parce qu’ils se croient incapables d’y atteindre ; et comme ils pensent qu’elles peuvent être comprises par d’autres hommes doués de plus de génie, ils embrassent le sentiment : de ceux dans l’autorité desquels ils ont le plus de confiance.
Nous disons, en huitième lieu, que l’on ne peut déduire que les choses des paroles, la cause de l’effet, l’effet de la cause, le même du même, ou bien les parties ou même le tout des parties…
Au reste, pour que personne ne se trompe sur l’enchaînement de nos préceptes, nous divisons tout ce qui peut être connu en propositions, simples et en questions. Pour les propositions simples nous ne donnerons d’autres préceptes que ceux qui préparent l’entendement à voir distinctement et à étudier avec sagacité tous les objets quelconques, parce que ces propositions doivent se présenter spontanément et ne peuvent être cherchées. C’est ce que nous avons fait dans nos douze premières règles, dans lesquelles nous croyons avoir montré tout ce qui, selon nous, peut faciliter de quelque manière l’usage de la raison. Parmi les questions, les unes se comprennent facilement, quoiqu’on en ignore la solution ; celles-là seules forment l’objet de nos douze règles suivantes : les autres ne se comprennent pas facilement ; nous leur consacrons douze autres réglés. Cette division n’a pas été faite sans dessein ; elle a pour but de nous éviter de rien dire qui suppose la connaissance de ce qui suit, et de nous instruire d’abord de ce que nous regardons comme une étude préalable nécessaire à la culture de l’esprit. Il faut remarquer que, parmi les questions qui se comprennent facilement, nous n’admettons que celles où l’on perçoit distinctement ces trois choses, savoir, à quels signes ce qu’on cherche peut-il être reconnu quand il se présentera ? de quoi devons-nous précisément le déduire ? et comment faut-il prouver que ces deux choses dépendent tellement l’une de l’autre, que l’une ne peut changer quand l’autre ne change pas. Ainsi nous aurons toutes nos prémisses, et il ne nous restera plus qu’à faire voir comment il faut trouver la conclusion, non pas en déduisant une chose quelconque d’une chose simple (car, comme nous l’avons dit, cela se fait sans précepte), mais en dégageant avec tant d’art une chose d’un grand nombre d’autres parmi lesquelles elle est enveloppée, qu’il ne faille jamais une plus grande capacité d’esprit que pour la plus simple conclusion. Ces questions, qui sont pour la plupart abstraites et ne se rencontrent que dans l’arithmétique et la géométrie, paraîtront peu utiles à ceux qui ignorent ces sciences ; je les avertis cependant qu’on doit s’appliquer longtemps et s’exercer à apprendre cette méthode, si l’on veut posséder, parfaitement la seconde partie de ce traité, où nous traiterons de toutes les autres questions.
Règle treizième
Quand, nous comprenons parfaitement une question, il faut la dégager de toute conception superflue, la réduire au plus simple, la subdiviser le plus possible au moyen de l’énumération.
Voici le seul point dans lequel nous imitions les dialecticiens, c’est que, comme, pour apprendre les formes des syllogismes, ils supposent que les termes ou la matière en est connue, de même nous exigeons au préalable que la question soit parfaitement comprise. Mais nous ne distinguons pas comme eux deux extrêmes et un moyen : nous considérons la chose tout entière de cette façon. D’abord, dans toute question il est nécessaire qu’il y ait quelque chose d’inconnu, sans quoi il n’y aurait pas de question. Secondement, ce quelque chose doit être désigné d’une manière quelconque, autrement il n’y aurait pas de raison pour chercher telle chose plutôt que telle autre. Troisièmement, il ne peut être désigné que par quelque chose qui soit connu. Tout cela se trouve dans les questions même imparfaites. Ainsi quand on demande quelle est la nature de l’aimant, ce qu’on entend par ces deux mots aimant et nature est connu, c’est ce qui nous détermine à chercher cela plutôt qu’autre chose. Mais, de plus, pour que la question soit parfaite, nous voulons qu’elle soit entièrement déterminée, tellement qu’on ne cherche rien de plus que ce qui peut se déduire des données ; par exemple, si l’on me demande ce qu’il faut inférer sur la nature de l’aimant, précisément des expériences que Gilbert dit avoir faites, qu’elles soient vraies ou fausses ; ou encore, si on me demande ce que je pense sur la nature du son, précisément de ce que les trois cordes a, b, e rendent un son égal ; b, dans l’hypothèse, étant deux fois plus gros que a, d’une longueur égale, et tendu par un poids double ; et e n’étant pas plus gros que a, mais deux fois plus long, et tendu par un poids quatre fois plus lourd, etc. Tous ces exemples montrent comment toutes les questions imparfaites peuvent être ramenées à des questions parfaites, ce que l’on montrera plus longuement en son lieu ; et de plus ils enseignent de quelle manière notre règle peut être observée quand elle commande de dégager de toute conception superflue la difficulté bien comprise, et de la ramener à ce point que nous ne nous occupons plus de tel ou tel objet, mais seulement, en général, de grandeurs à comparer entre elles. Car, par exemple, une fois que nous sommes déterminés à n’examiner que telle ou telle expérience sur l’aimant, nous n’avons plus aucune difficulté à éloigner notre pensée de toute autre chose.
On ajoute qu’il faut ramener la difficulté au plus simple possible, d’après les règles cinq et six, et la diviser d’après la règle sept. Ainsi, quand j’examine l’aimant, d’après plusieurs expériences, je les parcours séparément l’une après l’autre. De même, si je m’occupe du son, je compare séparément entre elles les cordes a et b, puis a et c, etc., pour ensuite embrasser le tout dans une énumération suffisante. Ce sont les trois seules règles que l’intelligence doive observer sur toute proposition, avant d’arriver à la solution dernière, encore bien qu’elle ait besoin des onze règles suivantes, dont la troisième partie de ce traité expliquera l’usage. Du reste nous entendons par questions toutes les choses sur lesquelles l’on trouve le vrai et le faux ; or, il faut énumérer les divers genres de ces questions, pour déterminer ce que nous pouvons faire sur chacune.
Nous avons déjà dit que la fausseté ne peut pas Se trouver dans la seule intuition des choses, soit simples, soit composées : en ce sens, il n’y a pas question sur ces choses ; mais elles sont matière à question sitôt que nous voûtons porter sur elles un jugement déterminé. En effet, nous ne comptons pas seulement au nombre des questions les demandes qui nous sont faites par d’autres, mais c’était même une question que l’ignorance, ou plutôt le doute de Socrate, lorsque, pour la première fois, Socrate réfléchissant chercha s’il était vrai qu’il doutât de tout, et l’affirma ensuite.
Or nous cherchons les choses par les mots, les causes par les effets, les effets par les causes, le tout ou les parties par une partie, ou enfin plusieurs choses ensemble par tout cela.
Fourthly, what we have said leads us to conclude that one knowledge should not be regarded as more obscure than another, since they are all of the same nature and merely consist in the combination of elements that are known through themselves. This is a truth that few people take into consideration. However, those who are overly presumptuous, having been misled by the opposite view, dare to present their conjectures as if they were genuine demonstrations. In matters of which they know nothing at all, they fancy that they can discern hidden truths behind a veil of obscurity; without hesitation, they proclaim these supposed truths, cloaking their own ideas in vague and misleading language that allows them to talk at length without actually conveying any meaning—neither to themselves nor to their listeners. The more modest individuals, on the other hand, refrain from examining many things that are often very simple and crucial for life, believing that they lack the ability to understand them. Since they assume that others more gifted may be capable of grasping these concepts, they simply follow the opinions of those in whom they place the greatest trust.
Eighthly, we say that one can only deduce things from words, the cause from its effect, the effect from its cause, the same thing from itself, or else the parts—or even the whole—from its parts.
Furthermore, in order to prevent anyone from misunderstanding the sequence of our principles, we divide all that can be known into simple propositions and questions. Regarding simple propositions, we will provide only those principles that prepare the mind to clearly perceive and wisely study any given object, for such propositions must arise spontaneously and cannot be sought out deliberately. This is what we have done in our first twelve rules, in which we believe we have demonstrated everything that, in our opinion, can in any way facilitate the use of reason. Among questions, some are easy to understand, even though their solutions are unknown; only these form the subject of our next twelve rules. Other questions are not so easy to comprehend, and for them we dedicate another twelve rules. This division is not made without purpose; its aim is to prevent us from stating anything that assumes knowledge of what follows, and to ensure that we first instruct people on what we consider necessary preliminary study for the cultivation of the mind. It should be noted that among the easily understandable questions, we only accept those in which one can clearly discern three things: first, by what signs the thing sought can be recognized when it appears; second, what exactly we must deduce from it; and third, how to prove that these two things are so inseparably linked that one cannot change without the other. In this way, we will have all our premises, and nothing will remain but to show how to arrive at the conclusion—not by deriving something simple from another simple thing (for, as we have said, this can be done without any specific principle), but by skillfully extracting one thing from a multitude of others in which it is embedded, so that no greater mental capacity is required for this process than for the simplest conclusions. These questions, which are mostly abstract and found only in arithmetic and geometry, may seem of little use to those who are unfamiliar with these sciences; however, I warn them that one must devote much time and practice to mastering this method if they wish to fully understand the second part of this treatise, where we will discuss all other types of questions.
Rule Thirteen
When we fully understand a question, we must strip it of any unnecessary concepts, reduce it to its simplest form, and break it down as much as possible through enumeration.
This is the only aspect in which we imitate the dialecticians: just as they assume that the terms or the underlying substance of a syllogism are already known in order to learn its logical structure, so too do we require that a question be perfectly understood before proceeding. However, unlike them, we do not distinguish between two extremes and a middle term; rather, we consider the whole matter in this way. First, in any question, there must necessarily be something unknown; otherwise, there would be no question at all. Second, this unknown element must be designated in some way; otherwise, there would be no reason to seek one thing rather than another. Third, it can only be designated by something that is already known. All of these points apply even to imperfect questions. For instance, when we ask what the nature of a magnet is, the terms “magnet” and “nature” are already known; they determine why we should search for this particular answer rather than another. Moreover, for a question to be perfect, it must be completely defined in such a way that nothing beyond what can be deduced from the given information is sought. For example, if someone asks me what can be inferred about the nature of a magnet based on the experiments Gilbert claimed to have conducted, whether these experiments are true or false; or if they ask me what I think about the nature of sound, specifically regarding why the combination of three strings—b, c, e—produces a specific tone, given that string b is twice as thick as string a and has the same length, yet is stretched by twice the weight; and string e is not thicker than string a but twice as long and stretched by four times the weight, etc.—all these examples illustrate how imperfect questions can be reduced to perfect ones. This will be discussed more thoroughly in its proper place. Moreover, they demonstrate how our rule can be applied: when we are required to strip away all superfluous concepts and focus solely on the clearly defined problem at hand, reducing it to a matter of comparing various quantities generally, we can follow this approach without difficulty. For instance, once we decide to examine only certain experiments regarding magnets, we no longer encounter any obstacles in concentrating our thoughts solely on those experiments.
It is also stated that one must reduce complexity to its simplest possible form, in accordance with rules five and six, and then divide it further according to rule seven. Thus, when I examine a magnet, for example, I conduct several experiments and analyze each of them separately. Similarly, when studying sound, I compare the strings a and b separately, then a and c, and so on, before integrating all these considerations into a comprehensive analysis. These are the only three rules that the intellect must follow regarding any given proposition, before arriving at a final solution—although it will also require the use of eleven additional rules, the application of which will be explained in the third part of this treatise. Moreover, by “questions” we mean all those matters concerning which truth or falsehood can be determined; therefore, it is necessary to list the various types of such questions in order to ascertain what actions can be taken regarding each one of them.
We have already stated that falsehood cannot reside solely in the intuitive understanding of things, whether simple or composite; in this sense, there is no issue concerning such things themselves. However, they become objects of inquiry whenever we seek to form a definite judgment about them. Indeed, we do not consider merely those questions posed to us by others as instances of inquiry; rather, even ignorance—or, more precisely, the doubt of Socrates—was itself a form of inquiry when, for the first time, Socrates reflected on whether it was true that he doubted everything, and later affirmed that it was so.
Or we seek things through words, causes through effects, effects through causes, the whole or parts through a single part, and ultimately multiple things together through all of this.
Il quarto risultato di quanto abbiamo detto è che non si deve considerare una conoscenza più oscura un’altra, poiché entrambe sono della stessa natura e consistono semplicemente nella composizione delle cose che vengono conosciute direttamente attraverso esse stesse: questa è una verità a cui pochi prestano attenzione. Tuttavia, coloro che sono avvertiti dell’opinione contraria si permettono di presentare le loro congetture come se fossero dimostrazioni reali; e riguardo a cose di cui ignorano completamente tutto, si illudono di poter vedere, attraverso un “nuvolo”, verità nascoste, e non esitano a presentarle pubblicamente, avvolgendo le loro concezioni in frasi che servono loro per parlare a lungo senza però che né loro né i loro ascoltatori comprendano davvero il significato di ciò che dicono. I più umili, invece, si astengono dal esaminare molte cose che talvolta sono molto semplici e di grande importanza per la vita, perché ritengono di non essere in grado di comprenderle; e poiché pensano che altre persone, dotate di maggior ingegno, possano farlo, si affidano all’autorità di coloro in cui hanno più fiducia.
In ottavo luogo, affermiamo che si possono dedurre dalle parole soltanto le cose stesse, la causa dall’effetto, l’effetto dalla causa, il simile dal simile, oppure le parti o addirittura il tutto dalle parti.
Del resto, affinché nessuno si sbagli riguardo alla sequenza dei nostri insegnamenti, dividiamo tutto ciò che può essere conosciuto in proposizioni semplici e in domande. Per le proposizioni semplici non forniremo altri insegnamenti se non quelli che preparano l’intelletto a percepire distintamente e ad studiare con saggezza tutti gli oggetti, poiché queste proposizioni devono presentarsi spontaneamente e non possono essere cercate. È ciò che abbiamo fatto nelle nostre dodici prime regole, nelle quali riteniamo di aver mostrato tutto ciò che, a nostro parere, può facilitare in qualche modo l’uso della ragione. Tra le domande, alcune si comprendono facilmente, anche se la loro soluzione è sconosciuta; solo queste costituiscono l’oggetto delle nostre dodici regole successive. Le altre, invece, non sono così facili da comprendere; per esse abbiamo dedicato altre dodici regole. Questa divisione non è stata fatta a caso; ha lo scopo di evitare che diciamo qualcosa che presupponga la conoscenza di ciò che segue, e di insegnarci prima ciò che consideriamo un studio preliminare necessario per coltivare l’intelletto. È da notare che, tra le domande che si comprendono facilmente, ne ammettiamo soltanto quelle in cui si percepiscono distintamente queste tre cose: a quali segni ciò che si cerca può essere riconosciuto quando si presenterà; da cosa dobbiamo dedurlo esattamente; e come si deve dimostrare che queste due cose dipendono così strettamente l’una dall’altra, che l’una non può cambiare se l’altra non cambia. In questo modo avremo tutte le nostre premesse, e non ci resterà altro da fare se non mostrare come si debba trovare la conclusione, non deducendola da una cosa semplice (poiché, come abbiamo detto, ciò avviene senza alcun insegnamento), ma distinguendo con grande abilità una cosa da un gran numero di altre tra cui è avvolta, in modo che non sia mai necessaria una capacità intellettuale maggiore di quella richiesta per giungere alla conclusione più semplice. Queste domande, che sono per lo più astratte e si trovano soltanto nell’aritmetica e nella geometria, potrebbero sembrare poco utili a coloro che ignorano queste scienze; tuttavia avverto che è necessario dedicare molto tempo allo studio e all’esercizio per imparare questo metodo, se si desidera padroneggiare perfettamente la seconda parte di questo trattato, nella quale tratteremo tutte le altre domande.
Regola tredicesima
Quando comprendiamo perfettamente una questione, è necessario liberarla da qualsiasi concezione superflua, ridurla al più semplice e suddividerla il più possibile attraverso l’elenco.
Ecco l’unica cosa in cui imitavamo i dialettici: poiché questi, per imparare le strutture dei sillogismi, presuppongono che i termini o la materia su cui si basano siano già conosciuti, allo stesso modo noi richiediamo che la questione venga prima compresa in ogni dettaglio. Tuttavia, a differenza loro, non distinguiamo due estremi e un mezzo: consideriamo l’intera questione nel suo insieme. Primo, in qualsiasi domanda deve esserci qualcosa di sconosciuto; altrimenti non ci sarebbe nemmeno una domanda da porre. Secondo, questo elemento sconosciuto deve essere indicato in qualche modo; altrimenti non ci sarebbe motivo per cercare proprio quella cosa piuttosto che un’altra. Terzo, tale elemento può essere indicato soltanto attraverso qualcosa di conosciuto. Tutto ciò si applica anche alle domande più imperfette. Ad esempio, quando ci si chiede quale sia la natura del magnete, ciò che intendiamo con i termini “magnete” e “natura” è già noto; ed è proprio questo che ci spinge a cercare proprio quella risposta piuttosto che un’altra. Tuttavia, affinché la domanda sia perfetta, dobbiamo assicurarci che sia completamente definita, in modo che non cerchiamo nulla di più di ciò che può essere dedotto dai dati forniti. Ad esempio, se ci si chiede cosa si possa inferire sulla natura del magnete a partire dalle esperienze descritte da Gilbert, indipendentemente dal fatto che queste siano vere o false; oppure se ci si chiede quale sia la mia opinione sulla natura del suono, basandomi esattamente su ciò che le tre corde a, b, e producono quando suonano allo stesso modo; dove b è il doppio di lunghezza di a e sottoposta a un peso doppio, mentre e non è più grande di a ma ha una lunghezza doppia e viene sottoposta a un peso quattro volte maggiore, ecc. Tutti questi esempi dimostrano come tutte le domande imperfette possano essere trasformate in domande perfette; e inoltre insegnano come applicare la nostra regola: eliminando ogni concezione superflua e riducendo la questione al suo nucleo essenziale, in modo da non concentrarci più su singoli oggetti, ma soltanto sulle grandezze da confrontare tra loro. Ad esempio, una volta deciso di esaminare soltanto un’esperienza specifica sul magnete, non abbiamo più alcuna difficoltà a distogliere il nostro pensiero da qualsiasi altra cosa.
Si aggiunge inoltre che è necessario ridurre la difficoltà al livello più semplice possibile, secondo le regole cinque e sei, e poi suddividerla ulteriormente seguendo la regola sette. Pertanto, quando esamino un magnete, dopo diverse esperienze, le analizzo una per una separatamente. Allo stesso modo, se mi occupo del suono, confronto separatamente le corde a e b, poi a e c, ecc., per poi considerare l’insieme attraverso un elenco completo. Queste sono le sole tre regole che l’intelligenza deve seguire su qualsiasi proposizione, prima di giungere alla soluzione finale; anche se in seguito saranno necessarie altre undici regole, la terza parte di questo trattato ne spiegherà l’uso. Inoltre, per “domande” intendiamo tutte quelle questioni su cui si può stabilire ciò che è vero e ciò che è falso; quindi è necessario elencare i diversi tipi di queste domande, al fine di determinare cosa possiamo fare riguardo a ciascuna di esse.
Abbiamo già detto che la falsità non può risiedere unicamente nell’intuizione delle cose, sia semplici che composte: in questo senso, non vi sono dubbi riguardo a tali cose; tuttavia, esse diventano oggetto di discussione non appena vogliamo formulare su di esse un giudizio definito. Infatti, tra le questioni non si contano soltanto quelle che ci vengono poste dagli altri; anzi, fu proprio una domanda quella posta dall’ignoranza, o meglio dal dubbio di Socrate, quando, per la prima volta, Socrate rifletté su se fosse vero che dubitasse di tutto, per poi affermarlo.
Ossia cerchiamo le cose attraverso i loro nomi, le cause attraverso gli effetti, gli effetti attraverso le cause, il tutto o le parti attraverso una parte, e infine più cose insieme attraverso tutto ciò.
Nous disons que nous cherchons les choses par les mots toutes les fois que la difficulté consiste dans l’obscurité du langage. Ici ne se rapportent pas seulement toutes les énigmes, comme celle du Sphinx, sur l’animal qui au commencement est quadrupède, puis bipède, et enfin marche sur trois pieds ; ou celle des pêcheurs qui, debout sur le rivage avec leur ligne et leurs hameçons, disaient qu’ils n’avaient plus les poissons qu’ils avaient pris, mais qu’en revanche ils avaient ceux qu’ils n’avaient pu prendre. Mais, outre cela, la plus grande partie des questions sur lesquelles les savants disputent ne sont presque toujours que des questions de mots. Même il ne faut pas mal penser des grands esprits au point de croire qu’ils ont imparfaitement conçu les choses toutes les fois qu’ils ne les expliquent pas en termes assez clairs. Ainsi, quand ils appellent lieu la superficie d’un corps ambiant, ils n’ont pas là une idée fausse, mais seulement ils abusent du mot lieu, qui, dans l’usage commun, signifie cette nature simple et connue par elle-même, à raison de laquelle on dit que quelque chose est ici ou là, et qui consiste tout entière dans une certaine relation de la chose qu’on dit être en un lieu, avec les parties de l’espace étendu, et que quelques-uns, voyant le nom de lieu appliqué à une surface ambiante, ont dit improprement être la localité en soi ; et ainsi du reste. Ces questions de noms se rencontrent si fréquemment, que, si les philosophes étaient toujours d’accord sur la signification des mots, presque toutes leurs controverses cesseraient.
On cherche la cause par l’effet toutes les fois qu’on demande d’une chose si elle, est, ou ce qu’elle est…
Mais parce que, quand on nous propose une question à résoudre, nous ne remarquons pas tout d’un coup de quelle espèce elle est, ni s’il s’agit de chercher ou la chose par les mots, ou la cause par l’effet, il me semble, superflu d’entrer ici dans plus de détails ; il sera plus court et plus facile d’examiner par ordre ce qu’il faut faire pour arriver en général à la solution de toute difficulté ; et, en conséquence, une question étant donnée, le premier point est de s’efforcer de comprendre distinctement ce qu’on cherche.
En effet la plupart des hommes se hâtent tellement dans leurs recherches qu’ils apportent à la solution de la question tout le vague d’un esprit qui n’a pas remarqué à quels signes reconnaître la chose cherchée, si elle vient à se présenter ; aussi insensés qu’un valet envoyé quelque part par son maître, et si empressé d’obéir, qu’il se mettrait à courir sans avoir encore reçu ses ordres, et sans savoir où il doit aller.
Mais dans toute question, quoiqu’il doive y avoir quelque chose d’inconnu (car autrement il n’y aurait pas de question), il faut cependant que la chose cherchée soit tellement désignée par de certaines conditions, que nous soyons conduits à chercher une chose plutôt qu’une autre. Ce sont ces conditions que nous disons qu’il faut d’abord étudier ; pour ce faire, il faut diriger notre esprit sur chacune d’elles en particulier, examinant avec soin jusqu’à quel point chacune détermine cet inconnu que nous cherchons. Car l’esprit de l’homme tombe ici dans une double erreur : ou il prend pour déterminer la question plus qu’il ne lui est donné, ou au contraire il omet quelque chose.
Il faut nous garder de supposer plus et quelque chose de plus positif que ce que nous avons, surtout dans les énigmes et dans toutes les questions captieuses inventées pour embarrasser l’esprit ; et même dans les autres questions, lorsque pour les résoudre on paraît admettre comme certaines des suppositions qui ne nous sont pas données par une raison positive, mais par une opinion d’habitude. Par exemple, dans l’énigme du Sphinx, il ne faut pas croire que le mot pied signifie seulement les pieds véritables des animaux, il faut voir encore s’il ne s’appliquerait pas métaphoriquement à quelque autre chose, comme ici aux mains de l’enfant, au bâton du vieillard, parce que l’un et l’autre s’en sert comme de pieds pour marcher. De même, dans l’énigme des pêcheurs, il faut prendre garde que l’idée de poissons s’empare tellement de notre esprit, qu’elle le détourne de la pensée de ces animaux que souvent les pauvres portent sur eux sans le vouloir, et qu’ils rejettent quand ils les ont pris. De même encore si on demande comment a été construit le vase que nous avons pu voir quelquefois, au milieu duquel s’élevait une colonne surmontée de la figure de Tantale dans l’attitude d’un homme qui veut boire ; l’eau qu’on y versait y restait contenue tant qu’elle n’atteignait pas la bouche de Tantale, mais à peine touchait-elle les lèvres du malheureux qu’elle s’échappait tout-à-coup entièrement ; au premier coup, d’œil tout l’artifice paraît devoir être dans la construction de la figure du Tantale, qui cependant ne détermine nullement la question, mais seulement l’accompagne. Toute la difficulté consiste à trouver comment un vase peut être construit de manière à ce que toute l’eau s’en échappe dès qu’elle est parvenue à une certaine hauteur, et pas avant. Enfin, si de toutes les observations que nous possédons sur les astres, nous cherchons ce que nous pouvons affirmer de certain sur leurs, mouvements, il ne faudra pas admettre gratuitement que la terre est immobile au centre, comme ont fait les anciens, parce que dès notre enfance il nous a parti en être ainsi ; mais il faudra révoquer en doute cette assertion même, pour examiner ensuite ce que nous pourrons juger de certain sur ce sujet.
Nous péchons par omission toutes les fois que nous ne réfléchissons pas à quelque condition requise pour la détermination de la question, soit qu’elle s’y trouve exprimée, soit qu’on puisse la reconnaître d’une manière quelconque. Ainsi font ceux qui cherchent le mouvement perpétuel, non celui de la nature, des astres ou des sources, par exemple, mais un mouvement créé par l’art humain, découverte que plusieurs ont crue possible. Calculant que la terre est perpétuellement mue d’un mouvement circulaire autour de son axe, et que l’aimant retient les propriétés de la terre, ils espéraient découvrir le mouvement perpétuel en disposant cette pierre de manière qu’elle se mût en cercle, ou au moins communiquât au fer son mouvement avec ses autres vertus. Or, quand ils y réussiraient, ils n’auraient pas encore trouvé le mouvement perpétuel. Ils n’auraient fait que se servir de celui que leur donne la nature, tout de même que s’ils disposaient une roue au courant d’un fleuve pour qu’elle tournât toujours. C’est là omettre une condition requise pour la détermination de la question.
La question étant suffisamment comprise, il faut voir précisément en quoi consiste sa difficulté, afin qu’abstraite de tout le reste, elle soit plus facilement résolue.
Il ne suffit pas toujours de comprendre la question pour connaître en quoi consiste sa difficulté ; il faut réfléchir en outre à chacune des choses qu’elle contient, afin que si on rencontre quelque chose de facile à trouver on le laisse de côté, et qu’il ne reste de la question ainsi dégagée que ce que nous ignorons. Ainsi, dans la question du vase décrit plus haut, il est facile de voir comment le vase doit être fait, la colonne placée au milieu, l’oiseau peint ; tout cela mis de côté comme n’important pas à la question, la difficulté reste nue, laquelle consiste à chercher pourquoi l’eau contenue auparavant dans un vase, s’en échappe tout, entière quand elle est parvenue à une certaine hauteur.
Nous nous contentons donc ici de dire qu’il est important de parcourir par ordre tout ce qui est contenu dans la question donnée, en rejetant ce qu’on voit n’y pas servir, en gardant ce qui est nécessaire, et en remettant ce qui est douteux à un examen plus attentif.
Règle quatorzième
La même régie doit s’appliquer à l’étendue réelle des corps, et il faut la représenter tout entière à l’imagination, au moyen de figures nues ; de cette manière l’entendement la comprendra bien plus distinctement.
We say that we seek things through words whenever the difficulty lies in the obscurity of language itself. Here, it is not merely referring to all kinds of enigmas—such as that of the Sphinx, which asked about the animal that was first quadrupedal, then bipedal, and finally walked on three legs; or the story of fishermen who claimed to have lost the fish they had caught, only to discover they now possessed those they had failed to catch. But beyond these examples, the vast majority of issues upon which scholars debate are almost always merely matters of semantics. One should not, however, unfairly judge great minds for failing to express themselves clearly when explaining certain things. For instance, when they refer to the “surface” of a surrounding body, they do not hold a mistaken notion; rather, they simply misuse the word “surface,” which in common usage denotes that simple, self-evident nature that allows us to say something is here or there. This concept essentially revolves around the relationship between a particular object and the various parts of space. Some people, misunderstanding the application of the term “surface” to an external boundary, have wrongly assumed it refers to the location itself—and so on. Such semantic disputes are all too common; were philosophers always in agreement about the meaning of words, nearly all their debates would cease.
We always seek the cause through the effect whenever we inquire whether something exists or what it is.
But because, when we are presented with a problem to solve, we do not immediately realize what kind of problem it is, nor whether we need to seek the thing through its description in words or the cause through its effects, I think it would be unnecessary to go into further details here. It will be shorter and easier to examine, step by step, what needs to be done in order to generally arrive at a solution to any difficulty. Therefore, given a problem, the first step is to try to clearly understand what it is that we are trying to find.
Indeed, most men rush so hastily in their searches that they bring to the solution of a problem all the ambiguity of a mind that has not yet determined by what signs to recognize the thing being sought, should it ever present itself; as foolish as a servant sent by his master somewhere, and so eager to obey that he would set off running without having received any orders, and without knowing where he is supposed to go.
But in any given question, although there must necessarily be something unknown (for otherwise there would be no question at all), it is still necessary that the thing sought be so clearly defined by certain conditions that we are led to seek one thing rather than another. It is these conditions that we say must be studied first; to do this, we must direct our attention to each of them in particular, carefully examining to what extent each one determines that unknown element we are seeking. For the human mind can easily make two mistakes in this regard: either it attempts to determine too much about the question than is actually given, or on the other hand, it omits something essential.
We must be careful not to assume anything more, or something more positive, than what we actually possess, especially in the face of enigmas and all those tantalizing questions designed to perplex our minds; and even in other cases, when solving them, we should not readily accept assumptions that are not based on logical reasoning but rather on habitual opinion. For example, in the riddle of the Sphinx, we must not assume that the word “feet” refers only to the actual feet of animals; we must also consider whether it could be used metaphorically to refer to something else—such as a child’s hands or an old man’s walking stick, since both are used for the purpose of moving. Similarly, in the riddle about the fishermen, we must be wary of how the idea of fish dominates our thinking to the extent that it obscures our understanding of these animals; often, poor people carry them on their bodies without realizing it, and they discard them once they have caught them. Moreover, when considering how a certain vase was constructed—such as the one we sometimes saw, with a column in its center depicting Tantalus in the act of trying to drink water—we must realize that the trick lay not in the design of Tantalus but rather in the mechanism by which the water remained contained inside until it reached his lips, only to escape instantly thereafter. In every case, the real challenge lies in figuring out how such structures can be designed to function in this way. Finally, when examining the movements of celestial bodies based on our observations, we must not blindly accept the ancient belief that the Earth is immobile at its center just because it has always seemed that way to us since childhood; instead, we must question this assumption and seek to establish what we can truly affirm with certainty about these matters.
We commit errors through omission whenever we fail to consider some necessary condition for resolving a particular issue—whether that condition is explicitly stated or can be identified in some way. Such was the case with those who sought to create perpetual motion, not the kind inherent in nature, the stars, or sources of energy, but a motion produced by human art, a concept believed by many to be feasible. Assuming that the earth moves perpetually in a circular orbit around its axis and that magnets possess certain properties akin to those of the earth, they hoped to create perpetual motion by arranging magnets in such a way that they would cause iron to move in circles or at least transmit their motion and other properties to it. Yet even if they succeeded in doing so, they would still not have truly discovered perpetual motion—they would merely be utilizing the natural motion already present within them, just as if they had placed a wheel in the current of a river to make it rotate continuously. In such cases, one fails to take into account a necessary condition for solving the problem at hand.
Now that the issue has been sufficiently understood, it is necessary to identify precisely what constitutes its difficulty, so that, by setting aside everything else, it can be more easily resolved.
It is not always sufficient to understand a problem in order to grasp its difficulties; one must also consider each element that it contains. In this way, if something turns out to be easy to identify, we can set it aside, leaving only what we do not know about the problem. For instance, in the case of the vase described earlier, it is easy to understand how it should be constructed—with a column in the middle and a painted bird—but by discarding these details as irrelevant, we are left with the core difficulty: understanding why the water previously contained within the vase escapes entirely when it reaches a certain height.
Therefore, we simply state here that it is important to go through in order everything contained within the given question, to reject what seems irrelevant, to retain what is necessary, and to subject anything doubtful to more careful examination.
Rule Fourteen
The same principle must apply to the actual extent of bodies, and it is necessary to represent it in its entirety through bare figures in one’s imagination; in this way, the intellect will grasp it much more clearly.
Diciamo che cerchiamo le cose attraverso i termini linguistici ogni volta che la difficoltà risiede nell’oscurità del linguaggio stesso. Qui non si riferiscono soltanto enigmi come quello della Sfinge, che riguarda l’animale che all’inizio è quadrupede, poi bipede e infine cammina su tre piedi; o quelli dei pescatori che, in piedi sulla riva con la loro lenza e gli ami, affermavano di non avere più i pesci che avevano catturato, ma invece ne avevano altri che non erano riusciti a prendere. Tuttavia, la maggior parte delle questioni su cui gli scienziati discutono sono quasi sempre soltanto questioni di linguaggio. Non si dovrebbe nemmeno pensare male dei grandi intellettuali, al punto di credere che abbiano concepito le cose in modo imperfetto ogni volta che non le spiegano in termini abbastanza chiari. Ad esempio, quando chiamano “luogo” la superficie di un corpo circostante, non hanno un’idea errata; semplicemente abusano del termine “luogo”, che nel linguaggio comune indica quella natura semplice e immediatamente percepibile, grazie alla quale si dice che qualcosa si trova qui o là. Il termine “luogo” consiste interamente in una certa relazione tra la cosa considerata come situata in un luogo e le parti dello spazio circostante; alcuni, vedendo questo termine applicato a una superficie, hanno erroneamente pensato che esso indicasse la località stessa in sé. E così via. Queste questioni legate ai significati dei termini si incontrano così frequentemente che, se i filosofi fossero sempre d’accordo sulla loro interpretazione, quasi tutte le loro controversie cesserebbero.
Si cerca sempre la causa attraverso l’effetto, ogni volta che ci si chiede se una cosa esista o quale sia la sua natura.
Ma poiché, quando ci viene proposta una domanda da risolvere, non notiamo immediatamente di che tipo sia, né se si debba cercare la cosa attraverso i suoi termini o la causa attraverso il suo effetto, mi sembra inutile entrare in ulteriori dettagli; sarà più breve e più semplice esaminare, in ordine, ciò che è necessario fare per giungere, in generale, alla soluzione di qualsiasi difficoltà. Pertanto, data una domanda, il primo passo da compiere è cercare di comprendere chiaramente ciò che si sta cercando.
Infatti, la maggior parte degli uomini si affretta così tanto nelle proprie ricerche che porta nella soluzione di un problema tutta l’incertezza di una mente che non ha ancora capito quali siano i segni attraverso cui riconoscere la cosa cercata, nel caso in cui questa dovesse presentarsi; sono altrettanto sciocchi quanto un servitore inviato dal proprio padrone e così ansioso di obbedire da mettersi a correre senza aver ricevuto alcun ordine, e senza sapere dove debba andare.
Ma in ogni questione, sebbene debba esserci qualcosa di sconosciuto (altrimenti non ci sarebbe nemmeno una questione), è necessario che l’oggetto cercato sia così definito da alcune condizioni specifiche, da farci tendere a cercare proprio quella cosa piuttosto che un’altra. Sono queste condizioni che dobbiamo studiare innanzitutto; per farlo, dobbiamo concentrare il nostro pensiero su ciascuna di esse in particolare, esaminando con attenzione fino a quale punto ognuna contribuisca a determinare quell’elemento sconosciuto che stiamo cercando. Infatti, lo spirito umano può commettere due tipi di errori in questo contesto: o prende in considerazione più elementi di quanti ne siano effettivamente necessari per risolvere la questione, oppure, al contrario, omette qualcosa di essenziale.
Dobbiamo fare attenzione a non supporre di più, e qualcosa di più positivo, di ciò che abbiamo effettivamente; soprattutto nelle enigme e in tutte le domande ingannevoli inventate per confondere la mente. E anche nelle altre questioni, quando per risolverle sembriamo dover accettare come certe delle supposizioni che non ci vengono fornite da ragioni concrete, ma soltanto da abitudini o opinioni comuni. Ad esempio, nell’enigma della Sfinge, non dobbiamo credere che la parola “piede” si riferisca soltanto ai piedi veri degli animali; dobbiamo considerare anche se possa essere usata in senso metaforico per indicare qualcos’altro, come ad esempio le mani di un bambino o il bastone di un anziano, poiché entrambi ne fanno uso come “piedi” per camminare. Allo stesso modo, nell’enigma dei pescatori, dobbiamo stare attenti affinché l’idea dei pesci non distolga la nostra attenzione da quegli animali che spesso i poveri portano con sé senza volerlo, e che poi gettano via non appena li hanno catturati. Inoltre, se ci chiediamo come sia stato costruito quel vaso che talvolta abbiamo visto: al suo interno si ergeva una colonna sormontata dalla figura di Tantalo, nell’atto di cercare di bere; l’acqua versata al suo interno rimaneva contenuta finché non raggiungeva la bocca di Tantalo, ma appena toccava le sue labbra, si riversava immediatamente fuori. A prima vista, l’intero “ingegnoso” sistema sembrerebbe basarsi sulla costruzione della figura di Tantalo; tuttavia questa figura non risolve affatto il problema, ma soltanto lo accompagna. L’unica vera difficoltà consiste nel capire come sia possibile costruire un vaso in modo che l’acqua vi rimanga contenuta fino a un certo livello, e poi si riversi fuori all’istante. Infine, se consideriamo tutte le osservazioni che possediamo sugli astri, per scoprire ciò che possiamo affermare con certezza sui loro movimenti, non dobbiamo accettare ciecamente l’idea che la Terra sia immobile al centro dell’universo, come facevano gli antichi. Dobbiamo invece mettere in dubbio questa ipotesi e poi esaminare ciò che possiamo verificare con certezza su questo argomento.
Pecciamo per omissione ogni volta che non riflettiamo su una condizione necessaria per risolvere un problema, sia che essa venga esplicitamente menzionata, sia che possa essere riconosciuta in qualche modo. È ciò che fanno coloro che cercano il movimento perpetuo, non quello della natura, degli astri o delle sorgenti, ma un movimento creato dall’arte umana, una scoperta che molti hanno ritenuto possibile. Calcolando che la Terra si muova costantemente in cerchio attorno al proprio asse e che il magnete possieda le stesse proprietà della Terra, speravano di trovare il movimento perpetuo disponendo questo materiale in modo che ruotasse in cerchio, o almeno trasmettesse al ferro il proprio movimento insieme alle altre sue proprietà. Tuttavia, anche se ci riuscissero, non avrebbero comunque trovato il vero movimento perpetuo: avrebbero semplicemente utilizzato quello che la natura stessa offre loro, esattamente come se disponessero di una ruota immersa nel corso di un fiume affinché continuasse a girare all’infinito. Questo rappresenta proprio l’omissione di una condizione essenziale per risolvere il problema.
Dato che la questione è stata sufficientemente compresa, è necessario individuare con precisione in cosa consista la sua difficoltà, affinché, prescindendo da tutto il resto, possa essere risolta più facilmente.
Non è sempre sufficiente comprendere una questione per conoscere in cosa consista la sua difficoltà; è necessario riflettere anche su ciascuno degli elementi che essa contiene, affinché ciò che risulta facile da individuare venga messo da parte e rimanga soltanto ciò che ignoriamo. Così, nella questione del vaso descritto in precedenza, è facile capire come debba essere costruito il vaso, dove debba essere posizionata la colonna, dove debba essere dipinto l’uccello; tuttavia, mettendo da parte questi aspetti ritenuti non rilevanti per la questione principale, la difficoltà rimane evidente: si tratta di capire perché l’acqua contenuta in un vaso si disperde completamente quando raggiunge una certa altezza.
Quindi, ci limitiamo a dire che è importante esaminare in ordine tutto ciò che è contenuto nella domanda data, scartando ciò che non sembra utile, conservando ciò che è necessario e rimandando ciò che è dubbio a un’analisi più attenta.
Regola quattordicesima
Lo stesso principio deve essere applicato all’estensione reale dei corpi, e tale estensione deve essere rappresentata nella nostra immaginazione attraverso figure nude; in questo modo, l’intelletto sarà in grado di comprenderla molto più chiaramente.
Pour nous servir aussi du secours de l’imagination, il faut remarquer que toutes les fois que nous déduisons une chose inconnue d’une chose qui nous était connue auparavant, nous ne trouvons pas pour cela un être nouveau, mais seulement la connaissance que nous possédions s’étend au point de nous faire comprendre que la chose cherchée participe d’une façon ou d’une autre à la nature des choses que contiennent les données. Ainsi il ne faut pas espérer pouvoir jamais donner à un aveugle de naissance des idées vraies sur les couleurs, telles que nous les avons reçues des sens. Mais soit un homme qui ait vu quelquefois les couleurs fondamentales, et jamais les couleurs intermédiaires et mixtes ; il se peut faire que par une sorte de déduction il se représente celles qu’il n’a pas vues, par leur ressemblance avec les autres. De même si l’aimant contient une espèce d’être auquel notre intelligence n’ait jusqu’à ce jour perçu rien de semblable, il ne faut pas espérer que le raisonnement nous la fera connaître ; il nous faudrait ou de nouveaux sens ou une âme divine. Mais tout ce que l’esprit humain peut faire en ce cas, nous croirons l’avoir atteint quand nous aurons perçu distinctement le mélange d’êtres ou de matières déjà connues, qui produisent les mêmes effets que l’aimant développe.
Or, tous les êtres déjà connus, tels que l’étendue, la figure, le mouvement, et tant d’autres, que ce n’est pas ici le lieu d’énumérer, sont, dans les divers sujets, connus par une seule et même idée ; et qu’une couronne soit d’or ou d’argent, cela ne change rien à l’idée que nous avons de sa figure. Cette idée générale passe d’un sujet à un autre par une simple comparaison, par laquelle nous affirmons que l’objet cherché est sous tel ou tel rapport semblable, identique, ou égal à une chose donnée ; tellement que, dans tout raisonnement, nous ne connaissons précisément la vérité que par comparaison. Ainsi, dans ce raisonnement, tout A est B, tout B est C, donc tout A est C, on compare ensemble la chose cherchée et la chose donnée A et C, sous ce rapport, savoir que A et C sont B. Mais comme, ainsi que nous l’avons souvent répété, les formes et syllogismes ne servent de rien pour découvrir la vérité des choses, le lecteur profitera, si, les rejetant complètement, il se persuade que toute connaissance qui ne sort pas de l’intuition pure et simple d’un objet individuel dérive de la comparaison de deux ou de plusieurs entre eux ; et même presque toute l’industrie de la raison humaine consiste à préparer cette opération : quand en effet la comparaison est simple et claire, il n’est besoin d’aucun secours de l’art, mais de la seule lumière de la nature, pour percevoir la vérité qu’elle nous découvre. Or, il faut noter que les comparaisons sont dites simples et claires, seulement quand la chose cherchée et la chose donnée participent également d’une certaine nature ; que les autres comparaisons n’ont besoin de préparation que parce que cette nature commune ne se trouve pas également dans l’une et dans l’autre, mais selon des rapports ou des proportions dans lesquelles elle est enveloppée ; et qu’enfin la plus grande partie de l’industrie humaine ne consiste qu’à réduire ces proportions à un point tel que l’égalité entre ce qui est cherché et quelque chose qui soit connu apparaisse clairement.
Il faut noter ensuite que rien ne peut être ramené à cette égalité que ce qui comporte le plus ou le moins, et que tout cela est compris sous le nom de grandeur ; de telle sorte que quand, d’après la règle précédente, les termes de la difficulté sont abstraits de tout sujet, nous comprenons que toute la question ne roule plus que sur des grandeurs en général.
Mais pour imaginer ici encore quelque chose, et nous servir non de l’intelligence pure, mais de l’intelligence aidée des figures peintes dans l’imagination, remarquons qu’on ne dit rien des grandeurs en général qui ne puisse se rapporter à chacune d’elles en particulier.
De là il est facile de conclure qu’il ne nous sera pas peu utile de transporter ce que nous connaîtrons des grandeurs en général à cette espèce de grandeur particulière qui se représentera le plus facilement et le plus distinctement dans notre imagination.
Or que cette grandeur soit l’étendue réelle d’un corps, abstraite de tout ce qui n’est pas la figure, c’est ce qui résulte de ce que nous avons dit dans la règle douzième, où nous avons montré que l’imagination elle-même avec les idées qui existent en elle, n’est autre chose que le véritable corps réel, étendu et figuré ; ce qui est évident par soi-même puisque toutes les différences de position ne paraissent plus distinctement en aucun autre sujet. En effet, quoiqu’on puisse dire d’une chose qu’elle est plus ou moins blanche qu’une autre, d’un son qu’il est plus ou moins aigu, et ainsi du reste, nous ne pouvons cependant exactement définir si cet excès, est en proportion double ou triple, sinon par une analogie quelconque à l’étendue du corps figuré. Qu’il reste donc certain et arrêté que les questions parfaitement déterminées contiennent à peine d’autre difficulté que celle qui consiste à trouver la mesure proportionnelle de l’inégalité ; que toutes les choses où se trouve précisément une telle difficulté peuvent facilement et doivent être séparées de tout autre sujet, et se transporter à l’étendue et aux figures, dont à cause de cela nous traiterons exclusivement jusqu’à la règle vingt-cinquième, en laissant de côté toute autre pensée.
Je désirerais ici un lecteur qui n’eût de goût que pour les études mathématiques et géométriques, quoique j’aimasse mieux qu’il n’y fût pas versé du tout qu’instruit d’après la méthode vulgaire. En effet, l’usage des règles que je donnerai ici, et qui suffit pour les apprendre, est bien plus facile que dans toute autre espèce de question, et leur utilité est si grande pour acquérir une science plus haute, que je ne crains pas de dire que cette partie de notre méthode n’a pas été inventée pour résoudre des problèmes mathématiques, mais plutôt que les mathématiques ne doivent être apprises que pour s’exercer à la pratique de cette méthode. Je ne supposerai de ces études que ce qui est connu par soi-même et se présente à chacun. Mais la connaissance que les autres en ont, encore bien qu’elle ne soit gâtée par aucune erreur évidente, est cependant obscurcie par des principes équivoques et mal conçus, que nous tâcherons par la suite de corriger à mesure que nous les rencontrerons.
Nous entendons par étendue tout ce qui a de la longueur, de la largeur et de la profondeur, sans rechercher si c’est un corps véritable ou seulement un espace ; et cela n’a pas besoin de plus d’explication, puisqu’il n’est rien que notre imagination perçoive plus facilement. Mais comme les savants usent souvent de distinctions tellement subtiles qu’ils troublent les lumières naturelles, et trouvent des ténèbres même dans les choses que les paysans n’ont jamais ignorées, il faut les avertir que par étendue nous ne désignons pas quelque chose de distinct ni de séparé d’un sujet, et qu’en général nous ne reconnaissons aucun des êtres philosophiques de cette sorte, qui ne tombent pas réellement sous l’imagination. Car, encore bien que quelqu’un puisse se persuader qu’en anéantissant tout ce qui est étendu dans la nature, rien ne répugne à ce que l’étendue seule existe par elle-même, il ne se servira pas pour cette conception d’une idée corporelle, mais de sa seule intelligence portant un faux jugement. Il le reconnaîtra lui-même, pourvu qu’il réfléchisse attentivement à cette image même de l’étendue qu’il s’efforcera alors de se représenter dans l’imagination. Il remarquera en effet qu’il ne l’aperçoit pas abstraction faite de tout sujet’, mais qu’il l’imagine tout autrement qu’il ne la juge : de telle sorte que tous ces êtres abstraits, quelque opinion qu’ait d’ailleurs l’intelligence sur la vérité de la chose, ne se forment jamais dans l’imagination séparés de tout sujet.
In order to make use of the power of imagination as well, it must be noted that whenever we deduce something unknown from something previously known to us, we do not in fact discover a new entity, but rather extend our existing knowledge so that it enables us to understand how the thing we are seeking is somehow related to the nature of those things already within our grasp. Thus, we should not expect to be able to impart true concepts of colors to a person who is born blind, in the same way that we have acquired such concepts through our senses. Nevertheless, suppose a person has once seen the primary colors but never the intermediate or mixed colors; it is still possible for him, through some form of reasoning, to conceive of those he has not witnessed, based on their similarities to other known colors. Similarly, even if a magnet contains some kind of entity that our intelligence has never previously perceived, we should not expect reason alone to enable us to understand it—either new senses or a divine intellect would be required for that. But all that the human mind can accomplish in such cases, we will consider to have been achieved when we are able to clearly perceive the combination of existing entities or materials that produce effects identical to those of the magnet.
Or, all the beings that are already known—such as extension, shape, motion, and many others, too numerous to enumerate here—are understood in various contexts through a single and identical concept; and whether a crown is made of gold or silver makes no difference to the idea we have of its form. This general concept is transferred from one object to another through simple comparison, by which we assert that the object sought is similar, identical, or equal to some given thing in certain respects. In fact, in every reasoning process, we come to know the truth solely through comparison. Thus, in this particular argument: “All A is B; all B is C, therefore all A is C,” we compare the object sought (A) with the known thing (C) under the relationship that A and C are both B. But since, as we have often stated, forms and syllogisms are of no use in discovering the truth about things, the reader will benefit greatly if he completely rejects them and realizes that all knowledge that does not arise from pure intuition regarding an individual object derives from the comparison of two or more things with one another. Indeed, nearly all of human intellectual effort consists in preparing such comparisons: when the comparison is simple and clear, no aid from art is needed—only the light of nature itself is sufficient to reveal the truth it reveals to us. It should also be noted that comparisons are considered simple and clear only when both the object sought and the known thing belong to the same category or share some common characteristic; other comparisons require preparation because this commonality is not present in both, but exists instead in certain relationships or proportions between them. Ultimately, much of human endeavor consists in reducing these proportions to such a degree that the equivalence between what is sought and something known becomes clearly evident.
It should also be noted that nothing can be reduced to this equality except what contains more or less of something, and all such things are encompassed under the concept of ‘magnitude’. Thus, when, according to the previous rule, the elements constituting a difficulty are abstracted from any particular subject, we understand that the entire issue then revolves solely around magnitudes in general.
But in order to imagine something here again—and to use not pure intelligence, but rather intelligence aided by the images drawn from our imagination—let us note that nothing is said in general about those quantities that cannot be related specifically to each of them individually.
From this, it is easy to conclude that it will be of great use to us to apply whatever we know about general quantities to this particular kind of quantity that can be most easily and clearly represented in our imagination.
Or that this magnitude be the actual extent of a body, abstracted from everything that is not its shape or form—this is what follows from what we stated in the twelfth rule, where we showed that imagination itself, together with the ideas that exist within it, is nothing other than the true, real body—in its extended and shaped form. This is self-evident, for all differences in position cease to be clearly distinguishable in any other subject. Indeed, although we may say that one thing is more or less white than another, or that a sound is more or less sharp, etc., we can still not precisely define whether this difference corresponds to a double or triple ratio, unless by some kind of analogy relating it to the extent of a shaped body. It remains therefore certain and indisputable that questions that are perfectly defined contain no other difficulty than that of determining the proportional measure of such inequalities; that all cases involving such difficulties can be easily separated from any other considerations and reduced to the concepts of extent and form—concepts on which we will focus exclusively until the twenty-fifth rule, setting aside all other considerations.
I would here like to address a reader who has an interest solely in mathematical and geometric studies; although I would prefer it if such a reader had no knowledge of these subjects at all rather than being merely educated using conventional methods. Indeed, the use of the rules I will explain here—which are sufficient for learning them—is much simpler than in any other field of study, and their utility in acquiring more advanced knowledge is so great that I dare say this aspect of our method was not invented with the aim of solving mathematical problems, but rather that mathematics itself should be learned solely in order to practice this method. In referring to these studies, I mean only those things that are self-evident and readily understood by everyone. However, the knowledge that others possess, even though it is not tainted by any obvious errors, is still obscured by ambiguous and poorly conceived principles—principles that we will endeavor to correct as we encounter them in our further discussions.
By “extension,” we mean everything that possesses length, breadth, and depth—without considering whether it constitutes a real entity or merely a spatial dimension. This concept requires no further explanation, since it is nothing but what our imagination readily perceives. However, since scholars often employ distinctions so subtle that they obscure natural understanding and even find “darkness” in things that peasants have never failed to perceive, it is necessary to warn them that by “extension” we do not refer to anything distinct or separate from a subject. In general, we do not acknowledge any such abstract entities in philosophy, since they do not actually fall within the realm of imagination. For even if one were to persuade oneself that, by eliminating everything extensive in nature, nothing would prevent extension itself from existing independently, such an understanding would still be based on a false conception, derived merely from intellectual speculation rather than direct perception. Anyone who reflects carefully on this notion of extension will realize that they cannot conceive it apart from any subject; rather, they imagine it in a way entirely different from how they judge it. Thus, all these abstract entities, whatever the intellect may think of their reality, can never be conceived in imagination as separate from any subject.
Per poter fare anche noi ricorso all’aiuto dell’immaginazione, è necessario notare che ogni volta che deduciamo qualcosa di sconosciuto da qualcosa che ci era già noto in precedenza, non creiamo affatto un essere nuovo, ma semplicemente estendiamo la conoscenza che possedevamo fino al punto di comprendere che quella cosa cercata partecipa, in un modo o nell’altro, alla natura delle cose contenute nelle informazioni a nostra disposizione. Pertanto, non dobbiamo sperare di poter mai dare a una persona cieca dalla nascita idee vere sulle colori, così come noi le abbiamo ricevute attraverso i sensi. Tuttavia, supponiamo che un uomo abbia visto alcune volte i colori fondamentali, ma mai quelli intermedi e misti; è possibile che, attraverso una sorta di deduzione, riesca a rappresentarsi quelli che non ha mai visto, in base alla loro somiglianza con gli altri. Allo stesso modo, anche se il magnete contiene un qualche tipo di entità di cui la nostra intelligenza non ha ancora percepito nulla di simile fino ad oggi, non dobbiamo sperare che il ragionamento possa farcela conoscere; ci vorrebbero o nuovi sensi o un’anima divina. Ma tutto ciò che lo spirito umano può fare in questo caso, lo considereremo un vero successo quando riusciremo a percepire chiaramente la combinazione di entità o materiali già noti che producono gli stessi effetti del magnete.
Ogni essere già conosciuto, come lo spazio, la forma, il movimento e molti altri – che non è il caso di elencare qui – viene compreso, nei diversi casi, attraverso un’unica e stessa idea; e il fatto che una corona sia d’oro o d’argento non cambia affatto l’idea che abbiamo della sua forma. Questa idea generale passa da un oggetto all’altro attraverso una semplice comparazione, mediante la quale affermiamo che l’oggetto cercato è, sotto questo o quel rapporto, simile, identico o uguale a qualcosa di noto; tanto che, in ogni ragionamento, conosciamo con precisione la verità soltanto attraverso il confronto. Così, in questo ragionamento: “Tutto A è B, tutto B è C, quindi tutto A è C”, si confrontano l’oggetto cercato e l’oggetto noto A e C, sotto il rapporto che li lega, cioè che A e C sono entrambi B. Ma poiché, come abbiamo ripetuto più volte, le forme logiche e i sillogismi non servono a nulla per scoprire la verità delle cose, il lettore trarrà beneficio se, rifiutandoli completamente, si convincerà che ogni conoscenza che non deriva dall’intuizione pura e semplice di un oggetto individuale derivi dalla comparazione di due o più elementi tra loro; anzi, quasi tutta l’attività razionale umana consiste proprio nel preparare questa operazione: quando infatti la comparazione è semplice e chiara, non c’è bisogno di alcun aiuto artificiale, ma soltanto della luce naturale per comprendere la verità che essa ci rivela. È importante notare inoltre che le comparazioni vengono definite semplici e chiare soltanto quando l’oggetto cercato e quello noto appartengono entrambi a una stessa natura; le altre comparazioni, invece, richiedono preparazione perché quella natura comune non è presente in entrambi gli elementi, ma si manifesta attraverso rapporti o proporzioni specifiche; infine, la maggior parte dell’attività razionale umana consiste proprio nel ridurre tali proporzioni a un livello tale che l’uguaglianza tra ciò che viene cercato e qualcosa di noto appaia chiaramente evidente.
È necessario notare inoltre che nulla può essere ridotto a questa condizione di equilibrio se non ciò che contiene più o meno di qualcosa; e tutto ciò viene definito “grandezza”. Pertanto, quando, secondo la regola precedente, i termini della difficoltà vengono separati da qualsiasi soggetto concreto, si comprende che l’intera questione riguarda soltanto grandezze in senso generale.
Ma per poter ancora immaginare qualcosa in questo contesto, e per farlo non utilizzando l’intelligenza pura, bensì quella aiutata dalle immagini evocate dall’immaginazione, è importante notare che non si parla mai delle grandezze in generale senza fare riferimento a ciascuna di esse in particolare.
Da ciò si può facilmente concludere che sarà di grande utilità per noi trasferire ciò che conosciamo riguardo alle grandezze in generale a quella particolare specie di grandezza che si rappresenta più facilmente e chiaramente nella nostra immaginazione.
Ora, che questa grandezza sia l’estensione reale di un corpo, astratta da tutto ciò che non è la sua forma, è ciò che risulta da quanto abbiamo detto nella dodicesima regola, dove abbiamo dimostrato che l’immaginazione stessa, con le idee che in essa esistono, non è altro che il vero corpo reale, esteso e dotato di forme; questo è evidente di per sé stesso, poiché tutte le differenze di posizione non appaiono più distintamente in alcun altro soggetto. Infatti, anche se si può dire che una cosa sia più o meno bianca rispetto a un’altra, che un suono sia più o meno acuto, e così via, non possiamo tuttavia definire con precisione se tale differenza sia proporzionale in modo doppio o triplo, se non attraverso qualche analogia relativa all’estensione del corpo fisico. Quindi rimane certo che le questioni perfettamente definite contengono soltanto la difficoltà di individuare la misura proporzionale dell’ineguaglianza; che tutte le situazioni in cui si presenta questa difficoltà possono essere facilmente separate da qualsiasi altro elemento e ricondotte all’estensione e alle forme, su cui ci concentreremo esclusivamente fino alla ventiquattresima regola, lasciando da parte ogni altra considerazione.
Desidererei qui un lettore il cui interesse si limitasse esclusivamente agli studi matematici e geometrici; tuttavia preferirei che non ne avesse alcuna conoscenza piuttosto che che fosse istruito secondo i metodi comuni. Infatti, l’uso delle regole che fornirò qui – sufficienti per apprenderle – è molto più semplice rispetto a qualsiasi altro tipo di problema; inoltre, il loro utilità nel conseguire una conoscenza più profonda è tale che non esito ad affermare che questa parte del nostro metodo non sia stata inventata esclusivamente per risolvere problemi matematici, ma piuttosto che le matematiche debbano essere apprese proprio al fine di praticare questo metodo. Non prenderò in considerazione degli studi matematici se non ciò che è immediatamente comprensibile e evidente a chiunque; tuttavia, la conoscenza che gli altri ne hanno, anche se priva di errori evidenti, risulta comunque oscura a causa di principi ambigui e mal concepiti, che cercheremo di correggere man mano che li incontreremo.
Per estensione intendiamo tutto ciò che possiede lunghezza, larghezza e profondità, senza indagare se si tratti di un corpo reale o semplicemente di uno spazio; non è necessaria alcuna ulteriore spiegazione, poiché si tratta soltanto di qualcosa che la nostra immaginazione percepisce più facilmente. Tuttavia, poiché gli scienziati spesso fanno uso di distinzioni così sottili da confondere le “luci naturali” e trovano delle “tenebre” anche in cose che i contadini non hanno mai ignorato, è necessario avvertirli che con il termine estensione non intendiamo nulla di separato o distinto da un soggetto, e che in generale non riconosciamo alcuno degli esseri filosofici di questo tipo, poiché tali entità non esistono realmente nella nostra immaginazione. Anche se qualcuno potesse convincersi che, distruggendo tutto ciò che è estensivo nella natura, nulla si opporrebbe all’idea che l’estensione stessa possa esistere di per sé, egli non utilizzerà per questa concezione un’immagine corporea, ma soltanto la propria intelligenza, che in tal caso formulerebbe un giudizio errato. Lo stesso individuo se ne renderà conto, purché rifletta attentamente su quell’immagine stessa dell’estensione che cerca di rappresentarsi nella sua mente: noterà infatti che non la percepisce al di fuori di alcun soggetto, ma che la immagina in modo diverso da come la giudica; pertanto, tutti questi esseri astratti, indipendentemente dall’opinione che l’intelligenza possa avere sulla loro realtà, non si formano mai nella nostra immaginazione separati da alcun soggetto concreto.
Mais, comme désormais nous ne ferons plus rien sans le secours de l’imagination, il faut distinguer avec soin sous quelle idée chaque mot doit se présenter à notre intelligence. Aussi nous proposons-nous d’examiner ces trois manières de parler : l’étendue occupe le lieu, tout corps a de l’étendue, l’étendue n’est pas le corps. La première montre comment l’étendue se prend pour ce qui est étendu ; en effet, je conçois tout à fait la même chose quand je dis l’étendue occupe le lieu, que si je disais l’être étendu occupe le lieu. Et il n’en résulte pas cependant qu’il vaille mieux, pour éviter l’équivoque, se servir du mot l’être étendu ; il n’exprimerait pas aussi distinctement l’idée que nous concevons, savoir, qu’un sujet occupe le lieu parce qu’il est étendu ; et peut-être pourrait-on entendre que l’être étendu est un sujet qui occupe le lieu, tout comme quand je dis qu’un être animé occupe le lieu. Cela explique pourquoi nous avons préféré dire que nous traiterions de l’étendue (extensione), plutôt que de l’être étendu (de extenso), encore bien que nous pensions que la première ne doit pas être comprise autrement que comme l’être étendu. Passons à ces mots, tout corps a de l’étendue ; où nous comprenons qu’étendue veut dire quelque autre chose que corps, sans cependant que nous formions dans notre imagination deux idées distinctes, l’une d’un corps, l’autre de l’étendue, mais simplement une seule, celle d’un corps étendu : au fond c’est comme si je disais, tout corps est étendu, ou plutôt, ce qui est étendu est étendu. Et c’est un caractère particulier à tout ce qui n’existe que dans un autre, et ne peut jamais être conçu sans un sujet, caractère qui ne se retrouve pas dans ce qui se distingue réellement du sujet. Ainsi, quand je dis : Pierre a des richesses, l’idée de Pierre est tout à fait différente de celle de richesses ; de même, quand je dis, Paul est riche, je m’imagine tout autre chose que quand je dis le riche est riche. Faute de faire cette différence, la plupart s’imaginent faussement que l’étendue contient quelque chose de distinct de ce qui est étendu, de même que les richesses de Paul sont autre chose que Paul. Enfin, si on dit, l’étendue n’est pas un corps, le mot d’étendue se prend d’une tout autre manière que plus haut, et dans ce sens aucune idée ne lui correspond dans l’imagination. Mais cette énonciation part tout entière de l’intelligence pure, qui seule a la faculté de distinguer les êtres abstraits de cette espèce. C’est là pour beaucoup de gens une cause d’erreur. Car, sans remarquer que l’étendue prise en ce sens ne peut être imaginée, ils s’en représentent une idée réelle, et cette idée impliquant nécessairement la conception d’un corps, s’ils disent que l’étendue ainsi conçue n’est pas un corps, ils s’embarrassent sans le savoir dans cette proposition, que la même chose est à la fois un corps et n’en est pas un. Aussi il est d’une grande importance de distinguer les énoncés dans lesquels les noms de cette espèce, étendue, figure, nombre, surface, ligne, point, unité, ont une signification si exacte qu’ils excluent quelque chose dont, dans la réalité, ils ne sont pas distincts ; par exemple, quand on dit l’étendue ou la figure n’est pas un corps, le nombre n’est pas la chose comptée, la surface est la limite d’un corps, la ligne de la surface, le point de la ligne, l’unité n’est pas une quantité : toutes propositions qui doivent être éloignées de l’imagination, quelle que soit leur vérité ; aussi ne nous en occuperons-nous pas dans la suite. Il faut remarquer soigneusement que dans toutes les autres propositions dans lesquelles ces noms, tout en gardant le même sens et étant employés abstraction faite de tout sujet, n’excluent cependant ou ne nient pas une chose dont ils ne sont pas réellement distincts, nous pouvons et nous devons nous aider du secours de l’imagination, parce que, encore bien que l’intelligence ne fasse précisément attention qu’à ce que désigne le mot, l’imagination cependant doit se figurer une image vraie de la chose, afin que, s’il en est besoin, l’intelligence puisse se reporter sur les autres conditions que le mot n’exprime pas, et ne croie pas imprudemment qu’elles ont été exclues. Est-il question de nombres, nous imaginerons un sujet quelconque, mesurable par plusieurs unités, et, quoique l’intelligence ne réfléchisse actuellement qu’à la seule pluralité, il nous faudra prendre garde que dans la suite elle ne conclue quelque chose qui fasse supposer que la chose comptée était exclue de notre conception ; comme font ceux qui attribuent aux nombres des propriétés mystérieuses, pures frivolités auxquelles ils n’attribueraient pas tant de foi, s’ils ne concevaient pas le nombre comme distinct des choses comptées. De même si nous traitons de la figure, nous penserons que nous nous occupons d’un sujet étendu, conçu sous ce rapport qu’il est figuré : si c’est d’un corps, il faut penser que nous l’examinons en tant que long, large et profond ; si c’est d’une surface, en tant que longue et large, à part la profondeur, mais sans la nier ; si c’est d’une ligne, en tant que longue seulement ; si c’est d’un point, nous abstrairons tous les autres caractères, si ce n’est qu’il est un être. Tout cela est ici très développé ; mais les hommes ont tant de préjugés dans l’esprit, que je crains encore qu’un petit nombre seulement soit ici à l’abri de toute erreur, et qu’on ne trouve l’explication de ma pensée trop courte malgré la longueur du discours. En effet l’arithmétique et la géométrie elles-mêmes, quoique les plus certaines de toutes les sciences, nous trompent cependant en ce point. Quel est le calculateur qui ne croie pas devoir, non seulement abstraire ses nombres de tout sujet par l’intelligence, mais encore les en distinguer réellement par l’imagination ? Quel géomètre n’obscurcit pas malgré les principes l’évidence de son objet, quand il juge que les lignes n’ont pas de largeur, ni les surfaces de profondeur, et qu’après cela il les compose les unes avec les autres, sans songer que cette ligne dont il conçoit que le mouvement engendre une surface, est un corps véritable, et que celle au contraire qui manque de largeur n’est rien qu’une modification du corps, etc. ? Mais, pour ne pas nous arrêter trop longtemps sur ces observations, il sera plus court d’exposer de quelle manière nous supposons que notre objet doit être conçu, pour démontrer à cet égard le plus facilement qu’il nous sera possible tout ce que l’arithmétique et la géométrie contiennent de vérités.
Nous nous occupons donc ici d’un objet étendu, sans considérer en lui rien autre chose que l’étendue elle-même, et nous abstenant à dessein du mot quantité, parce que les philosophes sont assez subtils pour distinguer aussi la quantité de l’étendue. Nous supposons que toutes les questions en sont venues au point qu’il ne reste plus à chercher qu’une certaine étendue que nous connaîtrons en la comparant à une autre étendue déjà connue. En effet, comme ici nous ne nous attendons à la connaissance d’aucun nouvel être, mais que nous voulons seulement ramener les propositions quelque embarrassées qu’elles soient, à ce point que l’inconnu soit trouvé égal à quelque chose de connu, il est certain que toutes les différences de proportions qui existent dans d’autres sujets peuvent se trouver aussi entre deux ou plusieurs étendues. Et conséquemment il suffit à notre dessein de considérer dans l’étendue elle-même tous les éléments qui peuvent aider à exposer les différences des proportions, éléments qui se présentent seulement au nombre de trois : la dimension, l’unité, la figure.
Par dimension nous n’entendons rien autre chose que le mode et la manière selon laquelle un objet quelconque est considéré comme mesurable ; de sorte que, non seulement la longueur, la largeur et la profondeur sont des dimensions des corps, mais encore la pesanteur est la dimension selon laquelle les objets sont pesés ; la vitesse, la dimension du mouvement ; et ainsi des autres. La division elle-même en plusieurs parties égales, qu’elle soit ou réelle, ou intellectuelle, est proprement la dimension selon laquelle nous comptons les choses ; et ce mode qui fait le nombre est, à proprement parler, une espèce de dimension, quoiqu’il y ait quelque diversité dans la signification du mot. En effet, si nous considérons les parties par rapport au tout, on dit que nous comptons ; si au contraire nous considérons le tout en tant que divisé en parties, nous le mesurons : par exemple, nous mesurons les siècles par les années, les jours, les heures, les moments ; si au contraire nous comptons les moments, les jours, les années, nous finirons par compléter les siècles.
But since we must now rely solely on the power of imagination in everything we do, it is essential to carefully distinguish under which concept each word should present itself to our understanding. Therefore, we propose to examine these three ways of expressing ourselves: “Extension occupies space”; every body possesses extension; yet extension is not the same as a body. The first way shows how extension is mistaken for what it actually represents—after all, I understand exactly the same thing when I say “extension occupies space” as when I say “a being that is extended occupies space.” Nevertheless, this does not mean that using the phrase “a being that is extended” would be preferable to avoid ambiguity; such a phrase would not convey as clearly the concept we have in mind—that is, the idea that a subject occupies space because it is extended. One might even interpret it as meaning that “a being that is extended” is a subject that occupies space, just as when I say “an animate being occupies space.” This explains why we preferred to refer to “extension” rather than “an extended being,” even though we acknowledge that the former term should ultimately be understood as referring to an extended being. Now, let us consider the phrase “every body possesses extension”; here we understand that “extension” refers to something different from a body, yet in our imagination, we do not conceive of two separate concepts—one of a body and one of extension—but rather only one concept: that of a body that is extended. In essence, it is as if I were saying that “every body is extended” or, more precisely, that “what is extended is extended.” This characteristic is inherent in everything that exists merely within another thing and cannot be conceived without a subject—it is a feature that is not found in those things that are truly distinct from their subjects. For instance, when I say “Peter possesses wealth,” the concept of Peter is entirely different from the concept of wealth; likewise, when I say “Paul is wealthy,” I envision something completely different than when I say “the wealthy are wealthy.” If we fail to make this distinction, many people mistakenly assume that extension contains something separate from what it extends—just as Paul’s wealth is considered something other than Paul himself. Finally, if we say “extension is not a body,” then the term “extension” is used in a completely different way than earlier; in this context, no corresponding concept can be formed in our imagination. However, such an assertion arises entirely from pure intellectual reflection—the only capacity that enables us to distinguish abstract entities of this kind. For many people, this constitutes a source of error. For without realizing that “extension” in this sense cannot be imagined at all, they form a real conceptual image of it; and since this image necessarily involves the notion of a body, when they claim that “extension as conceived in this way is not a body,” they unknowingly fall into the contradiction of stating that one and the same thing is both a body and not a body. It is therefore of great importance to distinguish those statements in which the terms “extent,” “figure,” “number,” “surface,” “line,” “point,” “unit” have such precise meanings that they exclude certain aspects which, in reality, they do not actually exclude. For example, when we say that “extent” or “figure” is not a physical body, that “number” is not the thing being counted, that “surface” is the boundary of a body, that “line” is part of a surface, that “point” is part of a line, and that “unit” is not a quantity—these are all propositions that must be kept away from the realm of imagination, regardless of their truth. Therefore, we will not deal with them further in this discussion. It should also be noted carefully that in all other statements where these terms retain the same meaning and are used without referring to any particular subject, they may still exclude or deny certain aspects of which they are not actually distinct. In such cases, we can and must rely on the aid of imagination, because although the intellect focuses only on what the word signifies, imagination must create a true mental image of the thing in question, so that, if necessary, the intellect can refer to other aspects not expressed by the word and avoid mistakenly assuming that they have been excluded. When dealing with numbers, for example, we imagine some measurable subject composed of multiple units; although the intellect currently considers only the concept of plurality, we must be careful not to conclude that what is being counted is actually excluded from our understanding—just as those who attribute mysterious properties to numbers do so out of sheer frivolity, were it not for their assumption that numbers are distinct from the things they represent. Similarly, when discussing “figure,” we consider a subject that is extended and shaped in a particular way; if it refers to a physical body, we think of it in terms of length, width, and depth; if it refers to a surface, in terms of length and width but not depth; if it refers to a line, only in terms of length; and if it refers to a point, we abstract all other characteristics except for the fact that it is an entity. All these points are elaborated at length here; yet, due to the many preconceptions people hold in their minds, I fear that only a few will be free from error, and that my explanation may still seem insufficient despite the length of this discourse. Indeed, even arithmetic and geometry, though among the most certain of all sciences, can still deceive us in this regard. What calculator does not believe that he must not only abstract his numbers from any particular subject through intellectual reasoning but also mentally distinguish them from one another through imagination? What geometer, despite all the principles, does not obscure the obvious nature of his subject when he assumes that lines have no width and surfaces have no depth, and then proceeds to combine them without realizing that a line, whose motion is supposed to generate a surface, is in fact a real entity, whereas something that lacks width is merely a modification of a body, and so on? But in order not to dwell too long on these observations, it will be more concise to explain how we conceive our subject should be understood, so as to demonstrate as easily as possible all the truths contained within arithmetic and geometry.
We are therefore dealing here with an extended object, considering nothing in it other than its extension itself, and deliberately avoiding the use of the term “quantity,” for philosophers are sufficiently subtle to distinguish between quantity and extension. We assume that all inquiries have progressed to the point where all that remains to be determined is a certain extension—which we will identify by comparing it with another already known extension. Indeed, since here we seek not to gain knowledge of any new entity, but merely to reduce those propositions, no matter how perplexing they may seem, to a form in which the unknown can be shown to be equivalent to something known, it is certain that all the differences in proportion that exist in other realms can also be found between two or more extensions. Consequently, for our purposes, it is sufficient to consider within the extension itself all those elements that can help elucidate these differences in proportion—elements which amount to merely three: dimension, unity, and shape.
By “dimension,” we understand nothing other than the mode and manner in which some object is considered to be measurable; thus, not only are length, width, and depth dimensions of objects, but also weight is the dimension according to which objects are measured; speed is the dimension of motion; and so on. The very act of dividing something into several equal parts, whether it be in reality or in thought, is precisely the dimension according to which we count things; and this mode of counting is, in essence, a kind of dimension, although there is some variation in the meaning of the term. Indeed, if we consider the parts in relation to the whole, we say that we are counting; whereas if we consider the whole as being divided into parts, we are measuring it—for example, we measure centuries in terms of years, days, hours, moments; and if instead we count the moments, days, years, we will ultimately arrive at completing the calculation of the centuries.
Ma poiché da ora in poi non faremo nulla senza l’aiuto dell’immaginazione, è necessario distinguere con attenzione sotto quale idea ogni parola debba presentarsi alla nostra intelligenza. Pertanto proponiamo di esaminare queste tre modalità di espressione: “L’estensione occupa lo spazio”; “Tutto il corpo ha estensione”; “L’estensione non è il corpo”. La prima modalità mostra come l’estensione venga considerata ciò che è esteso; infatti, intendo esattamente la stessa cosa quando dico “l’estensione occupa lo spazio”, come quando dico “ciò che è esteso occupa lo spazio”. Tuttavia, questo non significa che sia meglio, per evitare ambiguità, utilizzare il termine “ciò che è esteso”; tale espressione non esprimerebbe in modo altrettanto chiaro l’idea che abbiamo in mente, ovvero che un soggetto occupa lo spazio perché è esteso. Forse si potrebbe anche intendere che “ciò che è esteso” sia un soggetto che occupa lo spazio, proprio come quando dico che “un essere animato occupa lo spazio”. Questo spiega perché abbiamo preferito dire che tratteremo dell’estensione, piuttosto che di “ciò che è esteso”, anche se pensiamo che il primo termine non debba essere inteso in altro modo se non come “ciò che è esteso”. Passiamo ora al detto “Tutto il corpo ha estensione”: da questo si capisce che “estensione” indica qualcosa di diverso dal “corpo”, senza tuttavia che nella nostra immaginazione si formino due idee distinte, una del corpo e l’altra dell’estensione; in realtà si tratta semplicemente di un’unica idea: quella di un corpo esteso. In fondo, è come se dicessi “Tutto il corpo è esteso”, o meglio, “Ciò che è esteso è esteso”. Questo caratteristica è propria di tutto ciò che esiste soltanto in relazione a un altro oggetto e che non può essere concepito senza un soggetto; tale caratteristica non si riscontra invece in ciò che si distingue effettivamente dal soggetto stesso. Ad esempio, quando dico “Pietro ha ricchezze”, l’idea di Pietro è completamente diversa da quella di ricchezze; allo stesso modo, quando dico “Paolo è ricco”, mi immagino qualcosa di completamente diverso rispetto a quando dico “Il ricco è ricco”. Se non si fa questa distinzione, molte persone pensano erroneamente che l’estensione contenga qualcosa di diverso da ciò che è esteso, proprio come le ricchezze di Paolo siano qualcosa di diverso da Paolo stesso. Infine, se si afferma che “l’estensione non è un corpo”, il termine “estensione” viene utilizzato in modo completamente diverso rispetto a quanto detto prima; in questo senso, nella nostra immaginazione non corrisponde ad alcuna idea concreta. Tuttavia, questa affermazione deriva interamente dall’intelligenza pura, l’unica in grado di distinguere gli enti astratti di questo tipo. Per molte persone, questo rappresenta una fonte di errore; infatti, senza rendersi conto che l’estensione intesa in questo senso non può essere immaginata concretamente, si tende a concepirla come un’idea reale, e poiché tale idea implica necessariamente la nozione di corpo, quando si afferma che l’estensione così intesa non è un corpo, si finisce per cadere in contraddizione, dicendo che la stessa cosa sia allo stesso tempo un corpo e non lo sia. È quindi di grande importanza distinguere quei enunciati in cui i termini “estensione”, “figura”, “numero”, “superficie”, “linea”, “punto”, “unità” hanno un significato così preciso da escludere qualcosa di ciò che, nella realtà, non è effettivamente distinto da essi; ad esempio, quando si afferma che l’estensione o la figura non sono un corpo, che il numero non è la cosa stessa che viene contata, che la superficie è il limite di un corpo, che la linea è una parte della superficie, che il punto è una parte della linea, che l’unità non è una quantità: tutte queste affermazioni devono essere lontane dall’immaginazione, indipendentemente dalla loro veridicità; per questo motivo non ne tratteremo ulteriormente. È necessario notare con attenzione che in tutti gli altri enunciati in cui questi termini, pur mantenendo lo stesso significato e venendo utilizzati senza riferirsi a un soggetto specifico, non escludono né negano qualcosa di ciò che in realtà non è distinto da essi, possiamo e dobbiamo fare ricorso all’immaginazione, perché sebbene l’intelligenza si concentri soltanto su ciò che il termine indica, l’immaginazione deve comunque formarsi un’immagine reale di quella cosa, in modo che, quando necessario, l’intelligenza possa considerare anche altre condizioni che il termine non esprime esplicitamente, senza credere imprudentemente che siano state escluse. Quando si tratta di numeri, immagineremo un soggetto qualsiasi misurabile in unità; e sebbene l’intelligenza consideri attualmente soltanto il concetto di pluralità, dobbiamo fare attenzione a non concludere che la cosa contata venga effettivamente esclusa dalla nostra concezione; come fanno coloro che attribuiscono ai numeri proprietà misteriose, pur essendo queste semplicemente frivole e prive di fondamento reale, se non considerassero i numeri come qualcosa di distinto dalle cose che vengono contate. Allo stesso modo, quando trattiamo della figura, penseremo a un soggetto esteso concepito in termini di forma; se si tratta di un corpo, dobbiamo considerarlo in base alle sue dimensioni lunghezza, larghezza e profondità; se si tratta di una superficie, in base alle sue dimensioni lunghezza e larghezza, senza negare la profondità; se si tratta di una linea, soltanto in termini di lunghezza; se si tratta di un punto, elimineremo tutte le altre caratteristiche, tranne il fatto che sia un essere. Tutto ciò è qui spiegato in dettaglio; tuttavia, le persone hanno così tanti pregiudizi nella loro mente, che temo che soltanto pochi possano evitare di commettere errori, e che la spiegazione del mio pensiero possa sembrare troppo breve nonostante la lunghezza del discorso. Infatti, anche l’aritmetica e la geometria, pur essendo le scienze più certe, ci ingannano in questo senso: quale calcolatore non ritiene di dover non solo astrarre i numeri da ogni soggetto con l’intelligenza, ma anche distinguerli realmente con l’immaginazione? Quale geometra, nonostante i principi fondamentali, non offusca l’evidenza del proprio oggetto quando ritiene che le linee non abbiano larghezza e le superfici profondità, per poi comporle tra loro senza considerare che quella linea la cui movimento genera una superficie è in realtà un corpo concreto, mentre quella priva di larghezza non è altro che una modificazione di tale corpo, ecc.? Ma per non soffermarci troppo su queste osservazioni, sarà più semplice esporre in che modo supponiamo che il nostro oggetto debba essere concepito, al fine di dimostrare, in questo ambito, nel modo più agevole possibile, tutte le verità contenute nell’aritmetica e nella geometria.
Ci occupiamo quindi di un oggetto esteso, senza considerarvi nulla altro che l’estensione stessa, e ci asteniamo intenzionalmente dal termine “quantità”, poiché i filosofi sono abbastanza perspicaci da distinguere anche la quantità dall’estensione. Supponiamo che tutte le questioni in questo ambito siano giunte a un punto tale che non rimanga altro da cercare se non una certa estensione, che potremo conoscere confrontandola con un’altra estensione già nota. Infatti, poiché qui non ci aspettiamo la conoscenza di alcun essere nuovo, ma vogliamo semplicemente ridurre le proposizioni, per quanto complesse siano, a un punto in cui l’ignoto venga riconosciuto come equivalente a qualcosa di conosciuto, è certo che tutte le differenze di proporzione esistenti in altri ambiti possano essere riscontrate anche tra due o più estensioni. Pertanto, per i nostri scopi basta considerare nell’estensione stessa tutti gli elementi che possono aiutare a spiegare queste differenze di proporzione; tali elementi sono soltanto tre: la dimensione, l’unità e la figura.
Per “dimensione” intendiamo soltanto il modo e il modo in cui un oggetto qualsiasi viene considerato misurabile; pertanto, non solo la lunghezza, la larghezza e la profondità sono dimensioni dei corpi, ma anche il peso è la dimensione secondo cui gli oggetti vengono misurati; la velocità è la dimensione del movimento, e così via. Anche la divisione stessa di un tutto in parti uguali, sia essa reale che intellettuale, è propriamente la dimensione secondo cui contiamo le cose; e questo modo di contare, che costituisce il numero, è, in senso stretto, una sorta di dimensione, anche se esiste una certa diversità nel significato del termine. Infatti, se consideriamo le parti rispetto al tutto, si dice che stiamo contando; se invece consideriamo il tutto come diviso in parti, lo stiamo misurando: ad esempio, misuriamo i secoli in anni, i giorni, le ore, i momenti; se invece contiamo i momenti, i giorni, gli anni, alla fine completeremo i secoli.
Il résulte de là que dans un même objet il peut y avoir des dimensions diverses à l’infini, qu’elles n’ajoutent absolument rien aux choses qui les possèdent, mais qu’on doit les entendre de la même façon, soit qu’elles aient un fondement réel dans les objets eux-mêmes, soit qu’elles aient été inventées arbitrairement par notre esprit. En effet, c’est quelque chose de réel que la pesanteur d’un corps, la vitesse du mouvement, ou la division du siècle en années et en jours : mais il n’en est pas de même de la division du jour en heures et en moments. Cependant toutes ces choses sont égales si on les considère seulement sous le rapport de la dimension, ainsi qu’il faut le faire ici et dans les mathématiques. En effet il appartient plutôt à la physique d’examiner si le fondement de ces divisions est réel ou ne l’est pas.
Cette considération répand un grand jour sur la géométrie, parce que dans cette science presque tous concevront mal à propos trois espèces de quantités, la ligne, la surface et le corps. Nous avons rapporté plus haut que la ligne et la surface ne tombaient pas sous la conception, comme véritablement distinctes du corps, ou l’une de l’autre ; si au contraire on les considère simplement en tant qu’abstraites par l’intelligence, il n’y a pas plus de diverses espèces de quantité qu’être animé et vivant ne sont dans l’homme diverses espèces de substance. Il faut remarquer en passant que les trois dimensions des corps, la longueur, la largeur et la profondeur, ne diffèrent que, de nom l’une de l’autre. En effet, rien n’empêche dans un solide donné de prendre l’une quelconque des trois étendues pour la longueur, l’autre pour la largeur, etc. Et quoique ces trois choses seulement aient un fondement réel dans tout objet étendu, en tant qu’étendu, cependant nous ne nous en occupons pas plus ici que de tant d’autres, qui, ou sont des fictions de l’intelligence, ou ont d’autres fondements dans les choses. Ainsi, dans un triangle, quand on veut le mesurer exactement, trois choses sont à connaître du côté de l’objet, c’est à savoir les trois côtés, ou deux côtés et un angle, ou deux angles et l’aire, etc. ; de même dans un trapèze il faut cinq données, six dans un tétraèdre, etc. Tout cela peut s’appeler des dimensions ; mais pour choisir ici celles qui aident le plus notre imagination, il ne faut jamais embrasser plus d’une ou deux de celles qui sont dans notre imagination, quand même nous verrions que dans la proposition qui nous occupe il en existe plusieurs autres. L’art, en effet, consiste à les diviser le plus possible, et à diriger son attention sur un petit nombre à la fois, mais cependant successivement sur toutes.
L’unité est cette nature commune à laquelle doivent participer également, ainsi que je l’ai dit plus haut, toutes les choses qu’on compare entre elles. Et si dans la question il n’y a pas déjà d’unité déterminée, on peut prendre à sa place, soit une des grandeurs déjà données, soit une autre quelconque ; ce sera la mesure de toutes les autres. Dans cette unité nous mettons autant de dimensions que dans les extrêmes, qui devront être comparés entre eux ; nous la concevons alors, ou simplement comme quelque chose d’étendu, abstraction faite de toute autre chose (et alors elle sera identique au point des géomètres, lorsqu’ils composent la ligne par son mouvement), ou comme une ligne, ou comme le carré.
Quant aux figures, il a été montré plus haut comment c’est par elles seules qu’on peut se former des idées de toutes choses. Il reste à avertir en ce lieu que, dans la diversité de leurs innombrables espèces, nous ne nous servirons ici que de celles qui expriment le plus facilement toutes les différences des rapports ou proportions. Or il n’est que deux choses que l’on compare entre, elles, les quantités et les grandeurs ; nous avons aussi deux espèces de figures propres à nous les représenter : ainsi les points :
qui désignent un nombre de triangles, ou un arbre généalogique,
sont des figures pour représenter des quantités ; celles au contraire qui sont continues et indivisées, comme un triangle ∆, un carré □, expriment des grandeurs.
Maintenant, pour montrer quels sont dans tout cela les principes dont nous ferons usage, il faut savoir que tous les rapports qui peuvent exister entre les êtres d’un même genre se réduisent à deux, l’ordre et la mesure. On doit savoir en outre qu’il ne faut pas peu d’art pour trouver l’ordre, ainsi qu’on peut le voir dans cette méthode, qui n’enseigne presque rien autre chose. Quant à connaître l’ordre une fois qu’on l’a trouvé, il n’y a là aucune difficulté ; nous pouvons très facilement, d’après la règle sept, porter notre esprit sur chacune des parties ordonnées ; parce que, dans ce genre de rapports, les uns se réfèrent aux autres par eux-mêmes, et non par l’intermédiaire d’un troisième, comme cela a lieu dans les mesures, dont pour ce motif nous nous occupons exclusivement ici. Je reconnais en effet que l’ordre existe entre A et B, sans rien considérer autre chose que les deux extrêmes ; mais je ne reconnais pas quelle est la proportion de grandeur entre deux et trois, si je ne considère un troisième terme, savoir l’unité, qui est la mesure commune de l’une et de l’autre.
De plus il faut savoir que les grandeurs continues peuvent, à l’aide de l’unité supposée, être quelquefois ramenées toutes à la pluralité, et toujours au moins en partie ; et que la multitude des unités peut être disposée de telle sorte que la difficulté, qui appartient à la connaissance de la mesure, dépende seulement de l’inspection de l’ordre, progrès dans lequel l’art est d’un grand secours.
Il faut savoir enfin que, parmi les dimensions d’une grandeur continue, on n’en conçoit aucune plus distinctement que la longueur et la largeur ; qu’il ne faut pas faire attention à plusieurs à la fois dans la même figure, mais à deux seulement qui soient diverses entre elles ; parce que si l’on en a à comparer ensemble plus que deux qui ne se ressemblent pas, l’art veut qu’on les parcoure successivement, et qu’on n’en observe que deux à la fois.
Cela posé, on en conclut facilement qu’il faut abstraire les proportions des figures mêmes dont s’occupent les géomètres, lorsqu’il en est question, aussi bien que de toute autre matière. Pour cela il ne faut garder que des superficies rectangulaires, et rectilignes, et des lignes droites que nous appelons aussi figures, parce qu’elles ne nous servent pas moins que les surfaces à représenter un sujet véritablement étendu, comme je l’ai déjà dit ; enfin par ces lignes il faut représenter tantôt des grandeurs continues, tantôt la pluralité et le nombre, et l’industrie humaine ne peut rien trouver de plus simple pour exposer toutes les différences des rapports.
Règle quinzième
Souvent il est bon de tracer ces figures, et de les montrer aux sens externes, pour tenir plus facilement notre esprit attentif.
Il apparaît de soi-même comment il faut les tracer, pour qu’au moment où elles frappent nos yeux leur figure se représente dans notre imagination. Nous pouvons peindre l’unité de trois manières, par un carré □, si nous la considérons comme longue et large ; par une ligne —, si nous la considérons seulement comme longue ; et enfin par un point, si nous ne l’examinons qu’en tant qu’elle sert à former la pluralité. Mais, de quelque manière qu’on la représente et qu’on la conçoive, nous comprendrons toujours qu’elle est un sujet étendu en tous sens, et capable d’une infinité de dimensions. De même, nous représenterons ainsi à l’œil les termes d’une proposition, lorsqu’il faudra en examiner à la fois les grandeurs diverses, par un rectangle dans lequel deux côtés seront les deux grandeurs proposées, de cette manière :
si elles sont commensurables avec l’unité ;
ou de cet autre :
Ou de celle-ci :
si elles sont commensurables, sans rien ajouter, à moins qu’il ne soit question d’une multitude d’unités.
Si enfin nous n’examinons qu’une seule de leurs grandeurs, nous représenterons la ligne, soit par le rectangle :
dont un des côtés sera la grandeur proposée, et l’autre l’unité de cette façon :
ce qui se fait chaque fois que la même ligne doit être comparée avec une surface quelconque ; ou bien par la ligne seule :
si on la considère comme une longueur incommensurable ; ou de cette manière :
… …
Si c’est une multitude d’unités.
Règle seizième
Quant à ce qui n’exige pas l’attention de l’esprit, quoique nécessaire pour la conclusion, il vaut mieux le désigner par de courtes notes que par des figures entières. Par ce moyen la mémoire ne pourra nous faire défaut, et cependant la pensée ne sera pas distraite, pour le retenir, des autres opérations auxquelles elle est occupée.
It follows from this that within the same object, there can exist infinitely many different dimensions—dimensions that add nothing at all to the things that possess them—but which must be understood in the same way, whether they have a real basis in the objects themselves or whether they have been arbitrarily invented by our minds. Indeed, the weight of a body, the speed of motion, or the division of a century into years and days are all things that have a real existence; but this is not true of the division of a day into hours and minutes. Nevertheless, all these concepts are equivalent when considered solely in terms of dimension, just as we must do here and in mathematics. In fact, it is rather the task of physics to determine whether the basis for these divisions is real or not.
This consideration casts a new light upon geometry, for in this science nearly everyone misunderstands the nature of three types of quantities: line, surface, and solid. As we have already stated, lines and surfaces cannot be properly conceived as truly distinct from solids or one from another; on the contrary, when viewed merely as abstract concepts created by the intellect, there are no different kinds of quantity any more than there are different kinds of substance within a single human being. It should also be noted that the three dimensions of solids—length, width, and depth—are merely differing in name. In fact, within any given solid, it is entirely possible to regard one of these dimensions as length, another as width, and so on. Although these three aspects have some real basis in every extended object, when considered in terms of extension itself, we deal with them no differently from numerous other concepts that are either mere products of the intellect or have different underlying realities. For instance, in a triangle, to measure it accurately requires knowing three elements: its three sides, or two sides and an angle, or two angles and its area, etc.; similarly, in a trapezoid five data points are needed, in a tetrahedron six, and so on. All these can be called dimensions; but when choosing those that best aid our understanding, we should never consider more than one or two at a time, even though in the specific problem at hand there may be several others involved. The art of geometry, after all, consists in dividing these concepts as finely as possible and focusing attention on a small number of them at once, while gradually considering all of them in turn.
Unity is that common essence to which, as I have said earlier, all things that are compared with one another must also be subordinated. If there is no predetermined unit in the matter at hand, one can substitute either one of the existing quantities or any other arbitrary quantity; this will then become the measure for all others. In this unity, we incorporate as many dimensions as those present in the extremes that are to be compared; we conceive it either simply as something extended, abstracted from everything else (in which case it would be identical to what geometers refer to when they construct a line through its motion), or as a line itself, or as a square.
As for figures, it has already been shown above how it is solely through them that we can form ideas of all things. It remains to note here that, among the countless varieties of figures, we will only use those that most readily express all the differences in relationships or proportions. Now, there are only two things that we compare with each other: quantities and sizes; and we also have two types of figures that are suitable for representing them: namely, points.
which refer to a number of triangles or a genealogical tree.
They are figures used to represent quantities; whereas those that are continuous and indivisible, such as a triangle ∆ or a square □, express magnitudes.
Now, in order to show what principles we will be employing in all this, it is necessary to understand that all the relationships that can exist between entities of the same kind are reducible to two: order and measure. It must also be recognized that finding order requires considerable skill, as can be seen in this method, which essentially teaches nothing else. As for recognizing order once it has been established, there is no difficulty at all; according to rule seven, we can easily direct our attention to each of the ordered elements, because in these relationships, one element refers to another directly, without the need for a third intermediate term—unlike in the case of measures, which is the sole reason why we focus exclusively on them here. Indeed, I acknowledge that order exists between A and B, simply by considering the two extremes; but I cannot determine what the proportional relationship in size is between two and three without including a third element: the unit, which serves as the common measure for both.
Furthermore, it must be understood that continuous quantities can, with the aid of the assumed unit, sometimes be reduced entirely to a plural form, and at least in part always; and that the multitude of units can be arranged in such a way that the difficulty inherent in understanding measurement depends solely on the examination of that order—the progression within which art proves of great assistance.
It must finally be understood that, among the dimensions of a continuous quantity, none are more clearly discernible than length and width; that in any given figure, one should not consider multiple dimensions at once, but only two that are distinct from each other; for if one were to attempt to compare more than two such dissimilar dimensions simultaneously, it would be contrary to the principles of art to do so—rather, they should be examined one after another, with only two being observed at any given time.
Having established this, it is easy to conclude that we must abstract the proportions of those very figures that geometers deal with when studying them, as well as of any other subject matter. For this purpose, we should only retain rectangular and straight-line surfaces, as well as straight lines—which we also call figures—because they serve us just as much as surfaces in representing a truly extended entity, as I have already stated. Ultimately, through these lines, we can represent either continuous quantities or concepts of plurality, number, and human endeavor; indeed, there is nothing simpler than this approach for elucidating all the various differences in relationships between things.
Fifteenth Rule
It is often beneficial to draw these diagrams and present them to the external senses, as this helps to keep our mind more focused.
It becomes apparent in itself how these elements should be depicted, so that when they come into our sight, their form is immediately reproduced in our imagination. We can represent the concept of “unity” in three ways: by a square □ if we consider it to have both length and width; by a line — if we regard it solely as having length; and finally by a point, if we consider it only in terms of its role in forming plurality. But no matter how we represent or conceive it, we will always understand that unity is something that extends in all directions and is capable of possessing an infinite number of dimensions. Similarly, when examining the various components of a proposition, we can visually represent them by a rectangle in which two sides correspond to the different quantities involved in that proposition.
if they are commensurable with the unit;
or this other one:
Or from this one:
if they are commensurable, without adding anything additional, unless it involves a multitude of units.
If we were to consider only one of their magnitudes, we could represent the line either by using a rectangle:
One side of it will represent the proposed magnitude, and the other side will represent its unity in this manner.
This happens whenever the same line needs to be compared with some kind of surface; or simply by using the line itself.
if we consider it as an incommensurable length; or in other words:
… …
If it consists of a multitude of units.
Rule Sixteen
As for those matters that do not require the attention of the mind, although necessary for reaching a conclusion, it is better to refer to them through brief notes rather than using entire figures. In this way, memory will not fail us, and yet our thoughts will not be distracted from other tasks that are currently occupying them while trying to retain these information.
Di conseguenza, in un singolo oggetto possono esistere infinite dimensioni diverse; queste dimensioni non aggiungono assolutamente nulla alle cose che le possiedono, ma devono essere considerate nello stesso modo, sia che abbiano una base reale negli stessi oggetti, sia che siano state inventate arbitrariamente dal nostro intelletto. Infatti, la gravità di un corpo, la velocità del movimento o la divisione del secolo in anni e giorni sono cose reali; al contrario, non lo è la divisione della giornata in ore e minuti. Tuttavia, tutte queste cose risultano uguali se vengono considerate soltanto dal punto di vista delle dimensioni, come si fa qui e nelle matematiche. Infatti, spetta piuttosto alla fisica stabilire se la base di queste divisioni sia reale o meno.
Questa considerazione getta una luce nuova sulla geometria, poiché in questa scienza quasi tutti concepiscono in modo errato tre tipi di quantità: la linea, la superficie e il corpo. Abbiamo già detto che la linea e la superficie non possono essere considerate come realmente distinte dal corpo; al contrario, se vengono considerate semplicemente come entità astratte prodotte dall’intelligenza, allora non esistono più di tre tipi di quantità, così come nell’uomo non esistono diverse specie di sostanza. È anche importante notare che le tre dimensioni dei corpi – lunghezza, larghezza e profondità – differiscono tra loro soltanto di nome; infatti, in un corpo solido qualsiasi, è possibile considerare una di queste dimensioni come lunghezza, un’altra come larghezza, ecc. E sebbene queste tre caratteristiche abbiano un fondamento reale in ogni oggetto esteso, in questo contesto non le consideriamo più di tante altre che, o sono semplicemente concetti astratti dell’intelligenza, o hanno altri fondamenti nelle cose stesse. Ad esempio, nel misurare con precisione un triangolo, è necessario conoscere tre elementi: i tre lati, due lati e un angolo, oppure due angoli e l’area, ecc.; allo stesso modo, in un trapezio sono necessarie cinque informazioni, in un tetraedro sei, ecc. Tutto ciò può essere definito “dimensioni”; tuttavia, per selezionare quelle che aiutano di più la nostra immaginazione, non bisogna mai considerarne più di una o due alla volta, anche se nella questione in esame ne esistono molte altre. L’arte, infatti, consiste nel suddividerle il più possibile e nel concentrare l’attenzione su un numero limitato di elementi, pur prendendone in considerazione gradualmente tutti quanti.
L’unità è quella natura comune alla quale devono partecipare, come ho detto in precedenza, tutte le cose che vengono confrontate tra loro. E se nella questione non esiste già un’unità determinata, si può prendere al suo posto una delle grandezze già note, oppure qualsiasi altra; questa diventerà la misura di tutte le altre. In questa unità inseriamo tante dimensioni quante ne hanno gli estremi che devono essere confrontati tra loro; la concepiamo allora, o semplicemente come qualcosa di esteso, prescindendo da ogni altra considerazione (e in questo caso sarà identica al punto utilizzato dai geometri quando compongono una linea attraverso il suo movimento), oppure come una linea, o come un quadrato.
Per quanto riguarda le figure geometriche, è stato dimostrato in precedenza come sia proprio attraverso di esse che possiamo formarci idee su tutte le cose. Resta da precisare che, nella vasta diversità delle loro innumerevoli specie, qui ne utilizzeremo soltanto quelle che riescono a esprimere più facilmente tutte le differenze nei rapporti o nelle proporzioni. Ora, ci sono soltanto due tipi di quantità e grandezze che possiamo confrontare tra loro; inoltre, abbiamo anche due tipi di figure geometriche adatte a rappresentarle: i punti, ad esempio.
che indicano un certo numero di triangoli o un albero genealogico.
Sono figure utilizzate per rappresentare quantità; al contrario, quelle che sono continue e indivisibili, come un triangolo ∆ o un quadrato □, esprimono grandezze.
Ora, per dimostrare quali siano i principi che utilizzeremo in tutto ciò, è necessario sapere che tutti i rapporti che possono esistere tra gli esseri dello stesso genere si riducono a due: l’ordine e la misura. Inoltre, bisogna riconoscere che per individuare l’ordine è necessario un certo grado di abilità, come si può vedere in questo metodo, il quale in realtà non insegna quasi nulla altro. Quanto a comprendere l’ordine una volta che è stato individuato, non esistono difficoltà; possiamo facilmente, seguendo la regola sette, rivolgere il nostro pensiero verso ciascuna delle parti ordinate, poiché in questo tipo di rapporti le une si riferiscono alle altre direttamente, e non attraverso un terzo elemento, come avviene invece nelle misure, di cui ci occupiamo esclusivamente qui. Infatti, riconosco che esiste un ordine tra A e B, senza considerare nulla altro se non i due estremi; ma non riesco a comprendere quale sia la proporzione di grandezza tra due e tre, se non prendo in considerazione un terzo elemento, ovvero l’unità, che rappresenta la misura comune di entrambi.
Inoltre, è necessario sapere che le grandezze continue, grazie all’unità ipotizzata, possono talvolta essere ridotte tutte alla forma pluralistica, e sempre almeno in parte; e che la moltitudine di unità può essere disposta in modo tale che la difficoltà legata alla conoscenza delle misure dipenda esclusivamente dall’esame dell’ordine, un aspetto nel quale l’arte rappresenta un grande aiuto.
È necessario comprendere infine che, tra le dimensioni di una grandezza continua, non ve n’è alcuna più chiaramente definita della lunghezza e della larghezza; non si deve considerare contemporaneamente più di due dimensioni nella stessa figura, ma soltanto due che siano diverse l’una dall’altra; poiché se si vogliono confrontare insieme più di due dimensioni che non sono simili, l’arte richiede che queste vengano esaminate una dopo l’altra e che ne venga osservata soltanto una alla volta.
Detto questo, si può facilmente concludere che sia necessario astrarre le proporzioni delle figure stesse di cui si occupano i geometri, così come di qualsiasi altra materia. A tal fine, è sufficiente utilizzare soltanto superfici rettangolari e linee dritte, che chiamiamo anch’esse figure, poiché servono altrettanto bene delle superfici per rappresentare un soggetto veramente esteso, come ho già detto; infine, con queste linee si possono rappresentare sia grandezze continue, sia la pluralità e il numero. L’ingegnosità umana non può trovare nulla di più semplice per esporre tutte le differenze nei rapporti tra queste entità.
Regola quindicesima
Spesso è utile tracciare queste figure e mostrarle ai sens esterni, in modo da mantenere più facilmente la nostra attenzione concentrata.
Appare di per sé come devono essere tracciati, affinché nel momento in cui colpiscono i nostri occhi la loro forma si rappresenti nella nostra immaginazione. Possiamo rappresentare l’unità in tre modi diversi: con un quadrato □, se la consideriamo sia lunga che larga; con una linea —, se la consideriamo soltanto lunga; e infine con un punto, se la consideriamo esclusivamente come elemento che contribuisce alla formazione della pluralità. Ma, in qualunque modo la rappresentiamo o la concepiamo, comprendiamo sempre che si tratta di un soggetto esteso in tutti i sensi e capace di un’infinità di dimensioni. Allo stesso modo, possiamo rappresentare visivamente i termini di una proposizione quando è necessario esaminarne contemporaneamente le diverse componenti: utilizzando un rettangolo nel quale due lati corrispondano alle due grandezze in questione.
se sono misurabili in termini di unità;
oppure di quest’altro:
Oppure di quella.
Se sono commensurabili, senza aggiungere nulla, a meno che non si tratti di una molteplicità di unità.
Se infine esaminiamo soltanto una di queste grandezze, rappresenteremo la linea mediante il rettangolo.
Di cui uno dei lati rappresenterà la grandezza proposta, e l’altro l’unità in questo modo.
Ciò avviene ogni volta che la stessa linea deve essere confrontata con una superficie qualsiasi; oppure semplicemente attraverso la linea stessa.
Se la si considera una lunghezza incomensurabile, oppure, in altri termini.
… …
Se si tratta di una moltitudine di unità.
Regola sedicesima
Per quanto riguarda ciò che non richiede l’attenzione dell’intelletto, sebbene sia necessario per giungere a una conclusione, è meglio indicarlo attraverso brevi note piuttosto che con figure complete. In questo modo la memoria non ci tradirà, e al contempo il pensiero non verrà distratto dalle altre operazioni a cui è impegnato nel tentativo di ricordare quel contenuto.
Au reste, comme, parmi les innombrables dimensions qui peuvent se figurer dans notre imagination, nous avons dit qu’on ne pouvait en embrasser plus de deux à la fois, d’un seul et même regard, soit des yeux, soit de l’esprit, il est bon de retenir toutes les autres assez exactement pour qu’elles puissent se présenter à nous toutes les fois que nous en aurons besoin. C’est dans ce but que la nature nous paraît avoir donné la mémoire ; mais comme elle est souvent sujette à faillir, et pour ne pas être obligés de donner une partie de notre attention à la renouveler, pendant que nous sommes occupés à d’autres pensées, l’art a fort à propos inventé l’écriture, à l’aide de laquelle, sans rien remettre à notre mémoire, et abandonnant notre imagination librement et sans partage aux idées qui l’occupent, nous confions au papier ce que nous voudrons retenir, et cela au moyen de courtes notes, de manière qu’après avoir examiné chaque chose séparément, d’après la règle neuvième, nous puissions, d’après la règle onzième, les parcourir tous par le mouvement rapide de la pensée, et en embrasser à la fois le plus grand nombre possible.
Ainsi tout ce qu’il faudra considérer comme l’unité, pour la solution de la question, nous le désignerons par une note unique, que l’on peut prendre arbitrairement. Mais pour plus de facilité, nous nous servirons des caractères a, b, c, etc., pour exprimer les grandeurs déjà connues, et A, B, C, pour les grandeurs inconnues, que nous ferons précéder des chiffres 1, 2, 3, 4, etc., pour en indiquer le nombre, et suivre des mêmes chiffres pour exprimer le nombre des relations qu’elles contiennent. Par exemple, si j’écris 2 a 3, c’est comme si je disais, le double de la grandeur représentée par a, laquelle contient trois rapports. Par ce moyen, non seulement nous économiserons les mots, mais encore, ce qui est capital, nous présenterons les termes de la difficulté tellement nus et tellement dégagés, que même en n’oubliant rien d’utile, nous n’y laisserons cependant rien qui soit superflu, et qui occupe en vain la capacité de notre esprit quand il lui faudra embrasser plusieurs choses à la fois.
Pour rendre tout ceci plus clair, remarquez d’abord que les calculateurs ont coutume de désigner chaque grandeur par plusieurs unités, ou par un nombre quelconque, tandis que nous, nous ne faisons ici pas moins abstraction des nombres, que tout à l’heure des figures de géométrie ou de toute autre chose que ce soit. Nous le faisons dans le dessein, et d’éviter l’ennui d’un calcul long et superflu, et principalement de laisser toujours distinctes les parties du sujet dans lesquelles consiste la difficulté, sans les envelopper dans des nombres inutiles. Ainsi soit cherchée la base d’un triangle rectangle, dont les côtés donnés sont 9 et 12, un calculateur dira que c’est :
Pour nous, à la place de 9 et 12, nous mettrons a et b, et nous trouverons que la base est :
ainsi resteront distinctes ces deux parties, a et b, qui dans le nombre sont confuses.
Il faut remarquer ensuite que, par nombre des relations, il faut entendre les proportions qui se suivent en ordre continu, proportions que dans l’algèbre vulgaire on cherche à exprimer par plusieurs dimensions et figures, et dont on appelle la première racine, la seconde carré, la troisième cube, la quatrième carré carré, mots qui, je l’avoue, m’ont longtemps trompé. Il me semblait en effet qu’on ne pouvait offrir à mon imagination rien de plus clair, après la ligne et le carré, que le cube et d’autres figures semblables. Elles me servaient même à résoudre bon nombre de difficultés ; mais enfin, après beaucoup d’expériences, je me suis aperçu que je n’avais rien trouvé par cette manière de concevoir que je n’eusse pu reconnaître plus facilement et plus distinctement sans elle ; qu’il fallait enfin repousser tous ces noms, de peur qu’ils ne troublassent notre conception, par la raison que la même grandeur, qu’on l’appelle cube ou carré carré, ne doit cependant jamais, d’après la règle précédente, se présenter à notre imagination que comme une ligne ou une surface. Il faut noter avant tout que la racine, le carré, le cube, ne sont que des grandeurs en proportion continue, que l’on suppose toujours précédées de cette unité d’emprunt dont nous avons déjà parlé. C’est à cette unité que la première proportionnelle se rapporte immédiatement, et par une relation unique ; la seconde, qui a pour intermédiaire la première, par deux relations ; la troisième, qui a pour intermédiaire la première et la seconde, par trois relations ; nous appellerons donc désormais première proportionnelle la grandeur qui, en algèbre, porte le nom de racine ; seconde proportionnelle, le carré ; et ainsi de suite.
Enfin, remarquons que, quoique nous croyions ici devoir abstraire de certains nombres les termes de la difficulté pour en examiner la nature, il arrive souvent qu’elle eût pu être résolue plus simplement avec les nombres donnés, que dégagée de ces nombres. Cela a lieu par le double usage des nombres, dont nous avons plus haut touché quelque chose ; c’est que les mêmes expliquent tantôt l’ordre, tantôt la mesure Et partant, après avoir cherché la solution de la difficulté lorsque cette difficulté est exprimée par des termes généraux, il faut la rappeler aux nombres donnés, pour voir si par hasard ils ne nous donneraient pas eux-mêmes une solution plus simple. Par exemple, après avoir vu que la base d’un triangle rectangle dont les côtés sont a et b était :
que pour a2 il fallait placer 81, et pour b2 144, qui, ajoutés l’un à l’autre, font 225, dont la racine ou la moyenne proportionnelle entre l’unité et 225 est 15 ; nous en concluons que la base 15 est commensurable avec les côtés 9 et 12, non généralement parce que c’est la base d’un triangle rectangle, dont un des côtés est à l’autre comme 3 à 4. Tout cela nous le distinguons, nous qui cherchons à avoir des choses une connaissance claire et nette ; mais les calculateurs ne s’en inquiètent pas, se contentant de rencontrer la somme cherchée, sans remarquer comment elle dépend des données, seul et unique point dans lequel consiste la science.
Enfin, il faut observer en général qu’il ne faut confier à sa mémoire rien de ce qui n’exige pas une attention perpétuelle, si l’on peut le déposer sur le papier, de peur que ce souvenir superflu ne dérobe une partie de notre esprit à la pensée de l’objet présent. Il faut dresser une table pour y écrire les termes de la question, telle qu’elle aura été pro posée la première fois ; ensuite nous indiquerons comment on les abstrait, et par quels signes on les représente, afin que, quand les signes mêmes nous auront donné la solution, nous puissions l’appliquer sans aucun secours de notre mémoire au sujet particulier ; en effet, on ne peut abstraire une chose que d’une autre moins générale. J’écrirai donc de cette manière : on cherche la base A, C dans le triangle rectangle A, B, C ; et j’abstrais la difficulté pour chercher en général la grandeur de la base d’après la grandeur des côtés ; ensuite, au lieu de ab, qui égale 9, au lieu de bc, qui égale 12, je pose b,
et ainsi de reste.
Il faut noter en outre que ces quatre règles nous serviront encore dans la troisième partie de ce traité, mais prises dans une plus grande latitude qu’ici, comme il sera dit en son lieu.
Règle dix-septième
Il faut parcourir directement la difficulté proposée, en faisant abstraction de ce que quelques-uns de ses termes sont connus et les autres inconnus, et en suivant, par la marche véritable, la mutuelle dépendance des unes et des autres.
Les quatre dernières règles ont appris comment les difficultés déterminées et parfaitement comprises doivent être abstraites de chaque sujet, et réduites au point qu’on n’ait plus rien à chercher que quelques grandeurs que l’on connaîtra, par ce qu’elles se rapportent de telle ou telle façon à certaines données. Maintenant nous exposerons dans les cinq règles suivantes comment ces difficultés doivent être traitées, de façon que toutes les grandeurs inconnues, contenues dans une proportion, soient subordonnées les unes aux autres, et que le rang que la première occupe par rapport à l’unité, la seconde l’occupe à l’égard de la première, la troisième à l’égard de la seconde, la quatrième à l’égard de la troisième, et ainsi de suite, si le nombre va plus loin, pour qu’elles fassent une somme égale à une grandeur connue ; et tout cela par une méthode tellement certaine, que nous pouvons affirmer sûrement qu’aucun autre procédé n’eût pu la réduire à des termes plus simples.
Furthermore, since, among the countless dimensions that can be conceived in our imagination, we have said that it is impossible to grasp more than two of them at once, whether with the eyes or the mind, it is useful to retain all the others with sufficient accuracy so that they can present themselves to us whenever we need them. It is for this purpose that nature seems to have given us memory; but since memory is often subject to failure, and in order not to be forced to devote part of our attention to its renewal while we are engaged in other thoughts, art has very appropriately invented writing. With the help of writing, without relying on our memory at all, and by allowing our imagination to be freely devoted entirely to the ideas that occupy it, we can confide to paper whatever we wish to retain—through brief notes. In this way, after examining each thing separately, in accordance with the ninth rule, we can then, following the eleventh rule, review them all in the rapid flow of thought and grasp as many of them as possible at once.
Thus, everything that must be considered as a unit in order to solve a problem will be denoted by a single symbol, which can be chosen arbitrarily. For greater convenience, we will use the characters a, b, c, etc., to represent known quantities, and A, B, C, etc., to represent unknown quantities. We will precede these symbols with the numbers 1, 2, 3, 4, etc., to indicate their quantity, and also use these same numbers to denote the number of relationships they contain. For example, if I write 2 a 3, it means “the double of the quantity represented by a, which contains three relationships.” In this way, we will not only save on words but, more importantly, we will present the elements of the problem in such a clear and concise manner that, even if we do not omit anything useful, we will not include anything superfluous—nothing that would unnecessarily consume the capacity of our minds when we need to consider multiple aspects at once.
To make all this clearer, note first that computers usually refer to each quantity using multiple units or some specific number, whereas we, here, also set aside the numbers—just as we did earlier with geometric figures or any other entity. We do so in order to avoid the tediousness of lengthy and unnecessary calculations, and primarily to keep clearly distinguished those aspects of the problem that constitute its difficulty, without enveloping them in irrelevant numbers. Thus shall we seek the base of a right-angled triangle whose given sides are 9 and 12; a computer would say that it is.
For us, instead of using 9 and 12, we will use a and b, and we will find that the base is:
In this way, those two parts, a and b, which are confused when considered in terms of quantity, will remain distinct.
It must also be noted that, in many cases, by “relations” we mean the proportions that occur in a continuous sequence; these proportions, in elementary algebra, are sought to be expressed through various dimensions and geometric figures. We refer to the first of these proportions as the “root,” the second as the “square,” the third as the “cube,” and the fourth as the “square of a square.” I must admit that these terms once misled me for a long time. It seemed to me that, after the line and the square, nothing could be more clear or straightforward to my understanding than the cube and similar figures. In fact, they even helped me solve many problems; but after much experimentation, I realized that everything I had learned in this way could have been understood just as easily and clearly without those terms. Ultimately, I decided to abandon all such names, for fear that they might confuse our understanding of these concepts. After all, the same quantity, whether called a cube or a square of a square, must always be perceived by our imagination as either a line or a surface, according to the aforementioned rules. Above all, it should be remembered that the “root,” the “square,” and the “cube” are merely quantities that exist within a continuous proportionality system; these proportions are always assumed to begin with some fundamental unit of measurement about which we have already discussed. The first proportional relationship is directly related to this fundamental unit through a single relationship; the second, which involves the first as an intermediate step, is related through two relationships; and the third, which involves both the first and the second, is related through three relationships. Henceforth, we will refer to the quantity that in algebra is called the “root” as the “first proportional relationship,” the square as the “second proportional relationship,” and so on.
Finally, it should be noted that although we believed here that we needed to abstract certain terms related to the difficulty in order to examine its nature, it often happens that the difficulty could have been resolved more simply using the given numbers themselves, rather than by abstracting those terms. This occurs due to the dual use of numbers, which we have touched upon earlier; namely, the same numbers can sometimes be used to explain order and sometimes to explain measure. Therefore, after attempting to find a solution to a difficulty expressed in general terms, it is necessary to refer back to the given numbers to see if, by chance, they might not themselves provide a simpler solution. For example, after realizing that the base of a right-angled triangle with sides of length a and b is.
That for a2, the value 81 must be used, and for b2, the value 144; when added together, they yield 225. The root or proportional mean between 1 and 225 is 15. From this, we conclude that the base 15 is commensurable with the sides 9 and 12—not merely because it is the base of a right-angled triangle, where one side is to the other as 3 is to 4. All of this is clear and distinct for us, who seek a clear and precise understanding of these matters; but calculators do not bother with such details, content to obtain the desired sum without noticing how it depends on the given data—this being the sole and essential aspect of true science.
Finally, it must be noted in general that one should not entrust to memory anything that does not require constant attention—especially if it can be recorded on paper—for fear that such unnecessary memories might divert a part of our mind away from focusing on the present object under consideration. One should create a “table” to write down the terms of the problem as they were initially stated; then, one can determine how to abstract these terms and by what symbols to represent them. In this way, when the symbols themselves provide us with the solution, we will be able to apply it without any reliance on our memory regarding that particular matter. Indeed, one can only abstract something from something less general. For example, I would write it this way: “We seek the base A and C in the right triangle A, B, C”; by abstracting these concepts, I can generally determine how to find the length of a base based on the lengths of its sides. Then, instead of using specific values like ab (which equals 9) or bc (which equals 12), I would simply use the symbols b and c.
and so on.
It should also be noted that these four rules will still be useful to us in the third part of this treatise, but they will be applied in a broader context than here, as will be explained in their respective places.
Rule Seventeen
One must directly confront the difficulty posed, setting aside the fact that some of its terms are known while others are unknown, and by following the true relationship of mutual dependence between them.
The last four rules have shown us how to abstract those difficulties that are clearly defined and thoroughly understood from any given subject, and to reduce them to such a degree that all that remains to be determined is the value of a few known quantities, based on their relationships to certain given data. In the following five rules, we will explain how these difficulties should be approached so that all the unknown quantities contained within a given proportion can be systematically related to one another; in other words, so that the position of each unknown quantity relative to the unit quantity can be clearly established—whether it is the second quantity in relation to the first, the third in relation to the second, and so on, as far as the number of quantities involved permits—so as to arrive at a sum equal to a known quantity. And all this through a method so reliable that we can be absolutely certain that no other approach could have achieved the same result in a more concise or straightforward manner.
Del resto, poiché, tra le innumerevoli dimensioni che possono essere concepite nella nostra immaginazione, abbiamo detto che non possiamo abbracciarne più di due contemporaneamente, sia con lo sguardo che con l’intelletto, è utile ricordare con sufficiente precisione tutte le altre, in modo che possano presentarsi a noi ogni volta che ne avremo bisogno. È proprio per questo scopo che la natura ci ha dato la memoria; ma poiché essa spesso fallisce, e affinché non fossimo costretti a dedicare parte della nostra attenzione al suo rinnovo mentre siamo impegnati in altre riflessioni, l’arte ha inventato opportunamente la scrittura. Grazie ad essa, senza affidarci alla memoria e lasciando libera la nostra immaginazione alle idee che la occupano, possiamo trasferire sul foglio ciò che desideriamo ricordare, attraverso brevi appunti. In questo modo, dopo aver esaminato ciascuna cosa separatamente, secondo la nona regola, possiamo poi rivederle tutte insieme, con il rapido movimento del pensiero, e abbracciarne così il maggior numero possibile.
Pertanto, tutto ciò che dovrà essere considerato come l’unità necessaria per risolvere un problema verrà designato da una nota unica, che si può scegliere arbitrariamente. Tuttavia, per maggiore facilità di comprensione, utilizzeremo i caratteri a, b, c, ecc., per indicare le grandezze già conosciute, e A, B, C, per quelle sconosciute; a queste notazioni aggiungeremo i numeri 1, 2, 3, 4, ecc., per specificarne il numero, nonché gli stessi numeri per indicare il numero di relazioni che tali grandezze contengono. Ad esempio, se scrivo “2 a 3”, significa che si tratta del doppio della grandezza rappresentata da “a”, la quale contiene tre relazioni. Con questo metodo non solo risparmieremo parole, ma soprattutto presenteremo i termini in questione in modo così chiaro e semplice che, anche senza tralasciare nulla di utile, non rimarrà nulla di superfluo che possa occupare inutilmente la capacità del nostro pensiero quando sarà necessario affrontare più argomenti contemporaneamente.
Per rendere tutto ciò più chiaro, notiamo innanzitutto che i calcolatori hanno l’abitudine di designare ogni grandezza con diverse unità o con un numero qualsiasi, mentre noi, in questo caso, facciamo altrettanto astrazione dai numeri, proprio come poco fa abbiamo fatto astrazione dalle figure geometriche o da qualsiasi altra cosa. Lo facciamo allo scopo di evitare noie derivanti da calcoli lunghi e superflui, e soprattutto per mantenere sempre distinte le parti del problema che costituiscono la difficoltà, senza avvolgerle in numeri inutili. Ecco quindi come si può cercare la base di un triangolo rettangolo i cui lati dati sono 9 e 12: un calcolatore dirà che.
Per noi, al posto dei numeri 9 e 12, utilizzeremo le lettere “a” e “b”, e scopriremo che la base è.
In questo modo, queste due parti, a e b, che nel numero sono confuse, rimarranno distinte.
È necessario notare inoltre che, per molti casi, con “proporzioni” si intendono quelle relazioni che seguono un ordine continuo; tali proporzioni, nell’algebra comune, vengono spesso espresse attraverso diverse dimensioni e figure. Si definisce “radice prima” quella figura che rappresenta il primo grado di una proporzione, “quadrato” il secondo grado, “cubo” il terzo grado, e così via. Devo ammettere che questi termini mi hanno a lungo confuso: mi sembrava infatti che, dopo la linea e il quadrato, non ci fosse nulla di più chiaro da comprendere nell’algebra, come il cubo o altre figure simili. Queste figure mi aiutavano persino a risolvere molte difficoltà; tuttavia, dopo molte esperienze, ho capito che, in realtà, non avevo scoperto nulla di nuovo attraverso questo modo di concepire le cose, se non ciò che avrei potuto comprendere altrettanto facilmente e chiaramente senza di esso. Bisogna quindi abbandonare tutti questi termini, per evitare che confondano la nostra comprensione dei concetti matematici: infatti, la stessa grandezza, chiamata cubo o quadrato quadrato, non può mai presentarsi alla nostra immaginazione se non come una linea o una superficie. È fondamentale ricordare che radice, quadrato e cubo sono soltanto espressioni di grandezze in rapporto continuo; si presuppone sempre che queste grandezze siano precedute da quell’unità di riferimento di cui abbiamo già parlato. La prima proporzioneale è direttamente legata a questa unità di riferimento, attraverso una relazione unica; la seconda proporzioneale, che include anche la prima, attraverso due relazioni; la terza, che include sia la prima che la seconda, attraverso tre relazioni. Per questo motivo, da ora in poi chiameremo “prima proporzioneale” quella grandezza che nell’algebra è denominata radice, “seconda proporzioneale” il quadrato, e così via.
Infine, notiamo che, sebbene qui credessimo di dover separare alcuni termini legati alla difficoltà per esaminarne la natura, spesso si scopre che tale difficoltà potrebbe essere risolta in modo più semplice utilizzando i numeri dati, piuttosto che eliminandoli. Ciò avviene a causa del doppio uso dei numeri, di cui abbiamo già parlato in precedenza; infatti, gli stessi numeri possono talvolta spiegare l’ordine e talvolta la misura. Pertanto, dopo aver cercato una soluzione alla difficoltà quando questa è espressa attraverso termini generali, bisogna riferirsi ai numeri dati per vedere se, per caso, essi non possano fornirci da soli una soluzione più semplice. Ad esempio, dopo aver constatato che la base di un triangolo rettangolo i cui lati sono a e b è.
Che per a2 fosse necessario inserire il numero 81 e per b2 il numero 144; questi due numeri, sommati insieme, danno 225. La radice quadrata di 225, ovvero la proporzione media tra l’unità e 225, è 15. Da ciò concludiamo che la base 15 sia commensurabile con i lati 9 e 12. Non necessariamente perché si tratti della base di un triangolo rettangolo, nel quale uno dei lati è all’altro come 3 a 4. Tutto ciò lo riconosciamo noi, che cerchiamo di avere una conoscenza chiara e precisa delle cose; ma i calcolatori non se ne curano affatto, accontentandosi semplicemente di ottenere la somma desiderata, senza notare in che modo essa dipenda dalle dati forniti. Questo è l’unico aspetto veramente importante della scienza.
Infine, bisogna osservare in generale che non si dovrebbe affidare alla memoria nulla di ciò che non richiede un’attenzione continua; se possibile, è meglio trascrivere tali informazioni su carta, per evitare che ricordi superflui sottraggano parte della nostra mente alle riflessioni sull’oggetto attuale. È necessario redigere una lista con i termini del problema, così come sono stati proposti la prima volta; successivamente si indica come questi termini possano essere astratti e con quali segni possano essere rappresentati, in modo che, quando anche i segni stessi forniranno la soluzione, si possa applicarla senza alcun aiuto della memoria. Infatti, si può astrarre qualcosa solo da un’altra cosa meno generale. Scriverò quindi in questo modo: “Si cerca la base A, C nel triangolo rettangolo A, B, C”; così facendo, astraggo il problema per cercare, in modo generale, il valore della base in funzione dei valori dei lati; successivamente, al posto di ab, che è uguale a 9, e al posto di bc, che è uguale a 12, utilizzo semplicemente b.
E così via.
Va inoltre sottolineato che queste quattro regole ci saranno ancora utili nella terza parte di questo trattato, ma applicate in un contesto più ampio rispetto a quanto visto qui, come verrà spiegato nel luogo appropriato.
Regola diciassettesima
È necessario affrontare direttamente la difficoltà proposta, ignorando il fatto che alcuni dei suoi termini siano noti e altri no, e seguendo, attraverso un percorso logico, la reciproca dipendenza tra di essi.
Le ultime quattro regole hanno insegnato come le difficoltà ben definite e perfettamente comprese debbano essere estratte da ogni singolo problema e ridotte al punto che non rimanga altro da cercare se non alcune grandezze già conosciute, in base al loro rapporto con determinati dati. Ora esporremo nelle cinque regole seguenti come queste difficoltà debbano essere affrontate, in modo che tutte le grandezze sconosciute contenute in una data proporzione siano subordinate l’una all’altra; e che il rapporto che la prima grandezza ha rispetto all’unità, quello che la seconda ha rispetto alla prima, quello che la terza ha rispetto alla seconda, e così via, si mantenga costantemente, anche quando il numero delle grandezze aumenta, affinché il loro totale sia uguale a una grandezza conosciuta. E tutto ciò attraverso un metodo così sicuro da permetterci di affermare con certezza che nessun altro procedimento potrebbe ridurle in termini ancora più semplici.
Mais quant à présent, il faut remarquer que, dans toute question à résoudre par déduction, il est une voie simple et directe par laquelle nous pouvons passer d’un terme à un autre avec la plus grande facilité, tandis que tous les autres chemins sont indirects et plus difficiles. Pour comprendre ceci, il suffit de se rappeler ce que nous avons dit à la règle XIe, où nous avons exposé quel est l’enchaînement des propositions, qui, comparées isolément, chacune avec la plus voisine, nous laissent facilement apercevoir comment la première et la dernière sont en rapport, encore bien que nous ne puissions pas aussi facilement déduire les intermédiaires des extrêmes. Maintenant, si nous considérons la dépendance de chacune entre elles, sans que l’ordre soit nulle part interrompu, pour conclure de là comment la dernière dépend de la première, nous parcourons directement la difficulté. Mais au contraire, si, de ce que nous savons que la première et la dernière sont jointes entre elles par une connexion quelconque, nous voulions en déduire les intermédiaires qui les unissent, ce serait suivre la marche indirecte et contraire à l’ordre naturel. Mais comme ici nous ne nous occupons que de questions enveloppées, dans lesquelles il faut découvrir par une marche inverse, les extrêmes étant connus, certains termes intermédiaires, tout l’art en ce lieu doit consister à pouvoir, en supposant connu ce qui ne l’est pas, nous munir d’un moyen facile et direct de recherche même dans les difficultés les plus embarrassées ; et rien n’empêche que cela n’ait toujours lieu, puisque nous avons supposé, au commencement de cette partie, que nous reconnaissons que les termes inconnus dans la question sont dans une mutuelle dépendance des termes connus, tellement qu’ils en sont parfaitement déterminés. Si donc nous réfléchissons aux choses qui se présentent d’abord aussitôt que nous reconnaissons cette détermination, et que nous les mettions, quoique inconnues, au nombre des choses connues, pour en déduire, graduellement et par la vraie route, le connu même comme s’il était inconnu, nous remplirons tout ce que cette règle exige. Nous en remettons les exemples, ainsi que d’autres choses dont nous avons à parler, à la règle vingt-quatrième, parce que ce sera mieux là leur place.
Règle dix-huitième
Pour cela il n’est besoin que de quatre opérations, l’addition, la soustraction, la multiplication et la division ; même les deux dernières n’ont souvent pas besoin d’être faites, tant pour ne rien embrasser inutilement, que parce qu’elles peuvent par la suite être plus facilement exécutées.
La multiplicité des règles vient souvent de l’ignorance des maîtres, et ce qui pourrait se réduire à un principe général unique est moins clair lorsqu’on le divise en plusieurs règles particulières. Aussi réduisons-nous sous quatre chefs seulement toutes les opérations dont nous avons besoin pour parcourir les questions, c’est-à-dire pour déduire les grandeurs les unes des autres. Comment Ce nombre est-il suffisant ? c’est ce que l’explication de cette règle démontrera.
En effet, si nous parvenons à la connaissance d’une grandeur parce que nous avons les parties dont elle se compose, cela a lieu par l’addition ; si nous connaissons une partie parce que nous avons le tout et l’excédant du tout sur la partie, cela se fait par soustraction. Il n’y a pas d’autre moyen pour déduire une grandeur quelconque d’autres grandeurs prises absolument, et dans lesquelles elle est contenue de quelque manière que ce soit. Si au contraire une grandeur est intermédiaire entre d’autres, dont elle est entièrement distincte et qui ne la contiennent nullement, il faut l’y rapporter par quelque point ; et ce rapport, si c’est directement qu’on le cherche, on le trouvera par la multiplication ; si c’est indirectement, par la division.
Pour éclaircir ces deux choses, il faut savoir que l’unité, dont nous avons déjà parlé, est ici là base et le fondement de tous les rapports, et que dans une série de grandeurs en proportion continue elle occupe le premier degré ; que les grandeurs données sont au second degré ; que dans le troisième, le quatrième et les autres sont les grandeurs cherchées si la proportion est directe ; si au contraire elle est indirecte, l’inconnu est dans le second degré et dans les degrés intermédiaires, et le connu dans le dernier. Car si l’on dit : comme l’unité est à a ou à 5, nombre donné, ainsi b ou 7, nombre donné, est à l’inconnu, lequel est a b ou 35, alors a et b sont au second degré, et ab qui en est le produit est au troisième ; si l’on ajoute, comme l’unité est à c ou g, ainsi ab ou 35 est à l’inconnu abc ou 315, alors abc est au quatrième degré, et le produit de deux multiplications d’a b et de c qui sont au second degré, et ainsi du reste. De même, comme l’unité est a = 5, ainsi à = 5 est à a² ou 25 ; et d’autre part, comme l’unité est à a = 5, ainsi a² ou 25 est à a3 ou 125 ; et enfin, comme l’unité est à a = 5, ainsi a² = 125 est à a4 qui égale 625, etc. En effet, la multiplication ne se fait pas autrement, qu’on multiplie une même grandeur par elle-même, ou qu’on la multiplie par une autre qui en diffère entièrement.
Maintenant si l’on dit : comme l’unité est à a=5, diviseur donné, ainsi B ou r inconnu est à ab ou 35, dividende donné, l’ordre est renversé. Aussi B inconnu ne peut se trouver qu’en divisant a b par a donné aussi ; de même si l’on dit, comme l’unité est à a ou 5 inconnu, ainsi a ou 5 inconnu est à A² ou 25 donné, ou encore comme l’unité est à A=5 inconnu, ainsi A² ou 25 cherché, est à A3 ou 125 donné, et ainsi de suite. Nous embrassons toutes ces opérations sous le titre de division, quoiqu’il faille noter que ces dernières espèces renferment plus de difficultés que les premières, parce que souvent la grandeur cherchée y est contenue, laquelle par conséquent renferme plus de rapports. Car ces exemples reviennent à dire, qu’il faut extraire la racine carrée de a² ou 25, ou le cube de a3 ou 125, et ainsi de suite. Cette manière de s’exprimer, usitée parmi les calculateurs, équivaut, pour nous servir des expressions des géomètres, à cette forme, qu’il faut chercher la moyenne proportionnelle, entre cette grandeur de laquelle on part, et que nous nommons unité, et celle que nous désignons par a², ou les deux moyennes proportionnelles entre l’unité et a3, et ainsi des autres.
De là, on comprend facilement comment ces deux opérations suffisent pour faire trouver toutes les grandeurs, qui par un rapport quelconque doivent se déduire de certaines autres. Cela bien entendu, il nous reste à exposer comment ces opérations doivent être ramenées à l’examen de l’imagination, et comment il faut les figurer aux yeux, pour ensuite en expliquer l’usage et la pratique.
S’il s’agit de faire une division, ou une soustraction, nous concevons le sujet sous la forme d’une ligne ou d’une grandeur étendue dans laquelle il ne faut considérer que la longueur. Car s’il faut ajouter la ligne a à la ligne b, nous joindrons l’une à l’autre de cette manière et nous aurons
Si au contraire il faut extraire la plus petite de la plus grande, par exemple b de a, nous les appliquons l’une sur l’autre ainsi, , et nous avons la partie de la plus grande que la plus petite ne peut couvrir, à savoir . Dans la multiplication nous aurons aussi ces grandes données sous la forme de lignes ; mais nous imaginons qu’elles forment un rectangle, car si nous multiplions a par b, nous adoptons nos deux lignes à angle droit ab de cette manière :
Et nous avons le rectangle :
De plus, si nous voulons multiplier par , il faut concevoir ab comme une ligne, savoir , pour avoir :
Enfin dans la division où le diviseur est donné, nous imaginons que la grandeur à diviser est un rectangle, dont un des côtés est diviseur de l’autre quotient. Ainsi soit le rectangle :
à diviser par , on ôte la largeur et on a pour quotient,
ou au contraire si on divise par on ôtera la largeur et le quotient sera
But for the time being, it must be noted that in any problem to be solved by deduction, there is always a simple and direct method whereby we can proceed from one term to another with the greatest ease, whereas all other approaches are indirect and more difficult. To understand this, it is sufficient to recall what we said in Rule XI, where we explained the sequence of propositions that, when considered individually and in relation to their nearest neighbors, allow us to easily discern how the first proposition is related to the last one, even if it is not so easy to deduce the intermediate steps. Now, if we consider the interdependence of these propositions, assuming that the order is never interrupted anywhere, and try to determine how the last proposition depends on the first one, we are taking a direct approach and overcoming the difficulty directly. On the other hand, if we attempt to deduce the intermediate steps from the fact that the first and last propositions are connected in some way, we would be following an indirect path that goes against the natural order of things. However, since here we are only dealing with problems where certain intermediate terms need to be discovered through a reverse process, given that the extremes are already known, the whole art of such reasoning consists in being able to provide a simple and direct method for finding these intermediate terms, even in the most complex situations—assuming that what is unknown is in some way determined by what is known. And there is no reason why this should not always be possible, since at the beginning of this section we assumed that we could identify the unknown terms within a problem as being mutually dependent on the known terms, such that they were thus perfectly determinable. Therefore, if we reflect on those elements that become apparent once we recognize this relationship between the known and unknown terms, and if we include these unknown terms among the known ones in order to gradually deduce the known conclusion through the proper sequence of reasoning, even though the intermediate steps are initially unknown, we will be fulfilling all the requirements of this rule. We shall reserve examples of this, as well as other matters that we have to discuss, for Rule Twenty-Four, since that is the more appropriate place for them.
Rule Eighteen
For this purpose, only four operations are needed: addition, subtraction, multiplication, and division; even the last two often do not have to be performed, either to avoid unnecessary complexity or because they can be executed more easily later on.
The multiplicity of rules often stems from the ignorance of their creators; what could be reduced to a single general principle becomes less clear when it is divided into numerous specific rules. Therefore, we limit all the operations necessary for solving problems—that is, for deriving one quantity from another—to just four categories. How is this number sufficient? This will be demonstrated by the explanation of these rules.
Indeed, if we come to know a certain quantity because we possess the individual parts that constitute it, this is achieved through addition; whereas if we know one of those parts because we have the whole and the excess of the whole over that part, then this is done through subtraction. There is no other way to derive a particular quantity from other quantities that are taken absolutely and in which it is somehow contained. On the other hand, if a quantity is intermediate between other quantities, completely distinct from them and containing none of them at all, then it must be related to those other quantities through some kind of connection; and if we seek this relationship directly, we will find it through multiplication; if indirectly, through division.
To clarify these two points, it is necessary to understand that the unit, about which we have already spoken, constitutes the basis and foundation of all relationships here; in a series of quantities arranged in a continuous proportion, the unit occupies the first degree; the given quantities are at the second degree; while in the third, fourth, and subsequent degrees, those quantities are sought if the proportion is direct; conversely, if the proportion is indirect, the unknown quantity lies at the second or intermediate degrees, whereas the known quantities are at the final degree. For instance, if we say: “Just as the unit is to a or to 5, a given number, so b or 7, another given number, is to the unknown quantity, which is equal to ab or 35,” then a and b are at the second degree, and their product ab is at the third degree; if we further say: “Just as the unit is to c or g, so ab or 35 is to the unknown quantity abc or 315,” then abc is at the fourth degree, and the product of two quantities at the second degree, such as ab and c, will be at the corresponding intermediate degree, and so on. Similarly, since the unit is equal to a = 5, it follows that a is to a² or 25; likewise, since the unit is also equal to a = 5, it follows that a² or 25 is to a³ or 125; and finally, since the unit is equal to a = 5, it follows that a² = 125 is to a⁴, which equals 625, and so on. In fact, multiplication operates in this manner: either by multiplying a given quantity by itself, or by multiplying it by another quantity that is entirely different from it.
Now, if we say: just as the unit is related to a=5, given divisor, in the same way B or the unknown number r is related to ab or 35, given dividend, then the order is reversed. Therefore, the unknown B can only be found by dividing ab by the given value of a; similarly, if we say: just as the unit is related to the unknown number a or 5, in the same way the unknown number a or 5 is related to the given value A² or 25, or again, just as the unit is related to the unknown number A=5, then the sought value A² or 25 is related to the given value A³ or 125, and so on. We include all these operations under the term “division,” although it should be noted that these latter cases involve greater difficulty than the former, because often the desired quantity is already contained within the initial data, which consequently entails more complex relationships. In fact, these examples are essentially saying that we need to find the square root of a² or 25, or the cube root of a³ or 125, and so on. This way of expressing things, commonly used by mathematicians, is equivalent, in terms of geometric notation, to seeking the mean proportional between the initial quantity (which we call the “unit”) and the desired quantity (such as a²), or between the unit and a³, and so on for other cases as well.
From this, it is easy to understand how these two operations are sufficient for determining all those quantities that, through some kind of relationship, must be derived from certain other quantities. Of course, what remains for us to explain is how these operations should be reduced to the realm of imagination, and how they must be visualized in our minds, so that their application and practice can then be understood.
If it is necessary to perform a division or subtraction, we conceive the subject in the form of a line or a quantity that extends in length—only the length needs to be considered. For if we are to add line a to line b, we will join them together in this manner, and thus we will obtain.
On the contrary, if we need to extract the smaller part from the larger one—for example, ‘b’ from ‘a’—we apply them to each other in this manner. Thus, we obtain the portion of the larger number that the smaller number cannot cover. In multiplication, these large numbers are also represented in the form of lines; but we imagine them forming a rectangle. Because when we multiply ‘a’ by ‘b’, we arrange our two lines at a right angle, as shown here.
And we have the rectangle:
Furthermore, if we wish to multiply by, we must conceive of ab as a line; in other words, we need to know in order to obtain:
Finally, in the case where the divisor is given, we assume that the quantity to be divided is a rectangle, one of whose sides is equal to the divisor and the other side represents the quotient. Let such a rectangle be.
When divided by,, the width is subtracted, and the resulting quotient is.
or conversely, if we divide by,, we will remove the width, and the quotient will be.
Ma per quanto riguarda il presente, bisogna notare che, in qualsiasi questione debba essere risolta attraverso la deduzione, esiste un percorso semplice e diretto che ci permette di passare da un termine all’altro con estrema facilità, mentre tutti gli altri metodi sono indiretti e più difficili. Per comprendere questo, basta ricordare quanto abbiamo detto nella regola XI, dove abbiamo spiegato quale sia la sequenza delle proposizioni; queste, se considerate isolate l’una rispetto all’altra, ci permettono facilmente di capire come la prima e l’ultima siano collegate tra loro, anche se non possiamo altrettanto facilmente dedurre i termini intermedi partendo dagli estremi. Ora, se consideriamo la dipendenza reciproca di ciascuna proposizione, senza che alcun ordine venga interrotto, possiamo concludere facilmente come l’ultima dipenda dalla prima; in questo modo percorriamo direttamente il cammino più semplice. Al contrario, se partendo dal fatto che la prima e l’ultima sono collegate tra loro da un certo legame, volessimo dedurre i termini intermedi che le uniscono, seguiremmo un percorso indiretto e contrario all’ordine naturale delle cose. Tuttavia, poiché qui ci occupiamo soltanto di questioni in cui è necessario scoprire, attraverso un procedimento inverso, alcuni termini intermedi partendo dagli estremi noti, l’intera arte consiste nel riuscire, assumendo come conosciuti quegli elementi che in realtà non lo sono, a fornirci un mezzo semplice e diretto per risolvere anche le questioni più complesse. E nulla impedisce che ciò avvenga sempre, poiché all’inizio di questa parte abbiamo già ipotizzato che i termini sconosciuti in una data questione siano strettamente dipendenti da quelli conosciuti, al punto di essere perfettamente determinati da questi ultimi. Quindi, se riflettiamo su ciò che emerge immediatamente non appena riconosciamo questa relazione di dipendenza, e consideriamo quei termini sconosciuti come se fossero noti, per poi dedurne gradualmente il contenuto conosciuto attraverso un percorso logico, avremo rispettato tutti i requisiti imposti da questa regola. Lasciamo gli esempi, così come altre questioni di cui parleremo in seguito, alla regola ventiquattresima, poiché lì troveranno il loro posto più appropriato.
Regola diciottesima
Per farlo, sono necessarie soltanto quattro operazioni: l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione; anche queste ultime due spesso non sono necessarie, sia per evitare di affrontare informazioni inutili, sia perché possono essere eseguite più facilmente in seguito.
La molteplicità delle regole deriva spesso dall’ignoranza di coloro che le stabiliscono; ciò che potrebbe essere ridotto a un unico principio generale diventa meno chiaro quando viene suddiviso in diverse regole particolari. Pertanto, riduciamo tutte le operazioni di cui abbiamo bisogno per risolvere i problemi – cioè per dedurre un valore da un altro – a soltanto quattro categorie principali. Come mai questo numero è sufficiente? È ciò che l’esplicazione di questa regola dimostrerà.
Infatti, se riusciamo a conoscere una grandezza perché possediamo le sue parti che la compongono, ciò avviene attraverso l’addizione; se conosciamo una parte perché disponiamo del tutto e dell’eccedenza di questo sulle singole parti, ciò avviene attraverso la sottrazione. Non esiste altro modo per dedurre una qualsiasi grandezza da altre grandezze assolutamente date, e in cui essa sia contenuta in qualche modo. Al contrario, se una grandezza è intermedia tra altre, delle quali è completamente distinta e che non la contengono affatto, è necessario stabilire un rapporto tra di esse; e questo rapporto, se lo si cerca direttamente, si troverà attraverso la moltiplicazione; se invece lo si cerca indirettamente, attraverso la divisione.
Per chiarire queste due questioni, è necessario sapere che l’unità, di cui abbiamo già parlato, costituisce qui la base e il fondamento di tutti i rapporti; in una serie di grandezze disposte in proporzione continua, essa occupa il primo grado; le grandezze date si trovano nel secondo grado; nel terzo, quarto e negli altri gradi si trovano le grandezze ricercate, qualora la proporzione sia diretta; al contrario, se la proporzione è indiretta, l’incognita si trova nel secondo grado e nei gradi intermedi, mentre il conosciuto si trova nell’ultimo grado. Ad esempio: se si dice “come l’unità è a 5, così b o 7 è all’incognita, che è 35”, allora a e b sono nel secondo grado, e il loro prodotto ab è nel terzo grado; se si aggiunge “come l’unità è a c o g, così ab è a abc o 315”, allora abc è nel quarto grado, e il prodotto di due moltiplicazioni di a e b, che sono nel secondo grado, segue lo stesso schema. Allo stesso modo: come l’unità è 5, così 5 è a 25; d’altra parte, come l’unità è 5, così 25 è a 125; infine, come l’unità è 5, così 125 è a 625, e così via. Infatti, la moltiplicazione avviene sempre in questo modo: si moltiplica una stessa grandezza per se stessa o per un’altra che ne differisce completamente.
Ora si dice: poiché l’unità è in relazione con a=5, dato divisore, allo stesso modo B o il valore sconosciuto r è in relazione con ab o 35, dato dividendo; quindi l’ordine delle operazioni viene invertito. Pertanto, il valore sconosciuto di B può essere determinato soltanto dividendo ab per a, dato. Allo stesso modo, si dice: poiché l’unità è in relazione con a o 5, valore sconosciuto, allo stesso modo a o 5 è in relazione con A² o 25, dato; oppure ancora: poiché l’unità è in relazione con A=5, valore sconosciuto, allora A² o 25, valore cercato, è in relazione con A³ o 125, dato, e così via. Includiamo tutte queste operazioni sotto il nome di “divisione”, anche se va notato che queste ultime presentano maggiori difficoltà rispetto alle prime, poiché spesso il valore cercato è già contenuto nei dati iniziali, il che comporta l’esistenza di un numero maggiore di rapporti da considerare. Infatti, questi esempi equivalgono, per usare le espressioni dei geometri, a quella ricerca della “media proporzionale” tra il valore di partenza, che chiamiamo “unità”, e il valore cercato; ad esempio, tra l’unità e a², o tra due medie proporzionali diverse, come quelle tra l’unità e a³, e così via.
Da ciò si comprende facilmente come queste due operazioni siano sufficienti per individuare tutte le grandezze che, attraverso un certo rapporto, devono essere derivate da altre determinate. Ovviamente, ci resta ancora da spiegare come queste operazioni debbano essere ricondotte all’esame dell’immaginazione e come debbano essere rappresentate mentalmente, affinché possano poi essere utilizzate concretamente nella pratica.
Se si tratta di eseguire una divisione o una sottrazione, concepiamo il soggetto sotto forma di una linea o di una grandezza estesa, nella quale bisogna considerare soltanto la sua lunghezza. Poiché, se dobbiamo aggiungere la linea a alla linea b, le uniremo in questo modo e otterremo.
Al contrario, se dobbiamo estrarre la parte più piccola da quella più grande – ad esempio, “b” da “a” – le applichiamo una sull’altra in questo modo. E otteniamo così la parte della più grande che la più piccola non può coprire. Nella moltiplicazione, queste informazioni vengono rappresentate anche sotto forma di linee; ma le immaginiamo disposte a formare un rettangolo: infatti, quando moltiplichiamo “a” per “b”, disponiamo le due linee in modo che formino un angolo retto, come mostrato qui.
E abbiamo quindi il rettangolo:
Inoltre, se vogliamo moltiplicare per, dobbiamo considerare ab come una linea, cioè, affinché otteniamo:
Infine, nella divisione in cui il divisore è noto, immaginiamo che la quantità da dividere sia un rettangolo, uno dei lati del quale sia divisore dell’altro lato, risultante della divisione. Che sia così questo rettangolo.
Dividendo per,, si sottrae la larghezza e si ottiene, come quoziente.
Oppure, se si divide per,, si eliminerà la larghezza e il quoziente risultante sarà.
Mais dans les divisions où le diviseur n’est pas donné, mais seulement indiqué par un rapport quelconque, comme quand on dit qu’il faut extraire la racine carrée ou cubique, etc., il faut alors concevoir le dividende et tous les autres termes, comme des lignes existant dans une série de proportions continues, dont la première est l’unité, et la dernière la grandeur à diviser ; au reste, comment il faudra trouver entre cette dernière et l’unité toutes les moyennes proportionnelles, c’est ce qui sera dit en son lieu. Il suffit d’avertir que nous supposons de telles opérations non encore achevées ici, puisqu’elles ne peuvent avoir lieu que par une direction inverse et réfléchie de l’imagination, et que nous ne traitons ici que des opérations qui se font directement.
Quant aux autres opérations, elles sont très faciles à faire, de la manière dont nous avons dit qu’il faut les concevoir. Il reste cependant à exposer comment les termes en doivent être préparés ; car, encore bien qu’à la première apparition d’une difficulté nous soyons libres d’en concevoir les termes, comme des lignes ou des rectangles, sans jamais leur attribuer d’autres figures, ainsi qu’il a été dit règle XIVe souvent cependant, dans le cours de l’opération, le rectangle une fois produit par la multiplication de deux lignes doit être bientôt conçu comme une ligne pour l’usage d’une autre opération, ou bien le même rectangle, ou la ligne produite par une addition ou une soustraction, doit être conçu comme un autre rectangle indiqué au-dessus de la ligne par laquelle il doit être divisé.
Il est donc nécessaire d’exposer ici comment tout rectangle peut se transformer en une ligne, et, d’autre part, la ligne ou même le rectangle enfin autre rectangle, dont le côté soit désigné ; cela est très aisé pour les géomètres pour peu qu’ils remarquent que par lignes, toutes les fois que nous les comparons, comme ici, avec un rectangle, nous concevons toujours des rectangles dont un côté est la longueur que nous avons prise pour unité. Ainsi tout se réduit à cette proposition-ci : Étant donné un rectangle, en construire un autre égal sur un côté donné.
Quoique cette opération soit familière aux moins avancés en géométrie, je l’exposerai cependant pour ne pas paraître avoir rien oublié.
Règle dix-neuvième
C’est par cette méthode qu’il faut chercher autant de grandeurs exprimées de deux manières différentes que nous supposons connus de termes inconnus, pour parcourir directement la difficulté ; car, par ce moyen, nous aurons autant de comparaisons entre deux choses égales.
Règle vingtième.
Après avoir trouvé les équations, il faut achever les opérations que nous avons omises, sans jamais employer la multiplication toutes les fois qu’il y aura lieu à division.
(Le reste manque.)
Règle vingt et unième.
S’il y a plusieurs équations de cette espèce, il faudra les réduire toutes à une seule, savoir à celle dont les termes occuperont le plus petit nombre de degrés, dans la série des grandeurs en proportion continue, selon laquelle ces termes eux-mêmes doivent être disposés.
FIN DES RÈGLES POUR LA DIRECTION DE L’ESPRIT
But in those cases where the divisor is not given explicitly but merely indicated by some kind of ratio—such as when it is said that one must find the square root or cube root, etc.—then the dividend and all the other terms must be conceived as lines existing within a continuous series of proportions, where the first term is the unit and the last term is the number to be divided. As for how to determine all the intermediate proportional values between the last term and the unit, that will be discussed in its proper place. It should be noted here that we assume such operations are not yet complete, since they can only be carried out through a reverse and reflected process of the imagination; moreover, we are only dealing with operations that can be performed directly.
As for the other operations, they are very easy to perform, in the manner we have described as their proper way of being conceived. However, it remains necessary to clarify how the terms used in these operations should be prepared; because, although at first encounter with a difficulty we are free to conceive the relevant terms in the form of lines or rectangles, without ever assigning them any other geometric figures—as rule XIV often states—yet, in the course of performing the operation, the rectangle obtained by multiplying two lines must soon be conceived in terms of another operation; or else, the same rectangle, or the line resulting from addition or subtraction, must be regarded as another type of rectangle, specifically indicated above the line that it is to be divided by.
It is therefore necessary to explain here how any rectangle can be transformed into a line, and likewise how a line—or even a rectangle—can be transformed into another rectangle, the side of which has been specified; this is quite easy for geometers, as long as they notice that whenever we compare lines with rectangles, as here, we are always considering rectangles one of whose sides corresponds to the length we have chosen as a unit. Thus, everything boils down to this proposition: Given a rectangle, construct another identical rectangle on one of its given sides.
Although this operation is familiar to those with even a basic understanding of geometry, I will still explain it in detail to ensure that nothing seems to have been overlooked.
Rule Nineteen
It is by this method that we must seek to find as many quantities expressed in two different ways as we suppose are known regarding the unknown terms, in order to directly overcome the difficulty; for in this way, we will have as many comparisons between two equal things.
Rule twenty.
After finding the equations, we must complete the operations that we have omitted, without ever using multiplication whenever division is required.
(The rest is missing.)
Rule twenty-one.
If there are several equations of this kind, it will be necessary to reduce them all to a single one—namely, to the equation whose terms will occupy the smallest number of degrees in the series of quantities arranged in continuous proportion, according to the order in which those terms themselves should be arranged.
END OF THE RULES FOR GUIDING THE MIND
Ma nelle divisioni in cui il divisore non è dato esplicitamente, ma viene indicato soltanto attraverso un determinato rapporto – come quando si dice di dover estrarre la radice quadrata o cubica, ecc. – allora è necessario considerare il dividendo e tutti gli altri termini come linee che fanno parte di una serie di proporzioni continue, la cui prima componente è l’unità e l’ultima la grandezza da dividere. Per quanto riguarda il modo in cui si devono trovare tutte le medie proporzionali tra quest’ultima e l’unità, questo verrà spiegato in un momento successivo. Basta ricordare che qui supponiamo che tali operazioni non siano ancora state completate, poiché possono avvenire soltanto attraverso un processo inverso e riflessivo dell’immaginazione; inoltre, qui ci occupiamo esclusivamente di operazioni che si svolgono in modo diretto.
Per quanto riguarda le altre operazioni, sono molto semplici da eseguire, nel modo in cui abbiamo detto che devono essere concepite. Tuttavia, rimane ancora da spiegare come i termini utilizzati in queste operazioni debbano essere preparati; infatti, anche se all’insorgere di una difficoltà possiamo liberamente concepire tali termini come linee o rettangoli, senza mai attribuirgli altre forme, come indicato nella Regola XIV, spesso, nel corso dell’esecuzione delle operazioni, il rettangolo ottenuto moltiplicando due linee deve essere considerato a sua volta una linea per l’utilizzo in un’altra operazione; oppure lo stesso rettangolo, o la linea risultante da un’addizione o sottrazione, deve essere concepito come un altro rettangolo, indicato sopra la linea con cui deve essere diviso.
È quindi necessario spiegare qui come ogni rettangolo possa trasformarsi in una linea, e, d’altra parte, come anche la linea o il rettangolo possano trasformarsi in un altro rettangolo, il cui lato sia specificato; ciò è molto semplice per i geometri, purché si rendano conto che, ogni volta che confrontiamo le linee con un rettangolo, come in questo caso, immaginiamo sempre dei rettangoli il cui lato corrisponda alla lunghezza che abbiamo scelto come unità di misura. Così, tutto si riduce a questa semplice proposizione: dato un rettangolo, costruirene un altro uguale su uno dei suoi lati.
Sebbene questa operazione sia nota a coloro che hanno una conoscenza di base di geometria, la descriverò comunque per non dare l’impressione di aver dimenticato qualcosa.
Regola diciannovesima
È con questo metodo che dobbiamo cercare quante più grandezze possano essere espresse in due modi diversi, quelle che supponiamo siano note riguardo a termini sconosciuti; in questo modo potremo superare direttamente le difficoltà, poiché avremo così molte più possibilità di confronto tra due elementi uguali.
Regola ventesima.
Dopo aver trovato le equazioni, è necessario completare le operazioni che abbiamo tralasciato, senza mai utilizzare la moltiplicazione ogni volta che sia richiesta la divisione.
(Mancano le restanti parti del testo.)
Regola ventunesima.
Se ci sono più equazioni di questo tipo, sarà necessario ridurle tutte a una sola, cioè a quella i cui termini occupino il minor numero di gradi nella serie delle grandezze in proporzione continua, secondo la quale tali termini devono essere disposti.
Fine delle regole per la guida dello spirito.