Descartes
Abstract
A treatise on analytic geometry (appended to the Discourse on Method) that translates geometrical problems into algebraic equations, laying the foundations of modern algebraic notation. A technical mathematical work.
Connections
Concetti: infinito
Forme: trattato
Testo originale francese · Arvensa Editions · pubblico dominio
Avertissement
Jusques ici j’ai tâché de me rendre intelligible à tout le monde ; mais pour ce traité, je crains qu’il ne pourra être lu que par ceux qui savent déjà ce qui est dans les livres de géométrie ; car, d’autant qu’ils contiennent plusieurs vérités fort bien démontrées, j’ai cru qu’il serait superflu de les répéter, et n’ai pas laissé pour cela de m’en servir.
Livre premier
DES PROBLÈMES QU’ON PEUT CONSTRUIRE
SANS Y EMPLOYER QUE DES CERCLES ET DES LIGNES DROITES.
Tous les problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu’il n’est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites pour les construire.
Comment le calcul d’Arithmétique se rapporte aux opérations de Géométrie.
Et comme toute l’arithmétique n’est composée que de quatre ou cinq opérations, qui sont, l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, et l’extraction des racines, qu’on peut prendre pour une espèce de division, ainsi n’a-t-on autre chose à faire en géométrie touchant les lignes qu’on cherche pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d’autres, ou en ôter ; ou bien en ayant une, que je nommerai l’unité pour la rapporter d’autant mieux aux nombres, et qui peut ordinairement être prise à discrétion, puis en ayant encore deux autres, en trouver une quatrième qui soit à l’une de ces deux comme l’autre est à l’unité, ce qui est le même que la multiplication ; ou bien en trouver une quatrième, qui soit à l’une de ces deux, comme l’unité à l’autre, ce qui est le même que la division ; ou enfin trouver une ou deux, ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l’unité et quelque autre ligne, ce qui est le même que tirer la racine carrée ou cubique, etc. Et je ne craindrai pas d’introduire ces termes d’arithmétique en la géométrie, afin de me rendre plus intelligible.
La Multiplication
Soit, par exemple, AB l’unité, et qu’il faille multiplier BD par BC, je n’ai qu’à joindre les points A et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le produit de cette multiplication.
La Division
Ou s’il faut tirer la racine carrée de GH, je lui ajoute en ligne droite FG, qui est l’unité, et divisant FH en deux parties égales au point K, du centre K je tire le cercle FIH, puis élevant du point G une ligne droite jusqu’à I à angles droits sur FH, c’est GI la racine cherchée. Je ne dis rien ici de la racine cubique, ni des autres, à cause que j’en parlerai plus commodément ci-après.
Comment on peut user de chiffres en géométrie
Mais souvent on n’a pas besoin de tracer ainsi ces lignes sur le papier, et il suffit de les désigner par quelques lettres, chacune par une seule. Comme pour ajouter la ligne BD à GH, je nomme l’une a et l’autre b, et écrits a + b ; et a - b pour soustraire b de a ; et ab pour les multiplier l’une par l’autre ; et pour diviser a par b ; et aa ou pour multiplier a par soi-même ; et pour le multiplier encore une fois par a, et ainsi à l’infini ; et pour tirer la racine carrée de ; et , pour tirer la racine cubique de , et ainsi des autres.
Où il est à remarquer que par , ou , ou semblables, je ne conçois ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usités en l’algèbre je les nomme des carrés ou des cubes, etc.
Il est aussi à remarquer que toutes les parties d’une même ligne se doivent ordinairement exprimer par autant de dimensions l’une que l’autre, lorsque l’unité n’est point déterminée en la question, comme ici en contient autant que ou dont se compose la ligne que j’ai nommée :
;
mais que ce n’est pas de même lorsque l’unité est déterminée, à cause qu’elle peut être sous-entendue partout où il y a trop ou trop peu de dimensions : comme s’il faut tirer la racine cubique de , il faut penser que la quantité est divisée une fois par l’unité, et que l’autre quantité b est multipliée deux fois par la même.
Au reste, afin de ne pas manquer à se souvenir des noms de ces lignes, il en faut toujours faire un registre séparé à mesure qu’on les pose ou qu’on les change, écrivant par exemple :
AB = 1, c’est-à-dire AB égal à 1.
GH = a.
BD = b, etc.
Comment il faut venir aux équations qui servent à résoudre les problèmes
Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit d’abord le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu’aux autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l’ordre qui montre le plus naturellement de tous en quelle sorte elles dépendent mutuellement les unes des autres, jusqu’à ce qu’on ait trouvé moyen d’exprimer une même quantité en deux façons, ce qui se nomme une équation ; car les termes de l’une de ces deux façons sont égaux à ceux de l’autre. Et on doit trouver autant de telles équations qu’on a supposé de lignes qui étaient inconnues.
Ou bien, s’il ne s’en trouve pas tant, et que nonobstant on n’omette rien de ce qui est désiré en la question, cela témoigne qu’elle n’est pas entièrement déterminée. Et lors on peut prendre à discrétion des lignes connues pour toutes les inconnues auxquelles ne correspond aucune équation. Après cela, s’il en reste encore plusieurs, il se faut servir par ordre de chacune des équations qui restent aussi, soit en la considérant toute seule, soit en la comparant avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes inconnues, et faire ainsi, en les démêlant, qu’il n’en demeure qu’une seule égale à quelque autre qui soit connue, ou bien dont le carré, ou le cube, ou le carré de carré, ou le sursolide, ou le carré de cube, etc., soit égal à ce qui se produit par l’addition ou soustraction de deux ou plusieurs autres quantités, dont l’une soit connue, et les autres soient composées de quelques moyennes proportionnelles entre l’unité et ce carré, ou cube, ou carré de carré, etc., multipliées par d’autres connues.
Ce que j’écris en cette sorte :
z = b,
ou z2 = - az + b2,
ou z3 = + az2 + b2z – c3,
ou z3 = az3 - c3z + d4, etc. ;
C’est-à-direz, que je prends pour la quantité inconnue, est égale à b ; ou le carré de z est égal au carré de b moins a multiplié par z ; ou le cube de z est égal à a multiplié par le carré de z plus le carré de b multiplié par z moins le cube de c ; et ainsi des autres.
Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quantités inconnues à une seule, lorsque le problème se peut construire par des cercles et des lignes droites, ou aussi par des sections coniques, ou même par quelque autre ligne qui ne soit que d’un ou deux degrés plus composée. Mais je ne m’arrête point à expliquer ceci plus en détail, à cause que je vous ôterais le plaisir de l’apprendre de vous-même, et l’utilité de cultiver votre esprit en vous y exerçant, qui est à mon avis la principale qu’on puisse tirer de cette science. Aussi que je n’y remarque rien de si difficile que ceux qui seront un peu versés en la géométrie commune et en l’algèbre, ait qui prendront garde à tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouver.
C’est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir que, pourvu qu’en démêlant ces équations, on ne manque point à se servir de toutes les divisions qui seront possibles, on aura infailliblement les plus simples termes auxquels la question puisse être réduite.
Quels sont les problèmes plans.
Et que si elle peut être résolue par la géométrie ordinaire, c’est-à-dire en ne se servant que de lignes droites et circulaires tracées sur une superficie plate, lorsque la dernière équation aura été entièrement démêlée, il n’y restera tout au plus qu’un carré inconnu, égal à ce qui se produit de l’addition ou soustraction de sa racine multipliée par quelque quantité connue, et de quelque autre quantité aussi connue.
Et lors cette racine, ou ligne inconnue, se trouve aisément ; car si j’ai par exemple z2 = az + b2, je fais le triangle rectangle NLM, dont le côté LM est égal à b, racine carrée de la quantité connue b2, et l’autre LN est :
,
Warning
Up to this point, I have tried to make myself understandable to everyone; but for this treatise, I fear that it will only be able to be read by those who already know what is contained in the books on geometry. Since these treatises contain many truths that are thoroughly demonstrated, I thought it would be unnecessary to repeat them, and therefore I did not make use of them at all in this work.
Book One
PROBLEMS THAT CAN BE CONSTRUCTED
Using only circles and straight lines.
All problems in geometry can be easily reduced to such terms that, afterwards, one only needs to know the lengths of a few straight lines in order to construct them.
How does the calculation of Arithmetic relate to the operations of Geometry?
And since all arithmetic consists merely of four or five operations: addition, subtraction, multiplication, division, and extraction of roots—which can be regarded as a kind of division—there is nothing else to be done in geometry regarding the lines that we seek to understand than to either add more lines to them or remove some; or, given one line—which I will call the “unit”—to relate it more closely to other numbers, and this can usually be done at will; then, given two such lines, to find a fourth line that relates to one of these two just as the other relates to the unit—which is the same as multiplication; or else to find a fourth line that relates to one of these two just as the unit relates to the other—which is the same as division; or finally, to find one or two, or even several, proportional means between the unit and some other line—which is the same as taking the square root or cube root, etc. And I am not afraid of introducing these arithmetic terms into geometry in order to make my explanations clearer.
Multiplication
For example, if AB represents the unit, and it is necessary to multiply BD by BC, I simply need to connect points A and C, then draw line DE parallel to CA, and BE will be the result of this multiplication.
The Division
Or, if it is necessary to find the square root of GH, I simply add FG, which represents the unit, directly to it. Then, by dividing FH into two equal parts at point K, I draw the circle FIH from center K. Next, by raising a straight line from point G perpendicular to FH at point I, GI becomes the desired square root. I will not discuss the cube root or other roots here, as I will address them more conveniently later on.
How can numbers be used in geometry?
But often there is no need to draw these lines on paper; it is sufficient to denote them with just a few letters, each represented by a single letter. For example, to add the line BD to GH, I name one of them ‘a’ and the other ‘b’, and then write ‘a + b’ to indicate their addition; ‘a - b’ to indicate their subtraction; ‘ab’ to denote their multiplication; ‘a/b’ to divide ‘a’ by ‘b’; ‘aa’ or ‘a²’ to multiply ‘a’ by itself; ‘a³’ to multiply it again by ‘a’, and so on ad infinitum; ‘√x’ to take the square root of ‘x’, ‘³x’ to take the cube root, and so forth for other operations.
It should be noted that by “lines,” “squares,” or the like, I generally mean quite simple lines; however, when using the terms commonly used in algebra, I refer to them as squares, cubes, and so on.
It is also worth noting that all parts of the same line must ordinarily be expressed by the same number of dimensions; this is true unless the unit is specifically defined in the context. For example, in the line I have mentioned, it contains as many elements as those indicated by or, which are the components of that line.
;
But this is not the case when the unit is determined, because it can be implied wherever there are too many or too few dimensions: just as one must take the cube root of something, one must consider that the quantity a is divided once by the unit, while the other quantity b is multiplied twice by the same unit.
Furthermore, in order not to forget the names of these lines, it is necessary to keep a separate register of them whenever they are added or changed. For example, one could write:
AB equals 1; in other words, AB is equal to 1.
GH = a.
BD = b, and so on.
How one must approach the equations that are used to solve problems
Thus, in order to solve a problem, one must first consider it as already solved, and assign names to all the steps that seem necessary to construct its solution—whether those steps are known or unknown. Then, without distinguishing between known and unknown steps, one must examine the entire process in the order that most naturally reveals how these steps depend on each other, until a way is found to express the same information in two different forms; such an expression is called an equation, because the terms in one form are equal to those in the other. And one must find as many equations as there were steps that were initially considered unknown.
Or, if there are not so many unknown quantities, and yet nothing is omitted from what is desired in the problem, it proves that the problem is not entirely determined. In such cases, one may freely choose lines known to represent all the unknowns for which no equation exists. If several unknown quantities remain, then each of these remaining equations must be examined either individually or in comparison with the others, in order to explain each of these unknown lines. By doing so, and by sorting them out, it will eventually be possible to reduce all unknown quantities to just one, which will be equal to some known quantity, or whose square, cube, square of the cube, or other higher power will be equal to the result obtained by adding or subtracting two or more other quantities—some of which are known, while the others are composed of certain proportional averages between the unit and that square, cube, or other power.
What I am writing in this manner.
z = b,
ou z2 = - az + b2,
ou z3 = + az2 + b2z – c3,
or z3 = az3 - c3z + d4, and so on.
In other words, what I take to represent the unknown quantity is equal to b; or the square of z is equal to the square of b minus a multiplied by z; or the cube of z is equal to a multiplied by the square of z plus the square of b multiplied by z minus the cube of c; and so on for the others.
And in this way, it is always possible to reduce all unknown quantities to just one, whenever the problem can be constructed using circles and straight lines, or conic sections, or even some other line that is merely composed of one or two additional degrees. But I shall not go into further detail regarding this, for doing so would deprive you of the pleasure of learning it for yourselves and the benefit of exercising your minds in practicing it—which, in my opinion, is the main advantage one can derive from this science. Moreover, I see nothing particularly difficult about it; anyone with a basic understanding of elementary geometry and algebra should be able to grasp everything contained in this treatise without any trouble.
Therefore, I will simply warn you here that as long as one does not fail to use all possible divisions when solving these equations, one will inevitably obtain the simplest terms to which the problem can be reduced.
What are the planar problems?
And even if it can be resolved using ordinary geometry—that is, by merely employing straight lines and circles drawn on a flat surface—once the last equation has been completely deciphered, at most there will remain an unknown square, which is equal to the result of adding or subtracting its root multiplied by some known quantity, plus another known quantity as well.
And this unknown root, or quantity, can be easily determined; for if I have, for example, z2 = az + b2, then I construct the right-angled triangle NLM, in which the side LM is equal to b, the square root of the known quantity b2, and the other side, LN, is.
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Avvertenza
Fino ad ora ho cercato di rendere il mio discorso comprensibile a tutti; ma per questo trattato temo che possa essere letto soltanto da coloro che già conoscono i contenuti dei libri di geometria. Poiché questi trattati contengono molte verità ampiamente dimostrate, ho ritenuto inutile ripeterle e quindi non mi sono astenuto dal farvi ricorso.
Libro primo
PROBLEMI CHE SI PUOONO COSTRUIRE
Utilizzando soltanto cerchi e linee dritte.
Tutti i problemi di geometria possono essere facilmente ridotti a termini del genere, in modo che sia sufficiente conoscere la lunghezza di alcune rette per poterli risolvere.
In che modo il calcolo aritmetico è correlato alle operazioni di geometria?
E poiché tutta l’aritmetica è composta soltanto da quattro o cinque operazioni: l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e l’estrazione delle radici – che possono essere considerate come una sorta di divisione – non abbiamo altro da fare in geometria, riguardo alle linee che cerchiamo di conoscere, se non aggiungerne altre o ne toglierne; oppure, avendo già una linea, che chiamerò “unità”, utilizzarla per relazionarla meglio ai numeri; questa unità può solitamente essere scelta a piacimento. In seguito, avendo ancora due altre linee, possiamo cercare di trovare una quarta tale che sia alla prima delle due come l’altra è all’unità: questo equivale alla moltiplicazione. Oppure possiamo cercare una quarta linea tale che sia alla prima delle due come l’unità è all’altra: questo equivale alla divisione. Infine, possiamo trovare una o più medie proporzionali tra l’unità e un’altra linea: questo equivale all’estrazione della radice quadrata o cubica, ecc. Non esiterò ad introdurre questi termini aritmetici in geometria, al fine di rendere il mio discorso più comprensibile.
La Moltiplicazione
Ad esempio, supponiamo che AB sia l’unità e che sia necessario moltiplicare BD per BC: basta unire i punti A e C, poi tracciare la retta DE parallela a CA, e BE sarà il risultato di questa moltiplicazione.
La Divisione
Oppure, se si deve calcolare la radice quadrata di GH, le aggiungo direttamente FG, che rappresenta l’unità; poi divido FH in due parti uguali al punto K e, partendo dal centro K, traccio il cerchio FIH. Successivamente, elevando dal punto G una retta perpendicolare a FH fino al punto I, otteniamo GI, che è la radice cercata. Qui non parlo della radice cubica né delle altre radici, poiché ne parlerò in modo più dettagliato in seguito.
Come è possibile utilizzare i numeri in geometria?
Ma spesso non è necessario tracciare queste linee sul foglio di carta; basta indicarle con alcune lettere, una per ciascuna. Ad esempio, per aggiungere la linea BD alla linea GH, chiamo una “a” e l’altra “b”, e scrivo “a + b”; “a - b” per sottrarre “b” da “a”; “ab” per moltiplicare “a” per “b”; “a/b” per dividere “a” per “b”; “aa” o “a²” per moltiplicare “a” per se stesso; “a³” per moltiplicare “a” ancora una volta per sé stesso, e così via all’infinito; “√x” per estrarre la radice quadrata di “x”; “³x” per estrarre la radice cubica di “x”, e così per le altre operazioni.
È da notare che, con termini come “quadrato” o “cubo”, intendo solitamente linee semplici; tuttavia, per utilizzare i nomi comuni in algebra, le chiamo rispettivamente quadrati, cubi, ecc.
È anche da notare che tutte le parti di una stessa linea devono solitamente essere espresse con lo stesso numero di dimensioni, quando l’unità non è specificata nella questione; come in questo caso, dove la linea contiene tante unità quante ne sono contenute in o, che compongono la linea che ho menzionato.
;
Ma non è lo stesso quando l’unità è determinata, poiché può essere intesa ovunque ci siano troppe o troppo poche dimensioni: così come per estrarre la radice cubica di, si deve considerare che la quantità a sia divisa una volta dall’unità, mentre l’altra quantità b è moltiplicata due volte dalla stessa unità.
Del resto, per non dimenticare i nomi di queste righe, è necessario tenere sempre un registro separato man mano che vengono inserite o modificate, scrivendo ad esempio:
AB = 1, ovvero AB è uguale a 1.
GH = a.
BD = b, ecc.
In che modo si devono formulare le equazioni utili per risolvere i problemi
Pertanto, per voler risolvere un problema, è necessario prima considerarlo già risolto e assegnare dei nomi a tutte le “linee” che sembrano essenziali per costruirlo, sia a quelle conosciute che a quelle sconosciute. Successivamente, senza fare distinzioni tra queste linee, si deve analizzare la complessità del problema seguendo l’ordine che mostri in modo più naturale come tali elementi siano interconnessi tra loro, fino a quando non si trovi un modo per esprimere lo stesso concetto in due modi diversi; questo processo viene definito “equazione”, poiché i termini di una delle due forme sono uguali a quelli dell’altra. Inoltre, è necessario individuare tante equazioni quante sono state ipotizzate come linee sconosciute all’inizio.
Oppure, se ne trovano meno di quelli necessari, e nonostante ciò non si omette nulla di ciò che è desiderato nella questione in esame, ciò dimostra che essa non è completamente determinata. In tal caso, si possono utilizzare liberamente le equazioni conosciute per risolvere tutte quelle sconosciute a cui nessuna equazione corrisponde. Se poi ne rimangono ancora diverse, bisogna procedere nell’ordine, considerando ciascuna delle equazioni rimaste, sia separatamente che in relazione alle altre, al fine di spiegare ognuna di queste quantità sconosciute. In questo modo, dopo averle analizzate attentamente, ne dovrà rimanere soltanto una che sia uguale a un’altra quantità conosciuta, oppure la cui potenza quadrata, cubica, o qualsiasi altra potenza, sia uguale alla somma o alla differenza di due o più altre quantità, tra cui una è conosciuta e le altre sono costituite da valori medi proporzionali tra l’unità e quella potenza specifica, moltiplicati per altre quantità note.
Quello che scrivo in questo modo.
z = b,
ou z2 = - az + b2,
ou z3 = + az2 + b2z – c3,
oppure z3 = az3 – c3z + d4, ecc.
In altre parole, ciò che considero la quantità sconosciuta è uguale a b; oppure il quadrato di z è uguale al quadrato di b meno a moltiplicato per z; oppure il cubo di z è uguale ad a moltiplicato per il quadrato di z più il quadrato di b moltiplicato per z meno il cubo di c; e così via per le altre quantità.
E si possono sempre ridurre in questo modo tutte le quantità sconosciute a una sola, quando il problema può essere rappresentato tramite cerchi e rette, oppure con sezioni coniche, o anche con altre linee che siano composte da uno o due gradi in più. Tuttavia non mi soffermerò ulteriormente nell’esplicare questo punto in dettaglio, poiché vi priverei così del piacere di impararlo da soli e dell’utilità che deriverebbe dal coltivare il proprio intelletto esercitandosi in questa materia, che a mio parere rappresenta il principale beneficio che si possa trarre da questa scienza. Inoltre, non vi troverete di fronte a nulla di così difficile da superare per coloro che abbiano una certa conoscenza di geometria elementare e algebra; basterà prestare attenzione a tutto ciò che viene descritto in questo trattato.
Ecco perché mi limiterò a avvertirvi che, purché nell’risolvere queste equazioni si utilizzi ogni possibile operazione di divisione, si otterranno inevitabilmente i termini più semplici ai quali il problema può essere ridotto.
Quali sono i problemi di natura geometrica?
E se essa può essere risolta mediante la geometria ordinaria, cioè utilizzando soltanto linee rette e cerchi tracciati su una superficie piana, allora, una volta che l’ultima equazione sarà stata completamente risolta, non rimarrà altro che un quadrato sconosciuto, uguale a ciò che si ottiene sommando o sottraendo la sua radice moltiplicata per qualche quantità conosciuta, e per un’altra quantità anch’essa conosciuta.
E questa radice, o questa quantità sconosciuta, si trova facilmente; perché, ad esempio, se ho z2 = az + b2, posso costruire il triangolo rettangolo NLM, nel quale il lato LM è uguale a b, cioè alla radice quadrata della quantità nota b2, mentre l’altro lato, LN.
,
la moitié de l’autre quantité connue qui était multipliée par z, que je suppose être la ligne inconnue ; puis prolongeant MN, la base de ce triangle, jusqu’à O, en sorte que NO soit égale à NL, la toute OM est z, la ligne cherchée ; et elle s’exprime en cette sorte :
Que si j’ai y2 = - ay + b2, et que y soit la quantité qu’il faut trouver, je fais le même triangle rectangle NLM, et de sa base MN j’ôte NP égale à NL, et le reste PM est y, la racine cherchée. De façon que j’ai :
Et tout de même si j’avais :
x4 = - ax2 + b2.
PM serait x2 et j’aurais :
;
et ainsi des autres.
Enfin si j’ai :
z2 = az – b2,
je fais NL égale à , et LM égale à b comme devant, puis, au lieu de joindre les points M N je tire MQR parallèle à LN. et du centre N par L ayant décrit un cercle qui la coupe aux points Q et R, la ligne cherchée z est MQ, ou bien MR, car en ce cas elle s’exprime en deux façons, à savoir :
Et :
Et si le cercle, qui ayant son centre au point N, passe par le point L, ne coupe ni ne touche la ligne droite MQR, il n’y a aucune racine en l’Équation, de façon qu’on peut assurer que la construction du problème proposé est impossible.
Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité d’autres moyens, et j’ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin de faire voir qu’on peut construire tous les problèmes de la géométrie ordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j’ai expliquées. Ce que je ne crois pas que les anciens aient remarqué ; car autrement ils n’eussent pas pris la peine d’en écrire tant de gros livres où le seul ordre de leurs propositions nous fait connaître qu’ils n’ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes, mais qu’ils ont seulement ramassé celles qu’ils ont rencontrées.
Exemple tiré de Pappus.
Et on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au commencement de son septième livre, où après s’être arrêté quelque temps à dénombrer tout ce qui avait été écrit en géométrie par ceux qui l’avaient précédé, il parle enfin d’une question qu’il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, n’avaient su entièrement résoudre ; et voici ses mots :
Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro locum ad très et quatuor lineas ab Euclide perfectum non esse, neque ipse perficere poterat, neque aliquis alius ; sed neque paululum quid addere iis, quœ Euclides scripsit, per ea tantum conica, quœ usque ad Euclidis tempora prœmonstrata sunt, etc.
Et un peu après il explique ainsi quelle est cette question :
At locus ad tres et quatuor lineas, in quo (Apollonius) magnifice se jactat, et ostentat, nulla habita gratia ei, qui prius scripsetat, est hujusmodi. Si positione datis tribus rectis lineis ab uno et eodem puncto, ad tres lineas in datis angulis rectœ lineœ ducantur, et data sit proportio rectanguli contenti duabus ductis ad quadratum reliquae : punctum contingit positione datum solidum locum, hoc est unam es tribus conicis sectionibus. Et si ad quatuor rectas lineas positione datas in datis angulis lineœ ducantur ; et rectanguli duabus ductis contenti ad contentum duabus reliquis proportio data sit : similiter punctum datam coni sectionem positione continget. Si quidem igitur ad duas tantum locus planus ostensus est. Quod si ad plures quam quatuor, punctum continget locos non adhuc cognitos, sed lineas tantum dictas ; quales autem sint, vel quam habeant proprietatem, non constat : earum unam., neque primam, et quœ manifestissima videtur, composuerunt ostendentes utilem esse. Propositiones autem ipsarum hoe sunt.
Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas quinque ducantur rectœ lineœ in datis angulis, et data sit proportio solidi parallelepipedi rectanguli, quod tribus ductis lineis continetur ad solidum parallelepipedum rectangulum, quod continetur reliquis duabus, et data quapiam linea, punctum positione datam lineam continget. Si autem ad sex, et data sit proportio solidi tribus lineis contenti ad solidum, quod tribus reliquis continetur ; rursus punctum continget positione datam lineam. Quod si ad plures quam sex non adhuc habent dicere, an data sit proportio cujuspiam contenti quatuor lineis ad id quod reliquis continetur, quoniam non est aliquid contentum pluribus quatn tribut dimensionibus.
Où je vous prie de remarquer en passant que le scrupule que faisaient les anciens d’user des termes de l’arithmétique en la géométrie, qui ne pouvait procéder que de ce qu’ils ne voyaient pas assez clairement leur rapport, causait beaucoup d’obscurité et d’embarras en la façon dont ils s’expliquaient ; car Pappus poursuit en cette sorte :
Acquiescunt aulem his, quipaulo ante talia interpretati sunt ; neque unum aliquo pacto compréhensibile significantes quod his continetur. Licebit autem per conjunctas proportiones hœc, et dicere, et demonstrare universe in dictis proportionibus, atque his in hune modum. Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas ducantur recta lineœ in datis angulis, et data sit proportio conjuncta ex ea, quant habet una ductarum ad unam, et altéra ad alteram, et alia ad aliam, et reliqua ad datam lineam, si sint septem ; si vero octo, et reliqua ad reliquam : punctum continget positione datas lineas. El similiter quotcum que sint impares vel pares multiludine, cum hœc, ut dixi, loco ad quatuor lineas respondeant, nullum igitur posuerunt ita ut linea nota sit, etc.
La question donc qui avait été commencée à résoudre par Euclide et poursuivie par Apollonius, sans avoir été achevée par personne, était telle : Ayant trois ou quatre, ou plus grand nombre de lignes droites données par position ; premièrement on demande un point duquel on puisse tirer autant d’autres lignes droites, une sur chacune des données, qui fassent avec elles des angles donnés, et que le rectangle contenu en deux de celles qui seront ainsi tirées d’un même point, ait la proportion donnée avec le carré de la troisième, s’il n’y en a que trois ; ou bien avec le rectangle des deux autres, s’il y en a quatre ; ou bien, s’il y en a cinq, que le parallélépipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélépipède composé des deux qui restent, et d’une autre ligne donnée ; ou s’il y en a six, que le parallélépipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélépipède des trois autres ; ou s’il y en a sept, que ce qui se produit lorsqu’on en multiplie quatre l’une par l’autre, ait la raison donnée avec ce qui se produit par la multiplication des trois autres, et encore d’une autre ligne donnée ; ou s’il y en a huit, que le produit de la multiplication de quatre ait la proportion donnée avec le produit des quatre autres ; et ainsi cette question se peut tendre à tout autre nombre de lignes. Puis à cause qu’il y a toujours une infinité de divers points qui peuvent satisfaire à ce qui est ici demandé, il est aussi requis de connaître et de tracer la ligne dans laquelle ils doivent tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu’il n’y a que trois ou quatre lignes droites données, c’est en une des trois sections coniques ; mais il n’entreprend point de la déterminer ni de la décrire, non plus que d’expliquer celles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée en un plus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que les anciens en avaient imaginé une qu’ils montraient y être utile, mais qui semblait la plus manifeste, et qui n’était pas toutefois la première. Ce qui m’a donné occasion d’essayer si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi loin qu’ils ont été.
Réponse à la question de Pappus
Half of the other known quantity, when multiplied by z—which I assume to be the unknown line—then extending MN, the base of this triangle, until it reaches O, such that NO is equal to NL, the entire segment OM is thus equal to z, which is the desired line; and it can be expressed in this manner:
Suppose I have y2 = - ay + b2, and y is the quantity I need to find. I construct the same right triangle NLM, and from its base MN, I subtract NP, which is equal to NL; what remains, PM, is then y, the root I am looking for. Thus, I have:
And yet, even if I had.
x4 = - ax2 + b2.
PM would be doubled, and I would have:
;
and so on for others.
Well, if I have.
z2 = az – b2,
I set NL equal to a, and LM equal to b as before. Then, instead of connecting points M and N, I draw line MQR parallel to LN. From point N, through L, I draw a circle that intersects LN at points Q and R; the desired line z is either MQ or MR, because in this case it can be expressed in two different ways.
Et :
And if the circle, which has its center at point N and passes through point L, neither intersects nor touches the straight line MQR, then there is no root in the Equation at all; consequently, it can be determined with certainty that the construction required to solve this problem is impossible.
Moreover, these very same roots can be obtained through an infinite number of other methods; I have merely chosen to present these ones, as they are particularly simple, in order to demonstrate that it is possible to construct all the problems of ordinary geometry by using nothing more than what is explained in the four figures I have illustrated. I do not believe that the ancients noticed this; otherwise, they would not have gone to the trouble of writing so many voluminous books—in which, merely from the order in which their propositions are presented, it is clear that they did not possess a true method for discovering all such problems, but rather simply collected those that they came across.
An example taken from Pappus.
And this can be seen even more clearly from what Pappus wrote at the beginning of his seventh book. After spending some time listing everything that had been written in geometry by those who came before him, he finally discusses a problem that he claims neither Euclid nor Apollonius, nor anyone else, had been able to resolve completely; and here are his exact words:
Whoever claims (Apollonius) that in Book Three there are certain theorems and proofs which are not perfect according to Euclid, or that neither he himself nor anyone else could have perfected them; or that it is even possible to add anything at all to what Euclid has written—through the methods and proofs that were known up to Euclid’s time, etc.
And a little later, he explains in this way what that question is.
At the locus where three and four lines intersect—where Apollonius so magnificently displays his mathematical theories—there resides no grace whatsoever in what was previously written by others. If three straight lines are drawn from a single point at given angles, and if the ratio of the area of the rectangle formed by these two lines to the area of the remaining quadrilateral is established, then the intersection point will coincide with a fixed position on this solid figure—specifically, it will lie on one of the three conic sections. Similarly, if four straight lines are considered, and the same ratio is applied, the intersection point will again correspond to a well-defined position on the solid figure. However, when dealing with more than four lines, the intersection point may correspond to locations that are not yet known or even defined; moreover, it is uncertain what properties these lines possess. None of those who have attempted to explain this phenomenon have succeeded in doing so in a way that proves it to be useful. Such are the very nature of these propositions themselves.
If five straight lines are drawn from a given point at prescribed angles, and if there exists a proportion relating the solid contained by these three lines to the solid contained by the remaining two lines, then any line drawn from that point will intersect the given line. Similarly, if six lines are used, and there exists a corresponding proportion, then again, any line drawn from that point will intersect the given line. As for cases involving more than six lines, it remains to be determined whether such a proportion exists at all, since nothing can exist that is contained by more than four lines in three dimensions.
I would like to point out in passing that the scruples of the ancients regarding the use of arithmetic terms in geometry—since geometry could only proceed from what they did not perceive with sufficient clarity—the led to much confusion and difficulty in their explanations. Indeed, Pappus goes on to say in this manner.
I agree with those who have interpreted these matters in such a way; nor do any agreements contain terms that can be clearly understood as being included within them. However, it is possible to explain and demonstrate everything within these relationships by means of appropriate proportions. For instance, if straight lines are drawn from a given point at specified angles, and a certain proportional relationship exists between these lines—such that the ratio of one line to another, and so on, corresponds to the given proportion—then, if there are seven such lines in total, or eight, or any other odd or even number, a specific point will be determined by this proportional relationship. Similarly, whenever the numbers involved are odd or even in multiple combinations, and these combinations correspond to four lines as mentioned earlier, then no line can be positioned in such a way that it would satisfy the given proportions.
The problem that had been begun to be solved by Euclid and continued by Apollonius, but was never completed by anyone, was as follows: Given three, four, or any greater number of straight lines positioned in a certain manner; first, it is required to find a point from which it is possible to draw additional straight lines, one for each of the given lines, such that they form given angles with each other; moreover, the rectangle formed by two of these lines drawn from the same point must have a given ratio to the square of the third line, if there are only three lines; or to the rectangle formed by the other two lines, if there are four lines; or, if there are five lines, the parallelepiped formed by three of them must have a given ratio to the parallelepiped formed by the remaining two lines and another given line; or, if there are six lines, the parallelepiped formed by three of them must have a given ratio to the parallelepiped formed by the other three lines; or, if there are seven lines, the product obtained by multiplying four of them must have a given ratio to the product obtained by multiplying the other three lines and another given line; or, if there are eight lines, the product of multiplying four of them must have a given ratio to the product of multiplying the other four lines; and so on, this problem can be extended to any number of lines. Furthermore, since there is always an infinite number of different points that can satisfy these conditions, it is also necessary to determine and draw the line on which all these points must lie. Pappus states that when only three or four straight lines are given, such a point lies in one of the three conic sections; however, he does not attempt to determine or describe this point, nor does he explain how to find it when there are more than four lines involved. He merely adds that the ancient mathematicians had devised a method that they claimed was useful, but which seemed the most obvious yet was not necessarily the first approach taken. This inspired me to try whether my own method could lead us to the same results.
Answer to Pappus’s question
La metà dell’altra quantità conosciuta, moltiplicata per z – che presumo sia la linea sconosciuta –; poi prolungando MN, la base di questo triangolo, fino a O, in modo che NO sia uguale a NL, l’intera OM è uguale a z: questa è dunque la linea cercata. E si esprime nel seguente modo.
Se ho y2 = - ay + b2, e se y è la quantità che devo trovare, costruisco lo stesso triangolo rettangolo NLM; dalla sua base MN tolgo NP, che è uguale a NL, e il resto, PM, rappresenta proprio y, la radice che sto cercando. In questo modo.
Eppure, anche se avessi.
x4 = - ax2 + b2.
Il PM sarebbe raddoppiato e io avrei.
;
e così via.
Finalmente, se ho.
z2 = az – b2,
Faccio sì che NL sia uguale a a e LM sia uguale a b, come prima; poi, invece di collegare i punti M e N, traccio la retta MQ parallela a LN. Dal punto N, attraverso la retta L, si descrive un cerchio che interseca questa retta nei punti Q e R; la linea cercata, z, è quindi MQ o MR, poiché in questo caso può essere espressa in due modi diversi.
Et :
E se il cerchio, il cui centro si trova nel punto N, passa per il punto L senza tagliare né toccare la retta MQR, allora nell’Equazione non esistono radici, il che significa che è impossibile risolvere il problema proposto.
Del resto, queste stesse radici possono essere individuate con un’infinità di altri metodi; ho semplicemente voluto menzionarne questi, in quanto molto semplici, per dimostrare che è possibile risolvere tutti i problemi della geometria ordinaria senza fare altro che ciò che è contenuto nelle quattro figure che ho spiegato. Non credo che gli antichi abbiano notato questo aspetto; altrimenti non si sarebbero presi la briga di scrivere tanti volumi pesanti, nei quali l’unico ordine con cui sono presentate le loro proposizioni ci fa capire chiaramente che non possedevano il vero metodo per trovarle tutte, ma che hanno semplicemente raccolto quelle che si erano imbattuti.
Esempio tratto da Pappo.
E si può vedere con estrema chiarezza anche da ciò che Pappo ha scritto all’inizio del suo settimo libro. Dopo essersi soffermato per un po’ a elencare tutto ciò che era stato scritto in geometria dai suoi predecessori, parla infine di una questione che afferma che né Euclide, né Apollonio, né alcun altro siano riusciti a risolvere completamente; ed ecco le sue parole:
Chiunque affermi (Apollonio) che nel terzo libro ci siano parti incomplete o che non possano essere completate né da lui stesso né da alcun altro; e che inoltre non si possa aggiungere nulla a quanto Euclide ha scritto, se non attraverso i metodi conici dimostrati fino ai tempi di Euclide, ecc.
E poco dopo spiega in questo modo quale sia esattamente questa domanda.
Nel punto in cui le tre o le quattro rette si intersecano, e in cui Apollonio si esibisce con tanta magnificenza, non vi è alcuna grazia da attribuire a chi abbia scritto prima di lui; la soluzione proposta è proprio questa. Se si posizionano tre rette diritte partendo dallo stesso punto, e si tracciano altre tre rette secondo angoli specifici, si otterrà un rettangolo il cui rapporto tra i lati determinati dalle prime due rette sarà uguale al rapporto tra i lati del quadrato formato dalle restanti due rette: in questo modo, il punto di intersezione delle tre rette corrisponderà a un punto che occupa uno spazio solido, cioè una delle sezioni coniche generate da queste rette. Se invece si utilizzano quattro rette diritte, e si applica lo stesso principio, il punto di intersezione corrisponderà anch’esso a una sezione conica. Tuttavia, quando si utilizzano più di quattro rette, il punto di intersezione non è ancora noto; si possono indicare soltanto le linee coinvolte, ma non è chiaro quale sia la loro natura o proprietà: nessuno, nemmeno il primo tra coloro che ne hanno descritto le caratteristiche, è riuscito a comporle in modo da dimostrarne l’utilità. Ecco dunque quali siano le proposte stesse.
Se da un punto dato si tracciano cinque rette angolate in modo corretto, e si stabilisce una determinata proporzione tra i solidi parallelepipedi rettangolari contenuti da queste linee, allora quel punto toccherà necessariamente la linea data. Se invece si utilizzano sei linee, e si stabilisce la stessa proporzione, il punto continuerà a toccare la linea data. Per quanto riguarda il caso in cui si utilizzi un numero di linee superiore a sei, non esiste ancora una soluzione definitiva, poiché non esistono solidi parallelepipedi rettangolari contenuti da più di quattro dimensioni.
Vi prego di notare che lo scrupolo degli antichi nel utilizzare termini dell’aritmetica nella geometria, poiché non riuscivano a comprendere chiaramente il rapporto tra questi concetti, causava molta oscurità e difficoltà nelle loro spiegazioni; infatti Pappo prosegue in questo modo.
Accettiamo queste interpretazioni, poiché sono state fornite in precedenza; né esiste alcun patto comprensibile che possa spiegare il contenuto di ciò che è stato detto. Tuttavia, è possibile analizzare tutto ciò attraverso le proporzioni connesse tra i vari elementi e presentarli in questo modo. Se da un punto dato si tracciano linee rette fino alle posizioni indicate, e si stabilisce una proporzione relativa a queste linee – considerando quante ne partono da ciascuna posizione e quale sia la loro relazione reciproca –, se ci sono sette elementi in totale, o otto, o ancora di più, allora si potrà individuare il punto corrispondente alle linee indicate. Allo stesso modo, qualunque sia il numero di elementi, sia dispari che pari, e purché essi rispondano a una struttura basata su quattro linee, non sarà possibile stabilire alcuna relazione precisa tra le linee in questione.
La question che era stata iniziata da Euclide e proseguita da Apollonio, senza mai essere completamente risolta da nessuno, era la seguente: Data una tre, una quattro o un numero maggiore di rette, si cerca un punto dal quale sia possibile tracciare altre rette, una per ciascuna delle rette date, in modo che formino angoli specifici; inoltre, il rettangolo formato da due di queste rette tracciate da lo stesso punto deve avere una determinata proporzione rispetto al quadrato della terza retta, nel caso ne siano tre; oppure rispetto al rettangolo formato dalle altre due rette, se ne sono quattro; o ancora, se ne sono cinque, che il parallelepipedo formato da queste tre rette abbia la stessa proporzione rispetto al parallelepipedo formato dalle altre due rette e da un’altra retta data; oppure, se ne sono sei, che il parallelepipedo formato da queste tre rette abbia la stessa proporzione rispetto al parallelepipedo formato dalle altre tre rette; o ancora, se ne sono sette, che il prodotto della moltiplicazione di quattro di queste rette tra loro abbia la stessa proporzione rispetto al prodotto delle altre tre rette e di un’altra retta data; oppure, se ne sono otto, che il prodotto della moltiplicazione di quattro rette abbia la stessa proporzione rispetto al prodotto delle altre quattro rette; e così via, questa questione può essere estesa a qualsiasi numero di rette. Poiché esiste un’infinità di punti diversi che possono soddisfare i requisiti posti, è anche necessario conoscere e tracciare la retta nella quale tutti questi punti devono trovarsi. Pappo afferma che, quando ci sono solo tre o quattro rette date, tale punto si trova in una delle tre sezioni coniche; tuttavia non tenta di determinarlo né di descriverlo, né di spiegare come possano essere individuati tutti questi punti quando il problema riguarda un numero maggiore di rette. Aggiunge soltanto che gli antichi avevano immaginato un metodo che sembrava particolarmente efficace, ma che in realtà non era certo il primo ad essere stato utilizzato. Questo mi ha spinto a provare se, con il metodo che uso io, si possa arrivare allo stesso risultato.
Risposta alla domanda di Pappo
Et premièrement j’ai connu que cette question n’étant proposée qu’en trois, ou quatre, ou cinq lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie simple, c’est-à-dire en ne se servant que de la règle et du compas, ni ne faisant autre chose que ce qui a déjà été dit ; excepté seulement lorsqu’il y a cinq lignes données, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, comme aussi lorsque la question est proposée en 6, ou 7, ou 8, ou 9 lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie des solides, c’est-à-dire en y employant quelqu’une des trois sections coniques ; excepté seulement lorsqu’il y a neuf lignes données, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, derechef, et encore en 10, 11, 12 ou 13 lignes, on peut trouver les points cherchés par le moyen d’une ligne courbe qui soit d’un degré plus composée que les sections coniques ; excepté en treize, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, et en quatorze, 15, 16 et 17, il y faudra employer une ligne courbe encore d’un degré plus composée que la précédente, et ainsi à l’infini.
Puis j’ai trouvé aussi que lorsqu’il n’y a que trois ou quatre lignes données, les points cherchés se rencontrent tous, non seulement en l’une des trois sections coniques, mais quelquefois aussi en la circonférence d’un cercle ou en une ligne droite ; et que lorsqu’il y en a cinq, ou six, ou sept, ou huit, tous ces points se rencontrent en quelqu’une des lignes qui sont d’un degré plus composées que les sections coniques, et il est impossible d’en imaginer aucune qui ne soit utile à cette question ; mais ils peuvent aussi derechef se rencontrer en une section conique, ou en un cercle, ou en une ligne droite. Et s’il y en a 9, ou 10, ou 11, ou 12, ces points se rencontrent en une ligne qui ne peut être que d’un degré plus composée que les précédentes ; mais toutes celles qui sont d’un degré plus composées y peuvent servir, et ainsi à l’infini.
Au reste, la première et la plus simple de toutes, après les sections coniques, est celle qu’on peut décrire par l’intersection d’une parabole et d’une ligne droite, en la façon qui sera tantôt expliquée. En sorte que je pense avoir entièrement satisfait à ce que Pappus nous dit avoir été cherché en ceci par les anciens ; et je tâcherai d’en mettre la démonstration en peu de mots, car il m’ennuie déjà d’en tant écrire.
Soient AB, AD, EF, GH, etc., plusieurs lignes données par position, et qu’il faille trouver un point, comme C, duquel ayant tiré d’autres lignes droites sur les données, comme CB, CD, CF et CH, en sorte que les angles CBA, CDA, CFE, CHG, etc., soient donnés, comme CB, CD, CF et CH, en sorte que les angles CBA, CDA, CFE, CHG, etc., soient donnés, et que ce qui est produit par la multiplication d’une partie de ces lignes soit égal à ce qui est produit par la multiplication des autres, ou bien qu’ils aient quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la question plus difficile.
Comment on doit poser les termes pour venir à l’équation de cet exemple
Premièrement, je suppose la chose comme déjà faite, et pour me démêler de la confusion de toutes ces lignes je considère l’une des données, et l’une de celles qu’il faut trouver, par exemple AB et CB, comme les principales et auxquelles je tâche de rapporter ainsi toutes les autres. Que le segment de la ligne AB, qui est entre les points A et B, soit nommé x ; et que BC soit nommé y ; et que toutes les autres lignes données soient prolongées jusqu’à ce qu’elles coupent ces deux aussi prolongées, s’il est besoin, et si elles ne leur sont point parallèles ; comme vous voyez ici qu’elles coupent la ligne AB aux points A, E, G, et BC aux points R, S, T. Puis à cause que tous les angles du triangle ARB sont donnés, la proportion qui est entre les côtés AB et BR est aussi donnée, et je la pose comme de z à b, de façon que AB étant x, BR sera et la toute CR sera , à cause que le point B tombe entre C et R ; car si R tombait entre C et B, CR serait et si C tombait entre B et R, CR serait . Tout de même les trois angles du triangle DRC sont donnés, et par conséquent aussi la proportion qui est entre les côtés CR et CD, que je pose comme de z à c, de façon que CR étant , CD sera . Après cela, pour ce que les lignes AB, AD et EF sont données par position, la distance qui est entre les points A et E est aussi donnée, et si on la nomme k, on aura EB égal à k +x ; mais ce serait k - x si le point B tombait entre E et A ; et - k + x si E tombait entre A et B. Et pour ce que les angles du triangle ESB sont tous donnés, la proportion de BE à BS est aussi donnée, et je la pose comme de z à d, si bien que BS est et la toute CS est mais ce serait si le point S tombait entre B et C ; et ce serait si C tombait entre B et S. De plus les trois angles du triangle FSC sont donnés, et ensuite la proportion de CS à CF, qui soit comme de z à e, et la toute CF sera .
En même façon AG que je nomme 1 est donnée, et BG est l - x, et à cause du triangle BGT, la proportion de BG à BT est aussi donnée, qui soit comme de z à f, et BT sera {fl – fx}/z et CT = {zy + fl – fx}/z. Puis derechef la proportion de CT à CH est donnée à cause du triangle TCH, et la posant comme de z à g, on aura CH = .
Et ainsi vous voyez qu’un tel nombre de lignes données par position qu’on puisse avoir, toutes les lignes tirées dessus du point C à angles donnés, suivant la teneur de la question, se peuvent toujours exprimer chacune par trois termes, dont l’un est composé de la quantité inconnue y, multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et l’autre de la quantité inconnue x, aussi multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et le troisième d’une quantité toute connue ; excepté seulement si elles sont parallèles, ou bien à la ligne AB, auquel cas le terme composé de la quantité x sera nul ; ou bien à la ligne CB, auquel cas celui qui est composé de la quantité y sera nul, ainsi qu’il est trop manifeste pour que je m’arrête à l’expliquer. Et pour les signes + et - qui se joignent à ces termes, ils peuvent être changés en toutes les façons imaginables.
Puis vous voyez aussi que, multipliant plusieurs de ces lignes l’une par l’autre, les quantités x et y qui se trouvent dans le produit n’y peuvent avoir que chacune autant de dimensions qu’il y a eu de lignes à l’explication desquelles elles servent, qui ont été ainsi multipliées ; en sorte qu’elles n’auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes ; ni plus de trois, en ce qui ne sera produit que par la multiplication de trois, et ainsi à l’infini.
Comment on trouve que ce problème est plan lorsqu’il n’est point proposé en plus de cinq lignes
Firstly, I realized that since this problem is always presented in three, four, or five lines, it is always possible to find the desired points using only simple geometry—that is, by employing only a ruler and compass, without doing anything else beyond what has already been explained. The only exception occurs when there are five given lines, all of which are parallel; in that case, as well as when the problem is presented with six, seven, eight, or nine lines, it is still possible to find the desired points using solid geometry, specifically by applying one of the three conic sections. However, if there are nine given lines, all of which are parallel, then it becomes impossible. Similarly, when there are ten, eleven, twelve, or thirteen lines, it is necessary to use a curve that is of an even more complex degree than the conic sections; and this pattern continues indefinitely.
I also discovered that when there are only three or four given lines, the desired points always intersect, not only within one of the conic sections but sometimes also on the circumference of a circle or on a straight line. Moreover, when there are five, six, seven, or eight such lines, all these points will intersect on some line that is of a higher degree of complexity than the conic sections; it is indeed impossible to conceive of any other line that would not be useful for this purpose. Yet these points can also intersect directly within a conic section, a circle, or a straight line. Finally, when there are 9, 10, 11, or 12 lines, the intersection points will lie on a line that is still of a higher degree of complexity than the previous ones; however, any line of such a higher degree can be used for this purpose, and this pattern continues indefinitely.
Furthermore, the first and simplest of all, after the conic sections, is that which can be described as the intersection of a parabola and a straight line, in the manner that will be explained later on. I believe that I have thus fully satisfied what Pappus tells us was the goal pursued by the ancients in this area; and I will try to present its proof in few words, for I am already tired of writing about it at length.
Let AB, AD, EF, GH, etc., be several lines given by their positions, and let it be required to find a point, such as C, from which, by drawing other straight lines on these given lines—such as CB, CD, CF, and CH—such that the angles CBA, CDA, CFE, CHG, etc., are also given, it shall be possible to determine whether the product obtained by multiplying certain parts of these lines is equal to the product obtained by multiplying other parts thereof, or whether they possess some other prescribed ratio; for this does not in any way make the problem more difficult.
How must one define the terms in order to arrive at the equation for this example?
Firstly, I assume that everything has already been done, and in order to untangle the confusion of all these lines, I consider one of the given data points—as for example, AB and CB—as the primary ones, and try to relate all the others to them. Let the segment of line AB between points A and B be called x; let BC be called y; and let all the other given lines be extended until they intersect these two extended lines, if necessary, and provided that they are not parallel to them. As you can see here, they intersect line AB at points A, E, G, and line BC at points R, S, T. Since all the angles of triangle ARB are known, the ratio between the sides AB and BR is also known; I denote this ratio as z to b, such that if AB is x, then BR will be some value, and consequently CR will be another value, because point B lies between C and R. If R were located between C and B, then CR would be a different value; and if C were between B and R, then CR would yet be another value. Similarly, since all the angles of triangle DRC are known, the ratio between the sides CR and CD is also known; I denote this ratio as z to c, such that if CR is some value, then CD will be another value. Furthermore, since lines AB, AD, and EF are given in their positions, the distance between points A and E is also known; let this distance be called k. Then EB will be equal to k + x; but it would be k - x if point B were located between E and A; and -k + x if E were located between A and B. And since all the angles of triangle ESB are known, the ratio of BE to BS is also known; I denote this ratio as z to d, such that if BS is some value, then CS will be another value; but it would be a different value if point S were located between B and C; and yet another value if C were between B and S. Lastly, since all the angles of triangle FSC are known, the ratio of CS to CF is also known; I denote this ratio as z to e, such that if CS is some value, then CF will be another value.
In the same way, since AG is given and BG is equal to -x, and because of triangle BGT, the ratio of BG to BT is also known, which is equivalent to the ratio of z to f. Therefore, BT can be expressed as {fl – fx}/z, and CT can be expressed as {zy + fl – fx}/z. Furthermore, since the ratio of CT to CH is known due to triangle TCH, and setting it equal to the ratio of z to g, we can conclude that CH equals.
Thus, you see that any number of lines given by their positions can always be expressed, for each line drawn from point C at given angles, according to the nature of the problem, in terms of three quantities: one of these quantities is composed of the unknown quantity y, multiplied or divided by some known quantity; another is composed of the unknown quantity x, also multiplied or divided by some known quantity; and the third is a completely known quantity. The only exceptions occur when these lines are parallel to either line AB—in which case the term containing quantity x will be zero—or to line CB, in which case the term containing quantity y will be zero. This is too obvious to require further explanation. As for the signs + and -, they can be altered in any conceivable manner when added to these terms.
Furthermore, it can be seen that when several such lines are multiplied together, the quantities x and y resulting from this multiplication can only possess as many dimensions as the number of lines that were used in their derivation; thus, if the product is obtained by multiplying just two lines, the resulting quantities will never have more than two dimensions; if three lines are multiplied, the resulting quantities will never have more than three dimensions; and this pattern continues indefinitely.
How can one consider this problem to be trivial when it is not presented in fewer than five lines?
Innanzitutto, ho constatato che poiché questa questione viene posta soltanto in tre, quattro o cinque righe, è sempre possibile trovare i punti cercati utilizzando solo regola e compasso, senza fare nulla di più di ciò che è già stato detto; ad eccezione dei casi in cui siano date cinque righe tutte parallele: in tal caso, così come quando la questione viene posta in sei, sette, otto o nove righe, è comunque possibile trovare i punti cercati attraverso la geometria dei solidi, utilizzando cioè una delle tre sezioni coniche; ad eccezione dei casi in cui siano date nove righe tutte parallele: in tal caso, immediatamente, e allo stesso modo quando ci sono dieci, undici, dodici o tredici righe, è possibile trovare i punti cercati utilizzando una linea curva di grado ancora più complesso rispetto alle sezioni coniche; ad eccezione dei casi in cui ce ne siano tredici: in tal caso, e anche nei casi in cui ce ne sono quattordici, quindici, sedici o diciassette, sarà necessario utilizzare una linea curva di grado ancora più complesso rispetto alla precedente, e così via all’infinito.
Inoltre ho scoperto che quando vengono fornite soltanto tre o quattro linee, i punti cercati si incontrano sempre, non solo in una delle tre sezioni coniche, ma a volte anche sulla circonferenza di un cerchio o su una retta; e che quando ne sono cinque, sei, sette o otto, tutti questi punti si trovano necessariamente su linee il cui grado di complessità è superiore a quello delle sezioni coniche, e non è possibile immaginare alcuna linea che non sia utile per risolvere questo problema; tuttavia, tali punti possono anche incontrarsi direttamente in una sezione conica, in un cerchio o su una retta. E se ne sono nove, dieci, undici o dodici, questi punti si trovano necessariamente su linee il cui grado di complessità è ancora maggiore; ma tutte le linee di grado superiore possono essere utilizzate allo stesso scopo, e così via all’infinito.
Del resto, la prima e più semplice di tutte, dopo le sezioni coniche, è quella che si può descrivere come l’intersezione di una parabola e di una retta, nel modo che verrà spiegato in seguito. Credo quindi di aver completamente soddisfatto ciò che Pappo afferma essere stato cercato dagli antichi in questo campo; cercherò di esporre la dimostrazione in poche parole, perché già mi annoia solo il pensiero di doverla scrivere.
Siano AB, AD, EF, GH, ecc., diverse rette date in base alla loro posizione, e si debba trovare un punto, come C, da cui tracciare altre rette perpendicolari alle prime, come CB, CD, CF e CH, in modo che gli angoli CBA, CDA, CFE, CHG, ecc., siano dati; inoltre, si deve far sì che il prodotto della moltiplicazione di alcune di queste rette sia uguale al prodotto della moltiplicazione delle altre, oppure che esse abbiano qualche altra proporzione data, poiché ciò non rende la questione più difficile.
Come si devono formulare i termini per arrivare all’equazione di questo esempio?
Innanzitutto, considero la cosa come già avvenuta; per districermi dalla confusione di tutte queste informazioni, prendo una delle dati forniti – ad esempio AB e CB – come principali e cerco di collegare a esse tutte le altre. Il segmento della linea AB che si trova tra i punti A e B viene chiamato x; BC viene chiamato y; tutte le altre linee fornite vengono prolungate fino al punto in cui intersecano queste due linee, se necessario, e si verifica anche se siano parallele o meno. Come potete vedere, queste linee intersecano la linea AB nei punti A, E, G e la linea BC nei punti R, S, T. Poiché tutti gli angoli del triangolo ARB sono noti, anche il rapporto tra i lati AB e BR è noto; lo stabilisco come z:b, in modo che se AB è x, allora BR sarà y e CR sarà z – poiché il punto B si trova tra C e R. Se invece R si trovasse tra C e B, CR sarebbe diverso; allo stesso modo, poiché tutti gli angoli del triangolo DRC sono noti, anche il rapporto tra i lati CR e CD è noto; lo stabilisco come z:c, in modo che se CR è y, allora CD sarà z/y. Poiché le linee AB, AD ed EF sono date, la distanza tra i punti A ed E è anch’essa nota; se la chiamiamo k, allora EB sarà uguale a k+x; ma sarebbe k-x se il punto B si trovasse tra E e A, o -k+x se E si trovasse tra A e B. Poiché gli angoli del triangolo ESB sono tutti noti, anche il rapporto tra i lati BE e BS è noto; lo stabilisco come z:d, in modo che se BS è y, allora CS sarà z/d; ma sarebbe diverso se S si trovasse tra B e C. Infine, poiché gli angoli del triangolo FSC sono tutti noti, anche il rapporto tra i lati CS e CF è noto; lo stabilisco come z:e, in modo che se CS è y, allora CF sarà z/e.
Allo stesso modo, dato che AG è uguale a 1 e BG è pari a -x, e considerando il triangolo BGT, si sa anche quale sia la proporzione tra BG e BT; tale proporzione è uguale a quella tra z e f. Pertanto, BT può essere espresso come {fl – fx}/z, e CT come {zy + fl – fx}/z. Successivamente, considerando il triangolo TCH, si conosce anche la proporzione tra CT e CH; posta tale proporzione come quella tra z e g, si ottiene che CH è uguale a.
E così si vede che un numero qualsiasi di rette, date in base alla loro posizione, tutte le rette tracciate da quel punto C con angoli specificati, a seconda dei requisiti della questione, possono sempre essere espresse ciascuna mediante tre termini: il primo è composto dalla quantità sconosciuta y, moltiplicata o divisa per un’altra quantità nota; il secondo è anch’esso composto dalla quantità sconosciuta x, moltiplicata o divisa per un’altra quantità nota; il terzo è costituito da una quantità del tutto nota. Questo vale soltanto nel caso in cui tali rette siano parallele alla linea AB, nel qual caso il termine che include la quantità x risulterà nullo; oppure parallele alla linea CB, nel qual caso il termine che include la quantità y risulterà anch’esso nullo. Questo è troppo evidente perché io debba soffermarmi ulteriormente ad spiegarlo. Per quanto riguarda i segni + e -, che vengono aggiunti a questi termini, essi possono essere sostituiti in ogni modo immaginabile.
Si può anche osservare che, moltiplicando più di queste linee tra loro, le quantità x e y risultanti dalla moltiplicazione non possono avere se non il numero di dimensioni pari al numero di linee utilizzate per la loro determinazione; in altre parole, non potranno mai avere più di due dimensioni nel caso in cui la moltiplicazione riguardi soltanto due linee, né più di tre dimensioni se riguarda tre linee, e così via all’infinito.
Come si può considerare questo problema banale, se non viene presentato in più di cinque righe?
De plus, à cause que pour déterminer le point C, il n’y a qu’une seule condition qui soit requise, à savoir que ce qui est produit par la multiplication d’un certain nombre de ces lignes soit égal, ou, ce qui n’est de rien plus malaisé, ait la proportion donnée à ce qui est produit par la multiplication des autres ; on peut prendre à discrétion l’une des deux quantités inconnues x ou y, et chercher l’autre par cette équation, en laquelle il est évident que, lorsque la question n’est point posée en plus de cinq lignes, la quantité x, qui ne sert point à l’expression de la première, peut toujours n’y avoir que deux dimensions ; de façon que, prenant une quantité connue pour y, il ne restera que x2 = + ou - ax + ou - b2 ; et ainsi on pourra trouver la quantité x avec la règle et le compas, en la façon tantôt expliquée. Même, prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x, et ainsi on aura une infinité de divers points, tels que celui qui est marqué C, par le moyen desquels on décrira la ligne courbe demandée.
Il se peut faire aussi, la question étant proposée en six ou plus grand nombre de lignes, s’il y en a entre les données qui soient parallèles à BA ou BC, que l’une des deux quantités x ou y n’ait que deux dimensions en l’équation, et ainsi qu’on puisse trouver le point C avec la règle et le compas. Mais au contraire si elles sont toutes parallèles, encore que la question ne soit proposée qu’en cinq lignes, ce point C ne pourra ainsi être trouvé, à cause que la quantité x ne se trouvant point en toute l’équation, il ne sera plus permis de prendre une quantité connue pour celle qui est nommée y, mais ce sera celle qu’il faudra chercher. Et pour ce qu’elle aura trois dimensions, on ne le pourra trouver qu’en tirant la racine d’une équation cubique, ce qui ne se peut généralement faire sans qu’on y emploie pour le moins une section conique. Et encore qu’il y ait jusqu’à neuf lignes données, pourvu qu’elles ne soient point toutes parallèles, on peut toujours faire que l’équation ne monte que jusqu’au carré de carré ; au moyen de quoi on la peut aussi toujours résoudre par les sections coniques, en la façon que j’expliquerai ci-après. Et encore qu’il y en ait jusqu’à treize, on peut toujours faire qu’elle ne monte que jusqu’au carré de cube ; ensuite de quoi on la peut résoudre par le moyen d’une ligne, qui n’est que d’un degré plus composée que les sections coniques, en la façon que j’expliquerai aussi ci-après. Et ceci est la première partie de ce que j’avais ici à démontrer ; mais avant que je passe à la seconde, il est besoin que je dise quelque chose en général de la nature des lignes courbes.
Livre second
DE LA NATURE DES LIGNES COURBES
Les anciens ont fort bien remarqué qu’entre les problèmes de géométrie, les uns sont plans, les autres solides et les autres linéaires, c’est-à-dire que les uns peuvent être construits en ne traçant que des lignes droites et des cercles ; au lieu que les autres ne le peuvent être, qu’on n’y emploie pour le moins quelque section conique ; ni enfin les autres, qu’on n’y emploie quelque autre ligne plus composée.
Mais je m’étonne de ce qu’ils n’ont point outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne saurais comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques plutôt que géométriques.
Car de dire que c’ait été à cause qu’il est besoin de se servir de quelque machine pour les décrire, il faudrait rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu qu’on ne les décrit sur le papier qu’avec un compas et une règle, qu’on peut aussi nommer des machines.
Ce n’est pas non plus à cause que les instruments qui servent à les tracer, étant plus composés que la règle et le compas, ne peuvent être si justes ; car il faudrait pour cette raison les rejeter des mécaniques, où la justesse des ouvrages qui sortent de la main est désirée, plutôt que de la géométrie, où c’est seulement la justesse du raisonnement qu’on recherche, et qui peut sans doute être aussi parfaite touchant ces lignes que touchant les autres.
Je ne dirai pas aussi que ce soit à cause qu’ils n’ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, et qu’ils se sont contentés qu’on leur accordât qu’ils pussent joindre deux points donnés par une ligne droite, et décrire un cercle d’un centre donné qui passât par un point donné ; car ils n’ont point fait de scrupule de supposer outre cela, pour traiter des sections coniques, qu’on pût couper tout cône donné par un plan donné.
Et il n’est besoin de rien supposer pour tracer toutes les lignes courbes que je prétends ici d’introduire, sinon que deux ou plusieurs lignes puissent être mues l’une par l’autre, et que leurs intersections en marquent d’autres ;ce qui ne me paraît en rien plus difficile.
Il est vrai qu’ils n’ont pas aussi entièrement reçu les sections coniques en leur géométrie, et je ne veux pas entreprendre de changer les noms qui ont été approuvés par l’usage ; mais il est, ce me semble, très clair que, prenant comme on fait pour géométrique ce qui est précis et exact, et pour mécanique ce qui ne l’est pas, et considérant la géométrie comme une science qui enseigne généralement à connaître les mesures de tous les corps, on n’en doit pas plutôt exclure les lignes les plus composées que les plus simples, pourvu qu’on les puisse imaginer être décrites par un mouvement continu, ou par plusieurs qui s’entre-suivent, et dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les précèdent ; car par ce moyen on peut toujours avoir une connaissance exacte de leur mesure. Mais peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de recevoir celles qui étaient plus composées que les sections coniques, c’est que les premières qu’ils ont considérées, ayant par hasard été la spirale, la quadratrice et semblables, qui n’appartiennent véritablement qu’aux mécaniques, et ne sont point du nombre de celles que je pense devoir ici être reçues, à cause qu’on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et qui n’ont entre eux aucun rapport qu’on puisse mesurer exactement ; bien qu’ils aient après examiné la conchoïde, la cissoïde, et quelque peu d’autres qui en sont, toutefois à cause qu’ils n’ont peut-être pas assez remarqué leurs propriétés, ils n’en ont pas fait plus d’état que des premières ; ou bien c’est que, voyant qu’ils ne connaissaient encore que peu de choses touchant les sections coniques, et qu’il leur en restait même beaucoup, touchant ce qui se peut faire avec la règle et le compas, qu’ils ignoraient, ils ont cru ne devoir point entamer de matière plus difficile. Mais pour ce que j’espère que dorénavant ceux qui auront l’adresse de se servir du calcul géométrique ici proposé, ne trouveront pas assez de quoi s’arrêter touchant les problèmes plans ou solides, je crois qu’il est à propos que je les invite à d’autres recherches, où ils ne manqueront jamais d’exercice.
Furthermore, since only one condition is required in order to determine point C—namely, that the result obtained by multiplying a certain number of these lines be equal to, or, what is no less feasible, have the same proportion as the result obtained by multiplying the other lines—one of the two unknown quantities, x or y, can be chosen at will, and the other can be determined through this equation. It is evident that when the problem is not posed in terms of more than five lines, the quantity x, which is not used in the expression for the first unknown, can always have only two dimensions. Thus, by taking a known value for y, one will be left with the equation x² = ±ax ± b²; and using the rules and compasses, as explained earlier, it will be possible to find the value of x. Moreover, by successively assigning various values to the variable y, an infinite number of corresponding values for x can be obtained, thereby enabling one to determine an infinite number of points—such as the point marked C—through which the desired curved line can be described.
It is also possible, in cases where the problem is stated in six or more lines, and if there are certain data points that are parallel to either BA or BC, that one of the two quantities, x or y, may have only two dimensions in the equation. In such cases, it would be possible to determine point C using a ruler and compass. However, if all the data points are parallel to each other—even if the problem is stated in only five lines—point C cannot be determined in this way. This is because if the quantity x does not appear in the entire equation, it will no longer be possible to assume that y is a known quantity; instead, y will have to be determined through further calculations. Moreover, since y will have three dimensions, its value can only be found by solving a cubic equation, which generally requires the use of conic sections. Even if there are as many as nine lines of data provided, as long as they are not all parallel to each other, it is still possible to ensure that the equation remains within the scope of quadratic operations. With this approach, the equation can always be solved using conic sections, in the manner I will explain below. Furthermore, even if there are as many as thirteen lines of data provided, it is still possible to structure the equation so that it remains within the scope of cubic operations. Once this is done, the equation can be solved using a method that involves a degree of complexity one level higher than that of conic sections, and I will also explain this method in detail below. This constitutes the first part of what I intended to demonstrate here; but before moving on to the second part, it is necessary for me to discuss in general terms the nature of curved lines.
Book Two
ON THE NATURE OF CURVED LINES
The ancients had clearly observed that among geometric problems, some are planar, some are solid, and others are linear—that is to say, some can be constructed by merely drawing straight lines and circles; whereas others cannot be constructed in this way, requiring at the very least the use of some conic section; and still others require the use of more complex lines.
But I am surprised that they did not distinguish various degrees among these more complex lines; moreover, I fail to understand why they called them “mechanical” rather than “geometric”.
For to say that it was because it is necessary to use some kind of machine in order to describe them would mean that one would also have to reject circles and straight lines for the same reason—after all, they are also described on paper using a compass and a ruler, which could be considered machines as well.
It is also not because the instruments used to draw them are more complex than a ruler and compass that they cannot be as precise; indeed, for this very reason, such instruments should be excluded from the realm of mechanics, where precision in the final products crafted by human hands is desired, rather than from geometry, where the focus is merely on the accuracy of reasoning—and which, undoubtedly, can achieve the same degree of precision when it comes to these lines as with other types of measurements.
I would not say that it was because they did not wish to increase the number of their requests, and were content with merely being allowed to connect two given points by a straight line, or to draw a circle with a given center that passed through a given point; for they had no scruples whatsoever about assuming, in addition to this, that when dealing with conic sections, it was possible to cut any given cone by a given plane.
And it is not necessary to assume anything in order to trace all those curved lines that I claim to be introducing here, other than that two or more lines can move relative to each other, and that their intersections will mark additional lines; which does not seem to me any more difficult at all.
It is true that they have not fully incorporated the conic sections into their geometry, and I do not wish to attempt to change the names that have been established through common usage; however, it seems quite clear to me that, if we consider what is precise and exact as belonging to geometry, and what is not as belonging to mechanics, and regard geometry as a science that generally teaches us how to determine the measurements of all bodies, then we should not exclude the more complex lines from its scope rather than the simpler ones—so long as these complex lines can be imagined as being described by continuous motion, or by several motions that follow one another in a manner such that the latter are entirely determined by the former. For in this way, we can always obtain an exact understanding of their measurements. Nevertheless, perhaps what prevented ancient geometers from accepting these more complex lines was the fact that the first ones they studied happened to be the spiral, the quadratrix, and similar figures, which truly belong to mechanics rather than geometry. I do not consider these figures to deserve inclusion here, because they can be imagined as being described by two separate motions that have no precise relationship to one another; although they later examined the conchoid, the cycloid, and a few other related figures, perhaps they did not pay enough attention to their properties, and therefore treated them in the same manner as the first ones. Alternatively, it may be that since they knew so little about conic sections and still had much to learn regarding what could be accomplished with a ruler and compass, they felt it would be unwise to venture into more difficult subjects. But since I hope that those who are skilled in using the geometric calculations proposed here will find plenty of problems related to planes or solids to study, I believe it is appropriate for me to encourage them to pursue further investigations, where they will surely find ample opportunities for practice.
Inoltre, poiché per determinare il punto C è richiesta un’unica condizione: che ciò che deriva dalla moltiplicazione di un certo numero di queste linee sia uguale, o, cosa non meno semplice, abbia la stessa proporzione di ciò che deriva dalla moltiplicazione delle altre linee; si può scegliere liberamente una delle due quantità sconosciute, x o y, e calcolare l’altra tramite questa equazione. È evidente che, quando il problema non viene posto in relazione a più di cinque linee, la quantità x, che non è necessaria per esprimere il risultato della prima operazione, può sempre avere soltanto due dimensioni; quindi, assumendo una quantità nota per y, si otterrà l’equazione x² = ± ax ± b², e così sarà possibile determinare il valore di x utilizzando regola e compasso, nel modo già spiegato. Anche scegliendo successivamente valori infiniti per la variabile y, si potranno trovare infinite soluzioni anche per x; in questo modo si otterrà un numero infinito di punti, come quello indicato con la lettera C, grazie ai quali sarà possibile descrivere la curva richiesta.
È anche possibile farlo: se la questione è posta in sei o più righe, e se tra i dati forniti ce ne sono alcuni paralleli a BA o BC, oppure se una delle due quantità x o y nell’equazione ha soltanto due dimensioni, allora il punto C può essere individuato utilizzando regola e compasso. Tuttavia, se tutti i dati sono paralleli – anche se la questione è posta in sole cinque righe – tale punto non potrà essere trovato, poiché la quantità x non compare nell’intera equazione; di conseguenza, non sarà più possibile utilizzare una quantità nota come y, ma si dovrà cercarne un’altra. Inoltre, se tale quantità ha tre dimensioni, il punto C potrà essere individuato soltanto calcolando la radice di un’equazione cubica, operazione che generalmente richiede l’uso di sezioni coniche. Anche se i dati forniti sono fino a nove righe, purché non siano tutti paralleli, è sempre possibile far sì che l’equazione includa soltanto termini al quadrato; in questo modo, essa potrà comunque essere risolta utilizzando le sezioni coniche, come spiegherò più avanti. E anche se i dati sono fino a tredici righe, è sempre possibile far sì che l’equazione includa soltanto termini al cubo; successivamente, essa potrà essere risolta utilizzando un metodo che richiede un grado di complessità superiore rispetto alle sezioni coniche, come illustrerò anch’io in seguito. Questa è la prima parte di ciò che volevo dimostrare; ma prima di passare alla seconda parte, è necessario parlare in generale della natura delle rette curve.
Libro secondo
Della natura delle linee curve
Gli antichi hanno notato chiaramente che, tra i problemi di geometria, alcuni sono planari, altri solidi e altri ancora lineari; in altre parole, alcuni possono essere risolti tracciando soltanto rette e cerchi, mentre altri richiedono l’uso di sezioni coniche o di linee più complesse.
Ma mi meraviglio che non abbiano distinto diversi gradi tra queste linee più complesse, e non riesco a capire perché le abbiano chiamate “meccaniche” invece che “geometriche”.
Poiché affermare che ciò sia dovuto al fatto che per descriverli sia necessario utilizzare alcune macchine significherebbe, per lo stesso motivo, dover rifiutare anche i cerchi e le linee rette, visto che anch’essi vengono descritti su carta soltanto con un compasso e una riga, strumenti che possono essere considerati a loro volta macchine.
Non è nemmeno perché gli strumenti utilizzati per tracciarle siano più complessi della riga e del compasso, quindi non possano essere altrettanto precisi; anzi, per questo motivo dovrebbero essere esclusi dalla meccanica, dove si desidera la precisione dei manufatti realizzati a mano, piuttosto che dalla geometria, dove ciò che si cerca è soltanto la precisione del ragionamento – una precisione che, senza dubbio, può essere altrettanto perfetta per queste linee quanto per le altre.
Non dirò certo che ciò sia avvenuto perché non abbiano voluto aumentare il numero delle loro richieste, e si siano accontentati che venisse loro concesso di collegare due punti dati con una linea retta, o di descrivere un cerchio il cui centro fosse dato e che passasse per un punto specifico; perché inoltre non hanno avuto alcun rimorso nel supporre, al fine di trattare le sezioni coniche, che si potesse tagliare qualsiasi cono dato con un piano dato.
E non è necessario supporre nulla per tracciare tutte le linee curve che qui sostengo di voler introdurre, se non che due o più linee possano muoversi l’una rispetto all’altra e che i loro punti di intersezione ne indichino altri; il che non mi sembra affatto più difficile.
È vero che essi non hanno completamente incorporato le sezioni coniche nella loro geometria, e non intendo certo modificare i nomi che sono stati affermati dall’uso comune; tuttavia mi sembra assai chiaro che, considerando come geometria ciò che è preciso ed esatto, e come meccanica ciò che non lo è, e ritenendo la geometria una scienza che insegna generalmente a conoscere le misure di tutti i corpi, non si dovrebbero escludere le linee più complesse da quelle più semplici, purché si possa immaginare che siano descritte da un movimento continuo o da più movimenti che si susseguono l’uno dopo l’altro, e i cui ultimi siano completamente regolati da quelli precedenti; poiché in questo modo si può sempre ottenere una conoscenza esatta delle loro misure. Tuttavia, forse ciò che ha impedito agli antichi geometri di includere nelle loro teorie quelle sezioni coniche più complesse è stato il fatto che le prime che hanno studiato erano casualmente la spirale, la quadratica e simili, che appartengono veramente alla meccanica e non rientrano tra quelle che ritengo debbano essere considerate nella geometria, poiché si possono immaginare descritte da due movimenti separati che non presentano alcun rapporto che possa essere misurato con precisione; anche se in seguito hanno esaminato la concoide, la cissoide e altre simili, probabilmente non hanno prestato abbastanza attenzione alle loro proprietà, e quindi non ne hanno fatto un trattamento approfondito come delle prime. Oppure forse è stato perché, essendo a conoscenza di poche cose riguardo alle sezioni coniche e ignorando ancora molte altre possibilità che si possono ottenere utilizzando la regola e il compasso, hanno ritenuto inutile affrontare argomenti più complessi. Ma poiché spero che coloro che sapranno utilizzare correttamente il calcolo geometrico proposto qui non troveranno mai abbastanza materiale su cui lavorare per i problemi riguardanti superfici piane o solidi, ritengo opportuno invitarli a proseguire nelle loro ricerche, dove sicuramente troveranno sempre nuovi esercizi da svolgere.
Voyez les lignes AB, AD, AF et semblables, que je suppose avoir été décrites par l’aide de l’instrument YZ, qui est composé de plusieurs règles tellement jointes que celle qui est marquée YZ étant arrêtée sur la ligne AN, on peut ouvrir et fermer l’angle XYZ, et que lorsqu’il est tout fermé, les points B, C, D, E, F, G, H sont tous assemblés au point A ; mais qu’à mesure qu’on l’ouvre, la règle BC, qui est jointe à angles droits avec X Y au point B, pousse vers Z la règle CD, qui coule sur YZ en faisant toujours des angles droits avec elle ; et CD pousse DE, qui coule tout de même sur YX en demeurant parallèle à BC ; DE pousse EF, EF pousse FG, celle-ci pousse GH, et on en peut concevoir une infinité d’autres qui se poussent consécutivement en même façon, et dont les unes fassent toujours les mêmes angles avec YX et les autres avec YZ. Or, pendant qu’on ouvre ainsi l’angle XYZ, le point B décrit la ligne AB, qui est un cercle ; et les autres points D, F, H, où se font les intersections des autres règles, décrivent d’autres lignes courbes AD, AF, AH, dont les dernières sont par ordre plus composées que la première, et celle-ci plus que le cercle ; mais je ne vois pas ce qui peut empêcher qu’on ne conçoive aussi nettement et aussi distinctement la description de cette première que du cercle, ou du moins que des sections coniques ; ni ce qui peut empêcher qu’on ne conçoive la seconde, et la troisième, et toutes les autres qu’on peut décrire, aussi bien que la première ; ni par conséquent qu’on ne les reçoive toutes en même façon pour servir aux spéculations de géométrie.
La façon de distinguer toutes ces lignes courbes en certains genres, et de connaître le rapport qu’ont tous leurs points à ceux des lignes droites
Je pourrais mettre ici plusieurs autres moyens pour tracer et concevoir des lignes courbes qui seraient de plus en plus composées par degrés à l’infini ; mais pour comprendre ensemble toutes celles qui sont en la nature, et les distinguer par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur que de dire que tous les points de celles qu’on peut nommer géométriques, c’est-à-dire qui tombent sous quelque mesure précise et exacte, ont nécessairement quelque rapport à tous les points d’une ligne droite, qui peut être exprimée par quelque équation, en tous par une même ; et que, lorsque cette équation ne monte que jusqu’au rectangle de deux quantités indéterminées, ou bien au carré d’une même, la ligne courbe est du premier et plus simple genre, dans lequel il n’y a que le cercle, la parabole, l’hyperbole et l’ellipse qui soient compris ; mais que lorsque l’équation monte jusqu’à la troisième ou quatrième dimension des deux, ou de l’une des deux quantités indéterminées (car il en faut deux pour expliquer ici le rapport d’un point à un autre), elle est du second ; et que lorsque l’équation monte jusqu’à la cinquième ou sixième dimension, elle est du troisième ; et ainsi des autres à l’infini.
Comme si je veux savoir de quel genre est la ligne EC, que j’imagine être décrite par l’intersection de la règle GL et du plan rectiligne CNKL, dont le côté KN est indéfiniment prolongé vers C, et qui, étant mu sur le plan de dessous en ligne droite, c’est-à-dire en telle sorte que son diamètre KL se trouve toujours appliqué sur quelque endroit de la ligne BA prolongée de part et d’autre, fait mouvoir circulairement cette règle GL autour du point G, à cause qu’elle lui est tellement jointe qu’elle passe toujours par le point L. Je choisis une ligne droite comme AB, pour rapporter à ses divers points tous ceux de cette ligne courbe EC ; et en cette ligne AB je choisis un point comme A, pour commencer par lui ce calcul. Je dis que je choisis et l’un et l’autre, à cause qu’il est libre de les prendre tels qu’on veut ; car encore qu’il y ait beaucoup de choix pour rendre l’équation plus courte et plus aisée, toutefois en quelle façon qu’on les prenne, on peut toujours faire que la ligne paraisse de même genre, ainsi qu’il est aisé à démontrer. Après cela prenant un point à discrétion dans la courbe, comme C, sur lequel je suppose que l’instrument qui sert à la décrire est appliqué, je tire de ce point C la ligne CB parallèle à GA, et pour ce que CB et BA sont deux quantités indéterminées et inconnues, je les nomme l’une y et l’autre x ; mais afin de trouver le rapport de l’une à l’autre, je considère aussi les quantités connues qui déterminent la description de cette ligne courbe, comme GA, que je nomme a, KL que je nomme b, et NL, parallèle à GA, que je nomme c ; puisje dis, comme NL est à LK, ou c à b, ainsi CB ou y est à BK, qui est par conséquent : et BL est , et AL est . De plus, comme CB est à LB, ou y à , ainsi a ou GA est à LA ou ; de façon que, multipliant la seconde par la troisième, on produit , qui est égale à , qui se produit en multipliant la première par la dernière : et ainsi l’équation qu’il fallait trouver est :
,
de laquelle on connaît que la ligne EC est du premier genre, comme en effet elle n’est autre qu’une hyperbole.
Que si, en l’instrument qui sert à la décrire, on fait qu’au lieu de la ligne droite CNK, ce soit cette hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan CNKL, l’intersection de cette ligne et de la règle GL décrira, au lieu de l’hyperbole EC, une autre ligne courbe qui sera d’un second genre. Comme si CNK est un cercle dont L soit le centre, on décrira la première conchoïde des Anciens ; et si c’est une parabole dont le diamètre soit KB, on décrira la ligne courbe que j’ai tantôt dit être la première et la plus simple pour la question de Pappus, lorsqu’il n’y a que cinq lignes droites données par position ; mais si au lieu d’une de ces lignes courbes du premier genre, c’en est une du second qui termine le plan CNKL, on en décrira, par son moyen, une du troisième, ou si c’en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l’infini, comme il est fort aisé à connaître par le calcul. Et en quelque autre façon qu’on imagine la description d’une ligne courbe, pourvu qu’elle soit du nombre de celles que je nomme géométriques, on pourra toujours trouver une équation pour déterminer tousses points en cette sorte.
Au reste, je mets les lignes courbes qui font monter cette équation jusqu’au carré, au même genre que celles qui ne la font monter que jusqu’au cube ; et celles dont l’équation monte au carré de cube, au même genre que celles dont elle ne monte qu’au sursolide, et ainsi des autres : dont la raison est qu’il y a règle générale pour réduire au cube toutes les difficultés qui vont au carré de carré, et au sursolide toutes celles qui vont au carré de cube ; de façon qu’on ne les doit point estimer plus composées.
Mais il est à remarquer qu’entre les lignes de chaque genre, encore que la plupart soient également composées, en sorte qu’elles peuvent servir à déterminer les mêmes points et construire les mêmes problèmes, il y en a toutefois aussi quelques-unes qui sont plus simples, et qui n’ont pas tant d’étendue en leur puissance ; comme entre celles du premier genre, outre l’ellipse, l’hyperbole et la parabole, qui sont également composées, le cercle y est aussi compris, qui manifestement est plus simple ; et entre celles du second genre, il y a la conchoïde vulgaire, qui a son origine du cercle ; et il y en a encore quelques autres qui, bien qu’elles n’aient pas tant d’étendue que la plupart de celles du même genre, ne peuvent toutefois être mises dans le premier.
Suite de l’explication de la question de Pappus mise au livre précédent.
Consider the lines AB, AD, AF, and similar ones, which I suppose were described using the instrument YZ—composed of several straightedges joined together in such a way that the one marked YZ is fixed on the line AN. It is possible to open and close the angle XYZ; when it is completely closed, the points B, C, D, E, F, G, H are all aligned with point A. However, as the angle is opened, the straightedge BC, which forms right angles with XY at point B, pushes the straightedge CD toward Z; CD in turn moves along YZ while always maintaining right angles with it. CD then pushes DE, which also moves along YX while remaining parallel to BC; DE pushes EF, EF pushes FG, and so on—an infinite series of such movements. Each segment continues this pattern, either forming the same angles with YX or with YZ. As the angle XYZ is opened in this manner, point B traces out the line AB, which is a circle. The other points D, F, H, where other straightedges intersect, trace out other curved lines: AD, AF, AH, with each subsequent line being more complex than the previous one, and the first line itself being simpler than a circle. Yet I see no reason why the description of this first line could not be as clear and precise as that of a circle—or at least as clear and precise as the description of conic sections. Nor do I see any obstacle to conceiving the descriptions of the second, third, and all other such lines in just the same way; consequently, there is no reason why they cannot all be used in the same manner for geometric speculation.
The way in which all these curved lines can be distinguished in certain genres, and how one can understand the relationship between all their points and those of straight lines.
I could list several other methods for tracing and constructing curved lines that become increasingly complex as they extend towards infinity; but to understand all those that exist in nature and to classify them into distinct categories, I see no better way than to state that every point on what we might call geometric lines—that is, points that fall within the scope of some precise and exact measurement—necessarily relates to every point on a straight line, which can be expressed by some equation. In fact, all such points are related by the same equation. When this equation represents relationships between two indefinite quantities, or between one of these quantities and its square, the resulting curved line belongs to the simplest category, which includes only circles, parabolas, hyperbolas, and ellipses. But when the equation involves third or fourth dimensions—since two indefinite quantities are required to determine the relationship between points in this case—the curve belongs to the second category. And when the equation encompasses fifth or sixth dimensions, it belongs to the third category; and so on, ad infinitum.
As if I wanted to know what kind of line the curve EC is—supposing it can be described by the intersection of the straight line GL and the plane CNKL, where the side KN extends infinitely in the direction of C—and since this line GL, when moved on the underlying plane in a straight line, ensures that its diameter KL always touches some point on the extended line BA, I cause this line GL to move in a circular motion around point G, because it is so closely connected to it that it always passes through point L. I choose a straight line like AB to relate all the points of this curved line EC to its various points; and on this line AB, I select a point like A as the starting point for this calculation. I say I choose both these points freely, because there are many ways to select them; although there are numerous possibilities to make the equation shorter and easier to understand, no matter how they are chosen, it is still possible to ensure that the line appears to be of the same kind, as it is easy to demonstrate. Afterward, I arbitrarily choose a point on the curve, such as C, assuming that the instrument used to describe this curve is applied at this point; from point C, I draw the line CB parallel to GA. Since CB and BA are both unknown quantities, I denote them as y and x respectively; but in order to find the relationship between them, I also consider the known quantities that determine the description of this curved line: GA, which I denote as a; KL, which I denote as b; and NL, parallel to GA, which I denote as c. Therefore, since NL is to LK as c is to b, it follows that CB or y is to BK; and since BL is a certain value, and AL is another, multiplying the second by the third gives a result equal to the product of the first by the last. Thus, the equation I was seeking to find is.
,
Of which it is known that the line EC belongs to the first category, for it is in fact nothing but a hyperbola.
That is, if, in the instrument used to describe it, we replace the straight line CNK with this hyperbola, or some other curved line of the first kind, which determines the plane CNKL, then the intersection of this line and the rule GL will describe, instead of the hyperbola EC, another curved line of a second kind. Just as if CNK were a circle with L as its center, we would be describing the first conchoid mentioned by the Ancients; and if it were a parabola whose diameter is KB, we would be describing the curved line that I have said earlier to be the simplest and most appropriate for Pappus’s problem, when only five straight lines are given by their positions. But if, instead of one of these curves of the first kind, we use one of the second kind to determine the plane CNKL, then we can use it to describe a curve of the third kind; or if it is a curve of the third kind, we can use it to describe one of the fourth kind, and so on ad infinitum, as can be easily demonstrated through calculation. And in whatever way we conceive of describing a curved line, so long as it belongs to the category of those I call geometric curves, we will always be able to find an equation that allows us to determine all such points.
Furthermore, I place those curved lines that raise the equation to the power of two in the same category as those that raise it only to the power of three; and those lines whose equation is raised to the power of three squared in the same category as those whose equation is raised only to the power of a solid cube, and so on. The reason for this is that there exists a general rule for reducing all problems that involve the power of two squared to the power of three, and all those that involve the power of three squared to the power of a solid cube; thus, such problems should not be considered more complex than others.
However, it is worth noting that among the various types within each category, although most of them are also composite in structure and can thus be used to determine the same concepts and construct similar problems, there are also some that are simpler in nature and possess less expressive power. For instance, among the first type, in addition to the ellipse, hyperbola, and parabola—which are all composite—the circle is also included, as it is clearly a simpler figure. Similarly, within the second type, there is the common conchoid, which originates from the circle; and there are also other types that, although not as extensive as most in their respective categories, cannot yet be classified under the first type.
Continuation of the explanation of the problem posed by Pappus in the previous book.
Osservate le linee AB, AD, AF e simili, che presumo siano state descritte con l’ausilio dello strumento YZ, composto da diverse righe collegate tra loro in modo tale che quella contrassegnata come YZ, quando posizionata sulla linea AN, permetta di aprire e chiudere l’angolo XYZ. Quando quest’angolo è completamente chiuso, i punti B, C, D, E, F, G, H sono tutti allineati con il punto A; tuttavia, man mano che l’angolo viene aperto, la riga BC, che forma un angolo retto con X e Y nel punto B, spinge verso Z la riga CD, la quale si muove lungo lo strumento YZ mantenendo sempre angoli retti con essa; in questo modo, la riga CD spinge la riga DE, la quale a sua volta si muove lungo lo strumento YX rimanendo parallela alla riga BC; la riga DE spinge la riga EF, quest’ultima spinge la riga FG, e così via, potendosi concepire un’infinità di altre righe che si muovono in modo consecutivo e analogo. Ora, mentre si apre l’angolo XYZ, il punto B descrive la linea AB, che rappresenta un cerchio; gli altri punti D, F, H, dove avvengono le intersezioni con le altre righe dello strumento YZ, descrivono altre linee curve, come AD, AF, AH, le quali sono progressivamente più complesse rispetto alla linea AB, e questa a sua volta più complessa del cerchio stesso. Tuttavia, non vedo alcun motivo che impedisca di concepire in modo altrettanto chiaro e distinto la descrizione di queste linee curve, così come quella dei cerchi o delle sezioni coniche; né vedo alcun ostacolo al fatto che tali concetti possano essere utilizzati allo stesso modo nelle speculazioni geometriche.
Il modo per distinguere tutte queste linee curve in alcuni generi, e per comprendere quale sia il rapporto che esiste tra tutti i loro punti e quelli delle linee rette.
Potrei elencare qui molti altri metodi per tracciare e concepire linee curve le quali, in modo progressivo, si comporrebbero sempre di più fino all’infinito; ma per comprendere nel loro insieme tutte quelle che esistono nella natura e distinguerle in categorie ordinate, non conosco nulla di meglio che affermare che tutti i punti delle linee che possiamo definire “geometriche”, cioè quei che rientrano in qualche misura precisa ed esatta, hanno necessariamente un rapporto con tutti i punti di una linea retta, la quale può essere espressa attraverso un’equazione; e che, quando tale equazione si limita a rappresentare il rapporto tra due quantità indeterminate, o il quadrato di una sola di esse, la linea curva appartiene al primo e più semplice genere, nel quale rientrano soltanto cerchio, parabola, iperbole ed ellisse; mentre quando l’equazione include anche la terza o la quarta dimensione delle due quantità indeterminate (poiché ne occorrono due per spiegare correttamente il rapporto tra un punto e un altro), la linea curva appartiene al secondo genere; e così via, fino all’infinito.
Come se volessi conoscere di quale genere sia la linea EC, che immagino essere descritta dall’intersezione della regola GL e del piano rettilineo CNKL, il cui lato KN è prolungato all’infinito verso C, e che, essendo spostata sul piano sottostante in modo rettilineo, cioè in modo tale che il suo diametro KL si appoggi sempre su qualche punto della linea BA prolungata da entrambi i lati, faccia muovere circolarmente questa regola GL attorno al punto G, poiché è così saldata a esso che passa sempre attraverso il punto L. Sceglio una retta come AB, per riferire ai suoi vari punti tutti quelli di questa linea curva EC; e in questa retta AB scelgo un punto come A, per iniziare da esso questo calcolo. Dico che scelgo sia l’uno che l’altro, poiché è libero di prenderli come si vuole; perché anche se ci sono molte possibilità di scegliere per rendere l’equazione più breve e più semplice, comunque, in qualsiasi modo li si prenda, si può sempre far sì che la linea appaia dello stesso genere, come è facile dimostrare. Dopo aver preso a piacimento un punto sulla curva, come C, su cui suppongo che sia applicato lo strumento utilizzato per descriverla, traccio da questo punto C la linea CB parallela a GA; e poiché CB e BA sono due quantità indeterminate e sconosciute, le chiamo rispettivamente y e x; ma al fine di trovare il rapporto tra di esse, considero anche le quantità conosciute che determinano la descrizione di questa linea curva, come GA, che chiamo a, KL che chiamo b, e NL, parallela a GA, che chiamo c; allora posso dire che, poiché NL è a LK, o c a b, allo stesso modo CB o y è a BK, che quindi è. E BL è,, e AL è. Inoltre, poiché CB è a LB, o y a,, allo stesso modo a o GA è a LA o,; quindi, moltiplicando la seconda per la terza, si ottiene,, che è uguale a,, il quale si ottiene moltiplicando la prima per l’ultima: e così l’equazione che bisognava trovare è.
,
Di essa si sa soltanto che la retta EC appartiene al primo genere, poiché in realtà non è altro che un’iperbola.
Se, nell’instrument utilizzato per descrivere tali linee curve, al posto della retta CNK si utilizzi un’iperbola o qualche altra linea curva del primo genere per delimitare il piano CNKL, l’intersezione di questa linea con la riga GL descriverà, al posto dell’iperbola EC, un’altra linea curva appartenente a un secondo genere. Se CNK rappresentasse un cerchio il cui centro è L, si descriverebbe così la prima conchoida degli Antichi; se invece fosse una parabola il cui diametro è KB, si otterrebbe quella linea curva di cui ho parlato poco fa, considerata la più semplice per risolvere i problemi proposti da Pappo quando sono date soltanto cinque rette. Ma se al posto di una linea curva del primo genere ne si utilizza una del secondo genere per delimitare il piano CNKL, si potrà descrivere con essa una del terzo genere; e se si utilizza una del terzo genere, ne si potrà descrivere una del quarto genere, e così all’infinito, come è facilmente dimostrabile attraverso i calcoli. In qualunque modo si intenda descrivere una linea curva, purché appartenga al numero di quelle che ho definito “geometriche”, si potrà sempre trovare un’equazione in grado di determinare tutti i punti di tale linea.
Del resto, io posiziono le linee curve che fanno aumentare l’espressione al quadrato, nello stesso modo in cui quelle che la fanno aumentare solo al cubo; e quelle per cui l’espressione aumenta al cubo del quadrato, nello stesso modo in cui quelle per cui aumenta solo al sursolide, e così via: il motivo è che esiste una regola generale per ridurre a cubo tutte le difficoltà che richiedono un aumento al quadrato di quadrato, e a sursolide tutte quelle che richiedono un aumento al cubo del cubo; in questo modo, tali difficoltà non devono essere considerate più complesse.
Ma è da notare che, tra le figure di ogni genere, sebbene la maggior parte sia anch’essa composta in modo tale da poter determinare gli stessi punti e costruire gli stessi problemi, ce ne sono alcune che sono più semplici e che non presentano una grande estensione nella loro capacità rappresentativa; così come, tra le figure del primo genere, oltre all’ellisse, all’iperbole e alla parabola, anch’esse composte, è inclusa anche la circonferenza, che ovviamente è più semplice; e tra quelle del secondo genere, c’è la conchoide comune, la cui origine risiede nella circonferenza; e ce ne sono ancora altre che, sebbene non abbiano lo stesso grado di complessità della maggior parte delle figure dello stesso genere, possono comunque essere rientrate nel primo gruppo.
Continuazione dell’esplicazione della questione di Pappo trattata nel libro precedente.
Or, après avoir ainsi réduit toutes les lignes courbes à certains genres, il m’est aisé de poursuivre en la démonstration de la réponse que j’ai tantôt faite à la question de Pappus ; car premièrement, ayant fait voir ci-dessus que, lorsqu’il n’y a que trois ou quatre lignes droites données, l’équation qui sert à déterminer les points cherchés ne monte que jusqu’au carré, il est évident que la ligne courbe où se trouvent ces points est nécessairement quelqu’une de celles du premier genre, à cause que cette même équation explique le rapport qu’ont tous les points des lignes du premier genre à ceux d’une ligne droite ; et que lorsqu’il n’y a point plus de huit lignes droites données, cette équation ne monte que jusqu’au carré de carré tout au plus, et que par conséquent la ligne cherchée ne peut être que du second genre, ou au-dessous ; et que lorsqu’il n’y a point plus de douze lignes données, l’équation ne monte que jusqu’au carré de cube, et que par conséquent la ligne cherchée n’est que du troisième genre, ou au-dessous ; et ainsi des autres. Et même à cause que la position des lignes droites données peut varier en toutes sortes, et par conséquent faire changer tant les quantités connues que les signes + et - de l’équation, en toutes les façons imaginables, il est évident qu’il n’y a aucune ligne courbe du premier genre qui ne soit utile à cette question, quand elle est proposée en quatre lignes droites ; ni aucune du second qui n’y soit utile, quand elle est proposée en huit ; ni du troisième, quand elle est proposée en douze ; et ainsi des autres : en sorte qu’il n’y a pas une ligne courbe qui tombe sous le calcul et puisse être reçue en géométrie, qui n’y soit utile pour quelque nombre de lignes.
Solution de cette question quand elle n’est proposée qu’en trois ou quatre lignes.
Mais il faut ici plus particulièrement que je détermine et donne la façon de trouver la ligne cherchée qui sert en chaque cas, lorsqu’il n’y a que trois ou quatre lignes droites données ; et on verra, par même moyen, que le premier genre des lignes courbes n’en contient aucunes autres que les trois sections coniques et le cercle.
Reprenons les quatre lignes AB, AD, EF et GH données ci-dessus, et qu’il faille trouver une autre ligne, en laquelle il se rencontre une infinité de points tels que C, duquel ayant tiré les 4 lignes CB, CD, CF, et CH, à angles donnés, sur les données, CB multipliée par CF, produit une somme égale à CD, multipliée par CH.
C’est à dire ayant fait
CB = y, CD = ,
CF = et CH = l’équation est
au moins en supposant ez plus grand que eg car s’il était moindre, il faudrait changer tous les lignes + et - . Et si la quantité se trouvait nulle, ou moindre que rien en cette équation, lorsqu’on a supposé le point C en l’angle DAG, il faudrait le supposer aussi en l’angle DAE, on EAR ou RAG, en changeant les lignes + et – selon qu’il serait requis à cet effet. Et si en toutes ces 4 positions la valeur de y se trouvait nulle, la question serait impossible au cas proposé. Mais supposons-la ici être possible, et pour en abréger les termes, au lieu des quantités :
écrivons 2m, et au lieu de :
écrivons , et ainsi nous aurons :
y2 =
dont la racine est :
et derechef pour abréger, au lieu de :
,
écrivons o ; et au lieu de :
écrivons :
,
car ces quantités étant toutes données, nous les pouvons nommer comme il nous plait et ainsi nous avons :
qui doit être la longueur de la ligne BC, en laissant AB, ou x indéterminée. Et il est évident que la question n’étant proposée qu’en trois ou quatre lignes, on peut toujours avoir de tels termes, excepté que quelques-uns d’eux peuvent être nuls, et que les signes +et - peuvent diversement être changés.
Après cela je fais KI égale et parallèle à BA, en sorte qu’elle coupe de BC la partie BK égale à m, à cause qu’il y a ici + m ; et je l’aurais ajoutée en tirant cette ligne IK de l’autre côté, s’il aurait eu - m ; et je ne l’aurais point du tout tirée, si la quantité m eut été nulle. Puis je tire aussi IL, en sorte que la ligne IK est à KL, comme z est à n. C’est-à-dire que IK étant x, KL est . Et par même moyen je connais aussi la proportion qui est entre KL, et IL, que je pose comme entre n et a : si bien que KL étant , IL est . Et je fais que le point K soit entre L et C, à cause qu’il y a ici ; au lieu que j’aurais mis L entre K et C, si j’eusse eu ; et je n’eusse point tiré cette ligne IL, si eût été nulle.
Or cela fait, il ne me reste plus pour la ligne LC, que ces termes :
d’où je vois que s’ils étaient nuls, ce point C se trouverait en la ligne droite IL ; et que s’ils étaient tels que la racine s’en pût tirer, c’est-à-dire que m2 et étant marqués d’un même signe + ou - , o2 fût égal à 4pm, ou bien que les termes m2 et ox, ou ox et fussent nuls, ce point C se trouverait en une autre ligne droite qui ne serait pas plus malaisée à trouver que IL. Mais lorsque cela n’est pas, ce point C’est toujours en l’une des trois sections coniques, ou en un cercle, dont l’un des diamètres est en la ligne IL, et la ligne LC est l’une de celles qui s’appliquent par ordre à ce diamètre ; ou au contraire LC est parallèle au diamètre, auquel celle qui et en la ligne IL et appliquée par ordre. A savoir si le terme , est nul cette section conique et une Parabole ; et s’il est marqué du signe +, c’est une Hyperbole, et enfin s’il et marqué du signe - c’est une Ellipse. Excepté seulement si la quantité a2m est égale à pz2, et que l’angle ILC soit droit ; auquel cas on a un cercle au lieu d’une Ellipse. Que si cette section est une Parabole, son côté droit est égal à , et son diamètre et toujours en la ligne IL, et pour trouver le point N, qui en est le sommet, il faut faire IN égale à ; et que le point I soit entre L et N, si les termes sont +m2 + ox ; ou bien que le point L, soit entre I et N, s’ils sont +m2 - ox ; ou bien il faudrait que N fût entré I et L, s’il y avait - m2 + ox. Mais il ne peut jamais y avoir - m2, en la façon que les termes ont ici été posés. Et enfin le point N serait le même que le point I si la quantité m2 était nulle. Au moyen de quoi il et aisé de trouver cette Parabole par le premier Problème du premier livre d’Apollonius.
Que si la ligne demandée est un cercle, ou une ellipse, ou une hyperbole, il faut premièrement chercher le point M, qui en est le centre, et qui est toujours en la ligne droite IL, ou on le trouve en prenant pour IM en sorte que si la quantité o est nulle, ce centre est justement au point I. Et si la ligne cherchée est un cercle, ou une Ellipse, on doit prendre le point M du même côté que le point L, au respect du point I, lorsqu’on a +ox ; et lorsqu’on a –ox, on le doit prendre de l’autre. Mais tout au contraire en l’hyperbole, si on a - ox, ce centre M doit être vers L ; et si on a +ox, il doit être de l’autre côté.
Après cela le côté droit de la figure doit être :
lorsqu’on a +m2, et que la ligne cherchée est un cercle, ou une Ellipse ; ou bien lorsqu’on a - m2, et que c’est une Hyperbole, et il doit être :
si la ligne cherchée étant un cercle, ou une Ellipse, on a - m2 ; ou bien si étant une Hyperbole et la quantité o2 étant plus grande que 4mp, on a +m2. Que si la quantité m2 est nulle, ce côté droit est et si ox est nulle, il est .
Puis pour le côté traversant, il faut trouver une ligne qui sera ce côté droit, comme a2m est à pz2 ; à savoir si ce côté droit est :
,
le traversant est :
.
Or, having thus reduced all curved lines to certain categories, it becomes easy for me to continue demonstrating the answer I gave earlier to Pappus’s question; for firstly, since I have shown above that when only three or four straight lines are given, the equation used to determine the desired points extends only up to the square, it is evident that the curved line containing these points must necessarily belong to the first category, because precisely this same equation explains the relationship that exists between all points on lines of the first category and those on a straight line. Moreover, when no more than eight straight lines are given, this equation extends at most up to the square of the square, and consequently the desired curve can only belong to the second category or below. When twelve straight lines are given, the equation extends up to the cube of the square, and thus the desired curve belongs to the third category or below, and so on for other cases as well. Furthermore, since the arrangement of the given straight lines can vary in countless ways, thereby altering both the known quantities and the signs + and - in the equation in every conceivable manner, it is clear that no curved line belonging to the first category is useless for solving this problem when four straight lines are given; neither is any curve from the second category useless when eight straight lines are given, nor any from the third category when twelve straight lines are given, and so on. In short, there is not a single curved line that falls within the realm of geometric calculation which would not be useful for solving this problem, regardless of the number of straight lines involved.
Solution to this problem when it is presented in only three or four lines.
But here, it is particularly necessary for me to determine and explain the method of finding the desired line in each case, when only three or four straight lines are given; and it will also be shown, by the same means, that the first category of curved lines consists solely of the three conic sections and the circle.
Let us take the four lines AB, AD, EF, and GH given above, and seek another line on which there exists an infinite number of points such as C. From this point C, if we draw the four lines CB, CD, CF, and CH at given angles, according to the provided conditions, then CB multiplied by CF will equal the product of CD multiplied by CH.
That is to say, after having done it.
CB = y, CD = ,
CF = and CH = the equation is
at least assuming it is greater than zero; because if it were smaller, all the + and – signs would have to be changed. And if the value were zero or even negative in this equation, then since point C was assumed to be located at angle DAG, it would also have to be assumed to be located at angle DAE, either EAR or RAG, with the + and – signs adjusted accordingly. If in all four of these positions the value of y were zero, the problem would become impossible to solve in the given context. But let’s assume for now that it is possible to do so. To simplify the notation, instead of using specific numerical values.
Let’s write “2m”, and instead of.
Let us write it down, and thus we will have:
y2 =
whose root is.
and once again, to abbreviate, rather than.
,
Let us write “o”; instead of “:”.
Let us write:
,
Since all these quantities are already given, we can name them as we please; thus, we have:
which must represent the length of line BC, while AB or x remains undetermined. It is evident that since the problem is stated in just three or four lines, such terms can always be used; however, some of them may be zero, and the signs + and – can be varied in various ways.
After that, I establish that IK is equal to and parallel to BA, so that it cuts off from BC the portion BK which is equal to m, because there is +m here; and I would have added this portion by extending line IK on the other side if there had been -m; whereas I would not have extended it at all if the quantity m were zero. Then I also extend line IL so that line IK is parallel to line KL, just as z is parallel to n. In other words, if IK is equal to x, then KL is equal to. And by the same method, I can also determine the proportion between KL and IL, which I consider to be the same as the proportion between n and a; thus, if KL is equal to, then IL is equal to. Moreover, I place point K between L and C because there is a certain value here; otherwise, I would have placed L between K and C if that value were zero; and I would not have extended line IL at all if that value were zero.
Or once that is done, for the line LC, all that remains for me are these terms:
It follows therefore that if those terms were zero, the point C would lie on the straight line IL; and if they were such that the square root could be obtained from them—that is, if m² and ox had the same sign (+ or -), then o² would equal 4pm—or alternatively, if either m² or ox were zero, the point C would lie on another straight line that would not be any more difficult to find than IL. However, when this is not the case, the point C always lies within one of the three conic sections, or in a circle whose diameter lies on the line IL and whose tangent line LC is one of those that touch this diameter in order; or conversely, if LC is parallel to the diameter, and the other tangent line touches the diameter in order. Specifically: if the term ox is zero, the conic section is a parabola; if it has the sign +, it is a hyperbola; and if it has the sign -, it is an ellipse. The only exception occurs when the quantity a²m equals pz² and the angle ILC is right—an in this case, the resulting figure is a circle rather than an ellipse. If the conic section is a parabola, its right-side length is equal to certain values, and its diameter always lies on the line IL. To find the vertex N of this parabola, one must set IN equal to specific values; moreover, point I must lie between L and N if the terms are +m² + ox, or between I and N if they are +m² - ox; otherwise, N would have to lie between I and L if there were a term -m2 + ox. However, according to the way these terms have been defined here, it is impossible for -m2 to be non-zero. Finally, point N would be the same as point I if the quantity m² were zero. With these considerations, it is easy to find this parabola using the first problem in Book One of Apollonius’s works.
Whether the desired line is a circle, an ellipse, or a hyperbola, one must first locate the point M, which is its center and always lies on the straight line IL. This point M can be determined by setting IM such that when o equals zero, this center coincides with point I. If the desired line is a circle or an ellipse, point M should be chosen on the same side of point L as point I when +ox is positive; otherwise, it should be chosen on the other side when –ox is positive. However, in the case of a hyperbola, if –ox is positive, center M must be located toward point L; if +ox is positive, it must be located on the opposite side.
After that, the right side of the figure must be:
When we have +m², and the line being sought is a circle or an ellipse; or when we have -m², and it is a hyperbola, then it must be.
If the desired line is a circle or an ellipse, then we have -m²; whereas if it is a hyperbola and the value of m² is greater than 4mp, then we have +m². If the value of m² is zero, this right-side component becomes zero; and if the value of ox is zero, that component also becomes zero.
Then, for the transverse side, one must find a line that represents this right-side dimension, just as a2m is to pz2; in other words, it is necessary to determine whether this right-side dimension is.
,
The crossing point is:
.
Ora, dopo aver ridotto in questo modo tutte le rette curve a determinati generi, mi è stato facile proseguire nella dimostrazione della risposta che avevo dato poco prima alla domanda di Pappo; poiché, innanzitutto, avendo dimostrato sopra che, quando vengono date soltanto tre o quattro rette diritte, l’equazione utilizzata per determinare i punti cercati arriva al massimo al quadrato, è evidente che la retta curva su cui si trovano questi punti deve necessariamente appartenere al primo genere, poiché proprio quell’equazione spiega il rapporto che esiste tra tutti i punti delle rette del primo genere e quelli di una retta diritta; inoltre, quando non vengono date più di otto rette diritte, tale equazione arriva al massimo al quadrato del quadrato, e quindi la retta cercata può appartenere soltanto al secondo genere, o a generi inferiori; e allo stesso modo, quando non vengono date più di dodici rette diritte, l’equazione arriva al massimo al cubo del quadrato, e quindi la retta cercata può appartenere soltanto al terzo genere, o a generi inferiori; e così via. Inoltre, poiché la disposizione delle rette diritte date può variare in ogni modo possibile, modificando sia le quantità conosciute che i segni + e - dell’equazione, in tutte le combinazioni immaginabili, è evidente che non esiste alcuna retta curva del primo genere che non sia utile per risolvere questa questione, quando vengono date quattro rette diritte; né alcuna del secondo genere, quando ne vengono date otto; né del terzo genere, quando ne vengono date dodici; e così via: in altre parole, non esiste alcuna retta curva che rientri nei calcoli della geometria e che non sia utile per risolvere questa questione, indipendentemente dal numero di rette diritte date.
Soluzione a questa domanda quando viene posta soltanto in tre o quattro righe.
Ma in questo caso è particolarmente necessario che io indichi e spieghi il metodo per trovare la linea ricercata, metodo che si applica in ogni situazione in cui siano date soltanto tre o quattro linee rette; e vedremo, con lo stesso metodo, che il primo tipo di linee curve non include altre che le tre sezioni coniche e il cerchio.
Riprendiamo le quattro rette AB, AD, EF e GH indicate sopra, e supponiamo di dover trovare un’altra retta su cui si trovi un numero infinito di punti come il punto C; partendo da questo punto, tracciamo le quattro rette CB, CD, CF e CH, formando angoli specificati. Allora, il prodotto di CB per CF è uguale alla somma di CD per CH.
In altre parole, dopo aver fatto.
CB = y, CD = ,
CF = e CH = l’equazione è.
almeno supponendo che tale quantità sia maggiore di zero, poiché se fosse minore, sarebbe necessario modificare tutte le operazioni di addizione e sottrazione. Inoltre, se il valore di questa quantità fosse nullo o addirittura negativo in questa equazione, e avessimo già ipotizzato che il punto C si trovasse nell’angolo DAG, sarebbe necessario ipotizzarlo anche nell’angolo DAE, oppure in EAR o RAG, modificando opportunamente le operazioni di addizione e sottrazione. Se in tutte queste 4 posizioni il valore di y risultasse nullo, la questione diventerebbe impossibile da risolvere nel caso considerato. Ma supponiamo che ciò sia possibile. Per semplificare i termini, invece di utilizzare le quantità effettive.
Scriviamo “2m”, e invece di.
Scriviamo, e così otterremo:
y2 =
la cui radice è:
e per abbreviare immediatamente, invece di.
,
Scriviamo “o”; e invece di “:”.
Scriviamo:
,
Poiché tutte queste quantità sono già date, possiamo chiamarle come vogliamo; e così abbiamo.
Questa deve essere la lunghezza della linea BC, lasciando AB o x indeterminati. Ed è evidente che, poiché la questione viene posta in soli tre o quattro righe, si possono sempre avere tali termini; tuttavia alcuni di essi possono risultare nulli, e i segni + e – possono essere variamente sostituiti.
Dopo di ciò, traccio la linea IK, tale da essere parallela a BA e da intersecare BC nel punto BK, che corrisponde a m, poiché in questo caso il valore è +m; se invece il valore fosse stato -m, avrei tracciato IK dall’altra parte della retta BC; inoltre, non avrei affatto tracciato questa linea se il valore di m fosse stato nullo. Successivamente traccio anche la linea IL, in modo che IK sia proporzionale a KL, proprio come z lo è a n; in altre parole, se IK vale x, allora KL vale. E con lo stesso metodo riesco a determinare anche la proporzione tra KL e IL, che considero uguale a quella tra n e a: quindi, se KL vale,, allora IL vale. Infine posiziono il punto K tra L e C, poiché in questo caso il valore è,; altrimenti avrei posto L tra K e C se il valore fosse stato diverso. E non avrei tracciato la linea IL affatto se quel valore fosse stato nullo.
Ora che ho fatto questo, per quanto riguarda la linea LC, mi restano soltanto questi termini:
Da ciò si evince che, se tali termini fossero nulli, il punto C si troverebbe sulla retta IL; e che, se essi fossero tali da permettere di ricavare la radice, cioè se m² e ox avessero lo stesso segno (+ o -), allora o2 sarebbe uguale a 4pm, oppure i termini m² e ox, o ox e m², dovrebbero essere nulli, affinché il punto C si trovasse su un’altra retta non meno facile da individuare della retta IL. Tuttavia, quando ciò non avviene, il punto C si trova sempre in una delle tre sezioni coniche, o in un cerchio il cui uno dei diametri è sulla retta IL e la linea LC è una di quelle che si applicano in ordine a tale diametro; oppure, al contrario, la linea LC è parallela al diametro, e la linea che si applica in ordine alla retta IL è parallela a quella diametro. In altre parole: se il termine ox è nullo, si tratta di una sezione conica parabolica; se è segnato con il segno +, si tratta di un’iperbola; infine, se è segnato con il segno -, si tratta di un’ellisse. Questo vale esclusivamente nel caso in cui la quantità a²m sia uguale a pz² e l’angolo ILC sia retto; in tal caso si ottiene un cerchio anziché un’ellisse. Se questa sezione conica è una parabola, il suo lato retto è uguale a m√(2ap); il suo diametro è sempre sulla retta IL, e per individuare il punto N, che ne è il vertice, bisogna far sì che IN sia uguale a m√(2ap - px); inoltre, se il punto I si trova tra L e N, i termini della sezione conica devono essere del tipo +m² + ox; altrimenti, se il punto L si trova tra I e N, i termini devono essere del tipo +m² - ox; infine, se N dovesse trovarsi tra I e L, i termini dovrebbero essere del tipo -m² + ox. Tuttavia, non può mai verificarsi il caso in cui m² sia nullo, secondo la formulazione dei termini qui data. Infine, il punto N sarebbe lo stesso del punto I se la quantità m² fosse zero; grazie a ciò, è facile individuare questa parabola utilizzando il primo problema del primo libro di Apollonio.
Che la linea cercata sia un cerchio, un’ellisse o un’iperbola, è necessario innanzitutto individuare il punto M, che ne rappresenta il centro e che si trova sempre sulla retta IL; tale punto può essere determinato assumendo IM come origine, in modo che, quando la quantità o è nulla, questo centro coincida esattamente con il punto I. Se invece la linea cercata è un cerchio o un’ellisse, il punto M deve essere scelto sullo stesso lato del punto L rispetto al punto I, quando si ha +ox; se invece si ha –ox, il punto M deve essere scelto dall’altro lato. Nel caso dell’iperbola, tuttavia, se si ha –ox, il centro M deve trovarsi verso il punto L; se si ha +ox, deve trovarsi dall’altra parte.
Dopo di ciò, il lato destro della figura deve essere.
Quando si ha +m² e la linea cercata è un cerchio o un’ellisse; oppure quando si ha –m² e si tratta di un’iperbola, allora deve essere.
Se la linea cercata è un cerchio o un’ellisse, si ottiene –m²; se invece è un’iperbola e il valore di o² è maggiore di 4mp, si ottiene +m². Se il valore di m² è nullo, quel lato retto è,; se inoltre ox è nullo, esso è.
Poi, per quanto riguarda il lato trasversale, è necessario trovare una linea che rappresenti quel lato destro, proprio come a2m è in relazione a pz2; in altre parole, bisogna stabilire se quel lato destro sia effettivamente.
,
Il percorso attraversante è:
.
Et en tous ces cas le diamètre de la section et en la ligne IM, et LC et l’une de celles qui lui est appliquée par ordre. Si bien que faisant MN égale à la moitié du côté traversant et le prenant du même côté du point M, qu’est le point L, on a le point N pour le sommet de ce diamètre ; ensuite de quoi il est aisé de trouver la section par les second et troisième problèmes du premier livre d’Apollonius.
Mais quand cette section étant une Hyperbole, on à+m2 ; et que la quantité o2 et nulle ou plus petite que 4pm, on doit tirer du centre M la ligne MOP parallèle à LC, et CP parallèle à LM, et faire MO égale à :
ou bien la faire égale à m si la quantité ox est nulle. Puis considérer le point O, comme le sommet de cette Hyperbole ; dont le diamètre et OP, et CP la ligne qui lui est appliquée par ordre, et son côté droit est :
et son côté traversant est :
Excepté quand ox est nulle, car alors le côté droit est :
,
et le traversant est 2m ; et ainsi il est aisé de la trouver par le troisième problème du premier livre d’Apollonius.
Démonstration de tout ce qui d’être expliqué
Et les démonstrations de tout ceci sont évidentes, car composant un espace des quantités que j’ai assignées pour le côté droit, et le traversant, et pour le segment du diamètre NL, ou OP, suivant la teneur du 11e, du 12e et du 13e théorèmes du premier livre d’Apollonius, on trouvera tous les mêmes termes dont est composé le carré de la ligne CP, ou CL, qui est appliquée par ordre à ce diamètre. Comme en cet exemple, ôtant IM qui est :
,
de NM qui est :
,
j’ai IN, à laquelle ajoutant IL, qui est :
,
j’ai NL qui est :
et ceci étant multiplié par , qui et le côté droit de la figure, il vient :
,
pour le rectangle, duquel il faut ôter un espace qui soit au carré de NL comme le côté droit est au traversant, et ce carré de NL est :
qu’il faut diviser par a2m et multiplier par pz2, à cause que ces termes expliquent la proportion qui et entre le côté traversant et le droit, et il vient :
ce qu’il faut ôter du rectangle précèdent, et on trouve :
pour le carré de CL, qui par conséquent et une ligne appliquée par ordre dans une Ellipse, ou dans un cercle, au segment du diamètre NL.
Et si on veut expliquer toutes les quantités données par nombres, en faisant par exemple EA = 3, AG = 5, AB =BR, BS = 1/2 BE, GB = BT, CD = 3/2 CR, CF = 2CS, CH = 2/3 CT, et que l’angle ABR soit de 60 degrés ; et enfin que le rectangle des deux CB, et CF, soit égal au rectangle des deux autres CD et CH ; car il faut avoir toutes ces choses afin que la question soit entièrement déterminée et avec cela supposant AB = x, et CB = y, on trouve par la façon ci-dessus expliqué :
y2 = 2y - xy + 5x - x2,
,
si bien que BK doit être 1, et KL doit être la moitié de KI, et pour ce que l’angle IKL ou ABR est de 60 degrés, et KIL qui est la moitié de KIB ou IKL, de 30, ILK est droit. Et pour ce que IK ou AB est nommé x, KL est :
,
et IL est :
,
et la quantité qui était tantôt nommée z est 1, cellequi était a est :
,
celle qui était m est 1, celle qui était o est 4, et celle qui était p est :
,
de façon qu’on a :
Pour IM, et :
pour NM ; et pour ce que a2m, qui est
est ici égal à pz2, et que l’angle ILC est droit, on trouve que la ligne courbe NC est un cercle. Et on peut examiner facilement examiner tous les autres cas de la sorte.
Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver tous.
Au reste, à cause que les équations qui ne montent que jusqu’au carré sont toutes comprises en ce que je viens d’expliquer, non seulement le problème des anciens en trois et quatre lignes est ici entièrement achevé, mais aussi tout ce qui appartient à ce qu’ils nommaient la composition des lieux solides, et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à cause qu’ils sont compris dans les solides : car ces lieux ne sont autre chose, sinon que, lorsqu’il est question de trouver quelque point auquel il manque une condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu’il arrive en cet exemple, tous les points d’une même ligne peuvent être pris pour celui qui est demandé : et si cette ligne est droite ou circulaire, on la nomme un lieu plan ; mais si c’est une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme un lieu solide : et toutefois et quand cela est, on peut venir à une équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelqu’une de celles que je viens de résoudre. Que si la ligne qui détermine ainsi le point cherché est d’un degré plus composée que les sections coniques, on la peut nommer, en même façon, un lieu sursolide, et ainsi des autres. Et s’il manque deux conditions à la détermination de ce point, le lieu où il se trouve est une superficie, laquelle peut être tout de même ou plate, ou sphérique, ou plus composée. Mais le plus haut but qu’aient eu les anciens en cette matière a été de parvenir à la composition des lieux solides ; et il semble que tout ce qu’Apollonius a écrit des sections coniques n’a été qu’à dessein de la chercher.
De plus, on voit ici que ce que j’ai pris pour le premier genre des lignes courbes n’en peut comprendre aucunes autres que le cercle, la parabole, l’hyperbole et l’ellipse, qui est tout ce que j’avais entrepris de prouver.
Quelle est la première et la plus simple de toutes les lignes courbes qui servent à la question des anciens quand elle est proposée en cinq lignes.
Que si la question des anciens est proposée en cinq lignes qui soient toutes parallèles, il est évident que le point cherché sera toujours en une ligne droite ; mais si elle est proposée en cinq lignes, dont il y en ait quatre qui soient parallèles, et que la cinquième les coupe à angles droits, et même que toutes les lignes tirées du point cherché les rencontrent aussi à angles droits, et enfin que le parallélépipède composé de trois des lignes ainsi tirées sur trois de celles qui sont parallèles soit égal au parallélépipède composé proposée en des deux lignes tirées, l’une sur la quatrième de celles qui sont parallèles, et l’autre sur celle qui les coupe à angles droits, et d’une troisième ligne donnée, ce qui est, ce semble, le plus simple cas qu’on puisse imaginer après le précédent, le point cherché sera en la ligne courbe qui est décrite par le mouvement d’une parabole, en la façon ci-dessus expliquée.
Soient par exemple les lignes données AB, IH, ED, GF, et GA, et qu’on demande le point C, en sorte que tirant CB, GF, CD, GH et CM à angles droits sur les données, le parallélépipède des trois CF, CD et CH soit égal à celui des deux autres CB et CM, et d’une troisième qui soit AL. Je pose GB = y, CM = x, AI ou AE ou GE = a ; de façon que le point C étant entre les lignes AB et DE, j’ai CF= 2a - y, CD = a - y, et CH = y + a ; et multipliant ces trois l’une par l’autre, j’ai y3 - 2ay2 - a2y + 2a3 égal au produit des trois autres, qui est axy. Après cela je considère la ligne courbe CEG, que j’imagine être décrite par l’intersection de la parabole CKN, qu’on fait mouvoir entelle sorte que son diamètre KL est toujours sur la ligne droite AB, et de la règle GL qui tourne cependant autour du point G en telle sorte qu’elle passe toujours dans le plan de cette parabole par le point L. Et je fais KL = a, et le côté droit principal, c’est-à-dire celui qui se rapporte à l’essieu de cette parabole, aussi égal à a, et GA = 2a, et CB ou MA = y, et CM ou AB = x. Puis à cause des triangles semblables GMC et CBL, GM qui est 2a - y, est à MC qui est x, comme CB qui est y, est à BL qui est par conséquent :
In all these cases, the diameter of the section is determined by the line IM, as well as by lines LC and any other lines that are applied in order accordingly. Thus, if MN is taken to be equal to half of the transverse side and is measured from the same side of point M—which is point L—then point N will be obtained as the vertex of this diameter; thereafter, it is easy to determine the actual section using the second and third problems in Apollonius’s first book.
But since this section is a Hyperbole, we have m²; and since the quantity o2 is zero or less than 4pm, we must draw from point M the line MOP parallel to LC, and the line CP parallel to LM, ensuring that MO is equal to.
or make it equal to m if the quantity ox is zero. Then consider point O as the vertex of this hyperbola; its diameter is OP, and CP is the line that is applied to it in order; its right side is:
and its cross-cutting aspect is:
Except when ox is zero, because then the right-hand side is:
,
And its width is 2 meters; thus, it is easy to locate it using the third problem in Apollonius’s first book.
A demonstration of everything that needs to be explained.
And the demonstrations of all this are evident; for by constructing a space consisting of the quantities that I have specified for the right side, the transverse dimension, and the segment of the diameter NL or OP, in accordance with the contents of the 11th, 12th, and 13th theorems from Apollonius’s first book, one will find all the same terms that constitute the square of the line CP or CL, which are applied accordingly to this diameter. Just as in this example, by subtracting IM—which is.
,
from NM, which is:
,
I have “IN”, to which I add “IL”, which means:
,
I have NL which is:
and when this is multiplied by, which represents the right side of the figure, we obtain:
,
For the rectangle, it is necessary to remove a portion whose area is equal to the square of NL, just as the right-side length is equal to the transverse dimension; and this square of NL is.
One must divide by a2m and multiply by pz2, because these terms explain the ratio that exists between the transverse side and the right side; and thus it follows that.
What needs to be removed from the preceding rectangle yields.
for the square of CL, which consequently represents a line applied in order within an ellipse, or within a circle, to the segment of the diameter NL.
What if we want to explain all the quantities expressed by numbers, for example by setting EA = 3, AG = 5, AB = BR, BS = 1/2 BE, GB = BT, CD = 3/2 CR, CF = 2CS, CH = 2/3 CT, and assuming that angle ABR is 60 degrees; furthermore, assuming that the rectangle formed by CB and CF is equal to the rectangle formed by CD and CH? It is necessary to have all these conditions in order for the problem to be completely determined. Given AB = x and CB = y, we can find the values using the method explained above.
y2 = 2y - xy + 5x - x2,
,
Therefore, BK must be equal to 1, and KL must be half of KI. Since the angle IKL or ABR is 60 degrees, and KIL being half of KIB or IKL is 30 degrees, ILK is perpendicular. And since IK or AB is denoted as x, then KL is.
,
and it is:
,
and the quantity that was previously called ‘z’ is equal to 1; the one that was called ‘a’ is.
,
The one that was ‘m’ is 1, the one that was ‘o’ is 4, and the one that was ‘p’ is.
,
in such a way that we have:
For IM, and also:
for NM; and for what a2m is, which is.
Here, it is equal to pz2, and since the angle ILC is a right angle, it can be concluded that the curved line NC forms a circle. And in this way, all other cases can be easily examined as well.
What are these flat and solid objects, and how can one find them all?
Furthermore, since all equations that extend only up to the square root are encompassed within what I have just explained, not only is the problem posed by the ancients in three or four lines completely resolved here, but also everything related to what they called the composition of solid figures—and consequently, of plane figures as well—is understood, since these concepts are inherent in the nature of solids. Indeed, when it comes to identifying a point for which one condition is missing to determine its precise position, as in this example, any point on a straight line can be considered the desired point. If the line is straight or circular, it is called a plane figure; if it is parabolic, hyperbolic, or elliptical, it is called a solid figure. Nevertheless, even in such cases, it is still possible to derive equations containing two unknown quantities, similar to those I have just solved. Moreover, if the line used to determine the desired point is of a more complex nature than conic sections, it can be appropriately referred to as a “super-solid figure,” and so on. If two conditions are missing to determine the position of this point, the resulting figure will be a surface—either flat, spherical, or of some other complex form. However, the ultimate goal of the ancients in this field was to understand how to compose solid figures; it seems that everything Apollonius wrote about conic sections was ultimately aimed at achieving this goal.
Furthermore, it can be seen here that what I considered to be the first category of curved lines actually includes only four types: the circle, the parabola, the hyperbola, and the ellipse—which were precisely what I had set out to prove.
Which is the first and simplest of all the curved lines used by the ancients when the question was posed in the form of five lines?
Even if the problem concerning the ancient points is presented in five lines that are all parallel to each other, it is evident that the desired point will always lie on a straight line. However, if the same problem is presented in five lines, four of which are parallel and the fifth intersects them at right angles; even if every line drawn from the desired point also intersects those lines at right angles; and finally, if the parallelepiped formed by three of these lines intersecting with the parallel lines forms an equal volume to the parallelepiped formed by two lines—one drawn from the fourth of the parallel lines and the other from the line that intersects them at right angles—as well as a third given line, then this seems to be the simplest case imaginable after the previous one. In such a scenario, the desired point will lie on the curved line described by the motion of a parabola, in the manner explained above.
For example, let the given lines be AB, IH, ED, GF, and GA, and let us seek the point C such that when lines CB, GF, CD, GH, and CM are drawn at right angles to these given lines, the parallelepiped formed by the sides CF, CD, and CH is equal in volume to the parallelepiped formed by the sides CB and CM, as well as a third parallelepiped with side AL. I assume that GB = y, CM = x, and AI or AE or GE = a; since point C lies between lines AB and DE, it follows that CF = 2a - y, CD = a - y, and CH = y + a. Multiplying these three equations together yields y³ - 2ay² - a²y + 2a³, which is equal to the product of the volumes of the other two parallelepipeds, which is axy. Next, I consider the curved line CEG; I imagine that this line is described by the intersection of the parabola CKN, which is moved in such a way that its diameter KL always lies on the straight line AB, and the rule GL, which rotates around point G while always passing through the plane of the parabola at point L. I set KL = a, and the main right-side edge of the parallelepiped, which corresponds to the axis of the parabola, is also equal to a; further, GA = 2a, CB or MA = y, and CM or AB = x. Due to the similarity of triangles GMC and CBL, it follows that GM, being 2a - y, is to MC, which is x, as CB, being y, is to BL.
In tutti questi casi, il diametro della sezione è determinato dalla linea IM, e anche da LC e da una qualsiasi altra linea applicata in ordine corretto. Pertanto, se si prende MN come metà del lato trasversale e si considera il punto L situato sullo stesso lato del punto M, si ottiene il punto N come apice di tale diametro; successivamente è facile determinare la sezione interessata utilizzando i secondo e terzo problema del primo libro di Apollonio.
Ma poiché questa sezione è un’iperbole, si ha m² > 0; e poiché la quantità o² è nulla o minore di 4πm, bisogna tracciare dal centro M la retta MOP parallela a LC, e la retta CP parallela a LM, e far sì che MO sia uguale a.
Oppure farla uguale a m se la quantità ox è nulla. Successivamente considerare il punto O come il vertice di questa iperbola; il cui diametro è OP, e CP è la retta che le viene applicata in ordine; il suo lato destro è.
E il suo lato trasversale è:
Ad eccezione del caso in cui ox è zero, poiché in tal caso il lato destro è.
,
e la sua larghezza è di 2 metri; pertanto è facile trovarla attraverso il terzo problema del primo libro di Apollonio.
Dimostrazione di tutto ciò che può essere spiegato.
E le dimostrazioni di tutto ciò sono evidenti, poiché, compiendo lo spazio delle quantità che ho definito per il lato destro, per la traversa e per il segmento del diametro NL o OP, seguendo i contenuti dei teoremi 11°, 12° e 13° del primo libro di Apollonio, si troveranno tutti gli stessi termini dai quali è composto il quadrato della retta CP o CL, che viene applicato in modo corretto a quel diametro. Come in questo esempio, togliendo IM che è.
,
di NM, che è:
,
Ho “IN”, e aggiungendovi “IL”, che è.
,
Ho un NL che è:
E poiché questo valore viene moltiplicato per,, che rappresenta il lato destro della figura, si ottiene.
,
Per il rettangolo, è necessario eliminare uno spazio che sia uguale al quadrato di NL, proprio come il lato destro lo è rispetto alla diagonale; tale quadrato di NL è.
È necessario dividere per a²m e moltiplicare per pz², poiché questi termini spiegano esattamente la proporzione che esiste tra il lato trasversale e quello verticale.
Quello che bisogna eliminare dal rettangolo precedente, e così si ottiene:
Per il quadrato di CL, che quindi rappresenta una linea tracciata in modo ordinato all’interno di un’ellisse o di un cerchio, lungo il segmento del diametro NL.
E se si vuole spiegare tutte le quantità indicate da numeri, ad esempio facendo sì che EA = 3, AG = 5, AB = BR, BS = 1/2 BE, GB = BT, CD = 3/2 CR, CF = 2CS, CH = 2/3 CT, e che l’angolo ABR sia di 60 gradi; inoltre, se si presuppone che il rettangolo formato dai lati CB e CF sia uguale al rettangolo formato dai lati CD e CH; allora è necessario tenere conto di tutte queste condizioni affinché la questione possa essere completamente risolta. Supponendo inoltre che AB = x e CB = y, si può arrivare alla soluzione seguendo il metodo descritto sopra.
y2 = 2y - xy + 5x - x2,
,
Poiché BK deve essere uguale a 1, e KL deve rappresentare metà di KI; inoltre, poiché l’angolo IKL o ABR è di 60 gradi, e KIL essendo metà di KIB o IKL, vale 30 gradi, allora ILK è perpendicolare. E dato che IK o AB viene chiamato x, allora KL è.
,
Ecco come è.
,
e la quantità che poco fa era chiamata “z” è uguale a 1; quella che era chiamata “a” è.
,
Quella che era “m” è 1, quella che era “o” è 4, e quella che era “p” è.
,
in modo che si abbia.
Per IM, e.
per NM; e per ciò che è a2m.
Se qui è uguale a pz2, e l’angolo ILC è retto, si può constatare che la linea curva NC rappresenta un cerchio. E in questo modo si possono facilmente esaminare tutti gli altri casi simili.
Quali sono i luoghi piatti e solidi, e come è possibile trovarli tutti?
Del resto, poiché tutte le equazioni che si estendono soltanto fino al quadrato sono comprese in ciò che ho appena spiegato, non solo il problema degli antichi, formulato in tre o quattro righe, viene qui completamente risolto, ma anche tutto ciò che riguarda quella che loro chiamavano “composizione dei luoghi solidi”, e di conseguenza anche quella dei luoghi piani, poiché anch’essi sono inclusi tra i concetti legati ai solidi. Infatti, quando si tratta di trovare un punto al quale manca una condizione necessaria per essere completamente determinato – come avviene in questo esempio – tutti i punti di una stessa linea possono essere considerati come il punto cercato. Se questa linea è retta o circolare, la si definisce “luogo piano”; se invece è parabola, iperbole o ellisse, la si definisce “luogo solido”. E tuttavia, anche in questi casi, è possibile ottenere un’equazione che contenga due quantità sconosciute, simile a quelle che ho appena risolto. Se la linea che determina il punto cercato è di grado più complesso delle sezioni coniche, la si può definire, allo stesso modo, “luogo sursolido”, e così via. E se per determinare quel punto mancano due condizioni, il luogo in cui esso si trova è una superficie, che può essere piana, sferica o di grado ancora più complesso. Tuttavia, l’obiettivo principale degli antichi in questa materia era quello di arrivare alla composizione dei luoghi solidi; sembra quindi che tutto ciò che Apollonio ha scritto sulle sezioni coniche sia stato soltanto finalizzato a questo scopo.
Inoltre, si può vedere che ciò che ho considerato il primo genere di linee curve non include altre forme se non il cerchio, la parabola, l’iperbola e l’ellisse, che sono esattamente quelle che avevo intenzione di dimostrare.
Qual è la prima e la più semplice di tutte le linee curve che vengono utilizzate dagli antichi quando si affronta questa questione, se presentata in cinque righe?
Se la questione relativa agli antichi viene posta in cinque linee tutte parallele tra loro, è evidente che il punto cercato si troverà sempre su una linea retta; ma se essa viene posta in cinque linee, di cui quattro sono parallele e la quinta le interseca ad angoli retti, e anche se tutte le linee tracciate dal punto cercato le incontrano anch’esse ad angoli retti, e infine se il parallelepipedo formato da tre di queste linee tracciate su tre delle linee parallele è uguale al parallelepipedo formato dalle due linee tracciate una sulla quarta delle linee parallele e l’altra su quella che le interseca ad angoli retti, oltre a una terza linea data, il che sembra essere il caso più semplice che si possa immaginare dopo quello precedente, allora il punto cercato si troverà sulla linea curva descritta dal movimento di una parabola, nel modo sopra spiegato.
Ad esempio, si considerino le rette AB, IH, ED, GF e GA, e si voglia determinare il punto C in modo tale che i segmenti CB, GF, CD, GH e CM, tracciati per angoli retti rispetto alle rette date, formino un parallelepipedo il cui lato formato dai tre segmenti CF, CD e CH sia uguale a quello formato dai due segmenti CB e CM, oltre che da un terzo lato denominato AL. Supponiamo che GB = y, CM = x, AI o AE o GE = a; poiché il punto C si trova tra le rette AB e DE, avremo CF = 2a - y, CD = a - y e CH = y + a. Moltiplicando questi valori tra loro, otteniamo l’equazione y³ - 2ay² - a²y + 2a³ = axy. Successivamente consideriamo la curva CEG, immaginando che sia descritta dall’intersezione della parabola CKN, mossa in modo tale che il suo diametro KL rimanga sempre sulla retta AB, e della regola GL che ruota attorno al punto G passando sempre nel piano della parabola nel punto L. Si stabilisce quindi che KL = a, e che l’altro lato principale della figura sia anch’esso uguale ad a; inoltre, si hanno GA = 2a, CB o MA = y e CM o AB = x. Grazie ai triangoli simili GMC e CBL, si deduce che GM (che è 2a - y) è proporzionale a MC (che è x), così come CB (che è y) è proporzionale a BL.
Et pour ce que KL est a, BK est :
,
ou bien :
Et enfin pour ce que ce même BK, étant un segment du diamètre de la parabole, est à BC qui lui est appliquée par ordre, comme celle-ci est au côté droit qui est a, le calcul montre que y3 - 2ay2 - a2y + 2a2 est égal à axy ; et par conséquent que le point C est celui qui était demandé. Et il peut être pris en tel endroit de la ligne CEG qu’on veuille choisir, ou aussi en son adjointe cEGc, qui se décrit en même façon, excepté que le sommet de la parabole est tourné vers l’autre côté, ou enfin en leurs contreposées NIo, nIO, qui sont décrites par l’intersection que fait la ligne GL en l’autre côté de la parabole KN.
Or encore que les parallèles données AB, IH, ED, et GF, ne fussent point également distantes, et que GA ne les coupât point à angles droits, ni aussi les lignes tirées du point C vers elles, ce point C ne laisserait pas de se trouver toujours en une ligne courbe qui serait de même nature : et il s’y peut aussi trouver quelquefois, encore qu’aucune des lignes données ne soient parallèles. Mais si lorsqu’il y en a quatre ainsi parallèles, et une cinquième qui les traverse, et que le parallélépipède de trois des lignes tirées du point cherché, l’une sur cette cinquième, et les deux autres sur deux de celles qui sont parallèles, soit égal à celui des deux tirées sur les deux autres parallèles, et d’une autre ligne donnée : ce point cherché est en une ligne courbe d’une autre nature, à savoir en une qui est telle, que toutes les lignes droites appliquées par ordre à son diamètre étant égales à celles d’une section conique, les segments de ce diamètre qui sont entre le sommet et ces lignes ont même proportion à une certaine ligne donnée, que cette ligne donnée a aux segments du diamètre de la section conique, auxquels les pareilles lignes sont appliquées par ordre. Et je ne saurais véritablement dire que cette ligne soit moins simple que la précédente, laquelle j’ai cru toutefois devoir prendre pour la première, à cause que la description et le calcul en sont en quelque façon plus faciles.
Pour les lignes qui servent aux autres cas, je ne m’arrêterai point à les distinguer par espèces, car je n’ai pas entrepris de dire tout ; et, ayant expliqué la façon de trouver une infinité de points par où elles passent, je pense avoir assez donné le moyen de les décrire.
Quelles sont les lignes courbes qu’on décrit en trouvant plusieurs de leurs points qui peuvent être reçues en géométrie.
Même il est à propos de remarquer qu’il y a grande différence entre cette façon de trouver plusieurs points pour tracer une ligne courbe, et celle dont on se sert pour la spirale et ses semblables ; car par cette dernière on ne trouve pas indifféremment tous les points de la ligne qu’on cherche, mais seulement ceux qui peuvent être déterminés par quelque mesure plus simple que celle qui est requise pour la composer ; et ainsi, à proprement parler, on ne trouve pas un de ses points, c’est-à-dire pas un de ceux qui lui sont tellement propres qu’ils ne puissent être trouvés que par elle ; au lieu qu’il n’y a aucun point dans les lignes qui servent à la question proposée, qui ne se puisse rencontrer entre ceux qui se déterminent par la façon tantôt expliquée. Et pour ce que cette façon de tracer une ligne courbe, en trouvant indifféremment plusieurs de ses points, ne s’étend qu’à celles qui peuvent aussi être décrites par un mouvement régulier et continu, on ne la doit pas entièrement rejeter de la géométrie.
Quelles sont aussi celles qu’on décrit avec une corde qui peuvent y être reçues.
Et on n’en doit pas rejeter non plus celle où on se sert d’un fil ou d’une corde repliée pour déterminer l’égalité ou la différence de deux ou plusieurs lignes droites qui peuvent être tirées de chaque point de la courbe qu’on cherche, à certains autres points, ou sur certaines autres lignes à certains angles, ainsi que nous avons fait en la Dioptrique pour expliquer l’ellipse et l’hyperbole ; car encore qu’on n’y puisse recevoir aucunes lignes qui semblent à des cordes, c’est-à-dire qui deviennent tantôt droites et tantôt courbes, à cause que la proportion qui est entre les droites et les courbes n’étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes, on ne pourrait rien conclure de là qui fût exact et assuré. Toutefois à cause qu’on ne se sert de cordes en ces constructions que pour déterminer des lignes droites dont on connaît parfaitement la longueur, cela ne doit point faire qu’on les rejette.
Que, pour trouver toutes les propriétés des lignes courbes, il suffit de savoir le rapport qu’ont tous leurs points à ceux des lignes droites ; et la façon de tirer d’autres lignes qui les coupent en tous ces points à angles droits.
Or de cela seul qu’on sait le rapport qu’ont tous les points d’une ligne courbe à tous ceux d’une ligne droite, en la façon que j’ai expliquée, il est aisé de trouver aussi le rapport qu’ils ont à tous les autres points et lignes données ; et ensuite de connaître les diamètres, les essieux, les centres et autres lignes ou points à qui chaque ligne courbe aura quelque rapport plus particulier ou plus simple qu’aux autres ; et ainsi d’imaginer divers moyens pour les décrire, et d’en choisir les plus faciles ; et même on peut aussi, par cela seul, trouver quasi tout ce qui peut être déterminé touchant la grandeur de l’espace qu’elles comprennent, sans qu’il soit besoin que j’en donne plus d’ouverture. Et enfin pour ce qui est de toutes les autres propriétés qu’on peut attribuer aux lignes courbes, elles ne dépendent que de la grandeur des angles qu’elles font avec quelques autres lignes. Mais lorsqu’on peut tirer des lignes droites qui les coupent à angles droits, aux points où elles sont rencontrées par celles avec qui elles font les angles qu’on veut mesurer, ou, ce que je prends ici pour le même, qui coupent leurs contingentes, la grandeur de ces angles n’est pas plus malaisée à trouver que s’ils étaient compris entre deux lignes droites. C’est pourquoi je croirai avoir mis ici tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes, lorsque j’aurai généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent à angles droits sur tels de leurs points qu’on voudra choisir. Et j’ose dire que c’est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j’aie jamais désiré de savoir en géométrie.
Façon générale pour trouver des lignes droites qui coupent les courbes données ou leurs contingentes, à angles droits.
Soit CE la ligne courbe, et qu’il faille tirer une ligne droite par le point C, qui fasse avec elle des angles droits. Je suppose la chose déjà faite, et que la ligne cherchée e est CP, laquelle je prolonge jusqu’au point P, ou elle rencontre la ligne droite GA, que je suppose être celle aux points de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne CE : en sorte que faisant MA ou CB = y et CM ou BA = x, j’ai quelque équation, qui explique le rapport, qui est entre x et y. Puis je fais P C = s et PA = v, ou PM = v - y, et à cause du triangle rectangle PMC, j’ai s2 qui est le carré de la base égal à x2 + v2 - 2vy + y2, qui sont les carrés des deux côtés ; c’est à dire j’ai :
,
ou bien :
,
et par le moyen de cette équation, j’ôte de l’autre équation qui m’explique le rapport qu’ont tous les points de la courbe CB à ceux de la droite GA, l’une des deux quantités indéterminées x ou y ce qui est aisé à faire en mettant partout :
,
au lieu de x, et le carré de cette somme au lieu de x2, et son cube au lieu de x3, et ainsi des autres, si c’est x que je veuille ôter ; ou bien si c’est y, en mettant en son lieu , et le carré, ou le cube, etc. de cette somme, au lieu de y2 ou y3, etc. De façon qu’il reste toujours après cela une équation, en laquelle il n’y a plus qu’une seule quantité indéterminée, x ou y.
Exemple de cette opération en une ellipse et en une parabole du second genre.
And just as KL is something, BK is as well:
,
or else:
And finally, since this same BK, being a segment with the same diameter as the parabola, is related to BC in the same manner that the parabola is related to the right side ‘a’, calculations show that y3 – 2ay2 – a2y + 2a2 is equal to axy; and consequently, point C is indeed the point that was sought. It can be taken at any desired position on the line CEG, or also on its corresponding line cEGc, which is described in the same way, except that the vertex of the parabola now faces the other direction. Alternatively, it can also be taken on their opposite points NIo, nIO, which are determined by the intersection of the line GL with the other side of the parabola KN.
Even though the given parallels AB, IH, ED, and GF are not all equidistant from each other, and even though GA does not intersect them at right angles, nor do the lines drawn from point C to these parallels, it is still possible for point C to always lie on a curved line of a different nature. Moreover, it is sometimes possible for such a curve to exist, even when none of the given lines are parallel to each other. However, if there are four such parallel lines and a fifth line that intersects them, and if the parallelepiped formed by three of these lines—one drawn from the desired point on the fifth line, and the other two on the two parallel lines—is equal to the parallelepiped formed by the other two lines drawn from the same desired point on the two remaining parallel lines, then the desired point lies on a curved line of yet another nature. Specifically, this curve is such that all the straight lines drawn perpendicular to its diameter are equal in length to the corresponding lines in a conic section; moreover, the segments of this diameter between the vertex and these perpendicular lines are in the same proportion to a given line as the corresponding segments of the diameter of the conic section are to the segments of that conic section’s diameter to which those same perpendicular lines are drawn. I cannot truly say that this latter curve is less simple than the former; however, I believed it necessary to consider the former first, because its description and calculation are in some ways easier.
As for the lines that apply to other cases, I will not bother distinguishing them by species, for I have not set out to explain everything; and since I have explained how to find an infinite number of points through which they pass, I believe I have provided sufficient means to describe them.
What are those curved lines that can be described by identifying several of their points that exist in geometry?
It is also worth noting that there is a significant difference between this method of finding multiple points to draw a curved line and the method used for spirals and similar curves; because with the latter method, not all the points of the desired line are found indiscriminately, but only those that can be determined by a simpler measurement than what is required to construct the line itself. In other words, strictly speaking, not one single point of such a curve is actually found in this way—that is, no point that is so inherent to the curve that it can only be obtained through this method. On the contrary, for any line used in the problem at hand, there is certainly at least one point that can be found among those determined by the method explained above. Moreover, since this method of drawing curved lines—by finding multiple points indiscriminately—only applies to curves that can also be described by a regular and continuous motion, it should not be entirely dismissed from geometry.
Which ones are also those that can be received there using a cord?
Nor should we reject the method in which a folded thread or rope is used to determine the equality or difference between two or more straight lines that can be drawn from every point on the curve under consideration at certain other points, or along certain other lines at certain angles—just as we did in the study of optics to explain the shapes of ellipses and hyperbolas. For although such a method may not produce any lines that appear to be actual cords, that is, lines which sometimes become straight and sometimes curved, because the precise ratio between straight and curved sections is unknown—and indeed, I believe, cannot possibly be known by humans—we cannot conclude anything from it that would be accurate or certain. Nevertheless, since we use cords in these constructions merely to determine straight lines whose lengths are perfectly known, this in no way warrants rejecting such a method.
That, in order to find all the properties of curved lines, it is sufficient to know the relationship that exists between all their points and those of straight lines; and how to draw other lines that intersect them at all these points at right angles.
Or, merely from this understanding of the relationship that exists between all the points on a curved line and those on a straight line, in the manner I have explained it, it is easy to determine the relationships they hold with all other given points and lines. Furthermore, one can then identify the diameters, axes, centers, and other lines or points that each curved line has a particularly special or simpler relationship with than with others; and thus conceive various methods for describing them and choose the simplest ones. Indeed, merely from this approach, one can also determine almost everything concerning the size of the space enclosed by these curves, without the need for any further elaboration on my part. Finally, as for all the other properties that can be attributed to curved lines, they depend solely on the sizes of the angles they form with certain other lines. But when one is able to draw straight lines that intersect these curved lines at right angles at the points where they meet those lines with which the desired angles are formed, or—what I consider equivalent—to lines that intersect their tangents, then determining the size of these angles is no more difficult than if those angles were contained between two straight lines. Therefore, I believe that I have provided here everything necessary for understanding the fundamental elements of curved lines, once I have generally explained how to draw such straight lines that intersect them at right angles at the desired points. And I dare say that this is the most useful and general problem in geometry that I am aware of, or even that I have ever sought to understand.
A general method for finding straight lines that intersect given curves or their tangents at right angles.
Let this be the curved line, and let it be necessary to draw a straight line through point C that forms right angles with it. I assume this has already been done, and that the desired straight line is CP, which I extend until it meets the straight line GA—assuming GA is the line from which all points on line CE are derived in some particular way. Thus, if MA or CB equals y and CM or BA equals x, then I have some equation that explains the relationship between x and y. Next, if PC equals s and PA equals v, or PM equals v - y, then, due to the properties of right triangle PMC, I have s², which is the square of the base, equal to x² + v² - 2vy + y², which are the squares of the two sides of the triangle. In other words.
,
or else:
,
And by using this equation, I eliminate one of the two unknown quantities, either x or y, from the other equation that explains the relationship between all the points on the curve CB and those on the line GA; this is easily done by applying it everywhere.
,
In place of x, and the square of this sum in place of x², and its cube in place of x³, and so on for the others; whether it is x that I wish to eliminate, or y, by replacing it with the square or cube, etc., of this sum in place of y² or y³, etc. In such a way that at the end there always remains an equation containing only one unknown quantity, either x or y.
Example of this operation applied to an ellipse and a parabola of the second kind.
E poiché KL è tale, anche BK lo è.
,
oppure:
E infine, poiché lo stesso BK, essendo un segmento del diametro della parabola, è in relazione a BC che gli è applicata secondo ordine, così come questa è in relazione al lato destro che è a, i calcoli dimostrano che y3 – 2ay² – a²y + 2a² è uguale ad axy; e di conseguenza, il punto C è proprio quello che si cercava. Questo punto può essere scelto in qualsiasi posizione sulla retta CEG, oppure nel suo complementare cEGc, che viene descritto nello stesso modo, con la differenza che il vertice della parabola è rivolto verso l’altro lato; infine, può anche essere scelto nei loro inversi NIo, nIO, che sono determinati dall’intersezione tra la retta GL e l’altro lato della parabola KN.
Anche se i paralleli AB, IH, ED e GF non fossero tutti della stessa distanza, e se GA non li tagliasse ad angoli retti, né lo stesso valese per le linee tracciate dal punto C verso di essi, questo punto C si troverebbe comunque sempre su una linea curva di natura diversa. In alcuni casi, inoltre, potrebbe anche verificarsi che nessuna delle linee date sia parallela alle altre; tuttavia, se ci sono quattro linee parallele e una quinta che le attraversa, e se il parallelepipedo formato da tre di queste linee – una tracciata sulla quinta linea e le altre due su due delle linee parallele – è uguale a quello formato dalle altre due linee parallele e da un’altra linea data, allora questo punto cercato si trova su una linea curva di natura diversa: precisamente su una linea tale che tutte le rette applicate ordinalmente al suo diametro siano uguali alle rette di una sezione conica, e i segmenti di questo diametro situati tra la sommità e queste rette abbiano la stessa proporzione rispetto a una determinata linea data, così come questa linea data ha la stessa proporzione rispetto ai segmenti del diametro della sezione conica su cui sono applicate le rette corrispondenti. Non potrei davvero affermare che questa seconda linea sia meno semplice della prima; tuttavia ho ritenuto opportuno considerare la prima come la più semplice, poiché la sua descrizione e il suo calcolo risultano in qualche modo più facili.
Per quanto riguarda le linee utili per gli altri casi, non mi soffermerò sul distinguerle per specie, poiché non ho intenzione di spiegare tutto; inoltre, avendo illustrato il metodo per individuare un’infinità di punti attraverso cui tali linee passano, ritengo di aver fornito a sufficienza i mezzi per descriverle.
Quali sono le linee curve che si possono descrivere individuando diversi loro punti ammissibili in geometria?
È anche opportuno notare che esiste una grande differenza tra questo metodo per individuare diversi punti al fine di tracciare una linea curva e quello utilizzato per le spirali e simili figure; infatti, con quest’ultimo metodo non si trovano tutti i punti della linea desiderata in modo casuale, ma soltanto quelli che possono essere determinati mediante misure più semplici rispetto a quelle necessarie per comporre effettivamente la linea stessa. In altre parole, con questo metodo non si trova nemmeno un singolo punto che sia così caratteristico della linea da poter essere individuato esclusivamente attraverso di esso; al contrario, nelle linee utilizzate nel problema proposto, non esiste alcun punto che non possa essere trovato tra quelli determinati con il metodo appena descritto. E poiché questo metodo per tracciare linee curve, permettendo di individuare diversi punti in modo casuale, si applica soltanto a quelle figure che possono essere descritte attraverso movimenti regolari e continui, non dovremmo rifiutarlo del tutto nella geometria.
Quali sono quelle che si descrivono utilizzando una corda e che possono essere ricevute in quel luogo?
E non si dovrebbe nemmeno respingere quel metodo che utilizza un filo o una corda piegata per determinare l’uguaglianza o la differenza tra due o più rette che possono essere tracciate da ogni punto della curva in esame, verso altri punti specifici o su altre rette, sotto angoli precisi; proprio come abbiamo fatto nella “Diottrica” per spiegare l’ellisse e l’iperbola. Anche se con questo metodo non si possono ottenere linee che assomiglino alle corde, cioè linee che a volte diventano rette e a volte curve, poiché la proporzione tra le parti rette e quelle curve non è nota, e credo addirittura che non possa essere conosciuta dagli esseri umani, non si potrebbe comunque trarre da ciò conclusioni precise e certe. Tuttavia, poiché in queste costruzioni si utilizzano le corde soltanto per determinare rette la cui lunghezza è perfettamente conosciuta, questo non dovrebbe costituire un motivo per respingerle.
Che, per scoprire tutte le proprietà delle linee curve, sia sufficiente conoscere il rapporto che esiste tra tutti i loro punti e quelli delle linee rette, nonché il modo in cui si possono tracciare altre linee che le intersechino in tutti questi punti formando angoli retti.
Da questo solo fatto – ovvero dal conoscere il rapporto che esiste tra tutti i punti di una linea curva e quelli di una linea retta, nel modo in cui ho spiegato – è facile individuare anche il rapporto che tali punti hanno con tutti gli altri punti e linee dati; successivamente si possono determinare i diametri, gli assi, i centri e altre linee o punti con cui ogni linea curva presenta un rapporto particolare o più semplice rispetto ad altri. In questo modo è possibile immaginare diversi metodi per descriverle e scegliere quelli più facili da utilizzare; inoltre, è anche possibile, partendo da questi principi, determinare quasi tutto ciò che riguarda le dimensioni degli spazi che tali linee occupano, senza la necessità di fornire ulteriori dettagli. Infine, per quanto riguarda tutte le altre proprietà che si possono attribuire alle linee curve, queste dipendono unicamente dalle dimensioni degli angoli che formano con altre linee. Tuttavia, quando è possibile tracciare linee rette che intersecano tali linee curve ad angoli retti nei punti in cui queste ultime si incontrano con le linee con cui formano gli angoli da misurare, o – per usare un’espressione equivalente – con quelle linee che intersecano i loro prolungamenti, la determinazione di tali angoli non risulta più difficile di quanto lo sarebbe se questi angoli fossero compresi tra due linee rette. Per questo motivo ritengo di aver fornito qui tutto ciò che è necessario per comprendere i fondamenti delle linee curve, una volta che avrò generalmente spiegato come tracciare linee rette che intersecano tali linee curve ad angoli retti nei punti scelti. Oso dire che questo rappresenta il problema più utile e generale che conosca, o addirittura che abbia mai desiderato conoscere in geometria.
Metodo generale per individuare linee rette che intersechino le curve date o i loro contorni, formando angoli retti.
Sia CE la linea curva, e sia necessario tracciare una linea retta che passi per il punto C e formi angoli retti con essa. Suppongo che ciò sia già stato fatto, e che la linea cercata sia CP; prolungo quindi questa linea fino al punto P, dove incontra la linea retta GA, che suppongo essere quella utilizzata per stabilire il rapporto tra i punti della linea CE: in tal modo, avendo MA = CB = y e CM = BA = x, ottengo un’equazione che spiega tale rapporto. Successivamente, considerando PC = s e PA = v, oppure PM = v – y, e utilizzando le proprietà del triangolo rettangolo PMC, ottengo che s², ovvero il quadrato della base, è uguale a x² + v² – 2vy + y², che sono i quadrati dei due lati del triangolo; in altre parole.
,
oppure:
,
E attraverso questa equazione, elimino dall’altra equazione che mi spiega il rapporto tra tutti i punti della curva CB e quelli della retta GA, una delle due quantità indeterminate, x o y; cosa facile da fare sostituendo tale quantità in ogni parte dell’equazione.
,
Invece di x, e il quadrato di questa somma al posto di x², e il cubo al posto di x³, e così via; sia che si voglia eliminare x, sia che si voglia eliminare y, sostituendo x o y con la rispettiva somma, e il suo quadrato, o cubo, ecc., al posto di x² o y³, ecc. In modo che alla fine rimanga sempre un’equazione in cui vi sia soltanto una quantità indeterminata, cioè x o y.
Esempio di questa operazione su un’ellisse e una parabola del secondo genere.
Comme si CE est une Ellipse, et que MA soit le segment de son diamètre, auquel CM soit appliquée par ordre, et qui ait r pour son côté droit et q pour le traversant, on a par le treizième théorème du premier livre d’Apollonius,
,
D’où ôtant x2, il reste :
,
ou bien :
,
car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble toute la somme, que d’en faire une partie égale à l’autre.
Tout de même si CE est la ligne courbe décrite par le mouvement d’une Parabole en la façon ci-dessus expliquée, et qu’on ait posé b pour GA, c pour KL et d pour le côté droit du diamètre KL en la parabole, l’équation qui explique le rapport qui est entre x et y est :
y3 - by2 - cdy + bcd + dxy = 0,
d’où ôtant x, on a:
;
et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient :
y6-2by5 + (b2-2cd+d2) y4+ (4bcd-2d2v) y3+ (c2d2 - d2s2 + d2v2 - 2b2cd) y2 - 2bc2d2y + b2c2d2= 0,
et ainsi des autres.
Même encore que les points de la ligne courbe ne se rapportaient pas, en la façon que j’ai dite à ceux d’une ligne droite, mais en toute autre qu’on saurait imaginer, on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle équation. Comme si CE est une ligne, qui ait tel rapport aux trois points F, G et A, que les lignes droites tirées de chacun de ses points comme C, jusqu’au point F, surpassent la ligne SA d’une quantité, qui ait certaine proportion donnée à une autre quantité dont GA surpasse les lignes tirées des mêmes points jusqu’à G. Faisons GA = b, AF = c et prenant à discrétion le point C dans la courbe, que la quantité dont CF surpasse SA, soit à celle dont GA surpasse GC, comme d à c, en sorte que si cette quantité qui est indéterminée se nomme z, FC est c + z et GC est .
Puis posant MA = y, GM est b - y, et FM est c + y, et à cause du triangle rectangle CMG, ôtant le carré de GM du carré de GC, on a le carré de CM, qui est :
;
puis ôtant le carré de FM du carré de FC, on a encore le carré de CM en d’autres termes, à savoir z2 + 2cz – 2cy - y2 ; et ces termes étant égaux aux précédents, ils font connaître y ou MA, qui est :
et substituant cette somme au lieu de y dans le carré de CM, on trouve qu’il s’exprime en ces termes :
.
Puis supposant que la ligne droite PC rencontre la courbe à angles droits au point C, et faisant PC = s et PA= v comme devant, PM est v - y ; et à cause du triangle rectangle PCM, on a r2 - v2 + 2vy - y2 pour le carré de CM, ou derechef ayant au lieu de y substitué la somme qui lui est égale, il vient :
pour l’équation que nous cherchions.
Or après qu’on a trouvé une telle équation, au lieu de s’en servir pour connaître les quantités x ou y, ou z, qui sont déjà données, puisque le point C est donné, on la doit employer à trouver v ou s, qui déterminent le point P, qui est demandé. Et à cet effet il faut considérer, que si ce point P est tel qu’on le désire, le cercle dont il sera le centre, et qui passera par le point C, y touchera la ligne courbe CE, sans la couper ; mais que si ce point P, est tant soit peu plus proche, ou plus éloigné du point A, qu’il ne doit, ce cercle coupera la courbe, non seulement au point C, mais aussi nécessairement en quelque autre. Puis il faut aussi considérer, que lorsque ce cercle coupe la ligne courbe CE, l’équation par laquelle on cherche la quantité x ou y, ou quelque autre semblable, en supposant PA et PC être connues, contient nécessairement deux racines, qui sont inégales. Car par exemple si ce cercle coupe la courbe aux points C et E, ayant tiré EQ parallèle à CM, les noms des quantités indéterminées x et y, conviendront aussi bien aux lignes EQ et QA, qu’à CM et MA ; puis PE est égale à PC, à cause du cercle, si bien que cherchant les lignes EQ et QA, par PE et PA qu’on suppose comme données, on aura la même équation que si on cherchait CM et MA par PC, PA, d’où il suit évidemment, que la valeur de x ou dey, ou de telle autre quantité qu’on aura supposée, sera double en cette équation, c’est-à-dire qu’il y aura deux racines inégales entre elles, et dont l’une sera CM, l’autre EQ, si c’est x qu’on cherche, ou bien l’une sera MA et l’autre QA, si c’est y ; et ainsi des autres. Il est vrai que si le point E ne se trouve pas du même côté de la courbe que le point C, il n’y aura que l’une de ces deux racines qui soit vraie, et l’autre sera renversée, ou moindre que rien : mais plus ces deux points C et E, sont proches l’un de l’autre, moins il y a de différence entre ces deux racines ; et enfin elles sont entièrement égales, s’ils sont tous deux joints en un ; c’est-à-dire si le cercle, qui passe par C, y touche la courbe CE sans la couper.
De plus, il faut considérer, que lorsqu’il y a deux racines égales en une équation, elle a nécessairement la même forme, que si on multiplie par soi-même la quantité qu’on y suppose être inconnue, moins la quantité connue qui lui est égale, et qu’après cela si cette dernière somme n’a pas tant de dimensions que la précédente, on la multiplie par une autre somme qui en ait autant qu’il lui en manque ; afin qu’il puisse y avoir séparément équation entre chacun des termes de l’une et chacun des termes de l’autre.
Comme par exemple, je dis que la première équation trouvée ci-dessus, à savoir :
doit avoir la même forme que celle qui se produit en faisant e égal à y, et multipliant y - e par soi-même, d’où il vient y2 - 2ey + e2, en sorte qu’on peut comparer séparément chacun de leurs termes, et dire que puisque le premier qui est y2 est tout le même en l’une qu’en l’autre, le second qui est en l’une
est égal au second de l’autre qui est - 2ey, d’où cherchant la quantité v qui est la ligne PA, on a :
ou bien, à cause que nous avons supposé e égal à y, on a :
.
Et ainsi on pourrait trouver s par le troisième terme :
mais pour ce que la quantité v détermine assez le point P, qui et le seul que nous cherchions, on n’a pas besoin de passer outre.
Tout de même la seconde équation trouvée ci-dessus, à savoir :
y6-2by5+(b2-2cd+d2) y4+(4bcd-2d2v) y3+(c2d2-d2s2+d2v2-2b2cd) y2-2bc2d2y+b2c2d2, doit avoir même somme, que la somme qui se produit lorsqu’on multiplie y2 - 2ey + e2 par y4 + fy3 + g2y2 + h3y + k4 qui est y6 + (f-2e) y5 + (g2-2ef+e2) y4 + (h3-2eg2+e2f) y3 + k(4-2eh3+e2g2) y2 + (e2h3-2ek4) y + e2k4
de façon que de ces deux équations j’en tire six autres, qui servent à connaître les six quantités f, g, h, k, v et s.
D’où il est fort aisé à entendre, que de quelque genre, que puisse être la ligne courbe proposée, il vient toujours par cette façon de procéder autant d’équations, qu’on est obligé de supposer de quantités, qui sont inconnues. Mais pour démêler par ordre ces équations, et trouver enfin la quantité v, qui et la seule dont on a besoin, et à l’occasion de laquelle on cherche les autres, il faut premièrement par le second terme chercher f, la première des quantités inconnues de la dernière somme, et on trouve :
f = 2e - 2b.
Puis par le dernier il faut chercher k, la dernière des quantités inconnues de la même somme, et on trouve :
Puis par le troisième terme il faut chercher g la seconde quantité, et on a :
g2 = 3e2 - 4be – 2cd + b2 + d2.
Puis par le pénultième il faut chercher h, la pénultième quantité, qui est :
.
Et ainsi il faudrait continuer suivant ce même ordre jusqu’à la dernière, s’il y en avait d’avantage en cette somme ; car c’est chose qu’on peut toujours faire en même façon.
Puis par le terme qui suit en ce même ordre, qui est ici le quatrième, il faut chercher la quantité v, et on a :
ou mettant y au lieu de e qui lui est égal on a :
As if CE were an ellipse, and MA were the segment of its diameter to which CM is applied in order, with r representing its right side and q representing its transverse axis, then, according to the thirteenth theorem of Apollonius’s first book.
,
Therefore, by subtracting x2 from both sides, what remains is.
,
or else:
,
For it is better in this context to consider the entire sum together in this way, rather than dividing it into parts that are equal to each other.
Even though this curve is the one described by the motion of a Parabola in the manner explained above, and if we define b as the vertex of the parabola, c as the length of the axis of symmetry, and d as the distance on the right side of the axis of symmetry from any point on the parabola, then the equation that expresses the relationship between x and y is:
y3 - by2 - cdy + bcd + dxy = 0,
Therefore, by subtracting x from both sides, one obtains:
;
and by arranging these terms through multiplication, we obtain:
y6-2by5 + (b2-2cd+d2) y4 + (4bcd-2d2v) y3 + (c2d2 - d2s2 + d2v2 - 2b2cd) y2 - 2bc2d2y + b2c2
and so on for others.
Even though the points on a curved line do not relate to each other in the way I have described for straight lines, but in some entirely different manner that one could imagine, it is still possible to establish such an equation. Suppose this curve represents a line that has a certain relationship to the three points F, G, and A, such that the straight lines drawn from each of these points—for example, line CF—from point C to point F—exceed line SA by a quantity that bears a specific proportion to another quantity, which in turn is related to the distances GA and GC. Let GA = b and AF = c; then, by arbitrarily choosing a point C on the curve, we can say that the quantity by which CF exceeds SA is proportional to the quantity by which GA exceeds GC, just as d is proportional to c. Therefore, if we denote this unknown quantity as z, then FC can be expressed as c + z, and GC as some other value.
Then, if we set MA = y, then GM is b - y, and FM is c + y. And because of the right-angled triangle CMG, by subtracting the square of GM from the square of GC, we obtain the square of CM, which is:
;
Then, by subtracting the square of FM from the square of FC, we obtain again the square of CM—in other words, z² + 2cz – 2cy – y². Since these terms are equal to the previous ones, they allow us to determine the value of y or MA, which is:
and by replacing this sum for ‘y’ in the square of CM, it is found that it can be expressed in these terms:
.
Then, assuming that the straight line PC intersects the curve at a right angle at point C, and letting PC = s and PA = v as before, PM is equal to v - y. And because of the right triangle PCM, we have r2 - v2 + 2vy - y2 for the square of CM. Or, by substituting the sum that is equal to y in place of y, we obtain:
for the equation that we were looking for.
Or once such an equation has been found, instead of using it to determine the values of x, y, or z—which are already known since point C is given—it must be employed to find the values of v or s, which will determine the desired point P. To achieve this, it must be considered that if point P is exactly as desired, then the circle centered at P and passing through point C will touch the curve CE without intersecting it; however, if point P is either too close or too far from point A, then the circle will intersect the curve not only at point C but also necessarily at some other point. Furthermore, when this circle intersects the curve CE, the equation used to find the value of x, y, or some other quantity, assuming PA and PC are known, will necessarily contain two unequal roots. For example, if the circle intersects the curve at points C and E, and a line EQ is drawn parallel to CM, then the values of the unknown quantities x and y will apply equally to lines EQ and QA as they do to lines CM and MA. Moreover, since PE is equal to PC due to the properties of the circle, seeking lines EQ and QA using PE and PA as given will yield the same equation as seeking CM and MA using PC and PA. It follows therefore that the value of x, y, or any other quantity sought will be double in this equation, meaning there will be two unequal roots: one will be equal to CM, and the other to EQ if x is being sought; or one will be equal to MA, and the other to QA if y is being sought. And so on. It is true that if point E does not lie on the same side of the curve as point C, only one of these two roots will be valid, while the other will be negative or nonexistent; however, the closer points C and E are to each other, the smaller the difference between these two roots will be. Finally, if they coincide at a single point, then the two roots will be exactly equal—meaning that the circle passing through C will touch the curve CE without intersecting it.
Furthermore, it must be considered that when there are two equal roots in an equation, the equation necessarily has the same form. Moreover, if one multiplies the quantity assumed to be unknown by itself minus the known quantity that is equal to it, and if this resulting sum does not have the same number of terms as the original equation, then one must multiply it by another sum that does have the correct number of terms; in order to ensure that separate equations can be established for each term on one side of the equation and each corresponding term on the other side.
For example, I say that the first equation found above, namely:
It must have the same form as that which results from setting e equal to y and then multiplying y – e by itself; hence we get y² – 2ey + e². In this way, we can compare each term of the two expressions separately, and it follows that since the first term, y², is identical in both expressions, the same holds true for the second term as well.
is equal to the second term of the other one, which is -2ey; therefore, by seeking the quantity v, which represents the line PA, we have:
or else, because we have assumed that e is equal to y, we have:
.
And thus, one could find it through the third term:
However, since the quantity v determines the point P quite accurately—and since P is the only point we were looking for—we don’t need to go any further.
Nevertheless, the second equation found above, namely:
y6 - 2by5 + (b2 - 2cd + d2), y4 + (4bcd - 2d2v), y3 + (c2d2 - d2s2 + d2v2 - 2b2cd), y2 - 2bc2d2y + b2c2d2 must have the same sum as the result obtained by multiplying y2 - 2ey + e2 by y4 + fy3 + g2y2 + h3y + k4, which is equal to y6 + (f - 2e)y5 + (g2 - 2ef + e2)y4 + (h3 - 2eg2 + e2f)y3 + k(4 - 2eh3 + e2g2)y2 + (e2h3 - 2ek4)y + e2k4.
such that from these two equations I can derive six more, which are used to determine the six quantities f, g, h, k, v, and s.
It is therefore quite easy to see that, regardless of the nature of the proposed curved line, this method always leads to an equal number of equations as there are unknown quantities that must be assumed. However, in order to resolve these equations systematically and ultimately determine the quantity v—the only one we actually need—and use it as a basis for finding the others, we must first, using the second term of the equation, determine f, which is the first of the unknown quantities in that last sum. And then we can proceed.
f = 2e - 2b.
Then, using the last one, we must find k, the last of the unknown quantities that add up to the same sum, and we find that.
Then, using the third term, one must seek to find the second quantity, and we obtain:
g2 = 3e2 - 4be – 2cd + b2 + d2.
Then, through the penultimate one, we must seek for ‘h’, the penultimate quantity, which is:
.
And thus, one should continue in the same order until reaching the last one, if there are any additional ones in this set; for it is always possible to do so in the same manner.
Then, by using the term that follows in the same order—which here is the fourth one—one must seek the quantity v, and we obtain:
or by replacing the ‘e’ with its equivalent, we get:
Come se CE fosse un’ellisse e MA fosse il segmento del suo diametro al quale CM è applicata in modo ordinato, e avesse r come lato destro e q come l’altro lato, allora, secondo il tredicesimo teorema del primo libro di Apollonio.
,
Quindi, togliendo x², rimane.
,
oppure:
,
Poiché in questo contesto è preferibile considerare nel suo insieme l’intera somma, piuttosto che suddividerla in parti uguali tra loro.
Anche se questa è la linea curva descritta dal movimento di una Parabola nel modo sopra spiegato, e si abbiano definito b come il punto GA, c come il punto KL e d come il lato destro del diametro KL nella parabola, l’equazione che esplica il rapporto tra x e y è:
y3 – by2 – cdy + bcd + dxy = 0.
Sottraendo x, si ottiene:
;
E ordinando questi termini mediante la moltiplicazione, si ottiene:
y6-2by5 + (b2-2cd+d2) y4 + (4bcd-2d2v) y3 + (c2d2 – d2s2 + d2v2 – 2b2cd) y2 – 2bc2d2y + b2c2
e così via.
Anche se i punti di una linea curva non fossero collegati tra loro nel modo che ho descritto per le linee rette, ma in qualsiasi altro modo si possa immaginare, non si potrebbe comunque sempre ottenere un’equazione del genere. Come se quella linea avesse un determinato rapporto con i tre punti F, G e A, tale che le rette tracciate da ciascuno di questi punti fino a F superassero la linea SA di una quantità che abbia una certa proporzione rispetto a un’altra quantità, per cui GA supera le rette tracciate dai medesimi punti fino a G. Supponiamo che GA = b e AF = c; prendendo il punto C sulla curva in modo arbitrario, si può dire che la quantità con cui CF supera SA sia alla stessa proporzione rispetto a quella con cui GA supera GC, come d è a c. Quindi, se questa quantità indeterminata viene chiamata z, allora FC è uguale a c + z e GC è.
Poi, ponendo MA = y, si ha che GM è b – y e FM è c + y; e, data la natura rettangolare del triangolo CMG, sottraendo il quadrato di GM dal quadrato di GC, si ottiene il quadrato di CM, che è:
;
Pertanto, sottraendo il quadrato di FM dal quadrato di FC, si ottiene ancora il quadrato di CM, in altre parole: z² + 2cz – 2cy – y². Poiché questi termini sono uguali ai precedenti, essi permettono di determinare il valore di y o MA, che è:
e sostituendo questa somma al posto di “y” nel quadrato di CM, si scopre che esso si esprime in questi termini:
.
Supponendo quindi che la retta PC intersechi la curva ad angoli retti nel punto C, e considerando ancora PC = s e PA = v come prima, si ha che PM = v – y; e in base al triangolo rettangolo PCM, si ottiene r² – v² + 2vy – y² per il quadrato di CM. Oppure, sostituendo y con la somma che gli è equivalente, si arriva alla seguente espressione:
per l’equazione che cercavamo.
Ora, una volta trovata un’equazione del genere, invece di utilizzarla per conoscere le quantità x, y o z che sono già note – poiché il punto C è dato – bisogna impiegarla per determinare v o s, che a loro volta definiscono il punto P richiesto. A tal fine è necessario considerare che, se il punto P è esattamente come lo si desidera, il cerchio il cui centro sarà P e che passa per il punto C toccherà la curva CE senza intersecarla; ma se il punto P si trova leggermente più vicino o più lontano dal punto A di quanto dovrebbe essere, quel cerchio intersecerà la curva non solo nel punto C, ma necessariamente anche in un altro punto. Inoltre, quando tale cerchio interseca la curva CE, l’equazione utilizzata per determinare la quantità x, y o qualsiasi altra variabile, assumendo che PA e PC siano note, contiene necessariamente due radici, che sono disuguali tra loro. Ad esempio, se il cerchio interseca la curva nei punti C ed E, tracciando la retta EQ parallela a CM, i valori delle quantità x e y corrisponderanno sia alle rette EQ e QA che a CM e MA; inoltre, poiché PE è uguale a PC per via del cerchio, cercando le rette EQ e QA partendo da PE e PA dati, si otterrà la stessa equazione di quando si cercano CM e MA partendo da PC e PA. Da ciò consegue chiaramente che il valore di x o y, o qualsiasi altra quantità si voglia determinare, sarà doppio in questa equazione, cioè esisteranno due radici disuguali tra loro: una delle quali sarà CM, l’altra EQ se si cerca x, oppure MA e QA se si cerca y; e così via per le altre situazioni. È vero che, se il punto E non si trova sullo stesso lato della curva rispetto al punto C, esisterà solo una di queste due radici come soluzione valida, mentre l’altra sarà negativa o nulla; tuttavia, più i punti C ed E sono vicini tra loro, minore sarà la differenza tra queste due radici; e infine, esse saranno completamente uguali se i due punti coincidono, cioè se il cerchio che passa per C tocca la curva CE senza intersecarla.
Inoltre, bisogna considerare che quando in un’equazione ci sono due radici uguali, essa deve necessariamente avere la stessa forma; inoltre, se si moltiplica per sé stesso la quantità che si ritiene essere sconosciuta, meno la quantità conosciuta che le è uguale, e se dopo questo risultato ottenuto questa nuova somma non ha lo stesso numero di termini della precedente, allora si moltiplica tale somma per un’altra somma che abbia esattamente il numero di termini mancanti; in questo modo sarà possibile stabilire separatamente equazioni tra ciascun termine della prima somma e ciascun termine della seconda.
Ad esempio, dico che l’equazione trovata in precedenza, ovvero.
Deve avere la stessa forma di quella che si ottiene sostituendo “e” con “y” e moltiplicando “y – e” per se stesso; da ciò deriva l’espressione “y² – 2ey + e²”. In questo modo è possibile confrontare separatamente ciascun termine di questa espressione, e si può affermare che, poiché il primo termine, ovvero “y²”, è identico in entrambe le formule, anche il secondo termine.
è uguale al secondo dell’altro, che è -2ey; pertanto, cercando la quantità v, che rappresenta la retta PA, si ottiene:
Oppure, poiché abbiamo ipotizzato che fosse uguale a y, si ha.
.
E così si potrebbe trovare attraverso il terzo termine.
Ma poiché la quantità v determina in modo sufficiente il punto P, che è l’unico che cercavamo, non c’è bisogno di andare oltre.
Comunque, l’equazione seconda trovata sopra, cioè.
L’espressione y6-2by5+(b2-2cd+d2) y4+(4bcd-2d2v) y3+(c2d2-d2s2+d2v2-2b2cd) y2-2bc2d2y+b2c2d2 deve avere lo stesso valore della somma che si ottiene moltiplicando y2 - 2ey + e2 per y4 + fy3 + g2y2 + h3y + k4, ovvero y6 + (f-2e) y5 + (g2-2ef+e2) y4 + (h3-2eg2+e2f) y3 + k(4-2eh3+e2g2) y2 + (e2h3-2ek4) y + e2k4.
In modo tale da ottenere, da queste due equazioni, altre sei che servono a conoscere le sei grandezze f, g, h, k, v e s.
È quindi molto facile comprendere che, indipendentemente dal tipo di retta curva presa in considerazione, questo metodo di procedimento porta sempre alla formulazione di un certo numero di equazioni, il cui numero dipende dalle quantità sconosciute che bisogna assumere. Tuttavia, per risolvere queste equazioni in modo ordinato e trovare infine la quantità v – l’unica di cui abbiamo realmente bisogno e alla quale si riferiscono tutte le altre – è necessario prima individuare, attraverso il secondo termine delle equazioni, la quantità f, ovvero la prima delle quantità sconosciute presenti nell’ultima somma. E così si arriva al risultato desiderato.
f = 2e - 2b.
Poi, attraverso l’ultimo di questi elementi, bisogna cercare “k”, l’ultima delle quantità sconosciute della stessa somma; e si trova.
Poi, utilizzando il terzo termine, è necessario cercare la seconda quantità; si ottiene quindi:
g2 = 3e2 - 4be – 2cd + b2 + d2.
Poi, attraverso l’antepenultima, bisogna cercare “h”, l’antepenultima quantità, che è.
.
E così si dovrebbe continuare seguendo lo stesso ordine fino all’ultimo elemento, qualora ne esistesse un altro in quella serie; infatti è sempre possibile procedere nello stesso modo.
Poi, con il termine successivo nello stesso ordine – che in questo caso è il quarto – si deve cercare la quantità v; e si ottiene:
oppure, sostituendo la “e” che le è equivalente con una “o”, si ottiene:
pour la ligne AP.
Et ainsi la troisième équation, qui est :
a la même forme que z2 - 2fz + f2, en supposant f égal à z, si bien qu’il y a derechef équation entre - 2f ou - 2z, et :
d’où on connaît que la quantité v est :
.
C’est pourquoi, composant la ligne AP de cette somme égale à v, dont toutes les quantités sont connues, et tirant du point P ainsi trouvé, une ligne droite vers C, elle y coupe la courbe CE à angles droits ; qui est ce qu’il fallait faire. Et je ne vois rien qui empêche qu’on n’étende ce problème en même façon à toutes les lignes courbes qui tombent sous quelque calcul géométrique.
Même il est à remarquer, touchant la dernière somme, qu’on prend à discrétion pour remplir le nombre des dimensions de l’autre somme lorsqu’il y en manque, comme nous avons pris tantôt y4 + fy3 + g2y2 + h3y + k4 que les signes + et - y peuvent être supposés tels qu’on veut, sans que la ligne v ou AP se trouve diverse pour cela, comme vous pourrez aisément voir par expérience ; car s’il fallait que je m’arrêtasse à démontrer tous les théorèmes dont je fais quelque mention, je serais contraint d’écrire un volume beaucoup plus gros que je ne désire. Mais je veux bien en passant vous avertir que l’invention de supposer deux équations de même forme, pour comparer séparément tous les termes de l’une à ceux de l’autre, et ainsi en faire naître plusieurs d’une seule, dont vous avez vu ici un exemple, peut servir à une infinité d’autres problèmes, et n’est pas l’une des moindres de la méthode dont je me sers.
Je n’ajoute point les constructions par lesquelles on peut décrire les contingentes ou les perpendiculaires cherchées, ensuite du calcul que je viens d’expliquer, à cause qu’il est toujours aisé de les trouver, bien que souvent on ait besoin d’un peu d’adresse pour les rendre courtes et simples.
Exemple de la construction de ce problème en la conchoïde.
Comme par exemple, si DC est la première conchoïde des anciens, dont A soit le pôle et BH la règle, en sorte que toutes les lignes droites qui regardent vers A, et sont comprises entre la courbe CD et la droite BH, comme DB et CE, soient égales, et qu’on veuille trouver la ligne CG qui la coupe au point C à angles droits, on pourrait, en cherchant dans la ligne BH le point par où cette ligne CG doit passer, selon la méthode ici expliquée, s’engager dans un calcul autant ou plus long qu’aucun des précédents : et toutefois, la construction qui devrait après en être déduite est fort simple ; car il ne faut que prendre CF en la ligne droite CA, et la faire égale à CH qui est perpendiculaire sur HB ; puis du point F tirer FG parallèle à BA et égale à EA ; au moyen de quoi on a le point G, par lequel doit passer CG la ligne cherchée.
Explication de quatre nouveaux genres d’ovales qui servent à l’optique.
Au reste, afin que vous sachiez que la considération des lignes courbes ici proposée n’est pas sans usage, et qu’elles ont diverses propriétés qui ne cèdent en rien à celles des sections coniques, je veux encore ajouter ici l’explication de certaines ovales que vous verrez être très utiles pour la théorie de la catoptrique et de la dioptrique. Voici la façon dont je les décris :
Premièrement, ayant tiré les lignes droites FA et AR, qui s’entre-coupent au point A, sans qu’il importe à quels angles, je prends en l’une le point F à discrétion, c’est-à-dire plus ou moins éloigné du point A, selon que je veux faire ces ovales plus ou moins grandes, et de ce point F, comme centre, je décris un cercle qui passe quelque peu au-delà du point A, comme par le point 5 ; puis de ce point 5 je tire la ligne droite 56, qui coupe l’autre au point 6, en sorte que A6 soit moindre que A5 selon telle proportion donnée qu’on veut, à savoir selon celle qui mesure les réfractions si on s’en veut servir pour la dioptrique. Après cela je prends aussi le point G en la ligne FA du côté où est le point 5, à discrétion, c’est-à-dire en faisant que les lignes AF et GA ont entre elles telle proportion donnée qu’on veut. Puis je fais RA égale à GA en la ligne A6, et du centre G décrivant un cercle dont le rayon soit égal à R6, il coupe l’autre cercle de part et d’autre au point 1, qui est l’un de ceux par où doit passer la première des ovales cherchées. Puis derechef du centre F je décris un cercle qui passe un peu au-deçà ou au-delà du point 5, comme par le point 7, et ayant tiré la ligne droite 78 parallèle à 56, du centre G je décris un autre cercle dont le rayon est égal à la ligne R8, et ce cercle coupe celui qui passe par le point 7 au point 1, qui est encore l’un de ceux de la même ovale ; et ainsi on en peut trouver autant d’autres qu’on voudra, en tirant derechef d’autres lignes parallèles à 78, et d’autres cercles des centres F et G.
Pour la seconde ovale il n’y a point de différence, sinon qu’au lieu de AR il faut de l’autre côté du point A prendre AS égal à AG, et que le rayon du cercle décrit du centre G, pour couper celui qui est décrit du centre F et qui passe par le point 5, soit égal à la ligne S 6, ou qu’il soit égal à S 8, si c’est pour couper celui qui passe par le point 7, et ainsi des autres ; au moyen de quoi ces cercles s’entre-coupent aux points marqués 2, 2, qui sont ceux de cette seconde ovale A2X.
Pour la troisième et la quatrième, au lieu de la ligne AG il faut prendre AH de l’autre côté du point A, à savoir du même qu’est le point F ; et il y a ici de plus à observer que cette ligne AH doit être plus grande que AF, laquelle peut même être nulle, en sorte que le point F se rencontre où est le point A en la description de toutes ces ovales. Après cela les lignes AR et AS étant égales à AH, pour décrire la troisième ovale A3Y, je fais un cercle du centre H, dont le rayon est égal à S6, qui coupe au point 3 celui du centre F, qui passe par le point 5 ; et un autre dont le rayon est égal à S8, qui coupe celui qui passe par le point 7 au point aussi marqué 3, et ainsi des autres. Enfin, pour la dernière ovale, je fais des cercles du centre H, dont les rayons sont égaux aux lignes R6, R8, et semblables, qui coupent les autres cercles aux points marqués 4.
On pourrait encore trouver une infinité d’autres moyens pour décrire ces mêmes ovales ; comme par exemple, on peut tracer la première AV, lorsqu’on suppose les lignes FA et AG être égales, si on divise la toute FG au point L, en sorte que FL soit à LG comme A5 à A6, c’est-à-dire qu’elles aient la proportion qui mesure les réfractions. Puis ayant divisé AL en deux parties égales au point K, qu’on fasse tourner une règle comme EF autour du point F, en pressant du doigt G la corde EG, qui étant attachée au bout de cette règle vers E, se replie de C vers K, puis de K derechef vers C, et de C vers G, où son autre bout soit attaché, en sorte que la longueur de cette corde soit composée de celle des lignes G A, plus AL, plus FE, moins AF ; et ce sera le mouvement du point C qui décrira cette ovale, à l’imitation de ce qui a été dit en la dioptrique de l’ellipse et de l’hyperbole ; mais je ne veux point m’arrêter plus longtemps sur ce sujet.
for the AP line.
And thus, the third equation, which is:
In the same form as z2 - 2fz + f2, assuming that f is equal to z, it follows that there is immediately an equation between -2f or -2z, and.
from which it follows that the quantity v is:
.
For this reason, by constructing the line AP from this sum equal to v, where all quantities are known, and by drawing a straight line from the thus-found point P to C, it intersects the curve CE at right angles—which is precisely what needed to be done. And I see no obstacle to extending this method in the same way to all curved lines that can be subjected to some geometric calculation.
It is also worth noting, in relation to the last sum mentioned, that one may arbitrarily choose the values of certain terms to satisfy the required number of dimensions in the other sum when such dimensions are lacking. For instance, we chose y4 + fy3 + g2y2 + h3y + k4; thus, the signs + and - for these terms can be assigned in any manner without affecting the outcome, as you will easily confirm through experimentation. Had I attempted to prove every theorem I mention here, I would have had to write a volume much larger than I intend. However, I would like to remind you that the technique of assuming two equations of the same form and comparing their terms separately—thus deriving multiple equations from one—can be applied to countless other problems and is indeed one of the most useful methods at my disposal.
I do not include the methods by which one can determine the desired contingents or perpendiculars, following the calculation I have just explained, because it is always easy to find them; however, sometimes some skill is required to make them concise and straightforward.
An example of how this problem can be constructed using the conchoid curve.
For example, if DC is the first conchoid of the ancients, with A as its pole and BH as its directrix, such that all straight lines drawn from A and lying between the curve CD and the line BH—such as DB and CE—are equal in length, and if one wishes to find the line CG that intersects this conchoid at point C at a right angle, one might begin by determining on the line BH the point through which the desired line CG must pass, using the method explained here. However, the construction that should result from this process is actually quite simple: one merely needs to take point CF on the line CA and make it equal to point CH, which is perpendicular to HB; then, from point F, draw a line FG parallel to BA and equal to EA. In this way, point G is obtained, and CG must pass through this point.
Explanation of four new types of ovals used in optics.
Furthermore, so that you understand that the consideration of curved lines proposed here is not without utility, and that they possess various properties which are in no way inferior to those of conic sections, I would like to add an explanation of certain oval shapes that you will find to be extremely useful for the theory of catoptrics and dioptrics. Here is how I describe them:
Firstly, having drawn the straight lines FA and AR, which intersect at point A regardless of the angle between them, I arbitrarily choose a point F on one of these lines—its distance from point A can be varied to make the resulting oval larger or smaller. Using point F as the center, I draw a circle that slightly extends beyond point A, for example, passing through point 5. From point 5, I draw the straight line 56, which intersects the other line at point 6, ensuring that A6 is smaller than A5 in a proportion determined by the specific requirements at hand—for instance, this proportion could reflect the laws of refraction if it were to be used in calculations related to dioptrics. Next, I also arbitrarily choose a point G on the line FA, on the same side as point 5, ensuring that the distances AF and GA maintain a desired proportion. Then I set RA equal to GA on line A6, and from center G, I draw another circle with radius R6; this circle intersects the first circle at point 1, which is one of the points where the desired oval must pass through. Finally, from center F, I draw yet another circle that slightly extends beyond or within the range of point 5, passing through point 7. Drawing the straight line 78 parallel to 56, and from center G, I draw a third circle with radius R8; this third circle also intersects the first circle at point 1, confirming that we have identified one of the desired oval’s points. By continuing this process—drawing additional parallel lines and circles from centers F and G—we can find as many other points as necessary to construct the exact oval required.
For the second oval, there is no difference except that, instead of AR, one must take AS equal to AG on the other side of point A; moreover, the radius of the circle drawn from center G must be equal to line S6, or it must be equal to S8 if it is intended to intersect the circle drawn from center F and passing through point 5. In this way, these circles intersect at the points marked 2, 2, which correspond to the vertices of the second oval A2X.
For the third and fourth oval, instead of the line AG, one must take the line AH on the other side of point A, that is, from the same side as point F; moreover, it should be noted that this line AH must be longer than AF, which can even be zero, so that point F coincides with point A in the description of all these ovals. Having done this, since the lines AR and AS are equal to AH, in order to describe the third oval A3Y, I draw a circle centered at H with a radius equal to S6; this circle intersects the circle centered at F and passing through point 5 at point 3. I also draw another circle with a radius equal to S8, which intersects the previous circle at point 7 at the same point marked 3, and so on for the others. Finally, for the last oval, I draw circles centered at H with radii equal to the lines R6, R8, and similar lines, which intersect the other circles at points marked 4.
One could still find an infinite number of other ways to describe these same ovals; for example, one can draw the first AV when assuming that lines FA and AG are equal. If one divides the entire segment FG at point L in such a way that FL is to LG as A5 is to A6—that is, if they maintain the same proportion that governs the laws of refraction—then, after dividing AL into two equal parts at point K, one can rotate a ruler like EF around point F. By pressing the string EG with finger G, which is attached to the end of this ruler near E, the string will fold from C towards K, then back from K towards C, and finally from C towards G, where its other end is fixed. In this way, the length of the string will correspond to the sum of the lengths of lines GA, AL, and FE, minus AF. It will be the movement of point C that describes this oval, in a manner similar to the methods used in the study of ellipses and hyperbolas in dioptrics. But I do not wish to dwell further on this subject.
per la linea AP.
E così, l’equazione numero tre, che è:
Nella stessa forma di z² – 2fz + f², assumendo che f sia uguale a z, si ha immediatamente un’equazione tra –2f o –2z e.
Da ciò si evince che la quantità v è:
.
Ecco perché, componendo la retta AP partendo da questa somma uguale a v, la cui entità è nota in ogni suo elemento, e tracciando dal punto P così ottenuto una linea retta verso C, essa interseca la curva CE ad angoli retti; ed è proprio ciò che era necessario fare. Non vedo alcun motivo per cui questo metodo non possa essere esteso allo stesso modo a tutte le curve che sottengono qualche calcolo geometrico.
È anche degno di nota, riguardo all’ultima somma, che si procede in modo discrezionale per completare il numero delle dimensioni dell’altra somma quando queste mancano; come abbiamo fatto prima con y4 + fy3 + g2y2 + h3y + k4, i segni + e - possono essere scelti liberamente senza che ciò influisca in alcun modo sulla linea v o su AP, come potrete facilmente constatare sperimentalmente. Infatti, se dovessi cercare di dimostrare tutti i teoremi di cui faccio menzione, sarei costretto a scrivere un volume molto più voluminoso di quanto desideri. Voglio però avvertirvi che l’invenzione di utilizzare due equazioni della stessa forma per confrontare separatamente tutti i termini di una con quelli dell’altra, e così ottenere da una sola equazione molteplici soluzioni, come abbiamo visto in questo esempio, può essere estremamente utile per risolvere un’infinità di altri problemi; ed è senz’altro uno degli strumenti più importanti del metodo che utilizzo.
Non aggiungo le costruzioni attraverso cui si possono descrivere i termini contingenti o le perpendicolari cercate, dopo il calcolo che ho appena spiegato, perché è sempre facile trovarle, anche se spesso serve un po’ di abilità per renderle concise e semplici.
Esempio di come questo problema possa essere rappresentato graficamente tramite una conchoidale.
Ad esempio, se DC è la prima conchoida degli antichi, in cui A rappresenta il polo e BH la retta di riferimento, in modo che tutte le rette dirette che vanno verso A e sono comprese tra la curva CD e la retta BH siano uguali tra loro (come DB e CE), e si voglia trovare la retta CG che interseca questa curva nel punto C ad angoli retti, si potrebbe, cercando nella retta BH il punto attraverso cui deve passare questa retta CG secondo il metodo qui spiegato, imboccare un calcolo altrettanto lungo o più lungo di qualsiasi altro precedente; tuttavia, la costruzione che ne dovrebbe derivare è molto semplice: basta prendere CF sulla retta CA e farla uguali a CH, che è perpendicolare a HB; poi dal punto F tracciare FG parallela a BA ed eguale a EA; in questo modo si ottiene il punto G, attraverso cui deve passare la retta CG cercata.
Spiegazione di quattro nuovi tipi di ovali utilizzati nell’ottica.
Del resto, affinché siate consapevoli del fatto che l’esame delle curve proposte qui non è privo di utilità e che esse possiedono diverse proprietà che non sono affatto inferiori a quelle delle sezioni coniche, desidero aggiungere ancora qui la spiegazione di alcune forme ovali che si riveleranno estremamente utili per la teoria della catoptrica e della dioptrica. Ecco come le descrivo:
Innanzitutto, tracciando le rette FA e AR che si intersecano nel punto A, indipendentemente dagli angoli con cui si incrociano, scelgo a piacimento il punto F su una di queste rette, cioè posizionandolo a distanza variabile dal punto A, in modo da rendere gli ovali desiderati di dimensioni diverse. Partendo da questo punto F come centro, traccio un cerchio che attraversa leggermente il punto A, ad esempio passando per il punto 5; successivamente, dal punto 5 traccio la retta 56, che interseca l’altra retta nel punto 6, in modo che A6 sia più piccolo di A5 secondo una proporzione prestabilita, ad esempio quella utilizzata per calcolare le rifrazioni nell’ottica. Successivamente, scelgo anche il punto G sulla retta FA, sempre a piacimento, in modo che le rette AF e GA abbiano tra loro la proporzione desiderata. Faccio poi sì che RA sia uguale a GA sulla retta A6; dal centro G traccio un altro cerchio il cui raggio è pari a R6; questo cerchio interseca l’altro cerchio nei punti 1, che sono alcuni dei punti attraverso i quali deve passare uno degli ovali cercati. Infine, partendo nuovamente dal centro F, traccio un altro cerchio che attraversa leggermente il punto 5, ad esempio passando per il punto 7; successivamente, dal centro G traccio un altro cerchio il cui raggio è pari alla retta R8; questo cerchio interseca nuovamente l’altro cerchio nei punti 1, che sono ancora alcuni dei punti della stessa ovale. In questo modo si possono trovare quante ovali si desidera, tracciando ulteriori rette parallele alla retta 78 e altri cerchi dai centri F e G.
Per la seconda ellisse non vi è alcuna differenza, se non che al posto di AR bisogna, dall’altra parte del punto A, prendere AS uguale ad AG; inoltre, il raggio del cerchio descritto dal centro G, che interseca quello descritto dal centro F e che passa per il punto 5, deve essere uguale alla linea S6, oppure uguale a S8, se si tratta di intersecare il cerchio che passa per il punto 7, e così via; in questo modo questi cerchi si intersecano nei punti contrassegnati con i numeri 2, 2, che corrispondono appunto ai punti della seconda ellisse A2X.
Per la terza e la quarta ovale, al posto della linea AG bisogna utilizzare la linea AH situata dall’altra parte del punto A, cioè lo stesso punto in cui si trova il punto F; inoltre, è necessario osservare che questa linea AH deve essere più lunga dell’linea AF, la quale può anche risultare nulla, in modo che il punto F coincida con il punto A nella descrizione di tutte queste ovali. Dopo aver determinato ciò, poiché le linee AR e AS sono uguali ad AH, per descrivere la terza ovale A3Y traccio un cerchio con centro H e raggio pari a S6; questo cerchio interseca, nel punto 3, il cerchio con centro F che passa per il punto 5. Traccio inoltre un altro cerchio con raggio pari a S8, che interseca quello che passa per il punto 7 nel punto anch’esso denominato 3; e così via per le altre ovali. Infine, per l’ultima ovale, traccio cerchi con centro H e raggi uguali alle linee R6, R8 e simili, i quali intersecano gli altri cerchi nei punti denominati 4.
Si potrebbero ancora trovare un’infinità di altri metodi per descrivere questi stessi ovali; ad esempio, si può tracciare la prima semiretta AV, supponendo che le linee FA e AG siano uguali, dividendo la linea FG nel punto L in modo tale che FL sia a LG come A5 è a A6, cioè che abbiano la stessa proporzione che determina i fenomeni di rifrazione. Successivamente, dividendo la linea AL in due parti uguali nel punto K, si può far ruotare un regolo come EF attorno al punto F, premendo con il dito il filo EG, il quale, essendo fissato all’estremità del regolo verso E, si ripiega da C verso K, poi di nuovo da K verso C e infine da C verso G, dove è fissata l’altra estremità del filo; in questo modo, la lunghezza del filo EG sarà uguale alla somma delle lunghezze delle linee GA, AL e FE, meno AF. Il movimento del punto C descriverà quindi questa ovale, seguendo i principi già esposti nella trattazione della geometria ellittica e iperbolica; ma non intendo soffermarmi ulteriormente su questo argomento.
Or, encore que toutes ces ovales semblent être quasi de même nature, elles sont néanmoins de quatre divers genres, chacun desquels contient sous soi une infinité d’autres genres, qui derechef contiennent chacun autant de diverses espèces que fait le genre des ellipses ou celui des hyperboles ; car selon que la proportion qui est entre les lignes A5, A6, ou semblables, est différente, le genre subalterne de ces ovales est différent ; puis selon que la proportion qui est entre les lignes AF et AG ou AH est changée, les ovales de chaque genre subalterne changent d’espèce ; et selon que AG ou AH est plus ou moins grande, elles sont diverses en grandeur ; et si les lignes A5 et A6 sont égales, au lieu des ovales du premier genre ou du troisième, on ne décrit que des lignes droites ; mais au lieu de celles du second on a toutes les hyperboles possibles, et au lieu de celles du dernier toutes les ellipses.
Les propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions.
Outre cela, en chacune de ces ovales il faut considérer deux parties qui ont diverses propriétés ;
à savoir en la première, la partie qui est vers A, fait que les rayons qui étant dans l’air viennent du point F, se retournent tous vers le point G, lorsqu’ils rencontrent la superficie convexe d’un verre dont la superficie est 1A1, et dans lequel les réfractions se font telles que, suivant ce qui a été dit en la Dioptrique, elles peuvent toutes être mesurées par la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 ou semblables, par l’aide desquelles on a décrit cette ovale.
Mais la partie qui est vers V fait que les rayons qui viennent du point G se réfléchiraient tous vers F, s’ils y rencontraient la superficie concave d’un miroir dont la figure fût 1V1, et qui fût de telle matière qu’il diminuât la force de ces rayons selon la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 ; car de ce qui a été démontré en la Dioptrique, il est évident que, cela posé, les angles de la réflexion seraient inégaux, aussi bien que sont ceux de la réfraction, et pourraient être mesurés en même sorte.
En la seconde ovale la partie 2A2 sert encore pour les réflexions dont on suppose les angles être inégaux ; car étant en la superficie d’un miroir composé de même matière que le précédent, elle ferait tellement réfléchir tous les rayons qui viendraient du point G, qu’ils sembleraient après être réfléchis venir du point F. Et il est à remarquer qu’ayant fait la ligne AG beaucoup plus grande que AF, ce miroir serait convexe au milieu vers A, et concave aux extrémités ; car telle est la figure de cette ligne, qui en cela représente plutôt un cœur qu’une ovale.
Mais son autre partie X2 sert pour les réfractions, et fait que les rayons qui étant dans l’air tendent vers F, se détournent vers G en traversant la superficie d’un verre qui en ait la figure.
La troisième ovale sert toute aux réfractions, et fait que les rayons qui étant dans l’air tendent vers F, se vont rendre vers H dans le verre, après qu’ils ont traversé sa superficie dont la figure est A3Y3, qui est convexe partout, excepté vers A où elle est un peu concave, en sorte qu’elle a la figure d’un cœur aussi bien que la précédente ; et la différence qui est entre les deux parties de cette ovale consiste en ce que le point F est plus proche de l’une que n’est le point H, et qu’il est plus éloigné de l’autre que ce même point H.
En même façon la dernière ovale sert toute aux réflexions, et fait que si les rayons qui viennent du point H rencontraient la superficie concave d’un miroir de même matière que les précédents, et dont la figure fût A4Z4, ilsse réfléchiraient tous vers F.
De façon qu’on peut nommer les points F et G ou H les points brûlants de ces ovales, à l’exemple de ceux des ellipses et des hyperboles, qui ont été ainsi nommés en la Dioptrique.
Démonstration des propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions.
J’omets quantité d’autres réfractions et réflexions qui sont réglées par ces mêmes ovales, car n’étant que les converses ou les contraires de celles-ci, elles en peuvent facilement être déduites.
Mais il ne faut pas que j’omette la démonstration de ce que j’ai dit ; et à cet effet prenons, par exemple le point C, à discrétion en la première partie de la première de ces ovales ; puis tirons la ligne droite CP, qui coupe la courbe au point C à angles droits, ce qui est facile par le problème précédent. Car prenant b pour AG, c pour AF, c+ z pour FC et supposant que la proportion qui est entre de t e, que je prendrai ici toujours pour celle qui mesure les réfractions du verre proposé, désigne aussi celle qui est entre les lignes A5, et A6, ou semblables, qui ont servi pour décrire cette ovale, ce qui donne pour GC : on trouve que la ligne AP est :
ainsi qu’il a été montré ci-dessus. De plus du point P ayant tiré PQ à angles droits sur la droite FC, et PN aussi à angles droits sur GC Considérons que si PQ est à PN, comme d est à e, c’est à dire, comme les lignes qui mesurent les réfractions du verre convexe AC, le rayon qui vient du point F au point C, doit tellement s’y courber en entrant dans ce verre, qu’il s’aille rendre après vers G : ainsi qu’il est très évident de ce qui a été dit en la Dioptrique. Puis enfin voyons par le calcul, s’il est vrai, que PQ soit à PN ; comme d est à e. Les triangles rectangles PQF et CMF font semblables d’où il suit que CF est à CM, comme FP est à PQ ; et par conséquent que FP, étant multipliée par CM, et divisée par CF, est égale à PQ. Tout de même les triangles rectangles PNG, et CMG sont semblables ; d’où il suit que GP, multipliée par CM, et divisée par CG, est égale à PN. Puis à cause que les multiplications ou divisions qui se font de deux quantités par une même, ne changent point la proportion qui est entre elles, si FP multipliée par CM et divisée par CF, est à GP multipliée aussi par CM et divisée par CG, comme d est à e, en divisant l’une et l’autre de ces deux sommes par CM, puis les multipliant toutes deux par CF, et derechef par CG, il reste FP multipliée par CG, qui doit être à GP multipliée par CF, comme d est à e.
Or par la construction FP est :
,
ou bien :
FP =
et CG est :
;
si bien que multipliant FP par CG, il vient :
Puis GP est :
ou bien :
GP =
et CF est c + z.
Si bien que multipliant GP par CF, il vient :
Et pour ce que la première de ces sommes divisée par d, est la même que la seconde divisée par e, il est manifeste, que FP multipliée par CG est à GP multipliée par CF ; c’est à dire que PQ est à PN, comme d est à e, qui est tout ce qu’il fallait démontrer.
Et sachez que cette même démonstration s’étend à tout ce qui a été dit des autres réfractions ou réflexions, qui se font dans les ovales proposées sans qu’il y faille changer aucune chose, que les signes + et - du calcul, c’est pourquoi chacun les peut aisément examiner de soi-même, sans qu’il soit besoin que je m’y arête.
Or, although all these ovals seem to be of nearly the same nature, they are in fact of four different genera, each of which contains an infinite number of other genera beneath it—genera that in turn contain as many different species as the genus of ellipses or the genus of hyperbolas does. For, depending on the proportion between lines A5, A6, or similar lines, the subordinate genera of these ovals differ from each other; and further, depending on how the proportion between lines AF, AG, or AH changes, the ovals within each subordinate genus will change in species as well. Moreover, depending on whether AG or AH is larger or smaller, these ovals will vary in size. And if lines A5 and A6 are equal, what results are not ovals of the first or third genus, but rather straight lines; whereas what results from the second genus are all possible hyperbolas, and what results from the last genus are all possible ellipses.
The properties of these ovals regarding reflection and refraction.
In addition to this, within each of these ovals, there are two parts that possess different properties.
That is to say, in the first case, the part that extends towards point A causes the rays that are initially in the air and originate from point F to all converge towards point G when they encounter the convex surface of a glass whose area is 1A1. Within this glass, the refractions occur in such a way that, as stated in the theory of optics, they can all be measured by the ratio between lines A5 and A6 or similar lines; it is precisely through these ratios that the shape of this oval was described.
However, the part that extends towards V would cause all the rays originating from point G to reflect towards F if they encountered the concave surface of a mirror whose shape were 1V1 and which were made of such material as to reduce the intensity of these rays in proportion to the ratio between lines A5 and A6; for it is evident from what has been demonstrated in the theory of optics that, given these conditions, the angles of reflection would be unequal, just as the angles of refraction are, and they could be measured in the same manner.
In the second oval, section 2A2 is still used for reflections where it is assumed that the angles involved are unequal. Since this section lies on the surface of a mirror made of the same material as the previous one, it would reflect all the rays coming from point G in such a way that they would appear to originate from point F after reflection. It is worth noting that, since line AG is much longer than AF, this mirror would be convex at the center near A and concave at the ends; indeed, the shape of line AG resembles more of a heart than an oval.
But its other part, X2, is used for refraction; it causes rays that would otherwise travel in a straight line through the air and converge at point F to be deflected towards point G when they pass through the surface of a glass with such a shape.
The third oval is entirely used for refraction; as a result, the rays that were initially in the air and tended toward point F are directed toward point H within the glass after passing through its surface, whose shape is represented by the figure A3Y3. This surface is convex everywhere except at point A, where it is slightly concave, giving it the shape of a heart, just like the previous one. The difference between these two portions of the oval lies in the fact that point F is closer to one side of the surface than point H is to the other.
In the same way, the last oval is entirely used for reflection purposes; if the rays originating from point H were to encounter the concave surface of a mirror made of the same material as the previous ones, and if that mirror had the shape A4Z4, then all those rays would be reflected towards F.
Thus, we can designate points F and G, or H, as the “hot spots” of these ovals, just as the points on ellipses and hyperbolas were named in that manner in the work “Dioptrica”.
Demonstration of the properties of these ovals regarding reflections and refractions.
I omit numerous other refractions and reflections that are also governed by these same ellipses, for since they are merely their inverses or counterparts, they can be easily deduced from them.
But I must not omit to demonstrate what I have said; for this purpose, let us take, for example, point C, at our discretion in the first part of the first of these ovals; then draw the straight line CP, which intersects the curve at point C at right angles, which is easily done using the previous method. For if we let b represent AG, c represent AF, and c + z represent FC, and assume that the ratio between de and t—which I will always consider here as the ratio that measures the refractions of the given glass—also represents the ratio between lines A5 and A6, or similar lines that have been used to describe this oval, then we find that line AP is.
As has been shown above. Furthermore, since the line P draws the line PQ at right angles to the right FC, and the line PN also at right angles to the line GC, let us assume that if PQ is parallel to PN, just as d is parallel to e—that is, since the lines that measure the refractions of the convex glass AC are equal, then the ray that travels from point F to point C must bend so much as it enters this glass that it ultimately reaches point G. This follows quite clearly from what was stated in the section on Dioptrics. Finally, let us determine through calculation whether it is indeed true that PQ is parallel to PN, just as d is parallel to e. The right triangles PQF and CMF are similar, hence it follows that CF is proportional to CM, just as FP is proportional to PQ. Consequently, if FP is multiplied by CM and then divided by CF, the result will be equal to PQ. Similarly, the right triangles PNG and CMG are similar, so GP multiplied by CM and then divided by CG will also be equal to PN. Moreover, since multiplications or divisions involving the same quantity do not alter the ratio between that quantity and another, if FP multiplied by CM and divided by CF is equal to GP multiplied by CM and divided by CG, just as d is equal to e, then if we divide both sides of this equation by CM and then multiply both by CF, and finally by CG again, we will obtain that FP multiplied by CG is indeed equal to GP multiplied by CF, just as d is equal to e.
Or, in terms of construction, FP is:
,
or else:
FP =
and CG is:
;
such that by multiplying FP by CG, we obtain:
Then GP is:
or else:
GP =
and CF is equal to c plus z.
Therefore, by multiplying GP by CF, we obtain:
And since the first of these sums divided by d is equal to the second sum divided by e, it is evident that FP multiplied by CG is equal to GP multiplied by CF; in other words, PQ is to PN as d is to e—which was precisely what needed to be demonstrated.
And know that this very same argument applies to everything that has been said about other refractions or reflections that occur within these proposed oval shapes, without the need to make any changes at all. As for the signs + and - used in the calculations, everyone can easily examine them for themselves, so there is no need for me to dwell on this point further.
Ora, sebbene tutte queste ovali sembrino essere quasi della stessa natura, esse sono tuttavia di quattro generi diversi, ciascuno dei quali contiene al proprio interno un’infinità di altri generi, i quali a loro volta contengono ciascuno tante specie diverse quante ne contiene il genere delle ellissi o quello delle iperboli; poiché, a seconda che la proporzione tra le linee A5, A6, o simili, sia differente, il genere subalterno di queste ovali è differente; poi, a seconda che la proporzione tra le linee AF e AG o AH sia modificata, le ovali di ciascun genere subalterno cambiano di specie; e a seconda che AG o AH siano più o meno grandi, esse variano per dimensione; e se le linee A5 e A6 sono uguali, al posto delle ovali del primo genere o del terzo si descrivono soltanto linee rette; ma al posto di quelle del secondo si hanno tutte le iperboli possibili, e al posto di quelle dell’ultimo tutte le ellissi.
Le proprietà di queste ovali riguardanti riflessioni e rifrazioni.
Inoltre, in ciascuna di queste ovali bisogna considerare due parti che hanno proprietà diverse;
ossia, nella prima parte, quella verso A, fa sì che i raggi che dall’aria provengono dal punto F si rivolgano tutti verso il punto G quando incontrano la superficie convessa di un vetro la cui superficie sia 1A1, e nel quale le rifrazioni avvengano in modo tale che, come detto nella Diottrica, esse possano tutte essere misurate dalla proporzione tra le linee A5 e A6 o simili, grazie alle quali questa ovale è stata descritta.
Ma la parte verso V fa sì che i raggi che provengono dal punto G si riflettano tutti verso F se incontrassero la superficie concava di uno specchio la cui figura fosse 1V1, e che fosse fatto di una materia tale da attenuare la forza di questi raggi secondo la proporzione tra le linee A5 e A6; infatti, da quanto dimostrato nella Diottrica, risulta evidente che, posta questa condizione, gli angoli di riflessione sarebbero diseguali, così come lo sono quelli di rifrazione, e potrebbero essere misurati nello stesso modo.
Nella seconda ovale, la parte 2A2 serve ancora per riflessioni nelle quali si suppone che gli angoli siano diseguali; infatti, trovandosi sulla superficie di uno specchio composto della stessa materia del precedente, essa farebbe riflettere tanto tutti i raggi che provenissero dal punto G da farli apparire, dopo la riflessione, come provenienti dal punto F. Ed è da notare che, avendo reso la linea AG molto più grande di AF, questo specchio sarebbe convesso al centro verso A e concavo alle estremità; infatti, tale è la figura di questa linea, che in ciò rappresenta piuttosto un cuore che un’ovale.
Ma l’altra sua parte X2 serve per le rifrazioni e fa sì che i raggi che dall’aria tendono verso F si devino verso G attraversando la superficie di un vetro che abbia quella forma.
La terza ovale serve interamente per le rifrazioni e fa sì che i raggi che dall’aria tendono verso F vadano a finire in H nel vetro, dopo aver attraversato la sua superficie la cui figura è A3Y3, che è convessa ovunque, tranne verso A dove è leggermente concava, così da avere la forma di un cuore proprio come la precedente; e la differenza tra le due parti di questa ovale consiste nel fatto che il punto F è più vicino all’una che non il punto H, e che è più lontano dall’altra rispetto allo stesso punto H.
Allo stesso modo, l’ultima ovale serve interamente per le riflessioni e fa sì che, se i raggi che provengono dal punto H incontrassero la superficie concava di uno specchio della stessa materia dei precedenti e la cui figura fosse A4Z4, essi si rifletterebbero tutti verso F.
Così si possono chiamare i punti F e G o H i punti focali di queste ovali, a somiglianza di quelli delle ellissi e delle iperboli, che sono stati così denominati nella Diottrica.
Dimostrazione delle proprietà di queste ovali riguardanti riflessioni e rifrazioni.
Trascurerò molte altre rifrazioni e riflessioni regolate da queste stesse ovali, poiché essendo solo le inverse o opposte a queste, possono facilmente dedursi da esse.
Ma non devo trascurare la dimostrazione di quanto ho detto; e a tal fine prendiamo, per esempio, il punto C, a piacere nella prima parte della prima di queste ovali; poi tracciamo la linea retta CP, che taglia la curva nel punto C con angolo retto, cosa facile grazie al problema precedente. Infatti, ponendo b per AG, c per AF, c + z per FC e supponendo che la proporzione tra d e e, che qui prenderò sempre come quella che misura le rifrazioni del vetro proposto, indichi anche quella tra le linee A5 e A6, o simili, che sono servite per descrivere questa ovale, ciò dà per GC: si trova che la linea AP è:
così come è stato mostrato sopra. Inoltre, dal punto P tracciamo PQ con angolo retto sulla linea FC, e PN anch’essa con angolo retto su GC. Consideriamo che se PQ sta a PN come d sta a e, cioè come le linee che misurano le rifrazioni del vetro convesso AC, il raggio che va dal punto F al punto C deve curvarsi tanto entrando in questo vetro da andare poi a finire in G: ciò risulta assai evidente da quanto detto nella Diottrica. Infine, vediamo tramite il calcolo se sia vero che PQ sta a PN come d sta a e. I triangoli rettangoli PQF e CMF sono simili, da cui segue che CF sta a CM come FP sta a PQ; e quindi che FP, moltiplicata per CM e divisa per CF, è uguale a PQ. Allo stesso modo, i triangoli rettangoli PNG e CMG sono simili; da cui segue che GP, moltiplicata per CM e divisa per CG, è uguale a PN. Poiché le moltiplicazioni o divisioni effettuate su due quantità per una stessa non cambiano la proporzione tra esse, se FP moltiplicata per CM e divisa per CF sta a GP moltiplicata anch’essa per CM e divisa per CG come d sta a e, dividendo entrambe queste somme per CM, poi moltiplicandole entrambe per CF e nuovamente per CG, resta che FP moltiplicata per CG deve stare a GP moltiplicata per CF come d sta a e.
Ora, per costruzione, FP è:
,
oppure:
FP =
e CG è:
;
quindi, moltiplicando FP per CG, si ottiene:
Poi GP è:
oppure:
GP =
e CF è c + z.
Quindi, moltiplicando GP per CF, si ottiene:
E poiché la prima di queste somme divisa per d è la stessa che la seconda divisa per e, risulta evidente che FP moltiplicata per CG sta a GP moltiplicata per CF; cioè che PQ sta a PN come d sta a e, che è tutto ciò che si doveva dimostrare.
Sappiate che questa stessa dimostrazione vale per tutto quanto detto sulle altre rifrazioni o riflessioni che avvengono nelle ovali proposte senza dover cambiare nulla, se non i segni + e - del calcolo; pertanto ognuno può facilmente verificarlo da sé, senza che io debba soffermarmici ulteriormente.
Mais il faut maintenant que je satisfasse à ce que j’ai omis en la Dioptrique, lorsqu’après avoir remarqué qu’il peut y avoir des verres de plusieurs diverses figures qui fassent aussi bien l’un que l’autre que les rayons venant d’un même point de l’objet s’assemblent tous en un autre point après le savoir traversés ; et qu’entre ces verres, ceux qui sont fort convexes d’un côté et concaves de l’autre ont plus de force pour brûler que ceux qui sont également convexes des deux côtés ; au lieu que tout au contraire ces derniers sont les meilleurs pour les lunettes. Je me suis contenté d’expliquer ceux que j’ai cru être les meilleurs pour la pratique, en supposant la difficulté que les artisans peuvent avoir à les tailler. C’est pourquoi, afin qu’il ne reste rien à souhaiter touchant la théorie de cette science, je dois expliquer encore ici la figure des verres qui, ayant l’une de leurs superficies autant convexe ou concave qu’on voudra, ne laissent pas de faire que tous les rayons qui viennent vers eux d’un même point, ou parallèles, s’assemblent après en un même point ; et celles des verres qui font le semblable, étant également convexes des deux côtés, ou bien la convexité de l’une de leurs superficies ayant la proportion donnée à celle de l’autre.
Comment on peut faire un verre autant convexe ou concave en l’une de ses superficies qu’on voudra, qui rassemble à un point donné tous les rayons qui viennent d’un autre point donné.
Posons pour le premier cas, que les points G, Y, C et F étant donnés, les rayons qui viennent du point G ou bien qui sont parallèles à GA se doivent assembler au point F, après avoir traversé un verre si concave, que Y étant le milieu de sa superficie intérieure, l’extrémité en soit au point C, en sorte que la corde CMC et la flèche YM de l’arc CYC sont données. La question va là, que premièrement il faut considérer de laquelle des ovales expliquées, la superficie du verre YG doit avoir la figure, pour faire que tous les rayons qui étant dedans tendent vers un même point, comme vers H, qui n’est pas encore connu, s’aillent rendre vers un autre, à savoir vers F, après en être sortis. Car il n’y a aucun effet touchant le rapport des rayons, changé par réflexion ou réfraction d’un point à un autre, qui ne puisse être causé par quelqu’une de ces ovales ; et on voit aisément que celui-ci le peut être par la partie de la troisième ovale qui a tantôt été marquée 3A3, ou par celle de la même qui a été marquée 3Y3, ou enfin par la partie de la seconde qui a été marquée 2X2. Et pour ce que ces trois tombent ici sous même calcul, on doit, tant pour l’une que pour l’autre, prendre Y pour leur sommet, C pour l’un des points de leur circonférence, et F pour l’un de leurs points brûlants ; après quoi il ne reste plus à chercher que le point H qui doit être l’autre point brûlant. Et on le trouve en considérant que la différence qui est entre les lignes FY et FC doit être à celle qui est entre les lignes HY et HC comme d est à e, c’est-à-dire comme la plus grande des lignes qui mesurent les réfractions du verre proposé est à la moindre, ainsi qu’on peut voir manifestement de la description de ces ovales. Et pour ce que les lignes FY et FC sont données, leur différence l’est aussi, et ensuite celle qui est entre HY et HC, pour ce que la proportion qui est entre ces deux différences est donnée. Et de plus, à cause que YM est donnée, la différence qui est entre MH et HG l’est aussi ; et enfin pour ce que CM est donnée, il ne reste plus qu’à trouver MH le côté du triangle rectangle CMH dont on a l’autre côté CM, et on a aussi la différence qui est entre CH la base et MH le côté demandé ; d’où il est aisé de le trouver : car si on prend k pour l’excès de GH sur MH, et n pour la longueur de la ligne CM, on aura
pour MH.
Et après avoir ainsi le point H, s’il se trouve plus loin du point Y que n’en est le point F, la ligne CY doit être la première partie de l’ovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3A3. Mais si HY est moindre que FY : ou bien elle surpasse HF de tant, que leur différence est plus grande à raison de la toute FY, que n’est e la moindre des lignes qui mesurent les réfractions comparée avec d la plus grande, c’est-à-dire que faisant HF = c, et HY = c + h, dh est plus grande que 2ce + en, et lors GY doit être la seconde partie de la même ovale du troisième genre, quia tantôt été nommée 3Y3 : ou bien dh est égale ou moindre que 2ce + en, et lors CY doit être la seconde partie de l’ovale du second genre, qui a ci-dessus été nommée 2X2 : et enfin si le point H est le même que le point F, ce qui n’arrive que lorsque FY et FC sont égales, cette ligne YC est un cercle.
Après cela il faut chercher CAC l’autre superficie de ce verre, qui doit être une ellipse dont H soit le point brûlant, si on suppose que les rayons qui tombent dessus soient parallèles ; et lors il est aisé de la trouver. Mais si on suppose qu’ils viennent du point G, ce doit être la première partie d’une ovale du premier genre dont les deux points brûlants soient G et H, et qui passe par le point G ; d’où on trouve le point A pour le sommet de cette ovale, en considérant que GC doit être plus grande que GA d’une quantité qui soit à celle dont HA surpasse HC, comme d à e ; car ayant pris k pour la différence qui est entre GH et HM, si on suppose x pour AM, on aura x - k pour la différence qui est entre AH et CH ; puis si on prend g pour celle qui est entre GC et GM qui sont données, on aura g + x pour celle qui est entre GG, et GA ; et pour cette dernière g + x est à l’autre x - k comme d est à e, on a ge + ex = dx - dk, ou bien :
pour la ligne x, ou AM, par laquelle on détermine le point A qui était cherché.
Comment on en peut faire un qui fasse le même, et que la convexité de l’une de ses superficies ait la proportion donnée avec la convexité ou, concavité de l’autre.
Posons maintenant pour l’autre cas, qu’on ne donne que les points G, C et F, avec la proportion qui est entre les lignes AM et YM, et qu’il faille trouver la figure du verre ACY qui fasse que tous les rayons qui viennent du point G s’assemblent au point F.
But now I must address what I omitted in the treatise on Dioptrics—namely, after observing that there can be lenses of various shapes that produce the same effect, and that rays originating from the same point on an object converge at a single point after passing through these lenses; and further, that among such lenses, those which are highly convex on one side and concave on the other have a greater power to focus light than those that are uniformly convex on both sides. On the contrary, the latter type of lens is actually the best choice for use in eyeglasses. I had merely explained those lenses that I believed to be most practical, assuming the difficulties that craftsmen might face in manufacturing them. Therefore, in order to ensure that nothing remains to be desired regarding the theoretical aspects of this science, I must now explain the properties of those lens shapes that, regardless of whether one or both surfaces are convex or concave, always cause rays originating from the same point or being parallel to each other to converge at a single point after passing through them; as well as those lens shapes that achieve the same effect while being uniformly convex on both sides, or where the degree of convexity on one surface is proportionate to that on the other.
How is it possible to create a glass whose surface can be as convex or concave as desired, such that all the rays coming from one given point are converged at another given point?
Consider, in the first case, that given the points G, Y, C, and F, the rays originating from point G or those parallel to GA must converge at point F after passing through a concave glass surface such that, if Y is the midpoint of its inner surface, the other end of the ray lies at point C, ensuring that the chord CMC and the ray YM form an arc CYC. The question arises: among the various oval shapes described, which one must the surface of the glass YG have in order for all rays passing through it to converge toward a common point—let’s call this point H, which is not yet known—to then diverge toward another point, F, after exiting the glass? It is clear that any effect on the relationship between rays, altered by reflection or refraction as they pass through the glass, must be attributable to one of these oval shapes. Specifically, it can be caused by the portion of the third oval marked 3A3, or by the portion marked 3Y3, or even by the portion of the second oval marked 2X2. Since all three are relevant in this calculation, we must take Y as the vertex of each oval, C as one of their circumferential points, and F as one of their “burning” points (points where rays converge). Once these are established, the remaining task is to find point H, the other “burning” point. This can be done by recognizing that the difference between lines FY and FC must bear the same ratio to the difference between lines HY and HC as d does to e—that is, the ratio of the longest rays measuring the glass’s refractive index to the shortest such rays, as clearly indicated by the description of these oval shapes. Since lines FY and FC are given, their difference is also known, as is the difference between lines HY and HC, given that the ratio between these two differences is also known. Furthermore, since ray YM is given, the difference between MH and HG is also determined. Finally, since CM is given, it remains to find MH—the side of the right triangle CMH for which we already know CM and CH. This is straightforward: if we let k represent the excess of GH over MH and n represent the length of line CM, then.
for MH.
And after obtaining point H in this manner, if it lies further away from point Y than point F does, then the line CY must be the first portion of the oval of the third kind, which was previously referred to as 3A3. But if HY is less than FY: either it exceeds HF by such a amount that their difference, when divided by the total length of FY, is greater than the difference between any two lines representing refractions, or else dh is equal to or less than 2ce + en; in either case, CY must be the second portion of the oval of the second kind, which was previously named 2X2. Finally, if point H coincides with point F—which only happens when FY and FC are equal—then the line YC forms a circle.
After that, one must seek the other surface of this glass, which must be an ellipse with point H as its focal point, assuming that the rays falling upon it are parallel; and in such cases, it is easy to locate. But if one assumes that these rays originate from point G, then this surface must be the first part of an oval of the first kind, whose two foci are G and H and which passes through point G; from this, one can determine point A as the vertex of this oval, given that GC must be greater than GA by a quantity equal to that by which HA exceeds HC, just as d exceeds e. For if k is taken to represent the difference between GH and HM, and x represents AM, then x - k will be the difference between AH and CH. Furthermore, if g represents the difference between GC and GM (which are given), then g + x will be the difference between GG and GA. And for this latter case, since g + x is to x - k as d is to e, it follows that ge + ex = dx - dk.
for the line x, or AM, which is used to determine the point A that was being sought.
How can one construct such an object that performs the same function, ensuring that the convexity of one of its surfaces maintains a specific ratio to the convexity or concavity of the other surface?
Now, let’s consider the other case: where only points G, C, and F are given, along with the ratio that exists between lines AM and YM, and where we need to find the shape of the glass ACY such that all rays originating from point G converge at point F.
Ma ora devo rimediare a ciò che ho omesso nella “Diottrica”: dopo aver notato che esistono lenti di diverse forme capaci di far sì che i raggi provenienti da un punto dello stesso oggetto si riuniscano in un altro punto dopo essere stati attraversati da tali lenti; e che, tra queste lenti, quelle fortemente convesse da un lato e concave dall’altro hanno un effetto più potente di quelle completamente convesse su entrambi i lati – mentre queste ultime, al contrario, sono le migliori per l’uso nelle lenti di ingrandimento. Mi sono limitato a spiegare quelle che ritenevo fossero le più adatte alla pratica, ipotizzando le difficoltà che gli artigiani potrebbero incontrare nella loro realizzazione. Pertanto, affinché non rimanga nulla da desiderare riguardo alla teoria di questa scienza, devo ancora spiegare qui la forma delle lenti che, avendo una superficie tanto convessa quanto concava a piacimento, fanno sì che tutti i raggi provenienti da un punto dello stesso oggetto, o che siano paralleli, si riuniscano in un altro punto dopo essere stati attraversati da tali lenti; nonché quelle la cui forma è analoga, ma che sono completamente convesse su entrambi i lati, oppure la cui convessità su una superficie è proporzionata a quella sull’altra.
Come è possibile realizzare un bicchiere la cui superficie sia tanto convessa quanto concava a seconda delle preferenze, in modo che raccolga in un punto dato tutti i raggi provenienti da un altro punto dato?
Consideriamo per primo il caso in cui i punti G, Y, C e F siano dati. I raggi che partono dal punto G o che sono paralleli a GA devono incontrarsi nel punto F dopo aver attraversato un vetro concavo il cui centro è Y e la cui superficie interna ha come estremità il punto C; in questo modo, la corda CMC e la freccia YM dell’arco CYC sono date. La questione consiste nel capire quale delle ovali descritte possa far sì che tutti i raggi che attraversano quel vetro tendano verso un punto comune, H (che al momento non è noto), per poi dirigersi verso un altro punto, F, dopo essere usciti dal vetro. Non esiste alcun effetto relativo alla relazione tra i raggi, modificata dalla riflessione o dalla rifrazione da un punto all’altro, che non possa essere spiegato da una di queste ovali; in particolare, tale effetto può essere causato dalla parte della terza ovale contrassegnata con 3A3, oppure da quella contrassegnata con 3Y3, o ancora da quella della seconda ovale contrassegnata con 2X2. Poiché queste tre ovali possono essere considerate allo stesso modo nel calcolo, per ciascuna di esse si deve prendere Y come vertice, C come un punto della loro circonferenza e F come uno dei loro punti “ardenti”; una volta fatto ciò, non resta che trovare il punto H, l’altro punto “ardente”. Questo punto può essere determinato considerando che la differenza tra le linee FY e FC deve essere alla stessa proporzione della differenza tra le linee HY e HC, cioè alla stessa proporzione tra la linea più lunga che misura le rifrazioni del vetro in esame e la linea più corta; questa relazione è chiaramente indicata nella descrizione delle ovali. Poiché le linee FY e FC sono date, lo è anche la loro differenza, così come quella tra le linee HY e HC, dato che la proporzione tra queste due differenze è nota. Inoltre, poiché YM è data, lo è anche la differenza tra MH e HG; infine, poiché CM è data, non resta che trovare MH, il lato del triangolo rettangolo CMH di cui si conosce già il lato CM e la base CH. Questo lato può essere facilmente calcolato: se si considera k come l’eccesso di GH su MH e n come la lunghezza della linea CM, allora.
Per MH.
E dopo aver ottenuto il punto H in questo modo, se esso si trova più lontano dal punto Y di quanto lo sia il punto F, la linea CY deve essere la prima parte dell’ovale del terzo genere, che è stato talvolta chiamato 3A3. Ma se HY è minore di FY: o bien essa supera HF di una quantità tale che la loro differenza è maggiore rispetto a FY nel suo complesso, di quanto non lo sia la differenza tra le linee che misurano le rifrazioni, rispetto alla più grande di queste; in altre parole, dato che HF = c e HY = c + h, allora dh è maggiore di 2ce + en, e in tal caso GY deve essere la seconda parte dello stesso ovale del terzo genere, che è stato chiamato 3Y3; oppure dh è uguale o minore di 2ce + en, e in tal caso CY deve essere la seconda parte dell’ovale del secondo genere, che è stato precedentemente chiamato 2X2. Infine, se il punto H coincide con il punto F, il che accade soltanto quando FY e FC sono uguali, allora questa linea YC costituisce un cerchio.
Dopo ciò, bisogna cercare l’altra superficie di questo vetro, che deve essere un’ellisse la cui focale sia il punto H, purché si supponga che i raggi che vi cadono siano paralleli; in tal caso è facile trovarla. Ma se si suppone che questi raggi provengano dal punto G, allora quella superficie sarà la prima parte di un’ovale del primo genere la cui doppia focale sia G e H e che passi per il punto G stesso; da ciò si può determinare il punto A come vertice di tale ovale, considerando che la distanza GC deve essere maggiore di GA di una quantità pari a quella per cui HA è maggiore di HC, esattamente come d lo è rispetto a e. Poiché k rappresenta la differenza tra GH e HM, e x indica la distanza AM, allora x – k corrisponde alla differenza tra AH e CH; inoltre, poiché g rappresenta la differenza tra GC e GM, si ha che g + x è uguale alla differenza tra GG e GA. E per questa ultima relazione, vale che g + x sia al rapporto di x – k rispetto a d rispetto a e; quindi si ottiene l’equazione ge + ex = dx – dk.
Per la linea x, o AM, attraverso la quale si determina il punto A che era stato cercato.
Come si può realizzare uno che faccia lo stesso, in modo che la convessità di una delle sue superfici abbia esattamente la stessa proporzione rispetto alla convessità o alla concavità dell’altra?
Ora consideriamo il caso opposto: supponiamo di disporre soltanto dei punti G, C e F, nonché della proporzione esistente tra le linee AM e YM, e che si debba trovare la figura del vetro ACY in modo che tutti i raggi provenienti dal punto G convergano nel punto F.
On peut derechef ici se servir de deux ovales dont l’une AG ait G et H pour ses points brûlants, et l’autre CY ait F et H pour les siens. Et pour les trouver, premièrement, supposant le point H, qui est commun à toutes deux, être connu, je cherche AM par les trois points G, C, H, en la façon tout maintenant expliquée, à savoir, prenant k pour la différence qui est entre CH et HM, et g pour celle qui est entre GC et GM, et AG étant la première partie de l’ovale du premier genre, j’ai pour AM ; puis je cherche aussi MY par les trois points F, C, H, en sorte que CY soit la première partie d’une ovale du troisième genre ; et prenant y pour MY, et f pour la différence qui est entre CF et FM, j’ai f + y pour celle qui est entre CF et FY ; puis ayant déjà k pour celle qui est entre CH et HM, j’ai k + y pour celle qui est entre CH et HY, que je sais devoir être à f + y comme e est à d, à cause de l’ovale du troisième genre, d’où je trouve que y ou MY est ; puis joignant ensemble les deux quantités trouvées pour AM et MY, je trouve pour la toute AY : d’où il suit que, de quelque côté que soit supposé le point H, cette ligne AY est toujours composée d’une quantité qui est à celle dont les deux ensemble GC et CF surpassent la toute GF, comme e, la moindre des deux lignes qui servent à mesurer les réfractions du verre proposé, est à d - e la différence qui est entre ces deux lignes, ce qui est un assez beau théorème. Or, ayant ainsi la toute AY, il la faut couper selon la proportion que doivent avoir ses parties AM et MY ; au moyen de quoi, pour ce qu’on a déjà le point M, on trouve aussi les points A et Y, et ensuite le point H par le problème précédent. Mais auparavant il faut regarder si la ligne AM ainsi trouvée est plus grande que , ou plus petite, ou égale. Car si elle est plus grande, on apprend de là que la courbe AC doit être la première partie d’une ovale du premier genre, et CY la première d’une du troisième, ainsi qu’elles ont été ici supposées ; au lieu que si elle est plus petite, cela montre que c’est GY qui doit être la première partie d’une ovale du premier genre, et que AC doit être la première d’une du troisième ; enfin si AM est égale à , les deux courbes AC et CY doivent être deux hyperboles.
On pourrait étendre ces deux problèmes à une infinité d’autres cas que je ne m’arrête pas à déduire, à cause qu’ils n’ont eu aucun usage en la dioptrique.
On pourrait aussi passer outre et dire (lorsque l’une des superficies du verre est donnée, pourvu qu’elle ne soit que toute plate, ou composée de sections coniques ou de cercles) comment on doit faire son autre superficie, afin qu’il transmette tous les rayons d’un point donné à un autre point aussi donné ; car ce n’est rien de plus difficile que ce que je viens d’expliquer, ou plutôt c’est chose beaucoup plus facile à cause que le chemin en est ouvert.
Mais j’aime mieux que d’autres le cherchent, afin que s’ils ont encore un peu de peine à le trouver, cela leur fasse d’autant plus estimer l’invention des choses qui sont ici démontrées.
Comment on peut rapporter tout ce qui a été dit des lignes courbes décrites sur une superficie plate, à celles qui se décrivent dans un espace qui a trois dimensions ou bien sur une superficie courbe.
Au reste je n’ai parlé en tout ceci que des lignes courbes qu’on peut décrire sur une superficie plate ; mais il est aisé de rapporter ce que j’en ai dit à toutes celles qu’on saurait imaginer être formées par le mouvement régulier des points de quelque corps dans un espace quia trois dimensions : à savoir, en tirant deux perpendiculaires de chacun des points de la ligne courbe qu’on veut considérer, sur deux plans qui s’entre-coupent à angles droits, l’une sur l’un et l’autre sur l’autre ; car les extrémités de ces perpendiculaires décrivent deux autres lignes courbes, une sur chacun de ces plans, desquelles on peut en la façon ci-dessus expliquée déterminer tous les points et les rapporter à ceux de la ligne droite qui est commune à ces deux plans, au moyen de quoi ceux de la courbe qui a trois dimensions sont entièrement déterminés. Même si on veut tirer une ligne droite qui coupe cette courbe au point donné à angles droits, il faut seulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun, qui coupent à angles droits les deux lignes courbes qui y sont aux deux points où tombent les perpendiculaires qui viennent de ce point donné ; car ayant élevé deux autres plans, un sur chacune de ces lignes droites, qui coupe à angles droits le plan où elle est, on aura l’intersection de ces deux plans pour la ligne droite cherchée. Et ainsi je pense n’avoir rien omis des éléments qui sont nécessaires pour la connaissance des lignes courbes.
Livre troisième
DE LA CONSTRUCTION DES PROBLÈMES QUI SONT SOLIDES OU PLUS QUE SOLIDES.
De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème.
Encore que toutes les lignes courbes qui peuvent être décrites par quelque mouvement régulier doivent être reçues en la géométrie, ce n’est pas à dire qu’il soit permis de se servir indifféremment de la première qui se rencontre pour la construction de chaque problème, mais il faut avoir soin de choisir toujours la plus simple par laquelle il soit possible de le résoudre. Et même il est à remarquer que par les plus simples on ne doit pas seulement entendre celles qui peuvent le plus aisément être décrites, ni celles qui rendent la construction ou la démonstration du problème proposée plus facile, mais principalement celles qui sont du plus simple genre qui puisse servir à déterminer la quantité qui est cherchée.
Exemple touchant l’invention de plusieurs moyennes proportionnelles.
Comme, par exemple, je ne crois pas qu’il y ait aucune façon plus facile pour trouver autant de moyennes proportionnelles qu’on veut, ni dont la démonstration soit plus évidente, que d’y employer les lignes courbes qui se décrivent par l’instrument XYZ ci-dessus expliqué. Car, voulant trouver deux moyennes proportionnelles entre YA et YE, il ne faut que décrire un cercle dont le diamètre soit YE, et pour ce que ce cercle coupe la courbe AD au point D, YD est l’une des moyennes proportionnelles cherchées, dont la démonstration se voit à l’œil par la seule application de cet instrument sur la ligne YD ; car, comme YA ou YB, qui lui est égale, est à YC, ainsi YC est à YD, et YD à YE.
Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre YA et YG, ou pour en trouver six entre YA et YN, il ne faut que tracer le cercle YFG qui, coupant AF au point F, détermine la ligne droite YF qui est l’une de ces quatre proportionnelles ; ou YHN qui, coupant AH au point H, détermine YH l’une des six ; et ainsi des autres.
Mais pour ce que la ligne courbe AD est du second genre, et qu’on peut trouver deux moyennes proportionnelles par les sections coniques qui sont du premier ; et aussi pour ce qu’on peut trouver quatre ou six moyennes proportionnelles par des lignes qui ne sont pas de genres si composés que sont AF et AH, ce serait une faute en géométrie que de les y employer. Et c’est une faute aussi, d’autre côté, de se travailler inutilement à vouloir construire quelque problème par un genre de lignes plus simple que sa nature ne permet.
De la nature des équations.
Or, afin que je puisse ici donner quelques règles pour éviter l’une et l’autre de ces deux fautes, il faut que je dise quelque chose en général de la nature des équations, c’est-à-dire des sommes composées de plusieurs termes partie connus et partie inconnus dont les uns sont égaux aux autres, ou plutôt qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien : car ce sera souvent le meilleur de les considérer en cette sorte.
Combien il peut y avoir de racines en chaque équation.
One can readily use two ovals here: one of the first kind, with points G and H as its “hot” points, and another of the third kind, with points F and H as its hot points. To find these points, first assuming that point H, which is common to both ovals, is known, I seek point AM using the three points G, C, and H, in the manner already explained. That is, by taking k as the difference between CH and HM, and g as the difference between GC and GM, since AG is the first part of the oval of the first kind, I obtain AM in this way. Then I also seek point MY using the three points F, C, and H, so that CY becomes the first part of an oval of the third kind. Taking y as MY and f as the difference between CF and FM, I get f + y as the difference between CF and FY. Since I already have k as the difference between CH and HM, I can conclude that k + y is also the difference between CH and HY, which must be equal to f + y, just as e is equal to d, due to the properties of the oval of the third kind. Thus, I find that y or MY is equal to a certain value. By combining the values of AM and MY, I obtain the entire line AY. It follows therefore that, no matter where point H is assumed to be located, this line AY is always composed of a quantity that is related to another quantity such that the sum of GC and CF exceeds GF by the same amount as e exceeds d—the difference between the two lines used to measure the refraction of the given glass. This is indeed a quite remarkable theorem. Now, having obtained the entire line AY, it must be divided in accordance with the proportion that its parts AM and MY ought to have. With this information, and since we already know point M, we can also find points A and Y, and subsequently point H using the previous method. However, before doing so, we need to determine whether the line AM thus obtained is greater than, less than, or equal to a certain value. If it is greater, it follows that curve AC must be the first part of an oval of the first kind, and CY the first part of an oval of the third kind, just as assumed here; if it is less than, then GY must be the first part of an oval of the first kind, and AC of the third kind; finally, if AM is equal to that value, then both curves AC and CY must be hyperbolas.
These two problems could be extended to an infinite number of other cases, which I do not bother to deduce here, since they have been of no use in the field of optics.
One could also go beyond this and consider how, given one of the surfaces of a glass (so long as it is either completely flat or composed of conic sections or circles), one can determine the shape of its other surface in such a way that it allows all rays passing through one given point to be transmitted to another given point; for this is no more difficult than what I have just explained—indeed, it is much easier, since the path for the light is already predetermined.
But I prefer it when others search for it; if they still find some difficulty in locating it, it will only make them appreciate all the more the invention of those things that are demonstrated here.
How can one relate all that has been said about curves described on a flat surface to those described in a three-dimensional space or on a curved surface?
Furthermore, in all that I have said so far, I have only discussed curves that can be described on a flat surface; but it is easy to extend what I have said to all those curves that one might imagine being formed by the regular motion of points belonging to some body within a space with three dimensions. Specifically, if one draws two perpendicular lines from each point of a given curve onto two planes that intersect at right angles—one perpendicular on each plane—then the endpoints of these perpendicular lines will describe two additional curves, one on each plane. Using the methods explained above, it is possible to determine all the points on these new curves and relate them to the points on the straight line that lies in both planes. In this way, the points on the three-dimensional curve can be completely determined. Even if one wishes to draw a straight line that intersects the given curve at a specific point at right angles, it is still sufficient to draw two additional straight lines within the two planes—one in each plane—that intersect the two curves at the points where the perpendicular lines from the original point meet those planes; by raising two more planes, one above each of these new straight lines and perpendicular to the plane they lie in, one can obtain the intersection of these two planes as the desired straight line. Thus, I believe that I have not omitted any element necessary for a thorough understanding of curves.
Book Three
ON THE CONSTRUCTION OF PROBLEMS THAT ARE SOUND OR MORE THAN SOUND.
Which curved lines can be used in the construction of each particular problem?
Although all curved lines that can be described by some regular motion must be accepted within geometry, it does not mean that one may use whichever line comes first in solving a particular problem. Instead, care must always be taken to choose the simplest method possible for solving that problem. Moreover, it should be noted that by “simplest methods,” we do not merely mean those that are easiest to describe, nor those that make the construction or proof of the problem easier; rather, we primarily refer to those that belong to the simplest category of methods that can be used to determine the desired quantity.
An example pertaining to the invention of various proportional means.
For instance, I believe that there is no simpler way to find as many proportional means as one desires, nor a more straightforward method for demonstrating their existence, than by using the curved lines described by the instrument XYZ explained above. To find two proportional means between YA and YE, one merely needs to draw a circle with a diameter of YE; where this circle intersects the curve AD at point D, YD becomes one of the desired proportional means. The proof of this is immediately evident upon applying this instrument to the line YD itself. For, just as YA—or any other value equal to YB—is related to YC in the same way, so too is YC related to YD, and YD to YE.
Nevertheless, in order to find four proportional means between YA and YG, or six between YA and YN, one merely needs to draw the circle YFG. This circle, when intersecting line AF at point F, determines the straight line YF—which is one of those four proportional means; similarly, the intersection of line AH at point H yields line YH, which is one of the six proportional means; and so on for the others.
However, since the curved line AD belongs to the second category, and it is possible to find two proportional means using conic sections that belong to the first category; likewise, since it is also possible to find four or six proportional means using lines that are not of such composite categories as AF and AH, it would be a mistake in geometry to apply these methods in such cases. On the other hand, it would also be futile to attempt to construct a particular problem using a type of line that is simpler than what its nature permits.
On the nature of equations.
Or, in order that I may here provide some rules to avoid both of these errors, it is necessary for me to say something general about the nature of equations—that is, expressions composed of several terms, some of which are known and some unknown, such that some of these terms are equal to others, or rather, when considered together, they are equal to nothing; for often this is the best way to approach them.
How many roots can there be in each equation?
Si possono facilmente utilizzare due ovali: in uno di questi, i punti “brucianti” sono G e H; nell’altro, sono F e H. Per individuarli, innanzitutto, supponendo che il punto H, comune a entrambi, sia noto, si cerca AM utilizzando i tre punti G, C, H, secondo il metodo qui spiegato: prendendo k come la differenza tra CH e HM, e g come quella tra GC e GM, e poiché AG è la prima parte dell’ovale del primo tipo, si ottiene AM; successivamente si cerca anche MY utilizzando i tre punti F, C, H, in modo che CY sia la prima parte di un ovale del terzo tipo; prendendo y per MY e f come la differenza tra CF e FM, si ottiene f + y come la differenza tra CF e FY; avendo già k come la differenza tra CH e HM, si ottiene k + y come la differenza tra CH e HY, che è uguale a f + y, poiché le relazioni tra i punti sono determinate dalle proprietà degli ovali; da ciò si deduce che y o MY è il valore cercato. Unendo poi i valori di AM e MY, si ottiene l’intera linea AY; ne consegue che, indipendentemente dal punto H preso in considerazione, questa linea AY è sempre composta da una quantità che è proporzionale a quella rappresentata dalle linee GC e CF, rispetto alla linea GF; questo costituisce un teorema piuttosto interessante. Ora, avendo ottenuto l’intera linea AY, bisogna tagliarla secondo la proporzione che devono avere le sue parti AM e MY; in questo modo, partendo dal punto M già noto, si possono trovare anche i punti A e Y, e successivamente il punto H utilizzando il metodo descritto in precedenza. Tuttavia, prima di procedere, è necessario verificare se la linea AM così ottenuta sia maggiore, minore o uguale a una certa quantità; se è maggiore, si deduce che la curva AC deve essere la prima parte di un ovale del primo tipo, e CY quella del terzo tipo, come ipotizzato inizialmente; se invece è minore, ciò indica che GY deve essere la prima parte dell’ovale del primo tipo, e AC quella del terzo tipo; infine, se AM è uguale a quella quantità, le due curve AC e CY devono essere due iperboli.
Si potrebbero estendere questi due problemi a un’infinità di altri casi, che però non mi prendo il tempo di analizzare, poiché non hanno avuto alcuna applicazione nella diottrica.
Si potrebbe anche ignorare questo aspetto e chiedersi (quando una delle superfici del vetro è data, purché sia piatta o composta da sezioni coniche o cerchi) come si debba realizzare l’altra superficie in modo che il vetro trasmetta tutti i raggi di un punto dato a un altro punto altrettanto dato; infatti non c’è nulla di più difficile di ciò che ho appena spiegato, anzi è molto più semplice, poiché la soluzione è già evidente.
Ma preferisco che altri lo cercino, affinché, se incontrano ancora qualche difficoltà nel trovarlo, possano apprezzare ancora di più l’invenzione di quelle cose che qui vengono dimostrate.
Come si può correlare tutto ciò che è stato detto riguardo alle linee curve descritte su una superficie piana con quelle che si descrivono in uno spazio a tre dimensioni o su una superficie curva?
Del resto, in tutto ciò che ho detto ho parlato soltanto di linee curve che si possono descrivere su una superficie piana; ma è facile estendere quanto ho affermato a tutte quelle linee curve che si potrebbero immaginare essere formate dal movimento regolare dei punti di un corpo nello spazio a tre dimensioni. Per farlo, basta tracciare due perpendicolari da ciascun punto della linea curva considerata su due piani che si intersecano ad angolo retto: una su uno di questi piani e l’altra sull’altro. Le estremità di queste perpendicolari descrivono altre due linee curve, ciascuna su uno dei due piani; da queste ultime si possono determinare tutti i punti della linea curva in questione e relazionarli a quelli della linea retta che è comune ai due piani. In questo modo, i punti della linea curva a tre dimensioni vengono completamente determinati. Anche se si volesse tracciare una linea retta che intersechi questa curva in un punto dato ad angolo retto, basterebbe tracciare altre due linee rette nei due piani, una in ciascuno di essi, tali da intersecare ad angolo retto le due linee curve presenti nei punti in cui cadono le perpendicolari provenienti dal punto dato; elevando poi altri due piani, uno su ciascuna di queste linee rette che intersecano il piano in cui si trova la linea curva, si otterrà l’intersezione di questi due nuovi piani, che corrisponderà alla linea retta cercata. E così credo di non aver tralasciato alcun elemento necessario per comprendere appieno le linee curve.
Libro terzo
Della costruzione di problemi che siano solidi, o addirittura più che solidi.
Di quali linee curve si può fare uso nella soluzione di ogni problema?
Sebbene tutte le rette curve che possano essere descritte attraverso un movimento regolare debbano essere prese in considerazione nella geometria, ciò non significa che si possa utilizzare indifferentemente la prima retta curva che si presenta per risolvere ogni problema; è invece necessario scegliere sempre quella più semplice che permetta di risolverlo. Inoltre, con “quelle più semplici” non si intendono soltanto quelle che possono essere descritte più facilmente, né quelle che rendono più agevole la costruzione o la dimostrazione del problema in questione, ma soprattutto quelle che appartengono al genere più semplice possibile per determinare la quantità cercata.
Esempio riguardante l’invenzione di diversi metodi proporzionali.
Ad esempio, non credo che esista un modo più semplice per trovare quante medie proporzionali si desiderino, né uno il cui ragionamento sia più evidente, se non quello di utilizzare le linee curve descritte con l’strumento XYZ sopra spiegato. Infatti, per trovare due medie proporzionali tra YA e YE, basta disegnare un cerchio il cui diametro sia YE; il punto D, in cui questo cerchio interseca la curva AD, rappresenta una delle medie proporzionali cercate, e la dimostrazione di ciò è immediatamente evidente applicando semplicemente questo strumento sulla linea YD. Poiché YA, o YB che è uguale a YA, è in rapporto di proporzione con YC, allo stesso modo YC è in rapporto di proporzione con YD, e YD con YE.
Tuttavia, per trovare quattro medie proporzionali tra YA e YG, o sei tra YA e YN, basta tracciare il cerchio YFG: questo, intersecando la retta AF nel punto F, determina la linea retta YF, che è una di queste quattro medie proporzionali; allo stesso modo, il cerchio YHN, intersecando la retta AH nel punto H, determina la linea retta YH, che è una delle sei medie proporzionali; e così via per le altre.
Ma poiché la linea curva AD appartiene al secondo genere, e si possono trovare due medie proporzionali attraverso le sezioni coniche che appartengono al primo genere; inoltre, poiché si possono trovare quattro o sei medie proporzionali attraverso linee che non sono di generi così composti come AF e AH, sarebbe un errore in geometria utilizzarle in tali contesti. E allo stesso modo, sarebbe uno spreco di sforzi cercare di risolvere qualche problema utilizzando un tipo di linee più semplice di quanto la natura del problema lo permetta.
Della natura delle equazioni.
Ora, affinché io possa fornire alcune regole per evitare queste due tipi di errori, è necessario che spieghi in generale la natura delle equazioni, cioè di quelle somme composte da diversi termini: alcuni noti e altri sconosciuti, tra i quali alcuni sono uguali ad altri, o meglio, considerati nel loro insieme, risultano uguali a zero. Infatti, spesso è più opportuno considerarle in questo modo.
Quante radici possono esserci in ogni equazione.
Sachez donc qu’en chaque équation, autant que la quantité inconnue a combien il de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c’est-à-dire de peut y avoir de racines en valeurs de cette quantité ; car, par exemple, si on suppose x égale à 2, ou chaque bien x - 2 égal à rien ; et derechef x = 3, ou bien x – 3 = 0 ; en équation multipliant ces deux équations :
x - 2 = 0, et x - 3 = 0,
l’une par l’autre, on aura :
x2 - 5x + 6 = 0,
ou bien :
x2 = 5x - 6,
qui est une équation en laquelle la quantité x vaut 2 et tout ensemble vaut 3. Que si derechef on fait :
x – 4 = 0,
et qu’on multiplie cette somme par :
x2 - 5x + 6 = 0,
on aura :
x3 - 9x2 + 26x – 24 = 0,
qui est une autre équation en laquelle x, ayant trois dimensions, a aussi trois valeurs, qui sont 2, 3 et 4.
Quelles sont les fausses racines.
Mais souvent il arrive que quelques-unes de ces racines sont fausses ou moindres que rien ; comme si on suppose que x désigne aussi le défaut d’une quantité qui soit 5, on a
x + 5 = 0,
qui, étant multiplié par :
x3 - 9x2 + 26x – 24 = 0,
fait :
x4 - 4x3 – 19x2 + 106x - 120 = 0
pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir trois vraies qui sont 2, 3, 4, et une fausse qui est 5.
Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d’une équation, lorsqu’on connaît quelqu’une de ses racines.
Et on voit évidemment de ceci que la somme d’une équation qui contient plusieurs racines peut toujours être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue moins la valeur de l’une des vraies racines, laquelle que ce soit, ou plus la valeur de l’une des fausses ; au moyen de quoi on diminue d’autant ses dimensions.
Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d’une racine.
Et réciproquement que si la somme d’une équation ne peut être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue + ou - quelque autre quantité, cela témoigne que cette autre quantité n’est la valeur d’aucune de ses racines. Comme cette dernière :
x4 - 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0
peut bien être divisée, par x - 2, et par x - 3, et par x - 4, et par x + 5 ; mais non point par x + ou - aucune autre quantité. Ce qui montre qu’elle ne peut avoir que les quatre racines 2, 3, 4, et 5.
Combien il peut y avoir de vraies racines dans chaque équation.
On connaît aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines, et combien de fausses en chaque équation. A savoir il y en peut avoir autant de vraies, que les signes + et - s’y trouvent de fois être changés ; et autant de fausses qu’il s’y trouve de fois deux signes + ou deux signes - qui s’entresuivent. Comme en la dernière, à cause qu’après + x4 il y a - 4x3, qui est un changement du signe + en - , et après – 19x2 il y a + 106x, et après + 106x il y a – 120 qui font encore deux autres changements, on connaît qu’il y a trois vraies racines ; et une fausse, à cause que les deux signes - , de 4x3 et 19x2 s’entresuivent.
Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies, et les vraies fausses.
De plus il est aisé de faire en vue même équation, que toutes les racines qui étaient fausses devienne vraies, et par même moyen que toutes celles qui étaient vraies deviennent fausses, à savoir en changeant tous les signes+ ou - qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième ou autres places qui se désignent par les nombres pairs, sans changer ceux de la première, de la troisième, de la cinquième et semblables qui se désignent par les nombres impairs. Comme si au lieu de :
- x4 - 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0
on écrit :
- x4 + 4x3 – 19x2 - 106x – 120 = 0
on a une Équation en laquelle il n’y a qu’une vraie racine, qui est 5, et trois fausses qui sont 2, 3 et 4.
Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d’une équation sans les connaître.
Que si sans connaître la valeur des racines d’une équation, on la veut augmenter, ou diminuer de quelque quantité connue, il ne faut qu’au lieu du terme inconnu en supposer un autre, qui soit plus ou moins grand de cette même quantité, et le substituer partout en la place du premier.
Comme si on veut augmenter de 3 la racine de cette équation : x4 + 4x3 – 19x2 - 106x – 120 = 0 il faut prendre y au lieu d’x, et penser que cette quantité y est plus grande qu’x de 3, en forte que y - 3 est égal à x, et au lieu d’x2, il faut mettre le carré d’y - 3 qui est y2 - 6y + 9 et au lieu d’x3 il faut mettre son cube qui est y3 - 9y2 + 27y - 27, et enfin au lieu d’x4 il faut mettre son carré de carré qui est y4 –12y3 + 54y2 – 108y + 81. Et ainsi décrivant la somme précédente en substituant par tout y au lieu d’x on a :
Ou bien :
y3 – 8y2 - y + 8 = 0
où la vraie racine qui était 5 est maintenant 8, à cause du nombre trois qui lui est ajouté.
Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cette même Équation, il faut faire y + 3 = x et y2 + 6y +9 = x2 et ainsi des autres de façon qu’au lieu de :
x4 + 4x3 – 19x2 - 106x – 120 = 0
on met :
Qu’en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses, ou au contraire.
Et il est à remarquer qu’en augmentant les vraies racines d’une Équation, on diminue les fausses de la même quantité ; ou au contraire en diminuant les vraies, on augmente les fausses. Et que si on diminue soit les unes soit les autres, d’une quantité qui leur soit égale, elles deviennent nulles, et que si c’est d’une quantité qui les surpasse, de vraies elles deviennent fausses, ou de fausses vraies. Comme ici en augmentant de 3 la vraie racine qui était 5, on a diminué de 3 chacune des fausses, en sorte que celle qui était 4 n’est plus que 1, et celle qui était 3 est nulle, et celle qui était 2 est devenue vraie et est 1, a cause que.- 2 + 3 fait + 1. c’est pourquoi en cette Équation y3 – 8y2 - y + 8 = 0 il n’y a plus que 3 racines, entre lesquelles il y en a deux qui sont vraies, 1 et 8, et une fausse qui est aussi 1 ; et en cette autre :
y4 + 16y3 + 71y2 - 4y – 420 = 0
il n’y en a qu’une vraie qui est 2, a cause que + 5 - 3 fait + 2, et trois fausses qui font 5, 6 et 7.
Comment on peut ôter le second terme d’une équation.
Or par cette façon de changer la valeur des racines sans les connaître, on peut faire deux choses, qui auront ci-après quelque usage : la première est qu’on peut toujours ôter le second terme de l’Équation qu’on examine, à savoir en diminuant les vraies racines, de la quantité connue de ce second terme divisée par le nombre des dimensions du premier, si l’un de ces deux termes étant marqué du signe +, l’autre est marqué du signe - ; ou bien en l’augmentant de la même quantité, s’ils ont tous deux le signe +, ou tous deux le signe - . Comme pour ôter le second terme de la dernière équation qui est :
y4 + 16y3 + 71y2 - 4y – 420 = 0
ayant divisé 16 par 4, à cause des 4 dimensions du terme y4, il vient derechef 4, c’est pourquoi je fais z - 4 =y, et j’écris :
où la vraie racine qui était 2, est 6, à cause qu’elle ait augmentée de 4 ; et les fausses qui étaient 5, 6, et 7, ne font plus que 1, 2 et 3 ; à cause qu’elles sont diminuées chacune de 4.
Tout de même si on veut ôter le second terme de :
Therefore, know that in any equation, whenever the unknown quantity has a certain number of dimensions, there can be as many different roots as those dimensions; in other words, there can be as many possible values for that quantity. For example, if we assume x equals 2, then x minus 2 equals nothing; whereas if we assume x equals 3, then x minus 3 equals zero. By multiplying these two equations together.
x - 2 = 0, et x - 3 = 0,
One after another, we will have:
x2 - 5x + 6 = 0,
or else:
x2 = 5x - 6,
which is an equation in which the quantity x equals 2 and the whole sum equals 3. If we then immediately proceed with.
x – 4 = 0,
and when we multiply this amount by.
x2 - 5x + 6 = 0,
We will have:
x3 - 9x2 + 26x – 24 = 0,
which is another equation in which x, having three dimensions, also has three values, namely 2, 3, and 4.
What are the false roots?
But often it happens that some of these roots are false or amount to nothing at all; just as if one were to assume that ‘x’ also denotes the absence of a quantity that is equal to 5.
x + 5 = 0,
which, when multiplied by.
x3 - 9x2 + 26x – 24 = 0,
It happened:
x4 - 4x3 – 19x2 + 106x - 120 = 0
For an equation that has four roots, three of which are real and are 2, 3, 4, and one which is imaginary and is 5.
How can one reduce the number of dimensions in an equation when one knows one of its roots?
It is evident from this that the sum of an equation containing multiple roots can always be divided by a binomial consisting of the unknown quantity minus the value of one of the actual roots, whatever that root may be, or plus the value of one of the false roots; thereby reducing the degree of the equation by the same amount.
How can one determine whether a given quantity represents the value of a root?
And conversely, if the sum of the terms in an equation cannot be divided by a binomial consisting of the unknown quantity plus or minus some other quantity, it indicates that this other quantity is not the value of any of the roots of the equation. For example.
x4 - 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0
It can certainly be divided by x - 2, by x - 3, by x - 4, and by x + 5; but not by any other quantity, whether added or subtracted from x. This demonstrates that it can only have the four roots: 2, 3, 4, and 5.
How many true roots can there be in each equation?
It is also known how many true roots there can be in any given equation, as well as how many false roots there may be. In particular, the number of true roots is equal to the number of times the signs + and - appear in the equation; whereas the number of false roots is equal to the number of occurrences where two consecutive signs + or two consecutive signs – appear in the equation. For example, in the given equation, since + x4 is followed by – 4x3, which represents a change from + to –, and since – 19x2 is followed by + 106x, and then + 106x is followed by – 120, which represents two more changes in sign, it can be determined that there are three true roots and one false root in this equation, due to the two consecutive occurrences of the negative sign.
How is it that false roots become true, and true roots become false?
Furthermore, it is easy to transform the same equation in such a way that all the roots which were originally false become true, and vice versa—that is, by changing all the signs (+ or -) that are located in the second, fourth, sixth, or other positions (which are indicated by even numbers), without altering those in the first, third, fifth, and similar positions (which are indicated by odd numbers). It’s as if, instead of.
- x4 - 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0
It is written that:
- x4 + 4x3 – 19x2 - 106x – 120 = 0
We have an equation in which there is only one real root, which is 5, and three false roots, which are 2, 3, and 4.
How can one increase or decrease the roots of an equation without knowing them?
Even if one does not know the value of the roots of an equation and wishes to increase or decrease it by a known quantity, all that is required is to replace the unknown term with another term that is either greater or smaller by that same quantity, and then substitute this new term in every place where the original unknown term appeared.
As if one were to want to increase the root of this equation, x4 + 4x3 – 19x2 – 106x – 120 = 0, by 3; then one must substitute y for x and consider that the quantity y is 3 greater than x. In other words, y – 3 is equal to x. Instead of x2, one should use (y – 3)2, which is equal to y2 – 6y + 9. Similarly, instead of x3, one should use (y – 3)3, which is equal to y3 – 9y2 + 27y – 27. Finally, instead of x4, one should use (y – 3)4, which is equal to y4 – 12y3 + 54y2 – 108y + 81. By substituting y for x in this manner, the original equation can be rewritten as follows:
Or else:
y3 – 8y2 - y + 8 = 0
where the true root, which was 5, is now 8, because the number three has been added to it.
On the contrary, if one wishes to reduce the root of this same Equation by three, one must set y + 3 = x and y² + 6y + 9 = x², and so on, in such a way that instead of.
x4 + 4x3 – 19x2 - 106x – 120 = 0
One meets.
By increasing the true roots in this manner, one decreases the false ones, or vice versa.
It is worth noting that when one increases the true roots of an Equation, the false roots decrease by the same amount; conversely, when one decreases the true roots, the false roots increase by the same amount. Moreover, if either the true roots or the false roots are decreased by an amount equal to them, they all become zero. If the decrease is greater than this amount, true roots will become false, and false roots will become true. For example, in this Equation: y³ – 8y² – y + 8 = 0, increasing the true root from 5 by 3 results in each of the false roots being decreased by 3; thus, the false root that was originally 4 becomes 1, the one that was originally 3 becomes zero, and the one that was originally 2 becomes a true root, equal to 1, because –2 + 3 equals +1. This is why in this Equation there are only three roots: two of them are true, namely 1 and 8, and the third is false, also equal to 1. In another Equation as well.
y4 + 16y3 + 71y2 - 4y – 420 = 0
There is only one true one that equals 2, because +5 - 3 indeed equals +2; and there are three false ones that equal 5, 6, and 7 respectively.
How can one remove the second term from an equation?
Or, by this method of altering the values of the roots without actually knowing them, two things can be done, which may prove useful later on: The first is that one can always eliminate the second term from the equation under consideration—by reducing the true roots by a quantity equal to the known value of that second term divided by the number of dimensions of the first root. This can be done either by subtracting this quantity if one of the terms is positive and the other negative, or by adding it if both terms are positive or both negative. Just as in the case of eliminating the second term from the last equation, which is:
y4 + 16y3 + 71y2 - 4y – 420 = 0
After dividing 16 by 4, due to the four dimensions of the term y4, the result is 4. That’s why I write z - 4 = y.
Where the true roots, which were 2, have become 6 because they increased by 4; and the false roots, which were 5, 6, and 7, are now merely 1, 2, and 3 because each of them decreased by 4.
Even if one were to want to remove the second term from.
Sappiate dunque che in ogni equazione, tanto quanti sono i gradi di libertà della quantità sconosciuta, tante possono essere le diverse radici, cioè tante possibili valori che quella quantità può assumere; infatti, ad esempio, se si assume che x sia uguale a 2, allora x – 2 è uguale a zero; oppure se si assume che x sia uguale a 3, allora x – 3 è anch’esso uguale a zero. Moltiplicando queste due equazioni.
x - 2 = 0, et x - 3 = 0,
Una dopo l’altra, avremo:
x2 - 5x + 6 = 0,
oppure:
x2 = 5x - 6,
Questa è un’equazione in cui la quantità x vale 2 e l’insieme nel suo complesso vale 3. Se ora si procede.
x – 4 = 0,
e si moltiplica questa somma per.
x2 - 5x + 6 = 0,
Si avrà.
x3 - 9x2 + 26x – 24 = 0,
Questa è un’altra equazione in cui x, avendo tre dimensioni, ha anch’essa tre valori, ovvero 2, 3 e 4.
Quali sono le radici false?
Ma spesso accade che alcune di queste radici siano false o nulle; come se si supponesse che “x” indichi anche la mancanza di una quantità pari a 5, allora si ha.
x + 5 = 0,
Qui, essendo moltiplicato per.
x3 - 9x2 + 26x – 24 = 0,
Fatto:
x4 - 4x3 – 19x2 + 106x - 120 = 0
Per un’equazione che presenta quattro radici: tre vere, ovvero 2, 3, 4, e una falsa, ovvero 5.
Come si può ridurre il numero di dimensioni di un’equazione, quando se ne conosce una delle radici?
E da ciò si evince chiaramente che la somma di un’equazione contenente più radici può sempre essere divisa per un binomio composto dalla quantità sconosciuta meno il valore di una delle vere radici, qualunque essa sia, o più il valore di una delle false radici; in questo modo si riducono di conseguenza le dimensioni del binomio utilizzato nella divisione.
Come si può verificare se una data quantità corrisponde al valore di una radice?
E viceversa: se la somma di un’equazione non può essere divisa per un binomio composto dalla quantità sconosciuta più o meno un’altra quantità, ciò dimostra che tale altra quantità non è il valore di nessuna delle radici dell’equazione. Come in questo caso.
x4 - 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0
Può essere divisa sia per x – 2 che per x – 3, sia per x – 4 che per x + 5; ma non può essere divisa né per x + alcuna quantità né per x – alcuna quantità. Ciò dimostra che può avere soltanto queste quattro radici: 2, 3, 4 e 5.
Quante vere radici possono esistere in ogni equazione.
Si sa anche quanto possano esserci radici vere in ogni equazione, e quante invece siano false. Esattamente: il numero di radici vere è pari al numero di volte in cui i segni + e - si alternano nell’equazione; il numero di radici false, invece, è pari al numero di coppie di segni + o – che si trovano una dopo l’altra. Nel caso dell’ultima equazione, ad esempio, dopo “+ x4” segue “- 4x3”, il che rappresenta un cambio di segno da + a -, e dopo “– 19x2” segue “+ 106x”; successivamente, dopo “+ 106x” arriva “– 120”, il che indica altri due cambi di segno. Da ciò si evince che in questa equazione ci sono tre radici vere e una falsa, poiché i due segni “-” presenti in “4x3” e “19x2” si trovano uno dopo l’altro.
Come mai le false radici diventano vere, e quelle vere diventano false?
Inoltre, è facile modificare lo stesso equazione in modo che tutte le radici che erano false diventino vere, e allo stesso modo che tutte quelle che erano vere diventino false; ciò avviene sostituendo tutti i segni “+” o “-” presenti nella seconda, quarta, sesta posizione, o in altre posizioni indicate dai numeri pari, senza modificare invece quelli presenti nella prima, terza, quinta posizione, o in altre posizioni indicate dai numeri dispari. Come se, al posto di.
- x4 - 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0
Si scrive:
- x4 + 4x3 – 19x2 - 106x – 120 = 0
Abbiamo un’equazione nella quale esiste una sola radice vera, che è 5, e tre radici false, che sono 2, 3 e 4.
Come è possibile aumentare o diminuire le radici di un’equazione senza conoscerle?
Che si voglia aumentare o diminuire il termine sconosciuto di un’equazione di una certa quantità nota, basta sostituire tale termine con un altro che sia maggiore o minore della stessa quantità, e inserirlo in ogni punto del calcolo al posto del termine originale.
Come se si volesse aumentare di 3 la radice di questa equazione: x4 + 4x3 – 19x2 – 106x – 120 = 0, bisogna sostituire x con y e considerare che questa quantità y è maggiore di x di 3; quindi y – 3 è uguale a x. Invece di x2, si deve utilizzare il quadrato di y – 3, cioè y2 – 6y + 9; invece di x3, il suo cubo, ovvero y3 – 9y2 + 27y – 27; infine, invece di x4, il suo quadrato al quadrato, cioè y4 – 12y3 + 54y2 – 108y + 81. Sostituendo y al posto di x in questa espressione, si ottiene.
Oppure:
y3 – 8y2 - y + 8 = 0
Dove la vera radice, che era 5, è ora diventata 8, a causa del numero tre che le è stato aggiunto.
Se invece si vuole ridurre di tre la radice di questa stessa Equazione, è necessario ottenere y + 3 = x e y² + 6y + 9 = x², e così via, in modo che al posto di.
x4 + 4x3 – 19x2 - 106x – 120 = 0
Si inserisce:
Aumentando in questo modo le vere radici, si riducono quelle false, o viceversa.
E è da notare che, aumentando le radici vere di un’Equazione, si riducono di uguale quantità anche le radici false; al contrario, diminuendole, queste ultime aumentano. Inoltre, se si riducono sia le une che le altre di una quantità uguale a loro, esse diventano nulle; mentre se la quantità utilizzata è maggiore di loro, quelle che erano vere diventano false, o quelle che erano false diventano vere. Ad esempio, aumentando di 3 la radice vera che era 5, si riducono di 3 ciascuna delle radici false: quella che era 4 diventa 1, quella che era 3 diventa zero, e quella che era 2 diventa vera, poiché 2 + 3 fa 1. Ecco perché in quest’Equazione y³ – 8y² – y + 8 = 0 ci sono soltanto 3 radici: due di esse sono vere (1 e 8), mentre l’altra è falsa, ma anch’essa ha il valore 1. E lo stesso vale per un’altra Equazione.
y4 + 16y3 + 71y2 - 4y – 420 = 0
Ce n’en est qu’une seule qui est vraiment égale à 2, perché + 5 - 3 dà infatti + 2; il resto sont trois erreurs che danno rispettivamente 5, 6 e 7.
Come si può eliminare il secondo termine di un’equazione?
Oltre a questo modo di modificare il valore delle radici senza conoscerle, si possono compiere due operazioni che potranno rivelarsi utili in seguito: la prima consiste nel rimuovere sempre il secondo termine dell’equazione che si sta esaminando, ovvero riducendo le vere radici della quantità nota di quel secondo termine divisa per il numero di dimensioni del primo termine; ciò avviene se uno dei due termini è contrassegnato dal segno + e l’altro dal segno -, oppure aumentando entrambi di quella stessa quantità, nel caso in cui siano entrambi contrassegnati dal segno + o dal segno -. Questo procedimento è analogo a quello utilizzato per eliminare il secondo termine nell’ultima equazione che.
y4 + 16y3 + 71y2 - 4y – 420 = 0
Avendo diviso 16 per 4, a causa delle 4 dimensioni del termine y4, si ottiene immediatamente 4; per questo motivo scrivo z – 4 = y.
Dove la vera radice, che era 2, è diventata 6 perché è aumentata di 4; e le false radici, che erano 5, 6 e 7, sono diventate rispettivamente 1, 2 e 3 perché ognuna di esse è diminuita di 4.
Comunque, se si vuole eliminare il secondo termine di.
x4 - 2ax3 + (2a2 - c2) x2 - 2a3x + a4 = 0,
pour ce que divisant 2a par 4 il vient il faut faire et écrire :
et si on trouve après la valeur de z, en lui ajoutant on aura celle de x.
Comment on peut faire que toutes les fausses racines d’une équation deviennent vraies sans que les vraies deviennent fausses.
La seconde chose, qui aura ci-après quelque usage est, qu’on peut toujours en augmentant la valeur des vraies racines, d’une quantité qui soit plus grande que n’est celle d’aucune des fausses, faire qu’elles deviennent toutes vraies, en sorte qu’il n’y ait point deux signes + ou deux signes - qui s’entre-suivent, et outre cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré la moitié de celle du second. Car encore que cela se fasse, lorsque ces fausses racines sont inconnues, il est aisé néanmoins de juger à peu près de leur grandeur, et de prendre une quantité, qui les surpasse d’autant, ou de plus, qu’il n’est requis à cet effet.
Comme si on a :
x6 + nx5 - 6n2x4 + 36n3x3 – 216n4x2 + 1296n5x –7776n6 = 0
en faisant y - 6 n = 0, on trouvera :
Ou il est manifeste, que 504n2, qui est la quantité connue du troisième terme est plus grande, que le carré de :
,
qui est la moitié de celle du second. Et il n’y a point de cas, pour lequel la quantité, dont on augmente les vraies racines, ait besoin à cet effet d’être plus grande,à proportion de cellesqui sont données, que pour celui-ci.
Comment on fait que toutes les places d’une équation soient remplies.
Mais à cause que le dernier terme s’y trouve nul, si on ne désire pas que cela soit, il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines ; et ce ne saurait être de si peu, que ce ne soit assez pour cet effet ; non plus que lorsqu’on veut accroître le nombre des dimensions de quelque équation, et faire que toutes les places de ses termes soient remplies. Comme si au lieu de x5 - b = 0, on veut avoir une équation, en laquelle la quantité inconnue ait six dimensions, et dont aucun des termes ne soit nul, il faut premièrement pour :
x5 - b = 0
écrire :
x6 - bx = 0
puis ayant fait y - a = x on aura :
y6 - 6ay5 + 15a2y4 - 20a3y3 + 15a4y2 - (6a5 + b) y + a6 + ab= 0.
Qu’il est manifeste que tant petite que la quantité a soit supposée, toutes les places de l’Équation ne laissent pas d’être remplies.
Comment on peut multiplier ou diviser les racines d’une équation.
De plus on peut, sans connaître la valeur des vraies racines d’une Équation, les multiplier ou diviser toutes, par telle quantité connue qu’on veut. Ce qui le fait en supposant que la quantité inconnue étant multipliée, ou divisée, par celle qui doit multiplier ou diviser les racines est égale à quelque autre. Puis multipliant, ou divisant la quantité connue du second terme, par cette même qui doit multiplier, ou diviser les racines, et par son carré, celle du troisième, et par son cube, celle du quatrième, et ainsi jusqu’au dernier.
Comment on réduit les nombres rompus d’une équation à des entiers.
Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers et rationaux, les fractions, ou souvent aussi les nombres sourds, qui se trouvent dans les termes des équations. Comme si on a :
,
et qu’on veuille en avoir une autre en sa place, dont tous les termes s’expriment par des nombres rationaux ; il faut supposer , et multiplier par la quantité connue du second terme, qui est aussi , et par son carré qui est 3 celle du troisième qui est
,
et par son cube qui est ; celle du dernier, qui est :
,
ce qui fait :
y3 – 3 y2 + .
Puis si on en veut avoir encore une autre en la place de celle-ci, dont les quantités connues ne s’expriment que par des nombres entiers ; il faut supposer z = 3y, et multipliant 3 par 3
par 9, et par 27 on trouve :
z3 - 9z2 + 26z – 24 = 0,
où les racines étant 2, 3 et 4, on connaît de là que celles de l’autre d’auparavant étaient
, 1, et et que celles de la première étaient :
, et .
Comment on rend la quantité connue de l’un des termes d’une équation égale à telle autre qu’on veut.
Cette opération peut aussi servir pour rendre la quantité connue de quelqu’un des termes de l’équation égale à quelque autre donnée, comme si ayant :
x3 - b2x + c3 = 0,
on veut avoir en sa place une autre Équation, en laquelle la quantité connue, du terme qui occupe la troisième place, à savoir celle qui est ici b2, soit 3 a2, il faut supposer :
puis écrire :
.
Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires.
Au reste tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours réelles ; mais quelquefois seulement imaginaires c’est à dire que l’on peut toujours en imaginer autant que j’ai dit en chaque équation, mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu’on imagine ; Comme encore qu’on en puisse imaginer trois en celle-ci, x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0, il n’y en a toutefois qu’une réelle, qui est 2, et pour les deux autres, quoi qu’on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d’expliquer, on ne saurait les rendre autres qu’imaginaires.
La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan.
Or quand pour trouver la construction de quelque problème, on vient à une Équation, en laquelle la quantité inconnue a trois dimensions ; premièrement si les quantités connues, qui y sont, contiennent quelques nombres rompus, il les faut réduire à d’autres entiers, par la multiplication tantôt expliquée ; Et s’ils en contiennent de sourds, il faut aussi les réduire à d’autres rationaux, autant qu’ils sera possible, tant par cette même multiplication, que par divers autres moyens, qui sont assez faciles à trouver. Puis examinant par ordre toutes les quantités, qui peuvent diviser sans fraction le dernier terme, il faut voir, si quelqu’une d’elles, jointe avec la quantité inconnue par le signe + ou - , peut composer un binôme, qui divise toute la somme ; et si cela est le Problème est plan, c’est à dire il peut être construit avec la règle et de compas ; car ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée ; ou bien l’équation étant divisée par lui, se réduit à deux dimensions, en sorte qu’on en peut trouver après la racine, par ce qui a été dit au premier livre.
Par exemple si on a :
y6 – 8y4 – 124y2 – 64 = 0,
le dernier terme, qui est 64, peut être divisé sans fraction par r, 2, 4, 8, 16, 32 et 64. C’est pourquoi il faut examiner par ordre si cette Équation ne peut point être divisée par quelqu’un des binômes, et on trouve qu’elle peut l’être par, en cette sorte.
La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa racine.
Je commence par le dernier terme, et divise - 64 par - 16 ce qui fait + 4, que j’écris dans le quotient, puis je multiplie + 4 par + y2, ce qui fait - 4y2 ; c’est pourquoi j’écris – 4 y2 en la somme, qu’il faut diviser car il faut toujours écrire le ligne + ou - tout contraire à celui que produit la multiplication et joignant que je divise derechef par - 16, et j’ai +8y2, pour mettre dans le quotient et en le multipliant par y2, j’ai - 8y4, pour joindre avec le terme qu’il faut diviser, qui est aussi - 8y4, et ces deux ensemble font - 16y4, que je divise par - 16, ce qui fait +y4 pour le quotient, et - y6 pour joindre avec +y6, ce qui fait 0, et montre que la division est achevée. Mais s’il était resté quelque quantité, ou bien qu’on n’eut pu diviser sans fraction quelqu’un des termes précédents, on eut par là reconnu qu’elle ne pouvait être faite.
Tout de même si on a :
y6 + (a2 - c2) y4 + (-a4 + c4) y2 - (a6 + 2a4c2 + a2c4) = 0,
le dernier terme se peut diviser sans fraction par a, a2, a2 + c2, a3 + ac2 et semblables.
x4 - 2ax3 + (2a2 - c2) x2 - 2a3x + a4 = 0,
Since dividing 2a by 4 yields a certain result, it is necessary to proceed in such a way and write it down accordingly:
And if we find the value of z and then add it to something, we will obtain the value of x.
How can it be possible for all the false roots of an equation to become true without the true roots becoming false?
The second point, which will be of some use later on, is that by always increasing the value of the true roots by an amount greater than that of any of the false roots, it is possible to make them all become true roots. In this way, there will never be two consecutive + signs or two consecutive - signs. Moreover, the known value of the third term must be greater than half the square of the value of the second term. Even when these false roots are unknown, it is still easy to roughly estimate their magnitude and determine a quantity that exceeds them by exactly the amount required for the purpose.
As if one had.
x6 + nx5 - 6n2x4 + 36n3x3 – 216n4x2 + 1296n5x –7776n6 = 0
By setting y - 6n equal to zero, we will find:
It is evident that 504n2, which is the known value of the third term, is greater than the square of.
,
which is half of the amount of the latter. And there is no case in which the quantity whose true roots are being increased would need to be larger, in proportion to the given roots, than in the case of the latter.
How is it possible for all the placeholders in an equation to be filled in?
But since the last term in that equation is zero, if one does not wish for it to be zero, then one must increase the values of the roots by some amount; and this increase must be sufficient to achieve that effect. The same principle applies when one wishes to increase the number of dimensions in an equation so that all terms are non-zero. For instance, instead of having the equation x5 - b = 0, if one wants to create an equation where the unknown quantity has six dimensions and none of the terms are zero, then one must first.
x5 - b = 0
to write; to compose text.
x6 - bx = 0
then, having established that y - a = x, we will have:
y6 - 6ay5 + 15a2y4 - 20a3y3 + 15a4y2 - (6a5 + b) y + a6 + ab= 0.
It is evident that, no matter how small the assumed value of quantity a may be, all the positions in the Equation must still be filled.
How can one multiply or divide the roots of an equation?
Furthermore, it is possible, without knowing the values of the true roots of an equation, to multiply or divide all of them by any known quantity one wishes. This is possible because it assumes that the unknown quantity, when multiplied or divided by the quantity that should multiply or divide the roots, is equal to some other quantity. Then, by multiplying or dividing the known quantity from the second term by the same quantity that should multiply or divide the roots, and also by its square for the third term, its cube for the fourth term, and so on until the last term.
How to reduce fractional numbers in an equation to integers.
What can be used to reduce fractions—or often also irrational numbers—which appear in the terms of equations, into integers and rational numbers. It’s as if we have:
,
and if one wishes to have another in its place, one whose all terms are expressed by rational numbers; it is necessary to assume—and then multiply by—the known quantity of the second term, which is also,, and by its square, which is 3; that of the third term is.
,
and by its cube, which is; that of the last one, which is:
,
which amounts to:
y3 – 3 y2 + .
Then, if we want to have another one in its place, one whose known quantities can only be expressed by whole numbers, we must assume that z = 3y, and by multiplying 3 by 3.
In paragraphs 9 and 27, it is stated that:
z3 - 9z2 + 26z – 24 = 0,
where the roots are 2, 3, and 4, it follows that the roots of the other one were previously.
1, and that those of the first ones were:
, et .
How can one make the known quantity of one term in an equation equal to any desired other quantity?
This operation can also be used to make the known quantity of one of the terms in the equation equal to some other given value, as if it were.
x3 - b2x + c3 = 0,
One wants to replace it with another equation in which the known quantity, which corresponds to the term in the third position—that is, b2 here—being equal to 3a2, it is necessary to assume that.
and then write:
.
That roots, whether true or false, can be either real or imaginary.
Furthermore, neither the true roots nor the false ones are always real; sometimes they are merely imaginary. That is to say, one can always imagine as many roots as desired in any given equation, but it may happen that none of them correspond to a real quantity. For instance, in the equation x³ – 6x² + 13x – 10 = 0, although one might imagine three roots, only one of them is real, and that is 2. As for the other two, no matter how much we add, subtract, or multiply them in the ways I have just explained, we will never be able to make them real.
The reduction of cubic equations when the problem is planar.
Or when seeking to construct the solution to some problem and one arrives at an equation in which the unknown quantity has three dimensions, first of all, if the known quantities contained within it include any fractional numbers, these must be reduced to whole integers by means of the multiplication process previously explained; and if they contain any irrational numbers, these too must be reduced to rational numbers, as much as possible—either through this same multiplication or through various other methods that are quite easy to employ. Then, by examining in order all the quantities that can divide the last term without leaving a fraction, one must determine whether any of them, when combined with the unknown quantity via the sign + or -, can form a binomial that divides the entire sum. If this is the case, the problem is “planar,” meaning it can be solved using a ruler and compass; for either the known quantity in this binomial will be the desired root, or—after dividing the equation by this binomial—the equation will reduce to two dimensions, allowing the root to be found using the methods discussed in the first book.
For example, if one has.
y6 – 8y4 – 124y2 – 64 = 0,
The last term, which is 64, can be divided without a remainder by r, 2, 4, 8, 16, 32, and 64. Therefore, it is necessary to check in order whether this equation cannot be divided by any of these binomials; and it is found that it indeed can be divided by them.
The method of dividing an equation by a binomial that contains its root.
I start with the last term and divide -64 by -16, which gives +4; I write this in the quotient. Then I multiply +4 by +y2, which results in -4y2; therefore, I write –4y2 in the sum. Since we need to perform division again, I immediately divide this result by -16, and I get +8y2. I include this in the quotient and then multiply it by y2, resulting in -8y4. I add this term to the other terms that have already been calculated; since both are -8y4, they cancel each other out, leaving 0 as the final result. This shows that the division is complete. However, if there were any remaining quantity, or if it were impossible to divide one of the previous terms without obtaining a fraction, this would indicate that the division could not be performed successfully.
Even though we have.
y6 + (a2 - c2) y4 + (-a4 + c4) y2 - (a6 + 2a4c2 + a2c4) = 0,
The last term can be divided without remainder by a, a², a² + c², a³ + ac², and so on.
x4 - 2ax3 + (2a2 - c2) x2 - 2a3x + a4 = 0,
Poiché dividendo 2a per 4 si ottiene, è necessario procedere e scrivere così:
E se si trova il valore di z, aggiungendogli, si otterrà il valore di x.
Come è possibile che tutte le radici false di un’equazione diventino vere senza che quelle vere diventino false?
La seconda considerazione, che avrà in seguito una certa utilità, è che si può sempre, aumentando il valore delle vere radici di una quantità maggiore di quella di qualsiasi delle false radici, far sì che queste ultime diventino tutte vere. In questo modo non possono esistere due segni “+” o due segni “-” consecutivi; inoltre, la quantità del terzo termine deve essere maggiore del quadrato della metà di quella del secondo termine. Anche se ciò avvenga quando queste false radici siano sconosciute, è comunque facile giudicarne approssimativamente l’entità e scegliere una quantità che le superi di tanto quanto sia necessario per tale scopo.
Come se si avesse.
x6 + nx5 - 6n2x4 + 36n3x3 – 216n4x2 + 1296n5x –7776n6 = 0
Risolvendo l’equazione –6n = 0, si otterrà:
Oppure è evidente che 504n2, che rappresenta la quantità conosciuta del terzo termine, è maggiore del quadrato di.
,
Questo è metà della quantità dell’altro caso. E non esiste alcun caso in cui la quantità, la cui radice reale viene aumentata, debba essere maggiore, in proporzione a quella data nel secondo caso, per poter raggiungere lo stesso risultato.
Come mai tutte le posizioni in un’equazione vengono riempite?
Ma poiché l’ultimo termine è uguale a zero, se non si vuole che ciò accada, è necessario aumentare leggermente il valore delle radici; e tale aumento deve essere sufficiente per ottenere questo risultato, proprio come quando si desidera aumentare il numero di dimensioni di un’equazione in modo che tutte le posizioni dei suoi termini siano occupate. Ad esempio, se invece di x5 – b = 0 si vuole ottenere un’equazione nella quale la quantità sconosciuta abbia sei dimensioni e nessun termine sia uguale a zero, è necessario innanzitutto.
x5 - b = 0
scrivere:
x6 - bx = 0
Dopo aver calcolato che y - a = x, si otterrà:
y6 - 6ay5 + 15a2y4 - 20a3y3 + 15a4y2 - (6a5 + b) y + a6 + ab= 0.
È evidente che, per quanta piccola sia la quantità a presa in considerazione, tutte le posizioni nell’Equazione debbano necessariamente essere occupate.
Come si possono moltiplicare o dividere le radici di un’equazione.
Inoltre, è possibile, senza conoscere il valore delle vere radici di un’equazione, moltiplicarle o dividere tutte per qualsiasi quantità conosciuta si desideri. Ciò è possibile supponendo che la quantità sconosciuta, quando moltiplicata o divisa per quella che deve moltiplicare o dividere le radici, sia uguale a un’altra determinata quantità. Successivamente, si moltiplica o divide la quantità conosciuta del secondo termine per la stessa quantità che deve moltiplicare o dividere le radici, e poi per il suo quadrato per il terzo termine, per il suo cubo per il quarto termine, e così via fino all’ultimo.
Come si riducono i numeri frazionari presenti in un’equazione a numeri interi.
Ciò che può essere utilizzato per ridurre in numeri interi e razionali le frazioni, o spesso anche i numeri irrazionali, presenti nei termini delle equazioni. Come ad esempio nel caso in cui si abbia.
,
E se si volesse averne un’altra al suo posto, la cui tutti i termini fossero espressi con numeri razionali, bisognerebbe assumere, e moltiplicare per la quantità nota del secondo termine, che è anch’essa,, e per il suo quadrato, che è 3, quello del terzo termine, che è.
,
e dal suo cubo, che è; quello dell’ultimo, che è:
,
Ciò che fa.
y3 – 3 y2 + .
E poi, se si vuole averne un’altra al posto di questa, la cui quantità conosciuta può essere espressa soltanto con numeri interi, è necessario ipotizzare che z = 3y; moltiplicando quindi 3 per 3.
Al paragrafo 9 e al paragrafo 27 si trova.
z3 - 9z2 + 26z – 24 = 0,
dove le radici sono 2, 3 e 4, si può dedurre che quelle dell’altra radice, precedentemente menzionata, fossero.
, e che quelle del primo gruppo fossero:
, et .
Come si può rendere uguale, in termini di quantità, uno dei termini di un’equazione a un’altra equazione qualsiasi si voglia.
Questa operazione può anche essere utilizzata per far sì che la quantità nota di uno dei termini dell’equazione sia uguale a un’altra data informazione, come se si avesse.
x3 - b2x + c3 = 0,
Si vuole sostituire l’attuale Equazione con un’altra, nella quale la quantità nota relativa al termine che occupa la terza posizione – ovvero quella indicata come b2 – sia uguale a 3a²; pertanto, è necessario ipotizzare.
e poi scrivere:
.
Che le radici, sia vere che false, possano essere reali o immaginarie.
Del resto, né le vere radici né quelle false sono sempre reali; a volte sono soltanto immaginarie, il che significa che si possono sempre immaginare quantità quante ne vogliamo in ogni equazione, ma a volte non esiste alcuna quantità reale che corrisponda a quelle che immaginiamo. Ad esempio, nell’equazione x³ – 6x² + 13x – 10 = 0, si possono immaginare tre radici, ma in realtà ce n’è solo una, ovvero 2; le altre due, per quanto possiamo aumentarle, diminuirle o moltiplicarle nel modo che ho appena spiegato, rimarranno sempre soltanto quantità immaginarie.
La riduzione delle equazioni cubiche quando il problema è piano.
Ora, quando si cerca di risolvere un problema e si arriva a un’equazione nella quale la quantità sconosciuta ha tre dimensioni, innanzitutto, se le quantità conosciute presenti nell’equazione contengono numeri frazionari, è necessario ridurli a numeri interi utilizzando la moltiplicazione, come spiegato in precedenza; inoltre, se tali numeri contengono radici irrazionali, bisogna anch’essi ridurle a numeri razionali, il più possibile, sia attraverso la stessa moltiplicazione che mediante altri metodi abbastanza semplici da trovare. Successivamente, esaminando in ordine tutte le quantità che possono dividere senza resto l’ultimo termine dell’equazione, si deve verificare se alcuna di esse, unita alla quantità sconosciuta con il segno + o -, possa formare un binomio in grado di dividere interamente la somma totale; e se ciò è possibile, il problema è “piano”, cioè può essere risolto utilizzando riga e compasso: infatti, o bien la quantità conosciuta di tale binomio corrisponde alla radice cercata, oppure, dividendo l’equazione per quel binomio, si ottengono due termini aventi soltanto due dimensioni, permettendo così di individuare la radice, come descritto nel primo libro.
Ad esempio, se si ha.
y6 – 8y4 – 124y2 – 64 = 0,
L’ultimo termine, che è 64, può essere diviso senza resto per r, 2, 4, 8, 16, 32 e 64. Per questo motivo è necessario esaminare in ordine se questa equazione non possa essere divisibile per uno di questi binomi; si scopre che invece può esserlo.
Il modo per dividere un’equazione con un binomio che contiene la sua radice.
Inizio con l’ultimo termine e divido -64 per -16; il risultato è +4, che scrivo nel quoziente. Poi moltiplico +4 per +y², ottenendo -4y²; per questo motivo scrivo –4y² nella somma. Questo risultato deve essere ulteriormente diviso, poiché è sempre necessario indicare il segno “+” o “-” in base al prodotto della moltiplicazione. Divido immediatamente il risultato precedente per -16, ottenendo +8y²; questo valore viene inserito nel quoziente e, moltiplicandolo per y², si ottiene -8y⁴. Questo termine viene sommato al risultato precedente, che anch’esso è -8y⁴; insieme danno -16y⁴, che viene diviso nuovamente per -16, ottenendo +y⁴ come quoziente e -y⁶ da sommare a +y⁶, il che dà 0. Questo dimostra che la divisione è stata completata correttamente. Tuttavia, se fosse rimasta qualche quantità non divisibile senza frazione, ciò avrebbe indicato che la divisione non era possibile.
Comunque, anche se si ha.
y6 + (a2 - c2) y4 + (-a4 + c4) y2 - (a6 + 2a4c2 + a2c4) = 0,
L’ultimo termine può essere diviso senza resto per a, a², a² + c², a³ + ac² e simili.
Mais il n’y en a que deux qu’on ait besoin de considérer, à savoir a2, a2 + c2 ; car les autres donnant plus ou moins de dimensions dans le quotient, qu’il n’y en a en la quantité connue du pénultième terme, empêcheraient que la division ne s’y pût faire. Et notez, que je ne compte ici les dimensions de y6, que pour trois, à cause qu’il n’y a point de y5, ni de y3, ni de y en toute la somme. Or en examinant le binôme y2 - a2 - c2 = 0, on trouve que la division se peut faire par lui en cette sorte :
ce qui montre que la racine cherchée est a2 + c2. Et la preuve en est aisée à faire par la multiplication.
Quels problèmes sont solides lorsque l’équation est cubique.
Mais lorsqu’on ne trouve aucun binôme, qui puisse ainsi diviser toute la somme de l’équation proposée, il est certain que le Problème qui en dépend est solide. Et ce n’est pas une moindre faute après cela, de tâcher à le construire sans y employer que des cercles et des lignes droites, que ce serait d’employer des sections coniques à construire ceux auxquels on n’a besoin que de cercles : car enfin tout ce qui témoigne quelque ignorance s’appelle faute.
La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan ; et quels sont ceux qui sont solides.
Que si on a une Équation dont la quantité inconnue ait quatre dimensions, il faut en même façon, après en avoir ôté les nombres sourds et rompus, s’il y en a, voir si on pourra trouver quelque binôme, qui divise toute la ont somme, en le composant de l’une des quantités, qui divisent sans fraction le dernier terme. Et si on en trouve un, ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée ; on du moins après cette division, il ne reste en l’équation que trois dimensions, en suite de quoi il faut derechef l’examiner en la même sorte. Mais lorsqu’il ne se trouve point de tel binôme, il faut en augmentant, ou diminuant la valeur de la racine, ôter le second terme de la somme, en la façon tantôt expliqué. Et après la réduire à une autre, qui ne contienne que trois dimensions. Ce qui se fait en cette sorte.
Au lieu de : + x4 ± px2 ± qx ± r = 0, il faut écrire : + y6 ± py4 + (p2 ± 4r) y2 - 4q = 0. Et pour les signes + ou - que j’ai omis, s’il y a eu +p en la précédente Équation, il faut mettre en celle-ci +2p, ou s’il y a eu - p, il faut mettre - 2p, et au contraire s’il y a eu +r, il faut mettre - 4r, ou s’il y a eu - r, il faut mettre +4r, et soit qu’il y ait eu +q, ou - q, il faut toujours mettre – q2, et+p2, au moins si on suppose que x4, et y6 sont marqués du signes +, car ce serait tout le contraire si on y supposait le signe - . Par exemple si on a : x4 - 4x2 - 8x + 35 = 0, il faut écrire en son lieu : y6 - 8y4 - 124y2 - 64 = 0, car la quantité que j’ai nommé p étant - 4, il faut mettre - 8y4 pour 2py4 ; et celle, que j’ai nommée r étant 35, il faut mettre (16 – 140) y2, c’est à dire - 124y2, au lieu de (p2 - 4r) y2 ; et enfin q étant 8, il faut mettre - 64, pour - q2. Tout de même au lieu de : x4 - 17x2 - 20x – 6 = 0, il faut écrire : y6 - 34y 4 + 313y2 - 400 = 0 ; car 34 est double de 17, et 313 en est le carré joint au quadruple de 6, et 400 est le carré de 20.
Tout de même aussi au lieu de :
,
Il faut écrire :
y6 + (a2 - 2c2) y 4 + (c4 - a4) y2 - a6 - 2a4c2 - a2c4 = 0 ;
Car p est à 1/2 a2 - c2, et p2 est 1/4 a4 - a2c2 + c4, et 4 r est - 5/4 a4 + a2c2, et enfin - q2 est - a6 - 2a4c2 - a2c4.
Après que l’équation est ainsi réduite à trois dimensions, il faut chercher la valeur de y2 par la méthode déjà expliquée ; et si elle ne peut être trouvée, on n’a point besoin de passer outre ; car il suit de là infailliblement que le problème est solide. Mais si on la trouve, on peut diviser par son moyen la précédente équation en deux antres, en chacune desquelles la quantité inconnue n’aura que deux dimensions, et dont les racines seront les mêmes que les siennes.
A savoir, au lieu de x4 ± px 2 ± qx ± r = 0, il faut écrire ces deux autres :
± ± ,
et :
± ± .
Et pour les signes + et - que j’ai omis, s’il y a +p en l’équation précédente, il faut mettre :
en chacune de celles-ci ; et , s’il y a en l’autre - p.
Mais il faut mettre :
en celle où il y a - yx ;
et :
en celle où il y a +yx, lorsqu’il y a +q en la première ;
et au contraire s’il y a - q, il faut mettre :
, en celle où il y a - yx ;
Et :
en celle où il y a +yx.
Ensuite de quoi il est aisé de connaître toutes les racines de l’équation proposée, et par conséquent de construire le problème, dont elle contient la solution, sans y employer que des cercles, et des lignes droites.
Par exemple à cause que faisant y6 - 34y4 + 313y2 - 400 = 0, pour x4 - 17x2 - 20x – 6 = 0,
on trouve que y2 est 16, on doit au lieu de cette équation : x4 - 17x2 - 20x – 6 = 0, écrire ces deux autres : + x2 - 4x – 3 = 0, et + x2 + 4x + 2 = 0,
car :
y est 4,
est 8,
p est 17,
et q est 20, de façon que :
fait –3, et fait +2.
Et tirant les racines de ces deux équations, on trouve toutes les mêmes, que si on les tirait de celle où est x4, à savoir on en trouve vue vraie, qui est , et trois fausses, qui sont :
, et
Ainsi ayant : x4 - 4x2 - 8x + 35 = 0, pour ce que la racine de y6 - 8y4 124y2 - 64 = 0, est derechef 16, il faut écrire x2 - 4x + 5 = 0 et x2 + 4x + 7 = 0,
Car ici :
fait 5,
et fait 7.
Et pour ce qu’on ne trouve aucune racine, ni vraie, ni fausse, en ces deux dernières équations, on connaît de là que les quatre de l’équation dont elles procèdent sont imaginaires ; et que le Problème, pour lequel on l’a trouvée, est plan de sa nature ; mais qu’il ne saurait en aucune façon être construit, à cause que les quantités données ne peuvent se joindre.
Tout de même ayant :
Pour ce qu’on trouve a2 + c2 pour y2, il faut écrire :
Et :
car y est et est , et est , d’où on connaît que la valeur de z est :
ou bien :
Et puisque nous avons fait ci-dessus , nous apprenons que la quantité x, pour la connaissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations, est :
Exemple de l’usage de ces réductions.
Mais afin qu’on puisse mieux connaître l’utilité de cette règle il faut que je l’applique à quelque problème.
However, there are only two that we need to consider, namely a² and a² + c²; for the others, giving more or fewer dimensions in the quotient than there are in the known quantity of the penultimate term, would prevent the division from being carried out. And note that I count the dimensions of y⁶ here as only three, because there is neither a y⁵ nor a y³ nor a y anywhere in the entire sum. Now, upon examining the binomial y² – a² – c² = 0, we find that the division can be performed by it in this manner:
which shows that the sought root is a² + c². And the proof is easily established by multiplication.
What problems are solid when the equation is cubic?
But when no binomial is found that can thus divide the entire sum of the proposed equation, it is certain that the problem dependent on it is solid. And it is no less a fault after this to attempt to construct it without using circles and straight lines than it would be to use conic sections to construct those for which only circles are needed: for ultimately, anything that betrays some ignorance is called a fault.
The reduction of equations with four dimensions when the problem is planar; and which ones are solid.
If one has an equation whose unknown quantity has four dimensions, one must, in the same way, after removing any surd and fractional numbers if they exist, see whether one can find a binomial that divides the entire sum, composed of one of the quantities that divide the last term without fractions. And if such a binomial is found, either the known quantity of this binomial is the sought root; or at least, after this division, only three dimensions remain in the equation, whereupon one must again examine it in the same way. But when no such binomial is found, one must, by increasing or decreasing the value of the root, remove the second term from the sum in the manner just explained. And then reduce it to another equation containing only three dimensions. This is done in the following way.
Instead of: + x⁴ ± px² ± qx ± r = 0, one must write: + y⁶ ± py⁴ + (p² ± 4r) y² – 4q = 0. And as for the signs + or – that I have omitted, if there was +p in the previous equation, one must put +2p in this one; or if there was –p, one must put –2p; and conversely, if there was +r, one must put –4r, or if there was –r, one must put +4r; and whether there was +q or –q, one must always put –q² and +p²—at least if one assumes that x⁴ and y⁶ are marked with the + sign, for it would be just the opposite if one assumed the – sign. For example, if one has: x⁴ – 4x² – 8x + 35 = 0, one must write in its place: y⁶ – 8y⁴ – 124y² – 64 = 0, because the quantity I called p being –4, one must put –8y⁴ for 2py⁴; and the one I called r being 35, one must put (16 – 140)y², that is, –124y², instead of (p² – 4r)y²; and finally, q being 8, one must put –64 for –q². Likewise, instead of: x⁴ – 17x² – 20x – 6 = 0, one must write: y⁶ – 34y⁴ + 313y² – 400 = 0; for 34 is double of 17, and 313 is its square joined to the quadruple of 6, and 400 is the square of 20.
Likewise also, instead of:
,
one must write:
y⁶ + (a² – 2c²) y⁴ + (c⁴ – a⁴) y² – a⁶ – 2a⁴c² – a²c⁴ = 0;
For p is 1/2 a² – c², and p² is 1/4 a⁴ – a²c² + c⁴, and 4r is –5/4 a⁴ + a²c², and finally –q² is –a⁶ – 2a⁴c² – a²c⁴.
After the equation has been reduced thus to three dimensions, one must seek the value of y² by the method already explained; and if it cannot be found, there is no need to proceed further; for it follows infallibly from this that the problem is solid. But if it is found, one can divide the preceding equation by its means into two others, each of which will have the unknown quantity with only two dimensions, and whose roots will be the same as its own.
That is, instead of x⁴ ± px² ± qx ± r = 0, one must write these two others:
± ± ,
and:
± ± .
And as for the signs + and – that I have omitted, if there is +p in the previous equation, one must put:
in each of these; and , if there is –p in the other.
But one must put:
in the one where there is –yx;
and:
in the one where there is +yx, when there is +q in the first;
and conversely, if there is –q, one must put:
, in the one where there is –yx;
and:
in the one where there is +yx.
After this, it is easy to determine all the roots of the proposed equation, and consequently to construct the problem whose solution it contains, using only circles and straight lines.
For example, since making y⁶ – 34y⁴ + 313y² – 400 = 0, for x⁴ – 17x² – 20x – 6 = 0,
we find that y² is 16, one must, instead of this equation: x⁴ – 17x² – 20x – 6 = 0, write these two others: + x² – 4x – 3 = 0, and + x² + 4x + 2 = 0,
for:
y is 4,
is 8,
p is 17,
and q is 20, so that:
makes –3, and makes +2.
And extracting the roots of these two equations, one finds all the same roots as if one had extracted them from the one containing x⁴—that is, one finds one true root, which is , and three false roots, which are:
, and
Thus, having: x⁴ – 4x² – 8x + 35 = 0, since the root of y⁶ – 8y⁴ – 124y² – 64 = 0 is again 16, one must write x² – 4x + 5 = 0 and x² + 4x + 7 = 0,
for here:
makes 5,
and makes 7.
And since no root, neither true nor false, is found in these last two equations, one knows from this that the four roots of the equation from which they come are imaginary; and that the problem for which it was found is planar by nature; but that it cannot in any way be constructed, because the given quantities cannot be combined.
Likewise, having:
Since we find a² + c² for y², one must write:
And:
for y is and is , and is , from which one knows that the value of z is:
or else:
And since we have done above, we learn that the quantity x, for the knowledge of which we have made all these operations, is:
Example of the use of these reductions.
But in order to better understand the usefulness of this rule, I must apply it to some problem.
Tuttavia, ve ne sono soltanto due che occorre considerare, vale a dire a² e a² + c²; poiché le altre, dando più o meno dimensioni nel quoziente rispetto a quelle presenti nella quantità nota del termine penultimo, impedirebbero che la divisione potesse effettuarsi. E notate che qui non conto le dimensioni di y⁶ se non per tre, dato che non vi sono né y⁵ né y³ né y in tutta la somma. Ora, esaminando il binomio y² – a² – c² = 0, troviamo che la divisione può essere effettuata mediante esso in questo modo:
il che dimostra che la radice cercata è a² + c². E la prova è facile da fare tramite moltiplicazione.
Quali problemi sono solidi quando l’equazione è cubica.
Ma quando non si trova alcun binomio che possa dividere così tutta la somma dell’equazione proposta, è certo che il problema da essa dipendente è solido. E non è una colpa minore, dopo ciò, cercare di costruirlo senza usare solo cerchi e linee rette, piuttosto che usare sezioni coniche per costruire quelli per cui bastano soltanto cerchi: infatti tutto ciò che rivela una qualche ignoranza si chiama colpa.
La riduzione delle equazioni che hanno quattro dimensioni quando il problema è piano; e quali sono quelli che sono solidi.
Se abbiamo un’equazione la cui incognita abbia quattro dimensioni, bisogna allo stesso modo, dopo aver eliminato i numeri irrazionali e frazionari, se ce ne sono, vedere se si riesce a trovare un binomio che divida tutta la somma, componendolo di una delle quantità che dividono senza frazioni l’ultimo termine. E se se ne trova uno, o la quantità nota di quel binomio è la radice cercata, oppure almeno dopo questa divisione rimangono nell’equazione solo tre dimensioni, per cui occorre nuovamente esaminarla nello stesso modo. Ma quando non si trova alcun binomio di questo tipo, bisogna aumentare o diminuire il valore della radice per togliere il secondo termine della somma, secondo la modalità appena spiegata. E poi ricondurla a un’altra che contenga solo tre dimensioni. Ciò si fa in questo modo.
Al posto di: + x⁴ ± px² ± qx ± r = 0, bisogna scrivere: + y⁶ ± py⁴ + (p² ± 4r) y² – 4q = 0. E per i segni + o – che ho omesso, se nell’equazione precedente c’era +p, in questa bisogna mettere +2p, oppure se c’era –p, bisogna mettere –2p, e viceversa se c’era +r, bisogna mettere –4r, oppure se c’era –r, bisogna mettere +4r, e sia che ci fosse +q o –q, bisogna sempre mettere –q², e +p², almeno se si suppone che x⁴ e y⁶ siano contrassegnati dal segno +, perché sarebbe tutto il contrario se li si supponesse con il segno –. Per esempio, se abbiamo: x⁴ – 4x² – 8x + 35 = 0, bisogna scrivere al suo posto: y⁶ – 8y⁴ – 124y² – 64 = 0, poiché la quantità che ho chiamato p essendo –4, bisogna mettere –8y⁴ per 2py⁴; e quella che ho chiamato r essendo 35, bisogna mettere (16 – 140) y², cioè –124y², al posto di (p² – 4r) y²; e infine q essendo 8, bisogna mettere –64, per –q². Allo stesso modo, al posto di: x⁴ – 17x² – 20x – 6 = 0, bisogna scrivere: y⁶ – 34y⁴ + 313y² – 400 = 0; poiché 34 è il doppio di 17, e 313 è il quadrato unito al quadruplo di 6, e 400 è il quadrato di 20.
Allo stesso modo anche al posto di:
,
bisogna scrivere:
y⁶ + (a² – 2c²) y⁴ + (c⁴ – a⁴) y² – a⁶ – 2a⁴c² – a²c⁴ = 0;
Poiché p è pari a 1/2 a² – c², e p² è 1/4 a⁴ – a²c² + c⁴, e 4r è –5/4 a⁴ + a²c², e infine –q² è –a⁶ – 2a⁴c² – a²c⁴.
Dopo che l’equazione è stata così ridotta a tre dimensioni, bisogna cercare il valore di y² con il metodo già spiegato; e se non si riesce a trovarlo, non occorre andare oltre; perché ne consegue inevitabilmente che il problema è solido. Ma se lo si trova, si può dividere tramite esso l’equazione precedente in due altre, in ciascuna delle quali l’incognita avrà solo due dimensioni, e le cui radici saranno le stesse delle sue.
Ovvero, al posto di x⁴ ± px² ± qx ± r = 0, bisogna scrivere queste due altre:
± ± ,
e:
± ± .
E per i segni + e – che ho omesso, se nell’equazione precedente c’è +p, bisogna mettere:
in ciascuna di queste; e , se nell’altra c’è –p.
Ma bisogna mettere:
in quella dove c’è –yx;
e:
in quella dove c’è +yx, quando nella prima c’è +q;
e viceversa se c’è –q, bisogna mettere:
, in quella dove c’è –yx;
e:
in quella dove c’è +yx.
Dopodiché è facile conoscere tutte le radici dell’equazione proposta, e quindi costruire il problema, la cui soluzione essa contiene, senza usare altro che cerchi e linee rette.
Per esempio, poiché facendo y⁶ – 34y⁴ + 313y² – 400 = 0, per x⁴ – 17x² – 20x – 6 = 0,
si trova che y² è 16, bisogna al posto di questa equazione: x⁴ – 17x² – 20x – 6 = 0, scrivere queste due altre: + x² – 4x – 3 = 0, e + x² + 4x + 2 = 0,
poiché:
y è 4,
è 8,
p è 17,
e q è 20, in modo che:
fa –3, e fa +2.
E ricavando le radici di queste due equazioni, si trovano tutte uguali a quelle che si otterrebbero dalla prima, ovvero se ne trova una vera, che è , e tre false, che sono:
, e
Così, avendo: x⁴ – 4x² – 8x + 35 = 0, poiché la radice di y⁶ – 8y⁴ – 124y² – 64 = 0 è di nuovo 16, bisogna scrivere x² – 4x + 5 = 0 e x² + 4x + 7 = 0,
poiché qui:
fa 5,
e fa 7.
E poiché non si trova nessuna radice, né vera né falsa, in queste ultime due equazioni, si capisce che le quattro dell’equazione da cui derivano sono immaginarie; e che il problema per cui si è trovata è piano per sua natura; ma che non può essere costruito in nessun modo, perché le quantità date non possono essere unite.
Allo stesso modo, avendo:
Poiché si trova a² + c² per y², bisogna scrivere:
E:
poiché y è e è , e è , da cui si capisce che il valore di z è:
oppure:
E poiché abbiamo fatto sopra , impariamo che la quantità x, per la cui conoscenza abbiamo fatto tutte queste operazioni, è:
Esempio dell’uso di queste riduzioni.
Ma affinché si possa comprendere meglio l’utilità di questa regola, devo applicarla a qualche problema.
Si le carré AD et la ligne BN étant donnés, il faut prolonger le côté AC jusqu’à E, en sorte que EF, tirée de E vers B, soit égale à NB : on apprend de Pappus, qu’ayant premièrement prolongé BD jusqu’à G, en sorte que DG soit égale à DN, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit BG, si on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonférence de ce cercle au point E qu’on demandait. Mais pour ceux qui ne sauraient point cette construction, elle serait assez difficile à rencontrer ; et, en la cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s’aviseraient jamais de prendre DG pour la quantité inconnue, mais plutôt CF ou FD, à cause que ce sont elles qui conduisent le plus aisément à l’équation ; et lors ils en trouveraient une qui ne serait pas facile à démêler sans la règle que je viens d’expliquer. Car posant a pour BD ou CD, et c pour EF, et x pour DF, on a CF = a- x, et comme CF ou a - x est à FE ou c, ainsi FD ou x est à BF, qui par conséquent est . Puis à cause du triangle rectangle BDF dont les côtés sont l’un x et l’autre a, leurs carrés, qui sont x2 + a2, sont égaux à celui de la base, qui est ; de façon que, multipliant le tout par x2 - 2ax + a2, on trouve que l’équation est x4 - 2ax3 + 2a2x2 - 2a3x + a4 = c2x2, ou bien x4 - 2ax3 + (2a2 - c2) x2 - 2a3x + a4 = 0 ; et on connaît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne DF, est :
Que si on posait BF, ou CE, ou BE, pour la quantité inconnue, on viendrait derechef à une équation en laquelle il y aurait quatre dimensions, mais qui serait plus aisée à démêler, et on y viendrait assez aisément ; au lieu que si c’était DG qu’on supposât, on viendrait beaucoup plus difficilement à l’équation, mais aussi elle serait très simple. Ce que je mets ici pour vous avertir que, lorsque le problème proposé n’est point solide, si en le cherchant par un chemin on vient à une équation fort composée, on peut ordinairement venir à une plus simple en le cherchant par un autre.
Je pourrais encore ajouter diverses règles pour démêler les équations qui vont au cube ou au carré de carré, mais elles seraient superflues ; car lorsque les problèmes sont plans on en peut toujours trouver la construction par celles-ci.
Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré.
Je pourrais aussi en ajouter d’autres pour les équations qui montent jusqu’au sursolide, ou au carré de cube, ou au-delà, mais j’aime mieux les comprendre toutes en une, et dire en général que, lorsqu’on a tâché de les réduire à même forme que celles d’autant de dimensions qui viennent de la multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu’ayant dénombré tous les moyens par lesquels cette multiplication est possible, la chose n’a pu succéder par aucun, on doit s’assurer qu’elles ne sauraient être réduites à de plus simples ; en sorte que si la quantité inconnue a trois ou quatre dimensions, le problème pour lequel on la cherche est solide, et si elle en a cinq ou six, il est d’un degré plus composé, et ainsi des autres.
Au reste, j’ai omis ici les démonstrations de la plupart de ce que j’ai dit, à cause qu’elles m’ont semblé si faciles que, pourvu que vous preniez la peine d’examine méthodiquement si j’ai failli, elles se présenteront à vous d’elles-mêmes ; et il sera plus utile de les apprendre en cette façon qu’en les lisant.
Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions.
Or quand on est assuré, que le Problème proposé est solide, soit que l’équation par laquelle on le cherche monte au carre de carré, soit qu’elle ne monte que jusqu’au cube, on peut toujours en trouver la racine par l’une des trois sections coniques, laquelle que ce soit ou même par quelque partie de l’une d’elles, tant petite qu’elle puisse être ; en ne se servant au reste que de lignes droites et de cercles. Mais je me contenterai ici de donner vue règle générale pour les trouver toutes par le moyen d’une Parabole, à cause qu’elle est en quelque façon la plus simple.
Premièrement il faut ôter le second terme de l’équation proposée, s’il n’est déjà nul, et ainsi la réduire à telle forme z3 = ± apz2 ± a2q, si la quantité inconnue n’a que trois dimensions ; ou bien à telle z4 = ± apz2 ± a2qz ± a3r, si elle en a quatre ; ou bien en prenant a pour l’unité, à telle z3 = ± az ± q et à telle z4 = ± pz2 ± qz ± r.
Après cela supposant que la Parabole FAG (fig. 20) est déjà décrite, et que son essieu est ACDKL, et que son côté droit est a ou 1, dont AC est la moitié, et enfin que le point C est au dedans de cette Parabole, et que A en est le sommet ; il faut faire :
CD = ,
et la prendre du même côté, qu’est le point A au regard du point C, s’il y a+ p en l’équation ; mais s’il y a - p il faut la prendre de l’autre côté.
Et du point D, ou bien, si la quantité p était nulle, du point C (fig. 21) il faut élever une ligne à angles droits jusqu’à E, en sorte qu’elle soit égale à
,
et enfin du centre E il faut décrire le cercle FG, dont le demi-diamètre soit AE, si l’équation n’est que cubique, en sorte que la quantité r soit nulle.
Mais quand il y a + r il faut dans cette ligne AE prolongée, prendre d’un côté AR égale à r, et de l’autre AS égale au côté droit de la Parabole qui est r, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit RS, il faut faire AH perpendiculaire sur AE, laquelle AH rencontre ce cercle RHS au point H, qui est celui par où l’autre cercle FHG doit passer. Et quand il y a - r il faut après avoir ainsi trouvé la ligne AH (fig. 22), inscrire AI, qui lui soit égale, dans un autre cercle, dont AE soit le diamètre, et lors c’est par le point I, que doit passer FIG le premier cercle cherché. Or ce cercle FG peut couper, ou toucher la Parabole en 1, ou 2, ou 3, ou 4 points, desquels tirant des perpendiculaires sur l’essieu, on a toutes les racines de l’équation tant vraies, que fausses. A savoir si la quantité q est marqué du signe+, les vraies racines seront celles de ces perpendiculaires, qui se trouveront du même côté de la parabole, que E le centre du cercle, comme FL ; et les autres, comme GK, seront fausses. Mais au contraire si cette quantité q est marquée du signe - , les vraies seront celles de l’autre côté ; et les fausses, ou moindres que rien seront du côté où est E, le centre du cercle. Et enfin si ce cercle ne coupe, n’y ne touche la parabole en aucun point, cela témoigne qu’il n’y a aucune racine ni vraie ni fausse en l’équation, et qu’elles sont toutes imaginaires. En sorte que cette règle est la plus générale, et la plus accomplie qu’il soit possible de souhaiter.
Et la démonstration en est fort aisée. Car si la ligne GK, trouvée par cette construction, se nomme z, AK sera z2 à cause de la Parabole, en laquelle GK doit être moyenne proportionnelle, entre AK, et le côté droit qui est 1 ; puis si de AK j’ôte AC, qui est
,
CD qui est :
,
il reste DK, ou EM, qui est :
,
dont le carré est :
z4 – pz2 – z2 +
et à cause que DE, ou KM est :
,
la toute GM est :
,
dont le carré est :
,
et assemblant ces deux carrés, on a :
z4 – pz2 + qz + ,
pour le carré de la ligne GE, à cause qu’elle est la base du triangle rectangle EMG.
Mais à cause que cette même ligne GE est le demi-diamètre du cercle FG, elle se peut encore expliquer en d’autres termes, à savoir ED étant :
et AD étant :
,
EA est :
à cause de l’angle droit ADE, puis HA étant moyenne proportionnelle entre AS qui est 1 et AR qui est r, elle est :
,
et à cause de l’angle droit EAH, le carré de HE, ou EG est :
;
Given the square AD and the line BN, it is necessary to extend side AC until E, such that EF drawn from E toward B is equal to NB. Pappus teaches us that, after first extending BD until G so that DG equals DN, and having described a circle with diameter BG, if we extend the straight line AC, it will intersect the circumference of this circle at the point E we seek. However, for those unfamiliar with this construction, it would be quite difficult to discover; and when attempting to solve the problem by the method proposed here, they would never think to take DG as the unknown quantity—rather, they would choose CF or FD, since these lead most easily to the equation. And then they would find an equation that would not be easy to unravel without the rule I have just explained. For if we let a represent BD or CD, c represent EF, and x represent DF, we have CF = a - x, and since CF, or a - x, is to FE, or c, as FD, or x, is to BF, it follows that BF is . Now, because triangle BDF is right-angled, with sides x and a, their squares, which are x² + a², are equal to the square of the base, which is ; thus, multiplying the whole by x² - 2ax + a², we find that the equation becomes x⁴ - 2ax³ + 2a²x² - 2a³x + a⁴ = c²x², or equivalently, x⁴ - 2ax³ + (2a² - c²)x² - 2a³x + a⁴ = 0. And according to the rules previously given, its root—which is the length of the line DF—is:
If we had instead taken BF, or CE, or BE, as the unknown quantity, we would again arrive at an equation with four dimensions, but one that would be easier to solve and could be found fairly readily. On the other hand, if we had assumed DG, we would reach the equation much more laboriously—but it would also turn out to be very simple. I mention this here to warn you that, when the problem posed is not solid, if in seeking it by one path you arrive at a highly complex equation, you can usually find a simpler one by pursuing it along another route.
I could still add various rules for solving equations involving cubes or squares of squares, but they would be superfluous—for whenever problems are planar, you can always find their constructions using these methods.
General rule for reducing all equations beyond the square of a square.
I could also add further rules for equations reaching up to the supersolid, or the square of a cube, or even higher—but I prefer to encompass them all in one general principle and say generally that, once you have tried to reduce them to the same form as those with as many dimensions resulting from the multiplication of two others with fewer dimensions, and having counted all the ways in which such multiplication is possible, yet none of them succeeded, you must be certain that they cannot be reduced any further. Thus, if the unknown quantity has three or four dimensions, the problem for which you seek it is solid; if it has five or six dimensions, it is of a more complex degree, and so on.
As for the rest, I have omitted here the proofs of most of what I have said, because they seemed to me so straightforward that, provided you take the trouble to examine carefully whether I have made any mistakes, they will become clear to you of themselves—and it will be more useful to learn them this way than by reading them.
General method for constructing all solid problems reduced to an equation of three or four dimensions.
Now, once you are sure that the problem posed is solid—whether the equation by which you seek it rises to the square of a square, or whether it rises only to the cube—you can always find its root by means of one of the three conic sections, whichever one it may be, or even by some part of one of them, however small it might be—using nothing else but straight lines and circles. But here I shall content myself with giving a general rule for finding them all by means of a parabola, since it is in some sense the simplest.
First, you must remove the second term from the equation proposed, if it is not already zero, thereby reducing it to the form z³ = ± apz² ± a²q, if the unknown quantity has only three dimensions; or to the form z⁴ = ± apz² ± a²qz ± a³r, if it has four dimensions; or, taking a as unity, to the forms z³ = ± az ± q and z⁴ = ± pz² ± qz ± r.
Next, assuming that the parabola FAG (fig. 20) has already been described, with axis ACDKL and right side a or 1, where AC is half of it, and finally that point C lies inside this parabola and A is its vertex, you must do the following:
Let CD = ,
and take it on the same side as point A relative to point C if the equation contains +p; but if it contains -p, take it on the opposite side.
And from point D—or, if p is zero, from point C (fig. 21)—you must raise a perpendicular line to E, making it equal to
,
and finally, from center E, describe the circle FG, whose radius is AE, if the equation is only cubic, so that the quantity r is zero.
But when there is +r, you must, on the extended line AE, take AR equal to r on one side and AS equal to the right side of the parabola, which is r, on the other side; and having described a circle with diameter RS, you must draw AH perpendicular to AE, which intersects this circle RHS at point H, the point through which the other circle FHG must pass. And when there is -r, after finding AH in this way (fig. 22), you must inscribe AI, equal to AH, in another circle whose diameter is AE; and then it is through point I that the first circle FIG sought must pass. Now, this circle FG may intersect or touch the parabola at 1, 2, 3, or 4 points; drawing perpendiculars from these points onto the axis, you obtain all the roots of the equation, both real and imaginary. Namely, if the quantity q is marked with the + sign, the real roots will be those perpendiculars that lie on the same side of the parabola as the center E of the circle, such as FL; and the others, like GK, will be imaginary. But conversely, if the quantity q is marked with the - sign, the real roots will be on the opposite side; and the imaginary ones, or those smaller than nothing, will be on the side where E, the center of the circle, lies. Finally, if this circle does not intersect or touch the parabola at all, it shows that there are neither real nor imaginary roots in the equation, and that they are all imaginary. Thus, this rule is the most general and complete one you could possibly wish for.
The proof of this is quite straightforward. For if the line GK, found by this construction, is called z, AK will be z² because of the parabola, in which GK must be the mean proportional between AK and the right side, which is 1; then, if I subtract AC from AK—which is
,
and CD—which is
,
I am left with DK, or EM, which is
,
whose square is
z⁴ – pz² – z² +
and because DE, or KM, is
,
the whole GM is
,
whose square is
,
and adding these two squares together, we get
z⁴ – pz² + qz + ,
for the square of the line GE, since it is the base of the right triangle EMG.
But since this same line GE is the radius of the circle FG, it can also be expressed in other terms: ED being
and AD being
,
EA is
because of the right angle ADE; then HA being the mean proportional between AS, which is 1, and AR, which is r, it is
,
and because of the right angle EAH, the square of HE, or EG, is
;
Dati il quadrato AD e la linea BN, occorre prolungare il lato AC fino a E, in modo che EF, tracciata da E verso B, sia uguale a NB: si apprende da Pappo che, dopo aver prolungato prima BD fino a G, in modo che DG sia uguale a DN, e aver descritto un cerchio il cui diametro sia BG, se si prolunga la retta AC, essa incontrerà la circonferenza di questo cerchio nel punto E richiesto. Tuttavia, per coloro che non conoscono questa costruzione, essa sarebbe abbastanza difficile da trovare; e cercandola mediante il metodo qui proposto, essi non si accorgerebbero mai di prendere DG come quantità incognita, bensì CF o FD, poiché sono proprio queste le grandezze che conducono più facilmente all’equazione; e così troverebbero un’equazione non facile da risolvere senza la regola che ho appena spiegato. Infatti, ponendo a per BD o CD, c per EF e x per DF, si ha CF = a - x, e poiché CF o a - x sta a FE o c, così FD o x sta a BF, che pertanto è . Inoltre, dato il triangolo rettangolo BDF i cui cateti sono uno x e l’altro a, i loro quadrati, cioè x² + a², sono uguali al quadrato della base, che è ; moltiplicando quindi tutto per x² - 2ax + a², si ottiene l’equazione x⁴ - 2ax³ + 2a²x² - 2a³x + a⁴ = c²x², ovvero x⁴ - 2ax³ + (2a² - c²)x² - 2a³x + a⁴ = 0; e dalle regole precedenti sappiamo che la sua radice, che è la lunghezza della linea DF, è:
Se invece si fosse posta BF, oppure CE o BE, come quantità incognita, si giungerebbe nuovamente a un’equazione nella quale ci sarebbero quattro dimensioni, ma che sarebbe più facile da risolvere e si arriverebbe abbastanza agevolmente; mentre se si fosse preso DG, si giungerebbe molto più difficilmente all’equazione, ma essa sarebbe comunque molto semplice. Questo lo segnalo affinché sappiate che, quando il problema proposto non è solido, se cercandolo per una via si giunge a un’equazione molto complessa, ordinariamente si può arrivare a una più semplice cercandolo per un’altra via.
Potrei ancora aggiungere varie regole per risolvere equazioni che vanno al cubo o al quadrato del quadrato, ma sarebbero superflue; infatti, quando i problemi sono piani, si può sempre trovare la loro costruzione tramite queste regole.
Regola generale per ridurre tutte le equazioni che superano il quadrato del quadrato.
Potrei anche aggiungerne altre per le equazioni che arrivano fino al sursolido, o al quadrato del cubo, o oltre, ma preferisco riunirle tutte in una sola e dire in generale che, quando si è cercato di ridurle alla stessa forma di quelle con tante dimensioni ottenute dalla moltiplicazione di due altre che ne hanno meno, e avendo enumerato tutti i modi in cui tale moltiplicazione è possibile, ma non essendoci riusciti con nessuno, bisogna assicurarsi che esse non possono essere ridotte a forme più semplici; per cui, se la quantità incognita ha tre o quattro dimensioni, il problema per cui la si cerca è solido, e se ne ha cinque o sei, è di grado più complesso, e così via.
Del resto, ho omesso qui le dimostrazioni della maggior parte di ciò che ho detto, perché mi sono sembrate così facili che, purché vi prendiate la pena di esaminare metodicamente se mi sono sbagliato, esse vi appariranno da sole; e sarà più utile impararle in questo modo piuttosto che leggendole.
Metodo generale per costruire tutti i problemi solidi ridotti a un’equazione di tre o quattro dimensioni.
Quando dunque si è certi che il problema proposto è solido, sia che l’equazione attraverso cui lo si cerca arrivi al quadrato del quadrato, sia che arrivi solo al cubo, si può sempre trovare la sua radice tramite una delle tre sezioni coniche, qualunque essa sia, o addirittura tramite una parte di una di esse, per quanto piccola possa essere; usando per il resto solo linee rette e cerchi. Ma mi limiterò qui a dare una regola generale per trovarle tutte tramite una parabola, poiché essa è in qualche modo la più semplice.
Prima di tutto, occorre eliminare il secondo termine dell’equazione proposta, se già non è nullo, e così ridurla alla forma z³ = ± apz² ± a²q, se la quantità incognita ha solo tre dimensioni; oppure alla forma z⁴ = ± apz² ± a²qz ± a³r, se ne ha quattro; o ancora, assumendo a come unità, alla forma z³ = ± az ± q e alla forma z⁴ = ± pz² ± qz ± r.
Dopo ciò, supponendo che la parabola FAG (fig. 20) sia già descritta, e che il suo asse sia ACDKL, e che il suo lato destro sia a o 1, di cui AC è la metà, e infine che il punto C sia all’interno di questa parabola e A ne sia il vertice; occorre fare:
CD = ,
e prenderla dallo stesso lato rispetto al punto A rispetto al punto C, se nell’equazione compare +p; ma se compare -p, occorre prenderla dall’altro lato.
E dal punto D, oppure, se la quantità p fosse nulla, dal punto C (fig. 21), occorre innalzare una linea perpendicolare fino a E, in modo che essa sia uguale a
,
e infine dal centro E occorre descrivere il cerchio FG, il cui semidiametro sia AE, se l’equazione è solo cubica, in modo che la quantità r sia nulla.
Ma quando compare +r, occorre sulla linea AE prolungata prendere da un lato AR uguale a r e dall’altro AS uguale al lato destro della parabola, che è r; e avendo descritto un cerchio il cui diametro sia RS, occorre tracciare AH perpendicolare ad AE, la quale AH incontra questo cerchio RHS nel punto H, che è quello attraverso cui deve passare l’altro cerchio FHG. Quando invece compare -r, dopo aver trovato così la linea AH (fig. 22), occorre inscrivere AI, uguale ad essa, in un altro cerchio il cui diametro sia AE; e allora è attraverso il punto I che deve passare il primo cerchio cercato FIG. Ora, questo cerchio FG può intersecare o toccare la parabola in 1, 2, 3 o 4 punti; dai quali, tracciando perpendicolari sull’asse, si ottengono tutte le radici dell’equazione, sia vere che false. Vale a dire, se la quantità q è contrassegnata col segno +, le radici vere saranno quelle delle perpendicolari che si trovano dallo stesso lato della parabola rispetto al centro E del cerchio, come FL; e le altre, come GK, saranno false. Al contrario, se questa quantità q è contrassegnata col segno -, le vere saranno quelle dall’altro lato; e le false, o minori di zero, saranno dal lato dove si trova E, il centro del cerchio. Infine, se questo cerchio non interseca né tocca la parabola in alcun punto, ciò indica che non esiste alcuna radice, né vera né falsa, nell’equazione, e che tutte sono immaginarie. Pertanto, questa regola è la più generale e la più completa che si possa desiderare.
La dimostrazione è molto semplice. Infatti, se la linea GK, trovata tramite questa costruzione, si chiama z, AK sarà z² a causa della parabola, nella quale GK deve essere media proporzionale tra AK e il lato destro che è 1; poi, se da AK tolgo AC, che è
,
CD che è:
,
resta DK, o EM, che è:
,
il cui quadrato è:
z⁴ – pz² – z² +
e poiché DE, o KM è:
,
la GM intera è:
,
il cui quadrato è:
,
e sommando questi due quadrati, si ottiene:
z⁴ – pz² + qz + ,
per il quadrato della linea GE, poiché essa è la base del triangolo rettangolo EMG.
Ma poiché questa stessa linea GE è il semidiametro del cerchio FG, essa può essere espressa in altri termini: infatti, ED essendo:
e AD essendo:
,
EA è:
a causa dell’angolo retto ADE; poi, HA essendo media proporzionale tra AS che è 1 e AR che è r, essa è:
,
e a causa dell’angolo retto EAH, il quadrato di HE, o EG è:
;
si bien qu’il y a Équation entre cette somme et la précédente, ce qui est le même que z4 = pz2 – qz + r.
et par conséquent la ligne trouvée GK qui a été nommée z est la racine de cette équation, ainsi qu’il fallait démontrer. Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle, en changeant les signes + et - selon l’occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu’il soit besoin que je m’y arête.
L’invention de quatre moyennes proportionnelles.
Si on veut donc suivant cette règle trouver deux moyennes proportionnelles entre les lignes a et q ; chacun sait que posant z pour l’une, comme a est à z, ainsi z à :
, et à
de façon qu’il y a équation entre :
q et ,
c’est-à-dire :
z3 = a2q.
Et la parabole FAG étant décrite, avec la partie de son essieu AC, qui est :
la moitié du côté droit ; il faut du point C élever la perpendiculaire CE égale à :
et du centre E par A, décrivant le cercle AF, on trouve FL et LA, pour les deux moyennes cherchées.
La division de l’angle en trois.
Tout de même si on veut diviser l’angle NOP, ou bien l’arc, ou portion de cercle NQTP, en trois parties égales ; faisant NO = 1, pour le rayon du cercle et, pour la subtendue de l’arc donné, et NQ = z pour la subtendue du tiers de cet arc ; l’équation vient z3 = 3z - q, Car ayant tiré les lignes NQ, OQ, OT ; et faisant QS parallèle à TO, on voit que comme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à RS ; en sorte que NO étant 1, et NQ étant z, QR est z2, et RS est z3 ; et à cause qu’il s’en faut seulement RS ou z3 que la ligne NP, qui est q, ne soit triple de NQ, qui est z, on a : q = 3z - z3, ou bien z3 = 3z - q.
Puis la Parabole FAG étant décrite et CA la moitié de son côté droit principal étant :
on prend :
CD =
et la perpendiculaire :
DE = ,
et que du centre E, par A, on décrive le cercle FAgG, il coupe cette Parabole aux trois points F, g et G, sans compter le point A qui en est le sommet. Ce qui montre qu’il y a trois racines en cette équation, à savoir les deux GK et gk, qui sont vraies ; et la troisième qui est fausse, à savoir FL. Et de ces deux vraies c’est gk la plus petite qu’il faut prendre pour la ligne NQ qui était cherchée. Car l’autre GK est égale à NV, la subtendue de la troisième partie de l’arc NVP, qui avec l’autre arc NQP achève le cercle. Et la fausse FL est égale à ces deux ensemble QN et NV, ainsi qu’il est aisé à voir par le calcul.
Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions.
Il serait superflus que je m’arrêtasse a donner ici d’autres exemples ; car tous les Problèmes qui ne sont que solides se peuvent réduire à tel point, qu’on n’a aucun besoin de cette règle pour les construire, sinon en tant qu’elle sert à trouver deux moyennes proportionnelles, ou bien à diviser un angle en trois parties égales. Ainsi que vous connaîtrez en considérant, que leurs difficultés peuvent toujours être comprises en des Équations, qui ne montent que jusqu’au carré de carré, ou au cube : Et que toutes celles qui montent au carré de carré, se réduisent au carré, par le moyen de quelques autres, qui ne montent que jusqu’au cube, et enfin qu’on peut ôter le second ternie de celles-ci. En sorte qu’il n’y en a point qui ne se puisse réduire à quelqu’une de ces trois formes :
z3 = - pz + q,
z3 = + pz + q,
z3 = + pz - q.
Or si on a z3 = - pz + q, la règle dont Cardan attribue l’invention à un nommé Scipio Ferreus, nous apprend que la racine est :
Comme aussi lorsqu’on a z3 = + pz + q, et que le carré de la moitié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, vue pareille règle nous apprend que la racine est :
D’où il paraît qu’on peut construire tous les problèmes, dont les difficultés se réduisent à l’une de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques pour autre chose, que pour tirer les racines cubiques de quelques quantité données, c’est à dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces quantités et l’unité.
Puis si on a z3 = + pz + p, et que le carré de la moitié du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, en supposant le cercle NQPV, dont le demi-diamètre NO soit :
,
c’est à dire la moyenne proportionnelle entre le tiers de la quantité donnée p et l’unité ; et supposant aussi la ligne NP inscrite dans ce cercle qui soit :
,
c’est à dire qui soit à l’autre quantité donne q comme l’unité est au tiers de p ; il ne faut que diviser chacun des deux arcs NQP et NVP en trois parties égales, et on aura NQ, la subtendue du tiers de l’un, et NV la subtendue du tiers de l’autre, qui jointes ensemble composeront la racine cherchée.
Enfin si on a z3 = pz - q en supposant derechef le cercle NQPV, dont le rayon NO soit :
et l’inscrite NP soit :
,
NQ la subtendue du tiers de l’arc NQP sera l’une des racines cherchées, et NV la sustendue du tiers de l’autre arc sera l’autre. Au moins si le carré de la moitié du dernier terme, n’est point plus grand, que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième ; car s’il était plus grand, la ligne NP ne pourrait être inscrite dans le cercle, à cause qu’elle serait plus longue que son diamètre : Ce qui serait cause que les deux vraies racines de cette équation ne seraient qu’imaginaires, et qu’il n’y en aurait de réelles que la fausse, qui suivant la règle de Cardan serait :
La façon d’exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques, et ensuite de toutes celles qui ne montent que jusqu’au carré de carré.
Au reste il est à remarquer que cette façon d’exprimer la valeur des racines par le rapport qu’elles ont aux côtés de certains cubes dont il n’y a que le contenu qu’on connaisse, n’est en rien plus intelligible, ni plus simple, que de les exprimer par le rapport qu’elles ont aux subtendues de certains arcs, ou portions de cercles, dont le triple est donné. En sorte que toutes celles des équations cubiques qui ne peuvent être exprimées par les règles de Cardan, le peuvent être autant ou plus clairement par la façon ici proposée.
Car si par exemple, on pense connaître la racine de cette équation z3 = - qz + p, à cause qu’on sait qu’elle est composée de deux lignes, dont l’une est le côté d’un cube, duquel le contenu est :
,
ajouté au côté d’un carré, duquel derechef le contenu est :
;
Et l’autre est le côté d’un autre cube, dont le contenu est la différence qui est entre :
,
et le côté de ce carré dont le contenu est :
,
qui est tout ce qu’on en apprend par la règle de Cardan ; il n’y a point de doute qu’on ne connaisse autant ou plus distinctement la racine de celle-ci :
z3 = + qz - p,
en la considérant inscrite dans un cercle, dont le demi-diamètre est :
,
et sachant qu’elle y est la subtendue d’un arc dont le triple a pour subtendue :
.
Même ces termes sont beaucoup moins embarrassés que les autres, et ils se trouveront beaucoup plus cours si on veut user de quelque chiffre particulier pour exprimer ces subtendues, ainsi qu’on fait du chiffre pour exprimer le côté des cubes.
Et on peut aussi, en suite de ceci, exprimer les racines de toutes les équations qui montent jusqu’au carré de carré, par les règles ci-dessus expliquées. En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière. Car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu’on les exprime en termes plus simples, ni qu’on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.
Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques, ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées.
Thus, there exists an equation relating this sum to the previous one, which is equivalent to z4 = pz2 – qz + r.
And therefore, the line found at GK, which was named z, is indeed the root of this equation, just as it had to be demonstrated. And if you apply this same calculation to all other cases of this rule, changing the signs + and - according to the situation, you will find the same result in each case, without my needing to stop here to illustrate every one.
The invention of four proportional means.
Therefore, if we want to find two proportional means between lines a and q according to this rule, it is well known that if we set z as one of these means, since a is in proportion to z, then z is also in proportion to the other mean.
, et à
in such a way that there is an equation between.
q et ,
that is to say:
z3 = a2q.
And having described the FAG parable, including the part of its axis AC which is.
The right side, up to half of it; from point C, one must draw a perpendicular CE, which is equal to.
And from point E through point A, describing the circle AF, we obtain FL and LA, which are the two mean values sought after.
The division of an angle into three parts.
Even if one were to wish to divide the angle NOP, or the arc NQTP, into three equal parts—where NO represents the radius of the circle and the subtended angle, and where NQ represents the subtended angle of one-third of this arc, with z representing the length of that third part—the equation would be z³ = 3z – q. For, by drawing lines NQ, OQ, and OT, and since QS is parallel to OT, it follows that just as NO is to NQ, so is NQ to QR, and QR to RS. Therefore, if NO is equal to 1 and NQ is equal to z, then QR is equal to z², and RS is equal to z³. And since the line NP, which has a length of q, is only one-third shorter than NQ, which has a length of z, it follows that q = 3z – z³, or alternatively, z³ = 3z – q.
Then, since the FAG Parable was described, and half of its main right side is.
One takes.
CD =
and the perpendicular line:
DE = ,
And since from the center E, through point A, one can draw the circle FAgG, it intersects this parabola at three points: F, g, and G—excluding point A itself, which is the vertex of the parabola. This demonstrates that there are three roots to this equation: the two values GK and gk, which are real; and a third root, FL, which is imaginary. Of these two real roots, gk is the smaller one that must be taken as the value for line NQ, which was the objective of our investigation. For the other value GK is equal to NV, the length of the third segment of the arc NVP; together with the arc NQP, these segments complete the circle. As for the imaginary root FL, it is equal to the sum of QN and NV, as can be easily verified through calculation.
That all solid problems can be reduced to these two constructs.
It would be superfluous for me to provide further examples here; for all problems that are merely geometric in nature can be reduced to such a degree that this rule is entirely unnecessary for their solution—except perhaps in cases where it is used to find two proportional means, or to divide an angle into three equal parts. As you will also see, the difficulties involved in these problems can always be expressed in equations that extend no further than the square of a square or the cube; moreover, all equations that involve the square of a square can be reduced to the simple square form through the use of other equations that only extend up to the cube. Finally, it is possible to eliminate any unnecessary complexity from these equations. In short, none of these problems cannot be reduced to one of these three basic forms.
z3 = - pz + q,
z3 = + pz + q,
z3 = + pz - q.
Or if we have z3 = -pz + q, then the rule which Cardan attributes to a person named Scipio Ferreus tells us that the root is:
Just as when we have z3 = +pz + q, and the square of half of the last term is greater than the cube of one-third of the known value of the penultimate term, this same rule tells us that the root is.
It seems therefore that one can construct all problems whose difficulties boil down to one of these two forms, without needing conic sections for anything other than to find the cube roots of given quantities—that is, to determine two proportional means between those quantities and the unit.
Furthermore, if we have z3 = +pz + p, and if the square of half of the last term is not greater than the cube of one-third of the known quantity of the penultimate term, assuming the circle NQPV has a diameter NO of.
,
That is to say, it represents the average proportional relationship between one-third of the given quantity p and the unit; and assuming also that the line NP drawn within this circle is.
,
In other words, if one quantity is to another in the same ratio as one unit is to one-third of p, then it is sufficient to divide each of the two arcs NQP and NVP into three equal parts. Thus, NQ will represent the subtended angle corresponding to one-third of one arc, and NV will represent the subtended angle corresponding to one-third of the other arc; when combined, these two angles will form the desired root.
Ultimately, if we have z3 = pz - q, assuming the circle NQPV with radius NO.
and let the value of NP be:
,
NQ will be one of the roots sought; NV will be the other, assuming that the square of half of the last term is not greater than the cube of one-third of the known value of the penultimate term. For if it were greater, the line NP could not be inscribed within the circle, as it would be longer than its diameter. In that case, the two true roots of this equation would be imaginary, and the only real root would be the false one, which, according to Cardan’s rule, would be.
The method for expressing the values of all the roots of cubic equations, and subsequently those of all equations that only extend up to the square of the square root.
Furthermore, it is worth noting that this method of expressing the values of roots in terms of their relationships to certain cubes whose contents alone are known is neither more understandable nor simpler than expressing those same roots in terms of their relationships to the subtends of certain arcs or portions of circles, for which the triple values are already given. As a result, all those cubic equations that cannot be solved using Cardan’s rules can be expressed just as clearly—and perhaps even more so—by the method proposed here.
Because for example, if one thinks they know the root of this equation z³ = -qz + p, simply because they know that it consists of two terms, one of which is the side of a cube.
,
added alongside a square, the content of which is:
;
And the other is one side of another cube, whose content represents the difference that exists between.
,
and the side of this square whose content is:
,
which is all that we can learn from Cardan’s rule; there is no doubt that we know the root of this equation just as clearly, if not more so.
z3 = + qz - p,
considering it to be inscribed within a circle whose diameter is:
,
and knowing that it represents the radius of an arch whose three times would equal the corresponding chord length.
.
Even these terms are far less awkward than the others, and they will become much more common if one wishes to use a particular number to express these angles, just as the number three is used to represent the side of cubes.
And furthermore, it is also possible, following these methods, to express the roots of all equations that extend up to the square of a square, using the rules explained above. Thus, I see no further need for anything else in this regard. For indeed, the very nature of these roots makes it impossible to express them in simpler terms, nor to determine them through any construction that would be both more general and easier to use.
Why can’t solid problems be constructed without conic sections, nor can more complex problems be solved without the use of some additional, more complex lines?
Sebbene esista un’equazione tra questa somma e la precedente, ciò equivale a dire che z4 = pz2 – qz + r.
E quindi la retta individuata, chiamata z, è effettivamente la radice di questa equazione, come era necessario dimostrare. E se applicate lo stesso calcolo a tutti gli altri casi di questa regola, cambiando i segni + e - a seconda delle circostanze, otterrete sempre lo stesso risultato, senza che sia necessario che io mi soffermi ulteriormente su questo punto.
L’invenzione di quattro tipi di proporzioni proporzionali.
Quindi, se vogliamo trovare due medie proporzionali tra le linee a e q seguendo questa regola, tutti sanno che, dato z come una di queste medie, poiché a è in proporzione a z, allo stesso modo anche z è in proporzione a.
, et à
affinché esista un equilibrio tra:
q et ,
In altre parole:
z3 = a2q.
E poiché è stata descritta la parabola FAG, con quella parte del suo asse AC che è.
La metà del lato destro; è necessario, dal punto C, elevare la perpendicolare CE, la quale deve essere uguale a.
E dal punto centrale E, passando per il punto A e tracciando il cerchio AF, si ottengono i punti FL e LA, che corrispondono alle due medie desiderate.
La divisione dell’angolo in tre parti.
Tuttavia, se si vuole dividere l’angolo NOP, o l’arco NQTP, in tre parti uguali; assumendo che NO rappresenti il raggio del cerchio e la subtendente dell’arco considerato, e che NQ sia pari a z per indicare la subtendente di un terzo di tale arco; allora l’equazione diventa z³ = 3z – q. Poiché si sono tracciate le rette NQ, OQ, OT, e poiché QS è parallela a TO, si può osservare che, come NO è proporzionale a NQ, così NQ lo è a QR, e QR a RS; quindi, dato che NO vale 1 e NQ vale z, QR equivale a z² e RS a z³. Poiché la retta NP, lunga q, è soltanto di un terzo più lunga di NQ, si ottiene: q = 3z – z³, ovvero z³ = 3z – q.
Poi, poiché è stata descritta la Parabola FAG, e metà del suo lato destro principale è.
Si prende.
CD =
e la perpendicolare:
DE = ,
E che, partendo dal punto E e passando per il punto A, si descriva il cerchio FAgG; questo cerchio interseca la parabola nei tre punti F, g e G, senza includere il punto A che ne è il vertice. Ciò dimostra che in questa equazione esistono tre radici: le due GK e gk, che sono valide; e la terza, FL, che è falsa. Di queste due valide, gk è la più piccola e deve essere presa come lunghezza della retta NQ, che era stata cercata. Infatti, l’altra radice GK è uguale a NV, la corda del terzo arco dell’arcobaleno NVP; quest’ultimo, insieme all’arco NQP, completa il cerchio. Inoltre, la radice falsa FL è uguale alla somma delle due lunghezze QN e NV, come si può facilmente verificare attraverso i calcoli.
Che tutti i problemi solidi possano essere ridotti a queste due strutture fondamentali.
Sarebbe superfluo che mi soffermassi qui ad aggiungere altri esempi; poiché tutti i Problemi che sono di natura puramente matematica possono essere ridotti a un tale grado che non vi sia alcun bisogno di questa regola per risolverli, se non nel caso in cui essa serva a individuare due medie proporzionali o a dividere un angolo in tre parti uguali. Come potrete constatare voi stessi, le difficoltà legate a tali problemi possono sempre essere espresse attraverso Equazioni che non vanno oltre il grado del quadrato o del cubo; inoltre, tutte quelle equazioni che raggiungono il grado del quadrato possono essere ridotte al semplice quadrato, utilizzando altre formule che non superano il grado del cubo. Infine, è possibile eliminare la seconda componente di tali formule, in modo che nessuna di esse rimanga irrisolvibile. In breve, non esiste alcun problema matematico che non possa essere ridotto a una di queste tre forme.
z3 = - pz + q,
z3 = + pz + q,
z3 = + pz - q.
Ora, se abbiamo z3 = -pz + q, la regola di cui Cardano attribuisce l’invenzione a un certo Scipione Ferreo ci insegna che la radice è.
Allo stesso modo, quando si ha z3 = + pz + q, e il quadrato della metà dell’ultimo termine è maggiore del cubo di un terzo della quantità nota del penultimo termine, questa regola ci insegna che la radice è.
Da ciò sembra che si possano costruire tutti i problemi, i cui difficoltà si riducono a una di queste due forme, senza aver bisogno delle sezioni coniche per altro scopo se non quello di calcolare le radici cubiche di determinate quantità, ovvero di trovare due medie proporzionali tra tali quantità e l’unità.
Allora, se abbiamo z3 = +pz + p, e il quadrato della metà dell’ultimo termine non è maggiore del cubo di un terzo della quantità nota del penultimo termine, assumendo il cerchio NQPV, il cui diametro medio NO sia.
,
In altre parole, si tratta della proporzione media e proporzionale tra un terzo della quantità data “p” e l’unità; e supponendo inoltre che la linea “NP”, tracciata all’interno di questo cerchio, sia.
,
In altre parole, si tratta di un valore tale che, per una data quantità q, esso rappresenti per l’unità ciò che il terzo di p rappresenta per quella quantità; basta semplicemente dividere ciascuno dei due archi NQP e NVP in tre parti uguali: così otterremo NQ, la corda del terzo dell’arco NQP, e NV, la corda del terzo dell’arco NVP; queste due corde, unite insieme, costituiranno la radice cercata.
Infine, se abbiamo z3 = pz - q, assumendo immediatamente il cerchio NQPV, il cui raggio NO è.
e che la scritta NP sia:
,
La corda del terzo dell’arco NQP sarà una delle radici cercate, mentre la corda del terzo dell’altro arco sarà l’altra. Almeno, se il quadrato della metà dell’ultimo termine non è maggiore del cubo del terzo della quantità conosciuta del penultimo termine; perché se lo fosse, la retta NP non potrebbe essere tracciata all’interno del cerchio, poiché sarebbe più lunga del suo diametro. Ciò significherebbe che le due vere radici di questa equazione sarebbero solo immaginarie, e l’unica reale sarebbe quella falsa; tale radice, secondo la regola di Cardano, sarebbe.
Il modo per esprimere il valore di tutte le radici delle equazioni cubiche, e successivamente di quelle che non superano il grado del quadrato.
Inoltre, è da notare che questo modo di esprimere il valore delle radici in base al rapporto che esse hanno con certi cubi i cui valori sono noti soltanto, non è affatto più comprensibile né più semplice rispetto al metodo che le esprime in base al rapporto che esse hanno con le cordate di certi archi o porzioni di cerchi i cui valori triplicati sono dati. Pertanto, tutte quelle equazioni cubiche che non possono essere risolte utilizzando le regole di Cardano, possono essere risolte altrettanto facilmente – se non addirittura più chiaramente – con il metodo qui proposto.
Perché, ad esempio, si pensa di conoscere la radice di questa equazione z³ = -qz + p, poiché si sa che è composta da due termini; uno di questi termini rappresenta il lato di un cubo, il cui valore.
,
Aggiunto accanto a un quadrato, il cui contenuto è:
;
E l’altro è il lato di un altro cubo, il cui contenuto rappresenta la differenza che esiste tra.
,
e il lato di questo quadrato il cui contenuto è:
,
Questo è tutto ciò che possiamo sapere al riguardo attraverso la regola di Cardano; non vi è dubbio che conosciamo la radice di tale numero in modo altrettanto chiaro, se non addirittura più preciso.
z3 = + qz - p,
considerandola inserita in un cerchio il cui semidiametro è.
,
e sapendo che essa rappresenta la corda di un arco il cui triplo ha per corda.
.
Anche questi termini sono molto meno imbarazzanti degli altri, e diventeranno ancora più comuni se si decidesse di utilizzare un numero specifico per esprimere queste grandezze, proprio come si fa con il numero tre per indicare il lato dei cubi.
E si può anche, sulla base di ciò che è stato detto, esprimere le radici di tutte le equazioni che arrivano fino al quadrato del quadrato, utilizzando le regole spiegate sopra. Quindi non so cosa altro desiderare in questa materia. Poiché, dopotutto, la natura stessa di queste radici non permette di esprimerle in termini più semplici, né di determinarle attraverso alcuna costruzione che sia al contempo più generale e più facile da utilizzare.
Perché i problemi solidi non possono essere risolti senza l’uso delle sezioni coniche, e nemmeno quelli più complessi possono essere affrontati senza l’aggiunta di altre linee o elementi più articolati.
Il est vrai que je n’ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde, pour oser ainsi assurer si une chose est possible ou ne l’est pas. Mais, si on prend garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des géomètres se réduit à un même genre de Problèmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelque équation, on jugera bien qu’il n’est pas malaisé de faire un dénombrement de toutes les voies par lesquelles on les peut trouver, qui soit suffisant pour démontrer qu’on a choisi la plus générale et la plus simple. Et particulièrement pour ce qui est des Problèmes solides, que j’ai dit ne pouvoir être construis, sans qu’on y emploie quelque ligne plus composée que la circulaire, c’est chose qu’on peut assez trouver, de ce qu’ils se réduisent tous à deux constructions ; en l’une desquelles il faut avoir tout ensemble les deux points, qui déterminent deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, et en l’autre les deux points, qui divisent en trois parties égales vu arc donné ; car d’autant que la courbure du cercle ne dépend, que d’un simple rapport de toutes ses parties, au point qui en est le centre ; on ne peut aussi s’en servir qu’à déterminer un seul point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser en deux un arc donné ; au lieu que la courbure des sections coniques, dépendant toujours de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points différents.
Mais pour cette même raison il est impossible, qu’aucun des problèmes qui sont d’un degré plus composés que les solides, et qui présupposent l’invention de quatre moyennes proportionnelles, ou la division d’un angle en cinq parties égales, puissent être construits par aucune des sections coniques. C’est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qui se puisse, si je donne une règle générale pour les construire, en y employant la ligne courbe qui se décrit par l’intersection d’une parabole et d’une ligne droite en la façon ci-dessus expliquée ; car j’ose assurer qu’il n’y en a point de plus simple en la nature, qui puisse servira ce même effet, et vous avez vu comme elle suit immédiatement les sections coniques, en cette question tant cherchée par les anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les lignes courbes, qui doivent être reçues en géométrie.
Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n’a point plus de six dimensions.
Vous savez déjà comment, lorsqu’on cherche les quantités qui sont requises pour la construction de ces problèmes, on les peut toujours réduire à quelque équation, qui ne monte que jusqu’au carré de cube, ou au sursolide. Puis vous savez aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette équation, on peut toujours faire qu’elles deviennent toutes vraies, et avec cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré de la moitié de celle du second ;et enfin comment, si elle ne monte que jusqu’au sursolide, on la peut hausser jusqu’au carré de cube, et faire que la place d’aucun de ses termes ne manque d’être remplie. Or afin que toutes les difficultés, dont il est ici question, puisse être résolues par une même règle, je désire qu’on fasse toutes ces choses, et par ce moyen qu’on les réduise toujours à une équation de telle forme y6 - py5 + qy4 - ry3 + sy2 - ty + v = 0, et en laquelle la quantité nommée q soit plus grande que le carré de la moitié de celle qui est nommée p.
Puis ayant fait la ligne BK indéfiniment longue des deux côtés du point B ayant tiré la perpendiculaire AB, dont la longueur soit :
il faut dans un plan séparé décrire une Parabole, comme CDF dont le côté droit principal soit :
que je nommerai n pour abréger.
Après cela il faut poser le plan dans lequel est cette parabole sur celui où sont les lignes AB et BK, en sorte que son essieu DE se rencontre justement au-dessus de la ligne droite BK ; et ayant pris la partie de cet essieu, qui est entre les points E et D, égale à :
,
il faut appliquer sur ce point E une longue règle, en telle façon qu’étant aussi appliquée sur le point A du plan de dessous, elle demeure toujours jointe à ces deux points, pendant qu’on haussera ou baissera la Parabole tout le long de la ligne BK, sur laquelle son essieu est appliqué au moyen de quoi l’intersection de cette Parabole, et de cette règle, qui se fera au point C, décrira la ligne courbe ACN, qui est celle dont nous avons besoin de nous servir pour la construction du Problème proposé. Car après qu’elle est ainsi décrite, si on prend le point L en la ligne BK, du côté vers lequel est tourné le sommet de la Parabole, et qu’on fasse BL égale à DE, c’est à dire à :
;
puis du point L, vers B, qu’on prenne en la même ligne BK, la ligne LH, égale à :
,
et que du point H ainsi trouvé, on tire à angles droits, du côté qu’est la courbe ACN, la ligne HI, dont la longueur soit :
qui pour abréger sera nommée ; Et après, ayant joint les points L et I, qu’on décrive le cercle LPI, dont IL soit le diamètre ; et qu’on inscrive en ce cercle la ligne LP dont la longueur soit :
,
Puis enfin du centre I, par le point P ainsi trouvé, qu’on décrive le cercle PCN. Ce cercle coupera ou touchera la ligne courbe ACN, en autant de points qu’il y aura de racines en l’équation : En sorte que les perpendiculaires tirées de ces points sur la ligne BK, comme CG, NR, QO, et semblables, seront les racines cherchées. Sans qu’il y ait aucune exception ni aucun défaut en cette règle. Car si la quantité s était si grande, à proportion des autres p, q, r, t, et v, que la ligne LP se trouvât plus grande que le diamètre du cercle IL, en sorte qu’elle n’y put être inscrite, il n’y aurait aucune racine en l’équation proposée qui ne fût imaginaire ; non plus que si le cercle IP était si petit, qu’il ne coupât la courbe ACN en aucun point. Et il la peut couper en six différents ainsi qu’il peut y avoir six diverses racines en l’équation. Mais lorsqu’il la coupe en moins, cela témoigne qu’il y a quelques-unes de ces racines qui sont égales entre elles, ou bien qui ne sont qu’imaginaires.
Que si la façon de tracer la ligne ACN par le mouvement d’une Parabole vous semble incommode, il est aisé de trouver plusieurs autres moyens pour la décrire.
Comme si ayant les mêmes quantités que devant pour AB et BL ; et la même pour BK, qu’on avait posée pour le côté droit principal de la Parabole ; on décrit le demi-cercle KST dont le centre soit pris a discrétion dans la ligne BK, en sorte qu’il coupe quelque part la ligne AB, comme au point S, et que du point T, du il finit, on prenne vers K la ligne TV, égale à BL ; puis ayant tiré la ligne SV, qu’on en tire une autre, qui lui soit parallèle, par le point A, comme AC ; et qu’on en tire aussi une autre par S, qui soit parallèle à BK, comme SC ; le point C, ou ces deux parallèles se rencontrent, sera l’un de ceux de la ligne courbe cherchée. Et on en peut trouver, en même sorte, autant d’autres qu’on en désire.
Or la démonstration de tout ceci est assez facile. Car appliquant la règle AE avec la parabole ED sur le point C ; comme il est certain qu’elles peuvent y être appliquées ensemble, puisque ce point C est en la courbe ACN, qui est décrite par leur intersection ; si CG se nomme y, GD sera :
,
à cause que le côté droit, qui est n, est à CG, comme CG à GD, et ôtant DE, qui est :
de GD, on a :
, pour G E.
Puis à cause que AB est a BE comme CG est à GE ; AB étant :
BE est :
Et tout de même en supposant que le point C de la courbe a été trouvé par l’intersection des lignes droites, SC parallèle à BK, et AC parallèle à SV. SB qui est égale à CG, est y : et BK étant égale au côté droit de la parabole, que j’ai nommé n, BT est :
car comme KB est à BS, ainsi BS est à BT. Et TV étant la même que BL, c’est-à-dire :
,
BV est :
It is true that I have not yet explained the reasons on which I base my assertion that a given thing is either possible or impossible. However, if we carefully consider how, by the method I employ, everything within the scope of geometers’ consideration reduces to a single type of problem—namely, finding the value of the roots of some equation—we will readily see that it is not difficult to enumerate all the ways in which these roots can be found, enough to demonstrate that we have chosen the most general and simplest approach. Particularly when it comes to solid problems, which, as I have said, cannot be constructed without employing a curve more complex than the circular one, this becomes quite apparent: for all such problems reduce to two constructions. In one of these, we must simultaneously determine two points that define two mean proportionals between two given lines; in the other, we must determine two points that divide a given arc into three equal parts. For since the curvature of a circle depends solely on the simple ratio of all its parts relative to the point at its center, it can only be used to determine a single point between two extremes—for example, to find a mean proportional between two given straight lines or to divide a given arc into two equal parts. On the other hand, the curvature of conic sections, depending always on two distinct factors, can also serve to determine two different points.
Yet for precisely this reason, it is impossible for any problem of a degree more complex than solid ones—which presuppose the invention of four mean proportionals or the division of an angle into five equal parts—to be constructed by means of any conic section. Therefore, I believe I shall do the best I can in this regard if I provide a general rule for constructing such problems by using the curved line generated by the intersection of a parabola and a straight line, as explained above. For I dare to assert that there is no simpler curve in nature that could serve the same purpose, and you have seen how closely it follows the conic sections in this question so long sought after by the ancients, whose solution systematically introduces all the curved lines that should be accepted in geometry.
A general method for constructing all problems reducible to an equation no higher than sixth degree.
You already know that when seeking the quantities required for the construction of these problems, we can always reduce them to some equation that rises no higher than the cube of a square or the supersolid. You also know that by increasing the values of the roots of this equation, we can always ensure that they all become real—and with that, that the known quantity of the third term is greater than the square of half the second term. Finally, you know that if the equation rises only to the supersolid, we can raise it to the cube of a square and ensure that no term is left unfilled. Now, in order that all the difficulties discussed here can be resolved by a single rule, I wish that we carry out all these steps, thereby reducing every problem to an equation of the following form: y⁶ - py⁵ + qy⁴ - ry³ + sy² - ty + v = 0, where the quantity named q is greater than the square of half the quantity named p.
Next, having drawn the line BK infinitely long on both sides of point B, and having erected the perpendicular AB, whose length is:
we must, in a separate plane, construct a parabola, such as CDF, whose principal right side is:
which I shall abbreviate as n.
After that, we must place the plane containing this parabola onto the plane containing the lines AB and BK, so that its axis DE intersects exactly above the straight line BK. Then, taking the portion of this axis between points E and D, equal to:
,
we must apply a long ruler onto this point E in such a way that, when applied also onto point A in the lower plane, it remains permanently connected to both points as we raise or lower the parabola along the line BK, upon which its axis is applied. Thus, the intersection of this parabola and the ruler, occurring at point C, will trace out the curved line ACN, which is precisely the one we need for constructing the proposed problem. For once this line has been thus described, if we take point L on the line BK, on the side toward which the vertex of the parabola is turned, and make BL equal to DE—that is, to:
;
then from point L toward B, we take on the same line BK the segment LH, equal to:
,
and from the point H thus found, we draw perpendicularly, toward the side where the curve ACN lies, the segment HI, whose length is:
which, for brevity, we shall call . Then, having joined points L and I, we describe the circle LPI, whose diameter is IL; and we inscribe in this circle the segment LP, whose length is:
,
Finally, from the center I, through the point P thus found, we describe the circle PCN. This circle will intersect or touch the curved line ACN at as many points as there are roots in the equation. Thus, the perpendiculars dropped from these points onto the line BK—such as CG, NR, QO, and others like them—will be the roots we seek. There will be no exception or defect in this rule. For if the quantity s were so large, in proportion to the other quantities p, q, r, t, and v, that the segment LP became longer than the diameter of the circle IL, making it impossible to inscribe it therein, then there would be no real roots in the proposed equation—just as there would be no real roots if the circle IP were so small that it failed to intersect the curve ACN at all. Yet it may intersect it in six different places, just as there may be six distinct roots in the equation. But when it intersects it fewer times, this indicates that some of these roots are equal to each other or else are purely imaginary.
If the method of tracing the line ACN by moving a parabola seems inconvenient to you, it is easy to find several other ways to describe it.
For instance, if we take the same quantities as before for AB and BL, and the same for BK, which we had set as the principal right side of the parabola, and we describe the semicircle KST, whose center is chosen arbitrarily along the line BK, so that it intersects the line AB somewhere, say at point S, and from point T, at the end, we take the segment TV equal to BL; then, having drawn the line SV, we draw another line parallel to it through point A, namely AC; and we also draw another line through S, parallel to BK, namely SC. The point C, where these two parallels meet, will be one of the points on the desired curved line. And in the same way, we can find as many other points as we wish.
The proof of all this is quite straightforward. For applying the ruler AE together with the parabola ED onto point C—since it is certain that they can be applied together, given that point C lies on the curve ACN, which is described by their intersection—if we call CG y, then GD will be:
,
because the principal right side, which is n, is to CG as CG is to GD, and subtracting DE, which is:
from GD, we obtain:
, for G E.
Then, because AB is to BE as CG is to GE, and AB being:
BE is:
And similarly, assuming that point C on the curve was found by the intersection of the straight lines SC, parallel to BK, and AC, parallel to SV, SB, which is equal to CG, is y; and BK being equal to the principal right side of the parabola, which I have called n, BT is:
for as KB is to BS, so is BS to BT. And since TV is the same as BL—that is:
,
BV is:
È vero che non ho ancora spiegato su quali ragioni mi baso per osare affermare con tanta sicurezza se una cosa sia possibile o meno. Tuttavia, se si presta attenzione al modo in cui, mediante il metodo che adotto, tutto ciò che rientra nella considerazione dei geometri si riduce a un unico genere di problemi, ossia quello di trovare il valore delle radici di una qualsiasi equazione, si capirà facilmente che non è difficile fare un inventario di tutte le vie attraverso le quali esse possono essere trovate, sufficiente a dimostrare che abbiamo scelto la più generale e la più semplice. In particolare, per quanto riguarda i problemi solidi, che ho detto non poter essere costruiti senza l’impiego di una linea più composta della circolare, si può ben constatare che essi si riducono tutti a due sole costruzioni: in una di queste occorre avere contemporaneamente i due punti che determinano due medie proporzionali tra due linee date, mentre nell’altra occorre avere i due punti che dividono in tre parti uguali un arco dato; poiché, dal momento che la curvatura del cerchio dipende soltanto da un semplice rapporto fra tutte le sue parti rispetto al punto che ne è il centro, essa può essere usata soltanto per determinare un solo punto fra due estremi, come per esempio trovare una media proporzionale tra due linee rette date oppure dividere in due un arco dato; invece, la curvatura delle sezioni coniche, dipendendo sempre da due grandezze diverse, può servire anche per determinare due punti distinti.
Ma proprio per questa ragione è impossibile che alcuno dei problemi di grado più complesso dei solidi, che presuppongono l’invenzione di quattro medie proporzionali o la divisione di un angolo in cinque parti uguali, possa essere costruito mediante qualunque delle sezioni coniche. Perciò riterrò di aver fatto nel presente caso tutto il meglio possibile se fornirò una regola generale per costruirli impiegando la linea curva descritta dall’intersezione di una parabola e di una linea retta secondo la modalità sopra illustrata; poiché oserei assicurare che non ve n’è alcuna più semplice in natura che possa servire allo stesso scopo, e avete visto come essa segue immediatamente le sezioni coniche in quella questione tanto ricercata dagli antichi, la cui soluzione insegna, in ordine, tutte le linee curve che devono essere accettate in geometria.
Regola generale per costruire tutti i problemi ridotti a un’equazione che non abbia più di sei dimensioni.
Sapete già come, quando si cercano le quantità necessarie alla costruzione di questi problemi, esse possano sempre essere ridotte a un’equazione che arrivi al massimo fino al cubo del quadrato o al sur-solide. Sapete inoltre come, aumentando il valore delle radici di tale equazione, si possa sempre far sì che esse diventino tutte reali e, con ciò, che la quantità nota del terzo termine sia maggiore del quadrato della metà di quella del secondo; infine, sapete come, se l’equazione arriva soltanto al sur-solide, si possa elevarla fino al cubo del quadrato e far sì che nessun termine venga lasciato incompleto. Ora, affinché tutte le difficoltà di cui qui si tratta possano essere risolte mediante una sola regola, desidero che si facciano tutte queste cose e che, in tal modo, si riducano sempre a un’equazione della forma y⁶ - py⁵ + qy⁴ - ry³ + sy² - ty + v = 0, nella quale la quantità chiamata q sia maggiore del quadrato della metà di quella chiamata p.
Poi, avendo reso la linea BK indefinitamente lunga ai due lati del punto B e avendo tracciato la perpendicolare AB, la cui lunghezza sia:
in un piano separato occorre descrivere una parabola, come CDF, il cui asse principale destro sia:
che chiamerò n per abbreviare.
Dopodiché bisogna posizionare il piano in cui si trova questa parabola sul piano in cui si trovano le linee AB e BK, in modo che il suo asse DE si incontri esattamente sopra la linea retta BK; e avendo preso la parte di questo asse compresa tra i punti E e D, uguale a:
,
bisogna applicare su questo punto E una lunga riga, in modo che, applicandola anche sul punto A del piano sottostante, essa rimanga sempre unita a questi due punti, mentre si alza o si abbassa la parabola lungo la linea BK, sulla quale l’asse è applicato; in tal modo, l’intersezione tra questa parabola e la riga, che avverrà nel punto C, descriverà la linea curva ACN, che è quella di cui abbiamo bisogno per la costruzione del problema proposto. Infatti, dopo che essa è stata così descritta, se si prende il punto L sulla linea BK, dal lato verso cui è rivolto il vertice della parabola, e si fa BL uguale a DE, cioè a:
;
poi dal punto L, verso B, si prende sulla stessa linea BK la linea LH, uguale a:
,
e dal punto H così trovato si traccia, ad angolo retto, dal lato dove si trova la curva ACN, la linea HI, la cui lunghezza sia:
che per brevità sarà chiamata ; e poi, avendo unito i punti L e I, si descrive il cerchio LPI, di cui IL sia il diametro; e si inscrive in questo cerchio la linea LP, la cui lunghezza sia:
,
poi infine, dal centro I, passando per il punto P così trovato, si descrive il cerchio PCN. Questo cerchio intersecherà o toccherà la linea curva ACN in tanti punti quante sono le radici dell’equazione; pertanto, le perpendicolari tirate da questi punti sulla linea BK, come CG, NR, QO e simili, saranno le radici cercate. Senza che vi sia alcuna eccezione né alcun difetto in questa regola. Infatti, se la quantità s fosse così grande, in proporzione alle altre p, q, r, t e v, che la linea LP risultasse più grande del diametro del cerchio IL, al punto che non potesse essere inscritta in esso, non ci sarebbe alcuna radice nell’equazione proposta che non fosse immaginaria; così come non ci sarebbe alcuna radice immaginaria se il cerchio IP fosse così piccolo da non intersecare la curva ACN in alcun punto. E può intersecarla in sei modi diversi, proprio come ci possono essere sei radici distinte nell’equazione. Ma quando la interseca in meno modi, ciò indica che alcune di queste radici sono uguali tra loro oppure sono soltanto immaginarie.
Se la modalità di tracciare la linea ACN mediante il movimento di una parabola vi sembra scomoda, è facile trovare molti altri modi per descriverla.
Per esempio, avendo le stesse quantità di prima per AB e BL; e la stessa per BK, che era stata posta come asse principale destro della parabola; si descrive il semicerchio KST, il cui centro sia scelto arbitrariamente sulla linea BK, in modo che esso intersechi qualche volta la linea AB, per esempio nel punto S, e dal punto T, all’estremità, si prende verso K la linea TV, uguale a BL; poi, tracciata la linea SV, se ne traccia un’altra parallela ad essa, passante per il punto A, come AC; e se ne traccia un’altra anche da S, parallela a BK, come SC; il punto C, o l’intersezione di queste due parallele, sarà uno dei punti della linea curva cercata. E se ne possono trovare, nello stesso modo, quanti se ne desiderano.
La dimostrazione di tutto ciò è abbastanza semplice. Infatti, applicando la riga AE con la parabola ED sul punto C; poiché è certo che esse possono essere applicate insieme, dato che il punto C si trova sulla curva ACN, che viene descritta dalla loro intersezione; se CG si chiama y, GD sarà:
,
poiché l’asse destro, che è n, sta a CG come CG sta a GD, e togliendo DE, che è:
da GD, si ha:
, per G E.
Poi, poiché AB sta a BE come CG sta a GE; AB essendo:
BE è:
E allo stesso modo, supponendo che il punto C della curva sia stato trovato dall’intersezione delle linee rette SC parallela a BK e AC parallela a SV. SB, che è uguale a CG, è y: e BK essendo uguale all’asse destro della parabola, che ho chiamato n, BT è:
poiché KB sta a BS, così come BS sta a BT. E TV essendo uguale a BL, cioè:
,
BV è:
et comme SB est à BV, ainsi AB est à BE, qui est par conséquent :
comme devant, d’où on voit que c’est une même ligne courbe qui se décrit en ces deux façons. Après cela, pour ce que BL et DE sont égales, DL et BE le sont aussi : de façon qu’ajoutant LH, qui est :
, à DL qui est ,
on a la toute DH, qui est :
et en ôtant GD, qui est :
on à GH, qui est :
,
ce que j’écris par ordre en cette sorte :
Et le carré de GH est :
,
Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu’on veuille imaginer le point C, comme vers N, ou vers Q, on trouvera toujours que le carré de la ligne droite, qui est entre le point H et celui où tombe la perpendiculaire du point C sur BH, peut être exprimé en ces mêmes termes, et avec les mêmes signes + et - .
De plus IH étant :
et LH étant :
,
IL est :
à cause de l’angle droit IHL ; et LP étant :
IP ou IC est :
à cause aussi de l’angle droit IPL. Puis ayant fait CM perpendiculaire sur IH, IM est la différence qui est entre IH et HM ou CG, c’est à dire entre :
et y,
en sorte que son carré est toujours :
qui étant ôté du carré de de IC il reste :
pour le carré de CM, qui est égal au carré de GH déjà trouvé. Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme l’autre par n2y2, on a :
puis remettant :
, pour n2y4 ;
Et :
pour 2my3 ;
et multipliant l’une et l’autre somme par n2y2, on a :
,
Égal à :
C’est à dire qu’on a, y6 - py5 + qy4 - ry3 + sy2 - ty + u = 0.
D’où il paraît que les lignes CG, NR, QO, et semblables sont les racines de cette Équation, qui est ce qu’il fallait démontrer.
Créer quatre moyennes proportionnelles.
Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les lignes a et b, ayant posé x pour la première, l’Équation est x5 - a4b = 0, ou bien x6 - a4bx =0.
En faisant y – a = x il vient y6 - 6ay5 + 15a2y4 - 20 a3y3 + 15 a4y2 - (6a5 + a4b) +a6 + a5b = 0.
C’est pourquoi il faut prendre 3a pour la ligne AB, et :
pour BK ou le côté droit de la parabole, que j’ai nommé n, et :
pour DE ou BL.
Et après avoir décrit la ligne courbe ACN sur la mesure de ces trois, il faut faire :
et :
et :
,
car le cercle qui, ayant son centre au point I passera par le point P ainsi trouvé, coupera la courbe aux deux points C et N, desquels ayant tiré les perpendiculaires NR et CG, si la moindre NR est ôtée de la plus grande CG, le reste sera x, la première des quatre moyennes cherchées.
Il est aisé en même façon de diviser un angle en cinq parties égales, et d’inscrire une figure de onze ou treize côtés égaux dans un cercle, et de trouver une infinité d’autres exemples de cette règle. Toutefois il est à remarquer qu’en plusieurs de ces exemples il peut arriver que le cercle coupe si obliquement la parabole du second genre, que le point de leur intersection soit difficile à reconnaître, et ainsi que cette construction ne soit pas commode pour la pratique ; à quoi il serait aisé de remédier en composant d’autres règles à l’imitation de celle-ci, comme on en peut composer de mille sortes.
Mais mon dessein n’est pas de faire un gros livre, et je tâche plutôt de comprendre beaucoup en peu de mots, comme on jugera peut-être que j’ai fait, si on considère qu’ayant réduit à une même construction tous les problèmes d’un même genre, j’ai tout ensemble donné la façon de les réduire à une infinité d’autres diverses, et ainsi de résoudre chacun d’eux en une infinité de façons ;puis outre cela, qu’ayant construit tous ceux qui sont plans en coupant d’un cercle une ligne droite, et tous ceux qui sont solides en coupant aussi d’un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d’un degré plus composés en coupant tout de même d’un cercle une ligne qui n’est que d’un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à l’infini : car, en matière de progressions mathématiques, lorsqu’on a les deux ou trois premiers termes, il n’est pas malaisé de trouver les autres. Et j’espère que nos neveux me sauront gré, non seulement des choses que j’ai ici expliquées, mais aussi de celles que j’ai omises volontairement, afin de leur laisser le plaisir de les inventer.
FIN DU TRAITÉ DE LA GÉOMÉTRIE
And just as SB is to BV, so AB is to BE, which consequently is:
as before, from which it is evident that the same curved line is described in these two ways. After this, since BL and DE are equal, DL and BE are also equal: thus, adding LH, which is:
to DL, which is:
we obtain DH entirely, which is:
and subtracting GD, which is:
we get GH, which is:
,
which I write in order as follows:
And the square of GH is:
,
And at any other point C on this curved line—whether toward N or toward Q—we will always find that the square of the straight line between point H and the point where the perpendicular from point C falls on BH can be expressed using precisely these same terms and with the same signs + and - .
Moreover, since IH is:
and LH is:
IL is:
because of the right angle IHL; and LP is:
IP or IC is:
also because of the right angle IPL. Then, having drawn CM perpendicular to IH, IM is the difference between IH and HM or CG—that is, between:
and y,
so its square is always:
which, when subtracted from the square of IC, leaves:
for the square of CM, which is equal to the square of GH already found. Alternatively, if we divide this sum as before by n2y2, we have:
then substituting:
for n2y4;
and:
for 2my3;
and multiplying both sums by n2y2, we obtain:
,
equal to:
That is, we have: y6 - py5 + qy4 - ry3 + sy2 - ty + u = 0.
From this it appears that the lines CG, NR, QO, and similar ones are the roots of this equation—which was what needed to be demonstrated.
Construct four mean proportionals.
Thus, if we wish to find four mean proportionals between the lines a and b, setting x as the first one, the equation becomes x5 - a4b = 0, or alternatively x6 - a4bx = 0.
By letting y – a = x, we obtain y6 - 6ay5 + 15a2y4 - 20a3y3 + 15a4y2 - (6a5 + a4b) + a6 + a5b = 0.
Therefore, we must take 3a for the line AB, and:
for BK or the right side of the parabola, which I’ve called n, and:
for DE or BL.
After describing the curved line ACN according to the measurements of these three, we must then make:
and:
and:
,
because the circle whose center is at point I and passes through the point P thus found will intersect the curve at two points, C and N. From these points, drawing the perpendiculars NR and CG, if the shorter NR is subtracted from the longer CG, the remainder will be x, the first of the four mean proportionals sought.
It is equally easy to divide an angle into five equal parts, to inscribe an eleven- or thirteen-sided figure of equal sides within a circle, and to find an infinite number of other examples of this rule. However, it should be noted that in several of these examples, the circle may intersect the second-type parabola at such an oblique angle that the point of intersection becomes difficult to identify—and thus this construction would not be convenient for practical use. To remedy this, it would be easy to devise other rules modeled after this one, as one could compose a thousand different kinds of them.
But my intention is not to write a large book; rather, I strive to encompass much in few words—as perhaps you’ll judge I have done, considering that having reduced all problems of the same type to a single construction, I have simultaneously provided a method for reducing them to an infinite variety of others, and thus solving each of them in an infinite number of ways. Moreover, having constructed all planar problems by cutting a straight line from a circle, and all solid problems by cutting a parabola from a circle, and finally all problems of higher degree by cutting from a circle a line that is only one degree more complex than the parabola, it suffices simply to follow the same path to construct all problems of ever-higher complexity indefinitely: for in matters of mathematical progressions, once you have the first two or three terms, it’s not difficult to find the rest. And I hope our grandchildren will thank me not only for the things I’ve explained here but also for those I’ve deliberately omitted, leaving them the pleasure of discovering them for themselves.
END OF THE TREATISE ON GEOMETRY
e come SB sta a BV, così AB sta a BE, che è pertanto:
come prima, da cui si vede che è la stessa linea curva a descriversi in questi due modi. Dopo ciò, poiché BL e DE sono uguali, anche DL e BE lo sono: per cui aggiungendo LH, che è:
a DL che è:
si ottiene tutta DH, che è:
e sottraendo GD, che è:
si ha GH, che è:
,
che scrivo in ordine in questo modo:
E il quadrato di GH è:
,
E in qualunque altro punto della linea curva si voglia immaginare il punto C, ad esempio verso N o verso Q, si troverà sempre che il quadrato della linea retta, che sta tra il punto H e quello in cui cade la perpendicolare dal punto C su BH, può essere espresso con gli stessi termini e con gli stessi segni + e -.
Inoltre, IH essendo:
e LH essendo:
,
IL è:
a causa dell’angolo retto IHL; e LP essendo:
IP o IC è:
anche a causa dell’angolo retto IPL. Poi, avendo tracciato CM perpendicolare a IH, IM è la differenza tra IH e HM o CG, cioè tra:
e y,
così che il suo quadrato è sempre:
che, sottratto dal quadrato di IC, resta:
per il quadrato di CM, che è uguale al quadrato di GH già trovato. Oppure, facendo sì che questa somma sia divisa come l’altra per n2y2, si ha:
poi rimettendo:
, per n2y4;
e:
per 2my3;
e moltiplicando entrambe le somme per n2y2, si ha:
,
uguale a:
Cioè, si ha: y6 - py5 + qy4 - ry3 + sy2 - ty + u = 0.
Da ciò risulta che le linee CG, NR, QO e simili sono le radici di questa equazione, il che era da dimostrare.
Creare quattro medie proporzionali.
Dunque, se si vogliono trovare quattro medie proporzionali tra le linee a e b, posta x per la prima, l’equazione è x5 - a4b = 0, oppure x6 - a4bx = 0.
Facendo y – a = x, si ottiene y6 - 6ay5 + 15a2y4 - 20 a3y3 + 15 a4y2 - (6a5 + a4b) +a6 + a5b = 0.
Pertanto, bisogna prendere 3a per la linea AB, e:
per BK o il lato destro della parabola, che ho chiamato n, e:
per DE o BL.
E dopo aver descritto la linea curva ACN sulla misura di queste tre, bisogna fare:
e:
e:
,
poiché il cerchio che, avendo il centro nel punto I, passerà per il punto P così trovato, intersecherà la curva nei due punti C e N; da questi, tirando le perpendicolari NR e CG, se la minore NR viene sottratta dalla maggiore CG, il resto sarà x, la prima delle quattro medie cercate.
È facile allo stesso modo dividere un angolo in cinque parti uguali, e inscrivere una figura di undici o tredici lati uguali in un cerchio, e trovare un’infinità di altri esempi di questa regola. Tuttavia, va notato che in diversi di questi esempi può accadere che il cerchio tagli la parabola del secondo tipo in modo così obliquo, che il punto d’intersezione sia difficile da individuare, e quindi questa costruzione non sia comoda per la pratica; a ciò sarebbe facile porre rimedio componendo altre regole a imitazione di questa, come se ne possono comporre mille tipi diversi.
Ma il mio scopo non è fare un libro voluminoso, e cerco piuttosto di comprendere molto con poche parole, come forse si giudicherà che ho fatto, se si considera che, avendo ridotto a una sola costruzione tutti i problemi dello stesso genere, ho dato insieme la modalità per ridurli a un’infinità di altri diversi, e così risolvere ciascuno di essi in un’infinità di modi; poi, oltre a ciò, avendo costruito tutti quelli piani tagliando un cerchio con una linea retta, e tutti quelli solidi tagliando anch’essi un cerchio con una parabola, e infine tutti quelli di grado più composto tagliando sempre da un cerchio una linea che è solo di un grado più composta della parabola, basta seguire la stessa via per costruire tutti quelli ancora più composti all’infinito: poiché, in materia di progressioni matematiche, quando si hanno i primi due o tre termini, non è difficile trovare gli altri. E spero che i nostri nipoti mi saranno grati, non solo per le cose che ho qui spiegato, ma anche per quelle che ho omesso volontariamente, per lasciare loro il piacere di inventarle.
FINE DEL TRATTATO DI GEOMETRIA