Descartes
Abstract
A short technical treatise on simple machines (pulley, inclined plane, wedge, screw, lever), based on the principle of proportionality between force and distance. A work of practical mechanics, without philosophical development.
Connections
Concetti: causa
Forme: trattato
Testo originale francese · Arvensa Editions · pubblico dominio
Explication des machines et des engins
PAR L’AIDE DESQUELS ON PEUT AVEC UNE PETITE FORCE LEVER UN FARDEAU FORT PESANT.
L’invention de tous ces engins n’est fondée que sur un seul principe, qui est que la même force qui peut lever un poids, par exemple, de cent livres à la hauteur de deux pieds, en peut aussi lever un de deux cents livres à la hauteur d’un pied, ou un de quatre cents à la hauteur d’un demi-pied, et ainsi des autres, si tant est qu’elle lui soit appliquée.
Et ce principe ne peut manquer d’être reçu si on considère que l’effet doit être toujours proportionné à l’action qui est nécessaire pour le produire ; de façon que, s’il est nécessaire d’employer l’action par laquelle on peut lever un poids de cent livres à la hauteur de deux pieds pour en lever un à la hauteur d’un pied seulement, celui-ci doit peser deux cents livres : car c’est le même de lever cent livres à la hauteur d’un pied, et derechef encore cent à la hauteur d’un pied, que d’en lever deux cents à la hauteur d’un pied, et le même aussi que d’en lever cent à la hauteur de deux pieds.
Or les engins qui servent à faire cette application d’une force qui agit par un grand espace à un poids qu’elle fait lever par un moindre sont la poulie (trochlea), le plan incliné, le coin (cuneus), le tour ou la roue (axis in peritrochio), la vis (cochlea), et le levier (vectis), et autres semblables : car si on ne veut point les rapporter les uns aux autres, on en peut trouver davantage ; et si on les y veut rapporter, il n’est pas besoin d’en mettre tant.
La poulie
Soit ABC une corde passée autour de la poulie D, à laquelle poulie soit attaché le poids E. Et premièrement, supposant que deux hommes soutiennent ou haussent également chacun un des bouts de cette corde, il est évident que si ce poids pèse deux cents livres, chacun de ces hommes n’emploiera pour le soutenir ou soulever que la force qui lui faut pour soutenir ou soulever cent livres, car chacun n’en porte que la moitié. Faisons après cela que A, l’un des bouts de cette corde, étant attaché ferme à quelque clou, l’autre C soit derechef soutenu par un homme ; et il est évident que cet homme en C n’aura besoin, non plus que devant, pour soutenir le poids E, que de la force qu’il faut pour soutenir cent livres, à cause que le clou qui est vers A y fait le même office que l’homme que nous y supposions auparavant. Enfin, posons que cet homme qui est vers C tire la corde pour faire hausser le poids E ; et il est évident que, s’il y emploie la force qu’il faut pour lever cent livres à la hauteur de deux pieds, il fera hausser le poids E, qui en pèse deux cents, de la hauteur d’un pied ; car la corde ABC étant doublée comme elle est, on la doit tirer de deux pieds par le bout C pour faire autant hausser le poids E que si deux hommes la tiraient l’un par le bout A et l’autre par le bout C, chacun de la longueur d’un pied seulement.
Il y a toutefois une chose qui empêche que ce calcul ne soit exact, à savoir la pesanteur de la poulie et la difficulté qu’on peut avoir à faire couler la corde et à la porter, mais cela est fort peu à comparaison de ce qu’on lève et ne peut être estimé qu’à peu près.
Au reste, il faut remarquer que ce n’est point la poulie qui cause cette force, mais seulement le mouvement de la corde qui est double de celui du poids ; car si on attache encore une poulie vers A,par laquelle on passe la corde ABCH, il ne faudra pas moins de force pour tirer H vers K, et ainsi lever le poids E, qu’il en fallait auparavant pour tirer C vers G. Mais si à ces deux poulies on en ajoute encore une autre vers D, à laquelle on attache le poids, et dans laquelle on passe la corde tout de même qu’en la première, alors on n’aura pas besoin de plus de force pour lever ce poids de deux cents livres que pour en lever un de cinquante sans poulie, à cause qu’en tirant quatre pieds de la corde on ne l’élèvera que d’un pied : et ainsi, en multipliant les poulies, on peut élever les plus grands fardeaux avec les plus petites forces. On doit aussi remarquer qu’il faut toujours un peu plus de force pour lever un poids que pour le soutenir, ce qui est cause que j’ai parlé ici séparément de l’un et de l’autre.
Le plan incliné
Si, n’ayant qu’assez de force pour lever cent livres, on veut néanmoins lever le corps F,qui en pèse deux cents, à la hauteur de la ligne BA, il ne faut que le tirer ou rouler le long du plan incliné CA, que je suppose deux fois aussi long que la ligne AB ; car, par ce moyen, pour le faire parvenir au point A, on y emploiera la force qu’il faut pour faire monter cent livres deux fois aussi haut. Et d’autant qu’on aura fait ce plan CA plus incliné, d’autant aura-t-on besoin de moins de force pour lever le poids F par son moyen.
Mais il y a encore à rabattre de ce calcul la difficulté qu’il y aurait à mouvoir le corps F le long du plan AC, si ce plan était couché sur la ligne BC, dont je suppose toutes les parties également distantes du centre de la terre. Il est vrai que cet empêchement étant d’autant moindre que le plan est plus dur, plus égal et plus poli, il ne peut derechef être estimé qu’à peu près et n’est pas fort considérable.
On n’a pas besoin non plus de considérer que la ligne BC étant une partie de cercle qui a même centre que la terre, le plan AC doit être tant soit peu voûté, et avoir la figure d’une partie de spirale décrite entrée deux cercles, qui aient aussi pour centre celui de la terre, car cela n’est nullement sensible.
Le coin
La puissance du coin ABCD s’entend d’elle-même ensuite de ce qui vient d’être dit du plan incliné ; car la force dont on frappe dessus agit comme pour le faire mouvoir suivant la ligne BD, et le bois ou autre corps qu’il fend ne s’entrouvre, ou bien le fardeau qu’il soulève ne se hausse que selon la ligne AC ; de façon que la force dont on pousse ou frappe ce coin doit avoir même proportion à la résistance de ce bois ou de ce fardeau que la ligne AG à la ligne BD.
La roue ou le tour
On voit aussi fort aisément que la force dont on tourne la roue A, ou les chevilles B qui font mouvoir le tour ou cylindre G, sur lequel se roule une corde à laquelle le poids P qu’on veut lever est attachée, doit avoir même proportion avec ce poids que la circonférence de ce cylindre avec la circonférence du cercle que décrit cette force, ou, ce qui est le même, que le diamètre de l’un avec le diamètre de l’autre, à cause que les circonférences ont même raison entre elles que les diamètres. De façon que le cylindre C n’ayant qu’un pied de diamètre, si la roue AB en a six, et que le poids D pèse six cents livres, il suffira que la force en B soit capable de lever cent livres, et ainsi des autres.
On peut aussi, au lieu de la corde qui se roule autour du cylindre C, y mettre une petite roue avec des dents qui fassent tourner une autre plus grande roue, et ainsi multiplier le pouvoir de la force autant qu’on voudra, sans qu’il y ait rien à rabattre de ceci que la difficulté de mouvoir la machine, ainsi qu’aux autres.
La vis
Explanation of machines and devices
With the help of those things that enable one to lift a heavy burden with little effort.
The invention of all these machines is based on a single principle: the same force that can lift a weight of one hundred pounds to a height of two feet can also lift a weight of two hundred pounds to a height of one foot, or four hundred pounds to a height of half a foot, and so on, provided that the force is applied accordingly.
And this principle cannot but be accepted if we consider that the effect must always be proportional to the action necessary to produce it; in other words, if it is necessary to use an action that can lift a weight of one hundred pounds to a height of two feet in order to lift the same weight to a height of one foot only, then that weight must necessarily weigh two hundred pounds. For lifting one hundred pounds to a height of one foot is, after all, equivalent to lifting one hundred pounds again to the same height, just as it is equivalent to lifting two hundred pounds to a height of one foot.
Or those instruments that are used to apply a force that acts over a large distance in order to lift a weight over a shorter distance include the pulley (trochlea), the inclined plane, the wedge (cuneus), the wheel or axle (axis in peritrochio), the screw (cochlea), and the lever (vectis), among others. For if one were not to relate these instruments to each other, many more could be identified; yet if one were to do so, it would not be necessary to include all of them.
The pulley
Let ABC be a rope passed around a pulley D, to which a weight E is attached. First of all, assuming that two men each hold one end of this rope and pull it equally, it is obvious that if the weight E weighs two hundred pounds, each man will only need to exert the amount of force required to lift or support one hundred pounds, since he is carrying only half of the weight. Next, let one end of the rope, A, be firmly attached to a nail, and let the other end, C, be held by a single man; it is again evident that this man will need no more force than before to support the weight E, since the nail at A serves the same purpose as the man we previously assumed was holding the other end. Finally, suppose this man pulling on end C raises the weight E; it is clear that if he uses the same amount of force as needed to lift one hundred pounds two feet high, he will raise the two-hundred-pound weight E one foot high, because the rope ABC being doubled in length, pulling on end C requires twice the distance (two feet) as pulling on end A would, if two men were to pull it, each only using one foot of rope.
However, there is one factor that prevents this calculation from being entirely accurate: the weight of the pulley, as well as the difficulty involved in lowering and carrying the rope. Nevertheless, these factors are negligible compared to what is actually lifted, and their impact can only be estimated roughly.
Furthermore, it must be noted that it is not the pulley itself that generates this force, but merely the movement of the rope, which is twice as great as the movement of the weight. For if another pulley is added at point A, through which the rope ABCH is passed, then no less force will be required to pull H towards K and thus lift the weight E than was previously needed to pull C towards G. However, if two more pulleys are added, one at point D where the weight is attached and the other through which the rope is passed in the same manner as before, then not more force will be necessary to lift a weight of two hundred pounds than to lift a weight of fifty pounds without using any pulleys. This is because pulling four feet of rope will only raise it by one foot. Thus, by increasing the number of pulleys, one can lift the heaviest loads with the smallest amount of effort. It should also be noted that it always takes slightly more force to lift a weight than to hold it in place, which is why I have discussed these two aspects separately here.
The inclined plane
If one only possesses enough strength to lift a hundred pounds but still wishes to raise the object F, which weighs two hundred pounds, to the level of line BA, one simply needs to pull or roll it along the inclined plane CA—which I assume is twice as long as line AB. In this way, in order to bring the object F to point A, the same amount of force that would be required to lift a hundred pounds twice as high would be sufficient. Moreover, the steeper the inclination of plane CA, the less force would be needed to lift weight F using this method.
However, there is still one factor to consider in this calculation: the difficulty of moving the body F along the plane AC, assuming that this plane lies on the line BC—and I assume that all parts of this line are equally distant from the center of the earth. It is true that this obstacle becomes much less significant as the plane is harder, smoother, and more even; therefore, its impact can only be estimated roughly and is not particularly considerable.
It is also unnecessary to consider that since the line BC is a portion of a circle sharing the same center as the earth, the plane AC must necessarily be somewhat curved and have the shape of a portion of a spiral described by two circles that also share the center of the earth; however, this fact is not at all noticeable.
The corner
The power of the corner ABCD is self-evident, given what has been said about inclined planes; for the force applied to it acts as if it were causing it to move along the line BD, and the wood or other material that it cuts does not split, nor does the load it lifts rise, except along the line AC. Therefore, the force required to push or strike this corner must be in exactly the same proportion to the resistance of the wood or load as the line AG is to the line BD.
The wheel or the turn
It is also quite evident that the force required to turn wheel A, or the ropes B that operate the wheel or cylinder G onto which a rope is attached—through which the weight P to be lifted is suspended—must bear to this weight the same proportion as the circumference of cylinder G bears to the circumference of the circle traced by this force, or, in other words, as the diameter of one bears to the diameter of the other. This is because circumferences are in the same ratio to each other as diameters are. Therefore, since cylinder C has a diameter of only one foot, while wheel AB has a diameter of six feet, and if weight D weighs six hundred pounds, it is sufficient that the force applied at point B be capable of lifting one hundred pounds; the same principle applies to all other cases.
One could also, instead of using a rope that wraps around the cylinder C, install a small wheel with teeth that cause another, larger wheel to rotate. In this way, the power of the force could be multiplied as much as desired, without any loss other than the increased difficulty in operating the machine, just like with other mechanisms.
The bolt.
Spiegazione delle macchine e degli strumenti.
Con l’aiuto di quegli strumenti che permettono, con una piccola forza, di sollevare un carico molto pesante.
L’invenzione di tutti questi strumenti si basa su un solo principio: la stessa forza che è in grado di sollevare un peso di cento libbre a una distanza di due piedi, può altrettanto sollevare un peso di duecento libbre a una distanza di un piede, o uno di quattrocento libbre a una distanza di mezzo piede, e così via, purché tale forza venga applicata correttamente.
E questo principio non può che essere accettato se si considera che l’effetto debba sempre essere proporzionale all’azione necessaria per produrlo; in altre parole, se è necessario utilizzare un’azione che permette di sollevare un peso di cento libbre a una distanza di due piedi per sollevarne uno a una distanza di un piede solo, allora quel secondo peso deve pesare duecento libbre: perché sollevare cento libbre a un piede di distanza è lo stesso che solleverne ancora cento a un piede di distanza, così come è lo stesso che sollevarne duecento a un piede di distanza; inoltre, è anche lo stesso che sollevare cento libbre a due piedi di distanza.
Gli strumenti che servono per applicare una forza che agisce su un ampio spazio al fine di sollevare un peso attraverso uno spazio più ristretto sono la puleggia, il piano inclinato, l’angolo di appoggio, l’asse ruotante o la ruota, la vite e la leva, nonché altri simili dispositivi. Infatti, se si preferisce non collegarli tra loro, ne è possibile individuare molti altri; mentre, se si decide di farlo, non è necessario utilizzarne così tanti.
La puleggia
Sia ABC una corda passata attorno alla puleggia D, alla quale è fissato il peso E. Supponendo che due uomini sostengano o sollevino ciascuno uno dei capi di questa corda, è evidente che, se il peso E pesa duecento libbre, ciascun uomo utilizzerà per sostenerlo o sollevarlo esattamente la stessa forza necessaria per sollevare cento libbre, poiché ne porta solo la metà. Ora supponiamo che uno dei capi della corda, A, sia fissato saldamente a un chiodo, mentre l’altro capo, C, sia sostenuto da un uomo; è ancora evidente che quest’uomo avrà bisogno, per sostenere il peso E, esattamente della stessa forza necessaria per sollevare cento libbre, poiché il chiodo A svolge lo stesso ruolo dell’uomo che prima avevamo ipotizzato. Infine, supponiamo che quest’uomo tiri la corda per sollevare il peso E; è evidente che, se utilizzerà la forza necessaria per sollevare cento libbre a una distanza di due piedi, riuscirà a sollevare il peso E, che pesa duecento libbre, a una distanza di un piede, poiché la corda ABC essendo doppia, bisogna tirarla per due piedi dal capo C affinché il peso E venga sollevato nello stesso modo in cui due uomini potrebbero tirarla, uno dal capo A e l’altro dal capo C, ciascuno però solo per una distanza di un piede.
Tuttavia, c’è una cosa che impedisce che questo calcolo sia esatto: il peso della puleggia e le difficoltà che si possono incontrare nel far scorrere la corda e nel trasportarla. Ma tutto ciò è di scarsa rilevanza rispetto a ciò che si riesce effettivamente a sollevare, e quindi può essere stimato solo approssimativamente.
Del resto, è necessario notare che non è la puleggia a generare questa forza, ma soltanto il movimento della corda, che è doppio rispetto al movimento del peso stesso; infatti, se si aggiunge un’altra puleggia vicino a A, attraverso cui si fa passare la corda ABCH, non sarà necessaria una forza maggiore per tirare H verso K e quindi sollevare il peso E di quanto ne fosse necessaria prima per tirare C verso G. Tuttavia, se a queste due pulegge se ne aggiunge un’altra ancora vicino a D, alla quale si attacca il peso e attraverso cui si fa passare la corda nello stesso modo della prima, allora non sarà necessaria più forza per sollevare quel peso di duecento libbre di quanta ne sarebbe stata necessaria per sollevare uno di cinquanta libbre senza l’uso delle pulegge; infatti, tirando su quattro piedi di corda, si solleverà il peso di soli un piede. In questo modo, moltiplicando il numero delle pulegge, è possibile sollevare i carichi più pesanti con le forze più ridotte. È anche importante notare che per sollevare un peso è sempre necessaria una forza leggermente maggiore rispetto a quella richiesta per sostenerlo, ed è proprio per questo motivo che ho parlato separatamente di questi due aspetti.
La pendenza.
Si, avendo soltanto una forza sufficiente per sollevare cento libbre, si vuole comunque sollevare il corpo F, che pesa duecento libbre, fino all’altezza della linea BA; basta semplicemente tirarlo o rotolarlo lungo il piano inclinato CA, che suppongo sia due volte più lungo della linea AB. In questo modo, per far arrivare il corpo F al punto A, si utilizzerà esattamente la stessa forza necessaria per sollevare cento libbre fino a un’altezza doppia. E tanto più il piano CA sarà inclinato, tanto minore sarà la forza richiesta per sollevare il peso F con questo sistema.
Ma bisogna ancora sottrarre da questo calcolo la difficoltà che deriverebbe dal tentativo di spostare il corpo F lungo il piano AC, qualora tale piano fosse posizionato sulla linea BC, e suppongo che tutte le parti di questa linea siano ugualmente distanti dal centro della Terra. È vero che questo ostacolo diventa tanto minore quanto più il piano è duro, regolare e levigato; tuttavia, non può essere stimato con precisione e non rappresenta certo un fattore di rilievo.
Non è nemmeno necessario considerare che, poiché la linea BC rappresenta una porzione di cerchio il cui centro coincide con quello della Terra, il piano AC debba essere leggermente curvo e assumere la forma di una porzione di spirale descritta entro due cerchi anch’essi centrati sulla Terra; infatti, questo aspetto non è affatto evidente.
L’angolo
La forza del angolo ABCD si intende, di conseguenza, in base a quanto appena detto riguardo al piano inclinato; infatti, la forza esercitata su di esso agisce in modo tale da farlo muovere lungo la linea BD, e il legno o altro oggetto che viene tagliato si apre, oppure il carico che viene sollevato si alza, esclusivamente lungo la linea AC; pertanto, la forza necessaria per spingere o colpire questo angolo deve essere in proporzione alla resistenza del legno o del carico, proprio come la distanza AG è in proporzione alla distanza BD.
La ruota o la torre
È altrettanto facile comprendere che la forza necessaria per far girare la ruota A, o le molle B che fanno muovere il cilindro G su cui si avvolge una corda alla quale è attaccato il peso P da sollevare, debba avere una proporzione con tale peso esattamente uguale a quella tra la circonferenza del cilindro e la circonferenza del cerchio descritto da questa forza, ovvero tra i diametri dei due corpi. Poiché le circonferenze hanno lo stesso rapporto reciproco dei diametri, se il cilindro C ha un diametro di un piede mentre la ruota AB ne ha sei, e il peso D pesa seicento libbre, sarà sufficiente che la forza applicata alle molle B sia in grado di sollevare cento libbre; lo stesso vale per gli altri casi.
Si può anche, al posto della corda che si avvolge attorno al cilindro C, utilizzare una piccola ruota munita di denti che fanno girare un’altra ruota più grande; in questo modo è possibile moltiplicare la potenza della forza quanto si desidera, senza che ci sia nulla da detrarre se non la difficoltà di far funzionare la macchina, proprio come per le altre soluzioni proposte.
La vista.
Lorsqu’on sait la puissance du tour et du plan incliné, celle de la vis est aisée à connaître et à calculer ; car elle n’est composée que d’un plan fort incliné qui tournoie sur un cylindre ; et si ce plan est tellement incliné que le cylindre doive faire, par exemple, dix tours pour s’avancer de la longueur d’un pied dans l’écrou, et que la grandeur de la circonférence du cercle que décrit la force qui le tourne soit de dix pieds, à cause que dix fois dix font cent, un homme seul pourra presser aussi fort avec cette vis que cent pourraient faire sans elle, pourvu seulement qu’on en rabatte la force qu’il faut à la tourner. Or j’ai parlé ici de presser plutôt que de hausser ou remuer, à cause que c’est à cela que l’on emploie le plus ordinairement cette vis. Mais lorsqu’on s’en veut servir à lever des fardeaux, au lieu de la faire avancer dans un écrou, on joint à elle une roue à plusieurs dents tellement faites, que si cette roue a par exemple trente dents, pendant que la vis fait un tour entier, elle ne lui fait faire que la trentième partie d’un tour ; et si le poids est attaché à une corde qui, se roulant autour de l’essieu de cette roue, ne l’élève que d’un pied de haut pendant que la roue fait un tour entier, et que la grandeur de la circonférence du cercle que décrit la force qui tourne la vissait derechef de dix pieds, à cause que dix fois trente font trois cents, un homme seul pourra lever un aussi grand poids avec cet instrument, lequel s’appelle la vis sans fin, que trois cents hommes sans lui ; pourvu derechef qu’on en rabatte la difficulté qu’on peut avoir à le tourner, qui n’est pas proprement causée par la pesanteur du fardeau, mais par la forme ou la matière de l’instrument, et cette difficulté est en lui plus sensible qu’aux précédents, d’autant qu’il a plus de force.
Le levier
J’ai différé à parler du levier jusqu’à la fin, à cause que c’est l’engin pour lever des fardeaux le plus difficile de tous à expliquer.
Supposons que CH est un levier tellement arrêté au point O (par le moyen d’une cheville de fer qui passe au travers ou autrement) qu’il puisse tourner autour de ce point O, sa partie C décrivant le demi-cercle ABCDE et sa partie H le demi-cercle FGHIji, et que le poids qu’on veut lever par son moyen étant en H et la force en C, la ligne CO soit posée triple de OH ; puis considérant que pendant que la force qui meut ce levier décrit tout le demi-cercle ABCDE et agit suivant cette ligne ABCDE, bien que le poids décrive aussi le demi-cercle FGHIR, il ne se hausse pas toutefois de la longueur de cette ligne courbe FGHIR, mais seulement de la longueur de la ligne droite FK ; de façon que la proportion que doit avoir la force qui meut ce poids à sa pesanteur ne doit pas être mesurée par celle qui est entre les deux diamètres de ces cercles ou entre leurs deux circonférences, ainsi qu’il a été dit du tour ci-dessus, mais plutôt par celle qui est entre la circonférence du plus grand et le diamètre du plus petit. Considérons outre cela qu’il s’en faut beaucoup que cette force n’ait besoin d’être si grande pour tourner ce levier, lorsqu’il est vers A ou vers E, que lorsqu’il est vers B ou vers D ; ni si grande lorsqu’il est vers B ou vers D, que lorsqu’il est vers C ; dont la raison est que le poids y monte moins, ayant supposé que la ligne COH est parallèle à l’horizon, et que AOF la coupe à angles droits ; ainsi qu’il est aisé à voir, si on prend le point G également distant des points F et H, et le point B également distant des points A et C, et qu’ayant tiré GS perpendiculaire sur FO, on regarde que la ligne FS qui marque combien monte ce poids pendant que la force agit le long de la ligne AB est beaucoup moindre que la ligne SO qui marque combien il monte pendant que la force agit le long de la ligne BC.
Et pour mesurer exactement quelle doit être cette force en chaque point de la ligne courbe ABCDE, il faut savoir qu’elle y agit tout de même que si elle traînait le poids sur un plan circulairement incliné, et que l’inclination de chacun des points de ce plan circulaire se doit mesurer par celle de la ligne droite qui touche le cercle en ce point ; comme, par exemple, quand la force est au point B, pour trouver la proportion qu’elle doit avoir avec la pesanteur du poids qui est alors au point G, il faut tirer la contingente GM, et penser que la pesanteur de ce poids est à la force qui est requise pour le traîner sur ce plan, et par conséquent aussi pour le hausser suivant le cercle FGH, comme la ligne GM est à SM ; puis, à cause que BO est triple de OG, la force en B n’a besoin d’être à ce poids en G que comme le tiers de la ligne SM est à la toute GM. Tout de même, quand la force est au point B, pour savoir combien pèse le poids qui est alors au point I, il faut tirer la contingente IP, et la droite IN perpendiculaire sur l’horizon ; et du point P pris à discrétion en cette ligne IP (pourvu que ce soit au-dessous, du point I), il faut tirer PN parallèle au même horizon, afin d’avoir la proportion qui est entre la ligne IP et le tiers de la ligne IN, pour celle qui est entre la pesanteur du poids et la force qui doit être au point D pour le mouvoir, et ainsi des autres ; où toutefois il faut excepter le point H, auquel la contingente étant perpendiculaire sur l’horizon, le poids ne peut être que triple de la force qui doit être en C pour le mouvoir, et aussi les points F et K auxquels la contingente étant parallèle au même horizon, la moindre force qu’on puisse déterminer est suffisante pour mouvoir ce poids.
De plus, afin d’être entièrement exact, il faut remarquer que les lignes GS et PN doivent être des parties de cercle qui aient pour centre celui de la terre, et GM, IP des parties de spirales tirées entre deux tels cercles, et enfin que les lignes droites SM et IN, tendant toutes deux vers le centre de la terre, ne sont pas exactement parallèles ; et outre cela que le point H, où je suppose que la contingente est perpendiculaire sur l’horizon, doit être tant soit peu plus proche du point F que du point R, auxquels points F et K les contingentes sont parallèles au même horizon. Ensuite de quoi on peut résoudre facilement toutes les difficultés de la balance, et montrer que lorsqu’elle est supposée très exacte, et même qu’on imagine son centre en O, par lequel elle est soutenue, n’être qu’un point indivisible, ainsi que je l’ai ici supposé pour le levier, si ses bras sont penchés de part ou d’autre, celui qui sera le plus bas se doit toujours trouver plus pesant que l’autre ; en sorte que le centre de gravité n’est pas immobile en un sens.
Mais ces dernières considérations ne servent de rien pour l’usage, et il serait utile pour ceux qui se mêlent d’inventer de nouvelles machines qu’ils ne sussent rien de plus en cette matière que ce que je viens d’en écrire, car ils ne seraient pas en danger de se tromper en leur compte, comme ils font souvent en supposant d’autres principes. Au reste, on peut appliquer les engins ici expliqués en une infinité de diverses façons, et il y a une infinité d’autres choses à considérer dans les mécaniques dont je ne dis rien à cause que mes trois feuillets sont remplis, et que vous n’en avez pas demandé davantage.
FIN DU TRAITÉ DE LA MÉCANIQUE
When one understands the power of a screw and an inclined plane, it is easy to determine and calculate the power of a bolt; for it consists merely of a highly inclined plane that rotates around a cylinder. If this plane is so inclined that the cylinder must rotate ten times in order to move one foot forward within a nut, and if the circumference of the circle described by the rotating force is ten feet—since ten times ten equals one hundred—a single person could exert as much force with this bolt as one hundred people could without it, provided that the effort required to turn it is reduced accordingly. Here I have referred to “exerting force” rather than “lifting or moving objects,” because this is the most common use of such a bolt. However, when it is used to lift heavy loads, instead of moving it within a nut, a wheel with multiple teeth is attached to it. If this wheel has thirty teeth, for example, then while the bolt rotates one full turn, the wheel will only rotate one-thirtieth of a turn. If the load is attached to a rope that rises one foot for each full turn of the wheel, and if the circumference of the circle described by the rotating force is ten feet—since ten times thirty equals three hundred—a single person could lift a heavy load with this device, which is called a “screw without end,” as effectively as three hundred people without it; again, provided that the difficulty of turning it is reduced. This difficulty arises not so much from the weight of the load but rather from the design or material of the tool itself. In this case, the difficulty is even greater than with the previous types of tools, precisely because this one is more powerful.
The lever
I delayed discussing the lever until the end because it is undoubtedly the most difficult concept among all those used for lifting heavy loads to explain.
Suppose that CH is a lever which is so fixed at point O—either by means of a metal pin passing through it or some other mechanism—that it can rotate around this point O. Let its part C describe the semicircle ABCDE, and let its part H describe the semicircle FGHIji. Suppose the weight that we wish to lift is located at H, and the force applied at C. If the line CO is three times as long as the line OH, then it can be seen that, although the force acting on the lever describes the entire semicircle ABCDE, causing it to move along this line, the weight only rises by the length of the straight line FK, not by the length of the curved line FGHIR. Therefore, the ratio between the force required to lift the weight and its weight itself should not be determined by the ratio between the diameters or circumferences of the two circles involved, as was suggested earlier for the previous case. Instead, this ratio should be based on the difference between the circumference of the larger circle and the diameter of the smaller one. Furthermore, it is clear that much less force is needed to turn the lever when it is positioned at A or E than when it is at B or D; and even less force is required when it is at B or D than when it is at C. This is because the weight rises less in these positions. Assuming that the line COH is parallel to the horizon and that the line AOF intersects it at a right angle, it is easy to see that if we take point G, which is equidistant from points F and H, and point B, which is equidistant from points A and C, and if we draw GS perpendicular to FO, then the distance that the weight rises while the force acts along line AB is much smaller than the distance that it rises while the force acts along line BC.
And in order to accurately determine what magnitude this force must be at each point along the curved line ABCDE, it is necessary to understand that it exerts its effect in exactly the same way as if it were pulling the weight along a circular plane inclined at a certain angle. The inclination of this circular plane at each point must be determined by the angle of the straight line that touches the circle at that point. For example, when the force is applied at point B, in order to find out what proportion it should have relative to the weight at point G, one must draw the line GM and consider that the weight at G exerts a force on the plane required to pull it along this path, and consequently also to raise it along the circular path FGH, just as the line GM is related to the line SM. Furthermore, since BO is three times as long as OG, the force at B only needs to be one-third of the force required at G. Nevertheless, when the force is at point B, in order to determine the weight at point I, one must draw the line IP and the perpendicular IN to the horizon. From a point P arbitrarily chosen on this line IP (as long as it is below point I), one must draw the line PN parallel to the same horizon, so as to establish the proportion between the length of IP and one-third of the length of IN, which corresponds to the ratio between the weight at I and the force required at point D to move it. The same method can be applied to other points; however, points H and F/K are exceptions. At point H, since the perpendicular line to the horizon would indicate that the weight must be three times the force required at C to move it, while at points F and K, since the parallel lines to the horizon mean that the minimum force necessary to move the weight is sufficient, this rule does not apply.
Furthermore, to be entirely accurate, it must be noted that the lines GS and PN must be segments of circles centered on the center of the earth, while GM and IP are segments of spirals drawn between such circles. Moreover, the straight lines SM and IN, both leading toward the center of the earth, are not exactly parallel to each other; and in addition, the point H, where I assume the contingent line is perpendicular to the horizon, must be somewhat closer to point F than to points R, at which points F and K are parallel to the same horizon. Having made these observations, all difficulties regarding the balance can be easily resolved. It can also be demonstrated that when the balance is assumed to be extremely precise, and even when its center O—through which it is supported—is considered an indivisible point, just as I have assumed for the lever here, if its arms are tilted to one side or the other, the arm that will be at the lower position will always weigh more than the other; consequently, the center of gravity is not fixed in any one direction.
But these latter considerations are of no use in practical application. It would be advantageous for those who attempt to invent new machines to know no more about this subject than what I have just written, because otherwise they might err in their designs, as they often do when assuming the existence of other principles. Moreover, the devices explained here can be adapted in countless different ways; there are also countless other aspects of mechanics that I do not mention because my three pages are already full, and you did not request any additional information.
END OF THE TREATISE ON MECHANICS
Quando si conosce la potenza della vite e del piano inclinato, diventa facile conoscere e calcolare quella della leva; infatti essa è composta soltanto da un piano molto inclinato che ruota attorno a un cilindro. Se questo piano è così inclinato che il cilindro debba compiere, ad esempio, dieci giri per avanzare di una lunghezza di un piede all’interno del dado, e se la circonferenza del cerchio descritto dalla forza che lo fa ruotare è di dieci piedi (poiché dieci volte dieci fanno cento), un uomo solo potrà esercitare una pressione equivalente a quella di cento uomini senza di essa, purché si riduca la difficoltà legata al suo utilizzo. Ho parlato qui di “pressione” piuttosto che di “sollevamento” o “spostamento”, poiché è questo l’uso più comune di questa leva. Tuttavia, quando si vuole utilizzarla per sollevare pesi, invece di farla avanzare all’interno di un dado, si collega a essa una ruota con molte denti; se questa ruota ha ad esempio trenta denti, mentre la leva compie un giro intero, essa ne fa compiere soltanto un trentesimo. Se il peso è fissato a una corda che, rotolando attorno all’asse di questa ruota, lo solleva di un piede per ogni giro completo della ruota, e se la circonferenza del cerchio descritto dalla forza che fa girare la leva è di dieci piedi, allora un uomo solo potrà sollevare un peso così grande con questo strumento, chiamato “leva infinita”, quanto trecento uomini senza di esso; purché si riduca effettivamente la difficoltà legata al suo utilizzo. Questa difficoltà non deriva propriamente dal peso del carico, ma dalla forma o dalla materia dello strumento stesso; in questo caso, tale difficoltà è maggiore rispetto ai precedenti modelli di leve, proprio perché questa leva possiede una potenza maggiore.
La leva
Ho rinviato a parlare del bilanciere fino alla fine, perché è lo strumento più difficile da spiegare tra tutti quelli utilizzati per sollevare pesi.
Supponiamo che CH sia una leva così fissata al punto O (mediante un perno di ferro o altro mezzo) da poter ruotare attorno a questo punto; la sua parte C descrive il semicerchio ABCDE, mentre la sua parte H descrive il semicerchio FGHIji. Il peso che si vuole sollevare con l’aiuto di questa leva è posizionato in H, e la forza applicata agisce sulla parte C della leva. La linea CO è tre volte più lunga dell’oggetto OH. Ora consideriamo che, mentre la forza che muove questa leva descrive l’intero semicerchio ABCDE e agisce lungo questa linea, il peso, pur descrivendo anch’esso il semicerchio FGHIR, non si solleva per tutta la lunghezza di questa linea curva, ma solo per la lunghezza della linea retta FK. Di conseguenza, la proporzione tra la forza necessaria a sollevare il peso e il suo peso effettivo non deve essere calcolata come quella che esiste tra i due diametri dei cerchi o tra le loro circonferenze, come si è detto per il caso precedente, ma piuttosto come quella che esiste tra la circonferenza del cerchio più grande e il diametro di quello più piccolo. Inoltre, è evidente che questa forza non ha bisogno di essere così grande quando la leva è orientata verso A o E, rispetto a quando è orientata verso B o D; né è necessaria una forza così grande quando la leva è orientata verso B o D, rispetto a quando è orientata verso C. La ragione di ciò è che il peso si solleva di meno in queste ultime posizioni; questo perché, supponendo che la linea COH sia parallela all’orizzonte e che AOF la tagli ad angolo retto, si può facilmente osservare che la distanza percorsa dal peso lungo la linea FS, quando la forza agisce lungo la linea AB, è molto inferiore alla distanza percorsa lungo la linea SO, quando la forza agisce lungo la linea BC.
E per misurare con esattezza quale debba essere questa forza in ogni punto della linea curva ABCDE, è necessario sapere che essa agisce esattamente come se trascinasse il peso su un piano circolarmente inclinato, e che l’inclinazione di ciascun punto di questo piano circolare deve essere misurata con quella della retta che tocca il cerchio in quel punto; ad esempio, quando la forza è nel punto B, per trovare la proporzione che essa deve avere rispetto al peso che si trova nel punto G, bisogna tracciare la linea GM e considerare che il peso è alla stessa misura della forza necessaria per trascinarlo su quel piano, e quindi anche per sollevarlo lungo il cerchio FGH, così come la linea GM è alla linea SM; inoltre, poiché BO è tre volte OG, la forza nel punto B deve essere solo un terzo del peso nel punto G. Tuttavia, quando la forza è nel punto B, per sapere quanto pesa il peso che si trova nel punto I, bisogna tracciare la linea IP e la retta IN perpendicolare all’orizzonte; dal punto P scelto su questa linea IP (purché sia al di sotto del punto I), bisogna tracciare la linea PN parallela allo stesso orizzonte, in modo da ottenere la proporzione che esiste tra la linea IP e un terzo della linea IN, rispetto a quella che esiste tra il peso e la forza necessaria per muoverlo nel punto D, e così via; tuttavia, si deve eccezionare il punto H, dove, poiché la linea IP è perpendicolare all’orizzonte, il peso può essere soltanto tre volte la forza necessaria per muoverlo nel punto C; inoltre, nei punti F e K, poiché la linea IP è parallela all’orizzonte, anche la minima forza possibile è sufficiente per muovere quel peso.
Inoltre, affinché tutto ciò sia del tutto esatto, è necessario osservare che le linee GS e PN devono essere porzioni di cerchi il cui centro coincide con quello della Terra, mentre GM e IP rappresentano porzioni di spirali tracciate tra due tali cerchi; inoltre, le rette SM e IN, entrambe dirette verso il centro della Terra, non sono esattamente parallele. Inoltre, il punto H, dove si presume che la linea contingente sia perpendicolare all’orizzonte, deve trovarsi leggermente più vicino al punto F rispetto al punto R; in questi ultimi due punti, invece, le linee contingenti sono parallele allo stesso orizzonte. Una volta comprese queste considerazioni, è possibile risolvere facilmente tutte le difficoltà relative all’equilibrio e dimostrare che, anche quando si ipotizza che l’equilibrio sia estremamente preciso, e persino quando si immagina che il suo centro, su cui poggia, sia un punto indivisibile – come ho fatto qui per il leva –, se i suoi bracci sono inclinati da una parte o dall’altra, quello che si troverà più in basso dovrà sempre risultare più pesante dell’altro; di conseguenza, il centro di gravità non è necessariamente fermo in un determinato senso.
Ma queste ultime considerazioni non hanno alcuna utilità pratică; sarebbe quindi vantaggioso per coloro che si dedicano alla invenzione di nuove macchine che non sappiano altro in materia se non ciò che ho appena scritto, poiché così non correrebbero il rischio di sbagliarsi nei loro calcoli, come spesso accade quando ipotizzano l’esistenza di principi diversi da quelli effettivamente validi. Inoltre, gli strumenti qui descritti possono essere utilizzati in un’infinità di modi diversi; ci sono inoltre infinite altre considerazioni da prendere in considerazione nella meccanica, ma non ne parlo perché i miei tre fogli sono già pieni e voi non ne avete chiesto di più.
Fine del trattato di meccanica.