On the Geometrical Spirit (1658)

Pascal

Abstract

An account of the geometrical method as a model of demonstration: define every term with clear names and prove every proposition from truths already known. Pascal grants that this ideal method — to define everything and prove everything — exceeds human powers, yet it remains the surest guide of reasoning.

Connections

Assi: Metodo
Concetti: ragione
Forme: saggio, trattato

Traduzione di Orlando Williams Wight · Delphi Classics, 2000 · pubblico dominio

OF THE GEOMETRICAL SPIRIT

WE MAY HAVE three principal objects in the study of truth: one to discover it when it is sought; another to demonstrate it when it is possessed; and a third, to discriminate it from the false when it is examined.

I do not speak of the first; I treat particularly of the second, and it includes the third. For if we know the method of proving the truth, we shall have, at the same time, that of discriminating it, since, in examining whether the proof that is given of it is in conformity with the rules that are understood, we shall know whether it is exactly demonstrated.

Geometry, which excels in these three methods, has explained the art of discovering unknown truths; this it is which is called analysis, and of which it would be useless to discourse after the many excellent works that have been written on it.

That of demonstrating truths already found, and of elucidating them in such a manner that the proof of them shall be irresistible, is the only one that I wish to give; and for this I have only to explain the method which geometry observes in it; for she teaches it perfectly by her examples, although she may produce no discourse on it. And since this art consists in two principal things, the one in proving each proposition by itself, the other in disposing all the propositions in the best order, I shall make of it two sections, of which the one will contain the rules for the conduct of geometrical, that is, methodical and perfect demonstrations; and the second will comprehend that of geometrical, that is, methodical and complete order: so that the two together will include all that will be necessary to direct reasoning, in proving and discriminating truths, which I design to give entire.

Section First — Of the method of geometrical, that is, of methodical and perfect demonstrations.

I cannot better explain the method that should be preserved to render demonstrations convincing, than by explaining that which is observed by geometry.

But it is first necessary that I should give the idea of a method still more eminent and more complete, but which mankind could never attain; for what exceeds geometry surpasses us; and, nevertheless, something must be said of it, although it is impossible to practise it.1

This true method, which would form demonstrations in the highest excellence, if it were possible to arrive at it, would consist in two principal things: the one, in employing no term the meaning of which had not first been clearly explained; the other, in never advancing any proposition which could not be demonstrated by truths already known; that is, in a word, in defining every term, and in proving every proposition. But to follow the same order that I am explaining, it is necessary that I should state what I mean by definition.

The only definitions recognized in geometry are what the logicians call definitions of name, that is, the arbitrary application of names to things which are clearly designated by terms perfectly known; and it is of these alone that I speak.

Their utility and use is to elucidate and abbreviate discourse, in expressing by the single name that has been imposed what could otherwise be only expressed by several terms; so that nevertheless the name imposed remains divested of all other meaning, if it has any, having no longer any than that for which it is alone designed. Here is an example:

If we are under the necessity of discriminating numbers that are divisible equally by two from those which are not, in order to avoid the frequent repetition of this condition, a name is given to it in this manner: I call every number divisible equally by two, an even number.

This is a geometrical definition; because after having clearly designated a thing, namely, every member divisible equally by two, we give it a name divested of every other meaning, if it has any, in order to give it that of the thing designated.

Hence it appears that definitions are very arbitrary, and that they are never subject to contradiction; for nothing is more permissible than to give to a thing which has been clearly designated, whatever name we choose. It is only necessary to take care not to abuse the liberty that we possess of imposing names, by giving the same to two different things.

Not that this may not be permissible, provided we do not confound the consequences, and do not extend them from the one to the other.

But if we fall into this error, we can oppose to it a sure and infallible remedy: that of mentally substituting the definition in the place of the thing defined, and of having the definition always so present, that every time we speak, for example, of an even number, we mean precisely that which is divisible into two equal parts, and that these two things should be in such a degree joined and inseparable in thought, that as soon as the discourse expresses the one, the mind attaches it immediately to the other. For geometricians, and all those who proceed methodically, only impose names on things to abbreviate discourse, and not to diminish or change the idea of the things of which they are discoursing. And they pretend that the mind always supplies the full definition to the concise terms, which they only employ to avoid the confusion occasioned by the multitude of words.

Nothing more promptly and more effectually removes the captious cavils of sophists than this method, which it is necessary to have always present, and which alone suffices to banish all kinds of difficulties and equivocations.

These things being well understood, I return to the explanation of the true order, which consists, as I have said, in defining every thing and in proving every thing.

This method would certainly be beautiful, but it is absolutely impossible; for it is evident that the first terms that we wished to define would imply precedents to serve for their explanation, and that in the same manner, the first propositions that we wished to prove would imply others which had preceded them; and thus it is clear that we should never reach the first.

Thus, in pushing our researches further and further, we arrive necessarily at primitive words which can no longer be defined, and at principles so clear that we can find no others that can serve as a proof of them.

Hence it appears that men are naturally and immutably impotent to treat of any science so that it may be in an absolutely complete order.

But it does not thence follow that we should abandon every kind of order.

For there is one, and it is that of geometry, which is in truth inferior in that it is less convincing, but not in that it is less certain. It does not define every thing and does not prove every thing, and it is in this that it is inferior; but it assumes nothing but things clear and constant by natural enlightenment, and this is why it is perfectly true, nature sustaining it in default of discourse.

This order, the most perfect of any among men, consists not at all in defining every thing or in demonstrating every thing, nor in defining nothing or in demonstrating nothing, but in adhering to this middle course of not defining things clear and understood by all mankind, and of defining the rest; of not proving all the things known to mankind, and of proving all the rest. Against this order those sin alike who undertake to define everything and to prove every thing, and who neglect to do it in those things which are not evident of themselves.

This is what is perfectly taught by geometry. She does not define any of these things, space, time, motion, number, equality, and similar things which exist in great number, because these terms so naturally designate the things that they mean, to those who understand the language, that their elucidation would afford more obscurity than instruction.

For there is nothing more feeble than the discourse of those who wish to define these primitive words. What necessity is there, for example, of explaining what is understood by the word man? Do we not know well enough what the thing is that we wish to designate by this term? And what advantage did Plato think to procure us in saying that he was a two-legged animal without feathers? As though the idea that I have of him naturally, and which I cannot express, were not clearer and surer than that which he gives me by his useless and even ridiculous explanation; since a man does not lose humanity by losing the two legs, nor does a capon acquire it by losing his feathers.

Dello spirito geometrico

Nello studio della verità possiamo avere tre obiettivi principali: il primo è scoprirla quando viene cercata; il secondo è dimostrarla una volta che è stata individuata; il terzo è distinguerla dalla falsità quando viene esaminata.

Non parlo del primo caso; mi occupo specificamente del secondo, che include anche il terzo. Poiché se conosciamo la metodo per dimostrare la verità, ne conosceremo contemporaneamente anche quella per distinguerla, poiché esaminando se la prova fornita è in conformità con le regole comprese, sapremo se essa sia stata effettivamente dimostrata correttamente.

La geometria, che eccelle in questi tre metodi, ha spiegato l’arte di scoprire verità sconosciute; è proprio questo che viene chiamato “analisi”, e non sarebbe utile discuterne ulteriormente dopo i numerosi lavori eccellenti che ne sono stati scritti.

Dimostrare verità già conosciute e chiarirle in modo tale che la loro dimostrazione appaia irrefutabile è l’unica cosa che desidero fare; per questo ho bisogno soltanto di spiegare il metodo seguito dalla geometria in queste operazioni. La geometria, infatti, lo insegna perfettamente attraverso i suoi esempi, anche se non fornisce alcun discorso esplicito al riguardo. Poiché questa arte consiste principalmente in due aspetti: da un lato, nel dimostrare ciascuna proposizione separatamente; dall’altro, nell’ordinare tutte le proposizioni nel modo più appropriato, ne trarrò due sezioni principali. La prima conterrà le regole per condurre dimostrazioni geometriche in modo metodico e completo; la seconda riguarderà l’organizzazione sistematica delle proposizioni stesse. In questo modo, insieme, queste due sezioni comprenderanno tutto ciò che è necessario per guidare il ragionamento nel dimostrare e distinguere le verità, cose che intendo presentare in modo esaustivo.

Sezione Prima – Del metodo geometrico, ovvero del metodo di dimostrazioni sistematiche e perfette.

Non posso spiegare meglio il metodo che deve essere mantenuto per rendere le dimostrazioni convincenti, se non illustrando ciò che viene osservato nella geometria.

Ma prima di tutto è necessario che io presenti l’idea di un metodo ancora più eccellente e più completo, ma che l’umanità non potrebbe mai raggiungere; poiché ciò che supera la geometria ci trascende; e tuttavia, è necessario parlare di esso, anche se è impossibile metterlo in pratica.1

Questo vero metodo, che costituirebbe dimostrazioni di altissima qualità se fosse possibile raggiungerlo, consisterebbe in due elementi principali: il primo è l’uso esclusivo di termini i cui significati siano stati chiaramente spiegati in precedenza; il secondo è l’astenersi dal formulare proposizioni che non possano essere dimostrate attraverso verità già conosciute; in altre parole, definire ogni termine e provare ogni proposizione. Tuttavia, per seguire esattamente l’ordine che sto spiegando, è necessario chiarire cosa intendo per “definizione”.

Le uniche definizioni riconosciute in geometria sono quelle che i logici chiamano “definizioni di nome”, ovvero l’applicazione arbitraria di nomi a entità chiaramente designate da termini perfettamente noti; e sono proprio di queste che parlo.

La loro utilità e il loro scopo principale sono quelli di chiarire e abbreviare i discorsi, esprimendo con un singolo nome ciò che altrimenti potrebbe essere espresso solo attraverso diversi termini; in questo modo, il nome utilizzato viene privato di ogni altro significato, qualora ne possieda uno, poiché conserva soltanto quello per cui è stato appositamente concepito. Ecco un esempio:

Se siamo costretti a distinguere i numeri che sono divisibili per due da quelli che non lo sono, al fine di evitare la frequente ripetizione di questa condizione, viene attribuito loro un nome specifico: chiamo ogni numero divisibile per due un numero pari.

Si tratta di una definizione geometrica: poiché, dopo aver chiaramente designato un certo oggetto – ovvero ogni elemento divisibile equamente per due – gli assegniamo un nome privo di qualsiasi altro significato, qualora ne possieda uno, al fine di attribuirgli esclusivamente il significato legato all’oggetto stesso che stiamo definendo.

Da ciò si evince che le definizioni sono estremamente arbitrarie e che non sono mai soggette a contraddizione; infatti, non c’è nulla di più permesso che dare a una cosa chiaramente designata qualsiasi nome si preferisca. È soltanto necessario fare attenzione a non abusare della libertà che abbiamo di imporre nomi, evitando di assegnarne lo stesso a due cose diverse.

Non che ciò non possa essere permesso, purché non confondiamo le conseguenze e non le estendiamo dall’uno all’altro.

Ma se commettiamo questo errore, possiamo opporgli un rimedio sicuro e infallibile: quello di sostituire mentalmente la definizione con l’oggetto stesso che essa definisce, e di mantenere questa definizione sempre presente nella nostra mente. Ogni volta che parliamo, ad esempio, di un numero pari, intendiamo precisamente ciò che può essere diviso in due parti uguali; queste due nozioni devono essere così strettamente legate tra loro da far sì che, non appena una di esse viene espressa nel discorso, l’altra venga immediatamente associata. Per i geometri e per tutti coloro che procedono in modo metodico, gli nomi vengono utilizzati soltanto per abbreviare il discorso, e non per ridurre o modificare l’idea stessa delle cose di cui si parla. Essi sostengono che la mente sia sempre in grado di completare automaticamente i termini concisi, utilizzati soltanto per evitare confusione dovuta all’eccessiva ricchezza del linguaggio.

Niente elimina più rapidamente e efficacemente le cavillose obiezioni dei sofisti di questo metodo; è necessario tenerlo sempre a disposizione, poiché è l’unico in grado di superare ogni tipo di difficoltà ed equivoco.

Una volta comprese chiaramente queste cose, torno all’esplicazione dell’ordine vero e proprio, che consiste, come ho detto, nel definire ogni cosa e nel dimostrarne la veridicità.

Questo metodo sarebbe certamente ottimo, ma è assolutamente impossibile; infatti è evidente che i primi termini che vorremmo definire richiederebbero precedenti per poter essere spiegati, e allo stesso modo le prime proposizioni che vorremmo dimostrare richiederebbero altre proposizioni che le precedessero; quindi è chiaro che non riusciremmo mai ad arrivare ai primi termini o alle prime proposizioni da definire/dimostrare.

Pertanto, proseguendo sempre di più nelle nostre ricerche, arriviamo inevitabilmente a parole primordiali che non possono essere più definite, e a principi così chiari che non ne esistono altri in grado di fungere da loro prova.

Pertanto, sembra che gli esseri umani siano naturalmente e irrimediabilmente incapaci di trattare qualsiasi scienza in modo tale da renderla assolutamente completa e ordinata.

Ma ciò non significa affatto che dobbiamo abbandonare ogni forma di ordine.

Esiste infatti una disciplina, e cioè la geometria, che è in realtà inferiore perché meno convincente, ma non per questo meno certa. Non definisce tutto né dimostra tutto; ed è proprio in questo senso che è inferiore. Tuttavia, si basa esclusivamente su concetti chiari e costanti, derivanti dalla illuminazione naturale; ed è proprio per questa ragione che è perfettamente vera: la natura stessa la sostiene, in assenza di qualsiasi discorso umano.

Quest’ordine, il più perfetto tra tutti quelli umani, non consiste affatto nel definire ogni cosa o nel dimostrare ogni cosa, né nel non definire nulla o nel non dimostrare nulla; ma nell’adottare una via di mezzo: non definire quelle cose che sono chiaramente comprensibili da tutta l’umanità, e invece definire il resto; non provare tutte le cose conosciute dall’umanità, e invece provare il resto. Contro questo ordine peccano coloro che si impegnano a definire e a dimostrare ogni cosa, trascurando di farlo per quelle cose che non sono evidenti di per sé.

È proprio ciò che la geometria insegna perfettamente: essa non definisce nessuno di questi concetti – spazio, tempo, movimento, numero, uguaglianza e simili – poiché questi termini, per coloro che comprendono il linguaggio matematico, designano naturalmente le cose a cui si riferiscono; pertanto, spiegarli più in dettaglio potrebbe solo generare confusione invece di fornire chiarezza.

Non c’è nulla di più debole del discorso di coloro che cercano di definire queste parole primitive. Qual è dunque la necessità di spiegare cosa si intenda per il termine “uomo”? Non sappiamo forse abbastanza bene di cosa si tratti? E quale vantaggio pensava Platonico di ottenere dicendo che l’uomo è un animale a due zampe privo di piume? Come se l’idea che ho naturalmente di lui, e che non riesco a esprimere a parole, non fosse più chiara e certa di quella che egli stesso ci fornisce con le sue spiegazioni inutili e persino ridicole; poiché un uomo non perde la sua umanità perdendo le due zampe, né un caprone la acquisisce perdendo le piume.

There are those who are absurd enough to explain a word by the word itself. I know some who have defined light in this wise: Light is a luminary movement of luminous bodies, as though we could understand the words luminary and luminous without the word light.2

We cannot undertake to define being without falling into the same absurdity: for we cannot define a word without beginning with the word it is, either expressed or understood. To define being therefore, it is necessary to say it is, and thus to employ the word defined in the definition.

We see clearly enough from this that there are some words incapable of being defined; and, if nature had not supplied this defect by a corresponding idea which she has given to all mankind, all our expressions would be confused; whilst we use them with the same assurance and the same certainty as though they were explained in a manner perfectly exempt from ambiguities; because nature herself has given us, without words, a clearer knowledge of them than art could acquire by our explanations.

It is not because all men have the same idea of the essence of the things that I say that it is impossible and useless to define.

For, for example, time is of this sort. Who can define it? And why undertake it, since all men conceive what is meant in speaking of time, without any further definition? Nevertheless there are many different opinions touching the essence of time. Some say that it is the movement of a created thing; others, the measure of the movement, etc. Thus it is not the nature of these things that I say is known to all; it is simply the relation between the name and the thing; so that at the expression time, all direct their thoughts towards the same object; which suffices to cause this term to have no need of being defined, though afterwards, in examining what time is, we come to differ in sentiment after having been led to think of it; for definitions are only made to designate the things that are named, and not to show the nature of them.

It is not because it is not permissible to call by the name of time the movement of a created thing; for, as I have just said, nothing is more arbitrary than definitions.

But after this definition there will be two things that will be called by the name of time: the one is what the whole world understands naturally by this word and what all those who speak our language call by this term; the other will be the movement of a created thing, for this will also be called by this name, according to this new definition.

It is necessary therefore to shun ambiguities and not to confound consequences. For it will not follow from this that the thing that is naturally understood by the word time is in fact the movement of a created thing. It has been allowable to name these two things the same; but it will not be to make them agree in nature as well as in name.

Thus, if we advance this proposition — time is the movement of a created thing, it is necessary to ask what is meant by this word time, that is, whether the usual and generally received meaning is left to it, or whether it is divested of this meaning in order to give to it on this occasion that of the movement of a created thing. For if it be stripped of all other meaning, it cannot be contradicted, and it will become an arbitrary definition, in consequence of which, as I have said, there will be two things that will have the same name. But if its ordinary meaning be left to it, and it be pretended nevertheless that what is meant by this word is the movement of a created thing, it can be contradicted. It is no longer an arbitrary definition, but a proposition that must be proved, if it is not evident of itself; and this will then be a principle or an axiom, but never a definition, since in this enunciation it is not understood that the word time signifies the same thing as the movement of a created thing, but it is understood that what is conceived by the term time is this supposed movement.

If I did not know how necessary it is to understand this perfectly, and how continually occasions like this, of which I give the example, happen both in familiar and scientific discourses, I should not dwell upon it. But it seems to me, by the experience that I have had from the confusion of controversies, that we cannot too fully enter into this spirit of precision, for the sake of which I write this treatise rather than the subject of which I treat in it.

For how many persons are there who fancy that they have defined time, when they have said that it is the measure of movement, leaving it, however, its ordinary meaning! And nevertheless they have made a proposition and not a definition. How many are there, in the like manner, who fancy that they have defined movement, when they have said: Motus nec simpliciter motus, non mera potentia est, sed actus entis in potentia! And nevertheless, if they leave to the word movement its ordinary meaning as they do, it is not a definition but a proposition; and confounding thus the definitions which they call definitions of name, which are the true arbitrary definitions permissible and geometrical, with those which they call definitions of thing, which, properly speaking, are not at all arbitrary definitions, but are subject to contradiction, they hold themselves at liberty to make these as well as others: and each defining the same things in his own way, by a liberty which is as unjustifiable in this kind of definitions as it is permissible in the former, they perplex every thing, and losing all order and all light, become lost themselves and wander into inextricable embarrassments.

We shall never fall Into such In following the order of geometry. This judicious science Is far from defining such primitive words as space, time, motion, equality, majority, diminution, whole, and others which every one understands.

But apart from these, the rest of the terms that this science employs are to such a degree elucidated and defined that we have no need of a dictionary to understand any of them; so that in a word all these terms are perfectly intelligible, either by natural enlightenment or by the definitions that it gives of them.

This is the manner in which it avoids all the errors that may be encountered upon the first point, which consists in defining only the things that have need of it. It makes use of it in the same manner in respect to the other point, which consists in proving the propositions that are not evident.

For, when it has arrived at the first known truths, it pauses there and asks whether they are admitted, having nothing clearer whereby to prove them; so that all that is proposed by geometry is perfectly demonstrated, either by natural enlightenment or by proofs.

Hence it comes that if this science does not define and demonstrate every thing, it is for the simple reason that this is impossible.3

It will perhaps be found strange that geometry does not define any of the things that it has for its principal objects: for it can neither define motion, numbers, nor space; and nevertheless these three things are those of which it treats in particular, and according to the investigation of which it takes the three different names of mechanics, arithmetic, and geometry, this last name belonging to the genus and species.

But this will not surprise us if we remark that, this admirable science only attaching itself to the simplest things, this same quality which renders them worthy of being its objects renders them incapable of being defined; so that the lack of definition is a perfection rather than a defect, since it does not come from their obscurity, but on the contrary from their extreme obviousness, which is such that though it may not have the conviction of demonstrations, it has all their certainty. It supposes therefore that we know what is the thing that is understood by the words motion, number, space; and without stopping to define them to no purpose, it penetrates their nature and discovers their marvellous properties.

These three things which comprehend the whole universe, according to the words: Deus fecit omnia in pondere, in numero, et mensura,4 have a reciprocal and necessary connection. For we cannot imagine motion without something that moves; and this thing being one, this unity is the origin of all numbers; and lastly, motion not being able to exist without space, we see these three things included within the first.

Ci sono persone abbastanza assurde da spiegare una parola utilizzando proprio quella parola stessa. Conosco alcune che hanno definito la luce in questo modo: “La luce è un movimento luminoso di corpi luminosi”, come se si potesse comprendere il significato delle parole “luminoso” e “movimento luminoso” senza ricorrere alla parola “luce”.

Non possiamo assumerci il compito di definire l’essere senza cadere nella stessa assurdità: infatti non possiamo definire una parola senza partire da quella stessa parola, sia che venga espressa o intesa. Pertanto, per definire l’essere, è necessario semplicemente affermare che esso esiste, utilizzando così la parola stessa che si sta cercando di definire nella stessa definizione.

Da questo si evince chiaramente che esistono alcune parole incapaci di essere definite; e se la natura non avesse compensato questa mancanza fornendo un’idea corrispondente a tutte le genti umane, tutte le nostre espressioni sarebbero confuse. Tuttavia le utilizziamo con la stessa sicurezza e certezza, come se fossero perfettamente prive di ambiguità; perché la natura stessa ci ha fornito, senza l’ausilio delle parole, una conoscenza di esse più chiara di quella che l’arte potrebbe ottenere attraverso le nostre spiegazioni.

Non è perché tutti gli uomini abbiano la stessa concezione dell’essenza delle cose che affermo sia impossibile e inutile definirla.

Ad esempio, il tempo appartiene a questa categoria: chi può definirlo? E perché tentare di farlo, se tutti comprendono ciò che si intende quando si parla di tempo, senza alcuna ulteriore definizione? Tuttavia, esistono molte opinioni diverse riguardo all’essenza del tempo. Alcuni dicono che sia il movimento di una cosa creata; altri, che sia la misura di tale movimento, e così via. Quindi non è la natura di queste cose a essere conosciuta da tutti; bensì semplicemente il rapporto tra il nome e la cosa stessa. Quando si dice “tempo”, tutti rivolgono i propri pensieri verso lo stesso oggetto; ed è sufficiente questo per far sì che tale termine non abbia bisogno di essere definito. Tuttavia, nell’esaminare più in profondità ciò che il tempo sia, possiamo arrivare a divergere nelle nostre opinioni, dopo averne riflettuto. Le definizioni, infatti, servono soltanto per designare le cose a cui si fa riferimento, e non per spiegarne la natura.

Non è perché non sia permesso chiamare “tempo” il movimento di una cosa creata; infatti, come ho appena detto, nulla è più arbitrario delle definizioni.

Ma dopo questa definizione, ci saranno due cose che verranno chiamate “tempo”: una è quella che l’intero mondo intende naturalmente con questo termine e che tutti coloro che parlano la nostra lingua indicano con questo nome; l’altra sarà il movimento di una cosa creata, poiché anche questo verrà definito “tempo” secondo questa nuova definizione.

È quindi necessario evitare ambiguità e non confondere le conseguenze. Non si può infatti dedurre da ciò che il termine “tempo”, inteso nel suo significato naturale, si riferisca effettivamente al movimento di una cosa creata. È stato possibile chiamare queste due realtà con lo stesso nome; ma ciò non significa che abbiano la stessa natura, oltre ad avere lo stesso nome.

Pertanto, se avanziamo questa proposizione – il tempo è il movimento di una cosa creata – è necessario chiedersi cosa si intenda esattamente con la parola “tempo”, cioè se le venga conservato il significato comune e generalmente accettato, oppure se ne venga privata per attribuirle in questo contesto il significato di “movimento di una cosa creata”. Se venisse privata di ogni altro significato, non potrebbe essere contraddetta e diventerebbe una definizione arbitraria; di conseguenza, come ho detto, ci sarebbero due entità che condividessero lo stesso nome. Ma se le viene conservato il suo significato ordinario e si pretende comunque che con questa parola si intenda il “movimento di una cosa creata”, allora essa può essere contraddetta. Non si tratta più di una definizione arbitraria, ma di una proposizione che deve essere dimostrata, se non è evidente di per sé; e in questo caso si tratterebbe di un principio o di un assioma, mai di una semplice definizione, poiché in questa enunciazione non si intende che la parola “tempo” significhi esattamente lo stesso che “movimento di una cosa creata”, ma piuttosto che ciò che viene concepito con il termine “tempo” sia proprio questo presunto movimento.

Se non sapessi quanto sia necessario comprendere perfettamente questo concetto, e quanto spesso occasioni del genere si presentino sia nei discorsi quotidiani che in quelli scientifici, non mi soffermerei su di esso. Tuttavia, sulla base dell’esperienza maturata nella confusione delle controversie, ritengo che non possiamo mai abbastanza adottare questo spirito di precisione; è proprio per questo motivo che sto scrivendo questo trattato, piuttosto che per trattare l’argomento specifico di cui parlo al suo interno.

Quanti sono coloro che si credono di aver definito il tempo, quando hanno semplicemente affermato che esso sia la misura del movimento, lasciandogli tuttavia il suo significato comune! Eppure ciò che hanno fornito non è una definizione, ma soltanto un’affermazione. Quanti ancora si credono di aver definito il movimento quando dicono: “Il movimento non è semplicemente la capacità di muoversi, ma l’atto concreto di un ente che agisce in quella capacità”! Eppure, se si lascia alla parola “movimento” il suo significato comune, ciò che si ottiene non è una definizione, ma soltanto un’affermazione. Confondendo così quelle che chiamano “definizioni di nome”, ovvero le vere e proprie definizioni arbitrarie ammesse nella logica geometrica, con quelle che chiamano “definizioni di cosa”, le quali in realtà non sono affatto arbitrarie, ma soggette alla contraddizione, questi individui si permettono di formulare entrambe queste categorie di definizioni a modo loro. Ognuno, con il proprio approccio personale, definisce gli stessi concetti; una libertà che, in questo tipo di definizioni, è altrettanto ingiustificabile quanto fosse permessa nelle prime. Di conseguenza, tutto diventa confuso: si perde ogni ordine e chiarezza, e ci si ritrova immersi in difficoltà insormontabili.

Non cadremo mai in tale errore seguendo l’ordine della geometria. Questa saggia scienza è ben lontana dal poter definire termini primitivi come spazio, tempo, movimento, uguaglianza, maggioranza, diminuzione, intero, e altri che tutti comprendono facilmente.

Ma a parte questi, il resto dei termini utilizzati da questa scienza sono così chiaramente spiegati e definiti che non abbiamo bisogno di un dizionario per comprenderli; in altre parole, tutti questi termini sono perfettamente comprensibili, sia attraverso la illuminazione naturale che attraverso le definizioni che essa stessa ne fornisce.

È in questo modo che si evitano tutti gli errori che potrebbero verificarsi riguardo al primo punto, ovvero quello che consiste nel definire soltanto le cose di cui c’è bisogno. Si utilizza lo stesso approccio anche per il secondo punto, che consiste nella dimostrazione delle proposizioni che non sono evidenti.

Poiché, una volta raggiunte le prime verità conosciute, la geometria si ferma lì e si chiede se queste verità debbano essere accettate, non essendo disponibili prove più chiare per dimostrarle; in questo modo, tutto ciò che viene proposto dalla geometria viene perfettamente dimostrato, sia attraverso la luce naturale della ragione che attraverso argomentazioni logiche.

Ecco perché, se questa scienza non definisce e dimostra ogni cosa, è semplicemente perché ciò è impossibile.

Forse sembrerà strano che la geometria non definisca nessuna delle cose che considera i suoi oggetti principali: infatti non può definire né il movimento, né i numeri, né lo spazio; eppure queste tre cose sono proprio quelle di cui si occupa in modo specifico, e sulla loro indagine basa le tre diverse denominazioni di meccanica, aritmetica e geometria, quest’ultima appartenente al genere e alla specie.

Ma questo non dovrebbe sorprenderci, se osserviamo che questa ammirevole scienza, essendo legata soltanto alle cose più semplici, proprio quella stessa qualità che le rende degne di essere oggetto delle sue indagini le rende anche incapaci di essere definite; quindi la mancanza di definizione rappresenta piuttosto una perfezione che un difetto, poiché non deriva dalla loro oscurità, ma al contrario dalla loro estrema chiarezza. Questa chiarezza è tale che, sebbene le idee in questione non possano offrire la certezza delle dimostrazioni, esse possiedono tuttavia la stessa sicurezza di queste ultime. Quindi, questa scienza presuppone che noi sappiamo già ciò che si intende per concetti come “movimento”, “numero”, “spazio”; e senza perdere tempo in definizioni inutili, penetra nella loro natura e scopre le loro meravigliose proprietà.

Queste tre entità che comprendono l’intero universo, secondo le parole “Deus fecit omnia in pondere, in numero, et mensura”, hanno un legame reciproco e necessario tra loro. Infatti, non possiamo immaginare il movimento senza qualcosa che si muova; e poiché questa entità è una, questa unità stessa rappresenta l’origine di tutti i numeri; inoltre, poiché il movimento non può esistere senza lo spazio, vediamo che queste tre entità sono tutte incluse nella prima di esse.

Time even is also comprehended in it; for motion and time are relative to each other; speed and slowness, which are the differences of motion, having a necessary relation to time.

Thus there are properties common to all these things, the knowledge of which opens the mind to the greatest marvels of nature.

The chief of these comprehends the two infinitudes which are combined in every thing: the one of greatness the other of littleness.

For however quick a movement may be, we can conceive of one still more so; and so on ad infinitum, without ever reaching one that would be swift to such a degree that nothing more could be added to it. And, on the contrary, however slow a movement may be, it can be retarded still more; and thus ad infinitum, without ever reaching such a degree of slowness that we could not thence descend into an infinite number of others, without falling into rest.

In the same manner, however great a number may be, we can conceive of a greater; and thus ad infinitum, without ever reaching one that can no longer be increased. And on the contrary, however small a number may be, as the hundredth or ten thousandth part, we can still conceive of a less; and so on ad infinitum, without ever arriving at zero or nothingness.

However great a space may be, we can conceive of a greater; and thus ad infinitum, without ever arriving at one which can no longer be increased. And, on the contrary, however small a space may be, we can still imagine a smaller; and so on ad infinitum, without ever arriving at one indivisible, which has no longer any extent.

It is the same with time. We can always conceive of a greater without an ultimate, and of a less without arriving at a point and a pure nothingness of duration.

That is, in a word, whatever movement, whatever number, whatever space, whatever time there may be, there is always a greater and a less than these: so that they all stand betwixt nothingness and the infinite, being always infinitely distant from these extremes.

All these truths cannot be demonstrated; and yet they are the foundations and principles of geometry. But as the cause that renders them incapable of demonstration is not their obscurity, but on the contrary their extreme obviousness, this lack of proof is not a defect, but rather a perfection.

From which we see that geometry can neither define objects nor prove principles; but for this single and advantageous reason that both are in an extreme natural clearness, which convinces reason more powerfully than discourse.

For what is more evident than this truth, that a number whatever it may be, can be increased — can be doubled? Again, may not the speed of a movement be doubled, and may not a space be doubled in the same manner?

And who too can doubt that a number, whatever it may be, may not be divided into a half, and its half again into another half? For would this half be a nothingness? And would these two halves, which would be two zeros, compose a number?

In the same manner, may not a movement, however slow it may be, be reduced in speed by a half, so that it will pass over the same space in double the time, and this last movement again? For would this be a perfect rest? And would these two halves of velocity, which would be two rests, compose again the first velocity?

Lastly, may not a space, however small it may be, be divided into two, and these halves again? And how could these two halves become indivisible without extent, which joined together made the former extent?

There is no natural knowledge in mankind that precedes this, and surpasses it in clearness. Nevertheless, in order that there may be examples for every thing, we find minds, excellent in all things else, that are shocked by these infinities and can in no wise assent to them.

I have never known any person who thought that a space could not be increased. But I have seen some, very capable in other respects, who affirmed that a space could be divided into two indivisible parts, however absurd the idea may seem.

I have applied myself to investigating what could be the cause of this obscurity, and have found that it chiefly consisted in this, that they could not conceive of a continuity divisible ad infinitum, whence they concluded that it was not divisible.

It is an infirmity natural to man to believe that he possesses truth directly; and thence it comes that he is always disposed to deny every thing that is incomprehensible to him; whilst in fact he knows naturally nothing but falsehood, and whilst he ought to receive as true only those things the contrary of which appear to him as false.

And hence, whenever a proposition is inconceivable, it is necessary to suspend the judgment on it and not to deny it from this indication, but to examine its opposite; and if this is found to be manifestly false, we can boldly affirm the former, however incomprehensible it may be. Let us apply this rule to our subject.

There is no geometrician that does not believe space divisible ad infinitum. He can no more be such without this principle than man can exist without a soul. And nevertheless there is none who comprehends an infinite division; and he only assures himself of this truth by this one, but certainly sufficient reason, that he perfectly comprehends that it is false that by dividing a space we can reach an indivisible part, that, is, one that has no extent.

For what is there more absurd than to pretend that by continually dividing a space, we shall finally arrive at such a division that on dividing it into two, each of the halves shall remain indivisible and without any extent, and that thus the two negations of extensions will together compose an extent? For I would ask those who hold this idea, whether they conceive clearly two indivisibles being brought into contact; if this is throughout, they are only the same thing, and consequently the two together are indivisible; and if it is not throughout, it is then but in a part; then they have parts, therefore they are not indivisible.

If they confess, as in fact they admit when pressed, that their proposition is as inconceivable as the other, they acknowledge that it is not by our capacity for conceiving these things that we should judge of their truth, since these two contraries being both inconceivable, it is nevertheless necessarily certain that one of the two is true.

But as to these chimerical difficulties, which have relation only to our weakness, they oppose this natural clearness and these solid truths: if it were true that space was composed of a certain finite number of indivisibles, it would follow that two spaces, each of which should be square, that is, equal and similar on every side, being the one the double of the other, the one would contain a number of these indivisibles double the number of the indivisibles of the other. Let them bear this consequence well in mind, and let them then apply themselves to ranging points in squares until they shall have formed two, the one of which shall have double the points of the other; and then I will make every geometrician in the world yield to them. But if the thing is naturally impossible, that is, if it is an insuperable impossibility to range squares of points, the one of which shall have double the number of the other, as I would demonstrate on the spot did the thing merit that we should dwell on it, let them draw therefrom the consequence.

And to console them for the trouble they would have in certain junctures, as in conceiving that a space may have an infinity of divisibles, seeing that these are run over in so little time during which this infinity of divisibles would be run over, we must admonish them that they should not compare things so disproportionate as is the infinity of divisibles with the little time in which they are run over: but let them compare the entire space with the entire time, and the infinite divisibles of the space with the infinite moments of the time; and thus they will find that we pass over an infinity of divisibles in an infinity of moments, and a little space in a little time; in which there is no longer the disproportion that astonished them.

Anche il tempo è compreso in questo concetto; infatti, movimento e tempo sono reciprocamente relativi tra loro; velocità e lentezza, che rappresentano le differenze nel movimento, hanno necessariamente una relazione con il tempo.

Esistono quindi proprietà comuni a tutte queste cose, la conoscenza delle quali apre la mente alle più grandi meraviglie della natura.

Il capo di queste categorie comprende le due infinitezze che sono presenti in ogni cosa: una relativa alla grandezza, l’altra alla piccolezza.

Per quanto rapida possa essere un movimento, possiamo concepirne uno ancora più veloce; e così via all’infinito, senza mai raggiungere uno che sia abbastanza rapido da non poter essere ulteriormente accelerato. Al contrario, per quanto lento possa essere un movimento, può essere reso ancora più lento; e così via all’infinito, senza mai raggiungere uno stato di lentezza tale da impedirci di passare a un numero infinito di altri stati di lentezza, senza per questo arrestarci del tutto.

Allo stesso modo, per quanto grande possa essere un numero, possiamo concepire uno ancora maggiore; e così all’infinito, senza mai raggiungere un numero che non possa più essere aumentato. E inversamente, per quanto piccolo possa essere un numero – anche la centesima o la decimillesima parte – possiamo comunque concepire uno ancora minore; e così via all’infinito, senza mai arrivare a zero o al nulla.

Per quanto grande possa essere uno spazio, possiamo concepire uno ancora più grande; e così all’infinito, senza mai raggiungere uno che non possa più essere ampliato. Al contrario, per quanto piccolo possa essere uno spazio, possiamo comunque immaginare uno ancora più piccolo; e così via all’infinito, senza mai arrivare a uno indivisibile, che non abbia più alcuna estensione.

Lo stesso vale per il tempo. Possiamo sempre concepire qualcosa di maggiore senza un limite assoluto, e qualcosa di minore senza raggiungere un punto definitivo o una pura nullità nel corso del tempo.

In altre parole, qualsiasi movimento, qualsiasi numero, qualsiasi spazio, qualsiasi tempo esistano, vi sono sempre valori maggiori e minori rispetto a essi; quindi tutti questi elementi si trovano sempre tra il nulla e l’infinito, essendo sempre infinitamente distanti da questi estremi.

Tutte queste verità non possono essere dimostrate; eppure costituiscono le basi e i principi della geometria. Poiché la ragione per cui non sono dimostrabili non deriva dalla loro oscurità, ma al contrario dalla loro estrema evidenza, questa mancanza di prova non rappresenta un difetto, bensì una perfezione.

Da ciò si evince che la geometria non può né definire gli oggetti né dimostrare i principi; ma proprio per questo motivo unico e vantaggioso: entrambi presentano una chiarezza naturale estrema, tale da convincere la ragione in modo più efficace delle parole.

Cosa c’è di più evidente di questa verità: che qualsiasi numero possa essere aumentato, possa essere raddoppiato? Inoltre, non è possibile anche raddoppiare la velocità di un movimento, o raddoppiare una distanza nello stesso modo?

E chi potrebbe dubitare che un numero, qualunque esso sia, non possa essere diviso a metà, e che quella metà possa a sua volta essere divisa di nuovo a metà? Infatti, tale metà non significherebbe nulla; inoltre, queste due metà, che equivalgono a due “zero”, costituirebbero davvero un numero?

Allo stesso modo, non potrebbe un movimento, per lenta che sia, avere la sua velocità ridotta della metà, in modo che attraversi lo stesso spazio in doppio tempo? E questo secondo movimento, a sua volta. Non sarebbe forse anch’esso uno “stato di quiete” perfetto? Inoltre, queste due metà di velocità, che rappresenterebbero due stati di quiete, non costituirebbero nuovamente la velocità iniziale?

Infine, non può forse uno spazio, per quanto piccolo sia, essere diviso in due parti, e queste due parti a loro volta essere ulteriormente suddivise? E come potrebbero queste due parti diventare indivisibili, se non possedessero estensione, e se la loro unione non formasse nuovamente un’intera estensione?

Non esiste alcuna conoscenza naturale nell’umanità che preceda questa e la superi in chiarezza. Tuttavia, affinché ci siano esempi per ogni cosa, troviamo menti, eccellenti in ogni altro ambito, che vengono sconvolte da queste idee di infinito e che non possono assolutamente accettarle.

Non ho mai conosciuto nessuno che pensasse che uno spazio non potesse essere ampliato. Tuttavia, ho visto alcune persone, molto capaci in altri ambiti, affermare che uno spazio potesse essere diviso in due parti indivisibili, per quanto assurda possa sembrare questa idea.

Ho dedicato molte energie a indagare sulla possibile causa di questa oscurità e ho scoperto che essa derivava principalmente dal fatto che non riuscivano a concepire una continuità divisibile all’infinito; da ciò hanno concluso che tale continuità non fosse davvero divisibile.

È una debolezza naturale nell’uomo credere di possedere la verità direttamente; ed è per questo che è sempre propenso a negare tutto ciò che non riesce a comprendere; mentre in realtà non conosce naturalmente nulla se non menzogne, e dovrebbe considerare vere soltanto quelle cose il cui contrario gli appare falso.

E pertanto, ogni volta che una proposizione risulta incomprensibile, è necessario sospendere il giudizio su di essa e non negarla sulla base di tale caratteristica, ma esaminare invece il suo opposto; e se quest’ultimo si rivela chiaramente falso, possiamo affermare con sicurezza la prima proposizione, per quanto incomprensibile possa essere. Applichiamo questa regola al nostro argomento.

Non esiste alcun geometra che non creda che lo spazio sia divisibile all’infinito. Non potrebbe essere tale senza questo principio, proprio come l’uomo non potrebbe esistere senza un’anima. Eppure, nessuno riesce davvero a comprendere il concetto di una divisione infinita; si convince della veridicità di questa affermazione soltanto grazie a questa ragione, certamente sufficiente: comprende infatti perfettamente che è falso pensare che dividendo uno spazio si possa ottenere una parte indivisibile, cioè una parte priva di estensione.

Che cosa c’è di più assurdo del pretendere che, dividendo continuamente uno spazio, si arrivi infine a una divisione tale per cui, dividendolo in due parti, ciascuna delle due rimanga indivisibile e priva di estensione, e che quindi queste due “negazioni” di estensione insieme costituiscano un’intera estensione? Chiederei a coloro che sostengono questa idea se riescono davvero a concepire due entità indivisibili che entrino in contatto tra loro: se questo accade in tutto il loro essere, allora quelle due entità sono in realtà la stessa cosa, e quindi nel complesso rimangono indivisibili; se invece il contatto avviene solo in una parte, allora esse hanno parti, e quindi non sono più indivisibili.

Se ammettono, come infatti fanno quando vengono messi sotto pressione, che la loro ipotesi è altrettanto inconcepibile dell’altra, riconoscono che non è attraverso la nostra capacità di concepire queste cose che possiamo giudicare della loro veridicità; poiché entrambe queste contrarietà sono inconcepibili, è comunque necessariamente certo che una delle due sia vera.

Ma per quanto riguarda queste difficoltà chimeriche, che hanno rapporto soltanto con la nostra debolezza, esse si oppongono a questa chiarezza naturale e a queste verità indiscutibili: se fosse vero che lo spazio fosse composto da un certo numero finito di elementi indivisibili, ne conseguirebbe che due spazi, entrambi quadrati, cioè uguali e simili su tutti i lati, e uno dei quali fosse il doppio dell’altro, contenessero rispettivamente un numero di questi elementi indivisibili doppio rispetto all’altro. Che tengano bene a mente questa conseguenza e che poi si impegnino nel disporre i punti in modo da formare due figure quadrate, una delle quali abbia il doppio dei punti dell’altra; allora farò sì che ogni geometra al mondo li riconosca nel giusto. Ma se ciò fosse naturalmente impossibile, cioè se fosse impossibile disporre i punti in modo da formare figure quadrate con un numero di punti doppio rispetto all’altra, come dimostrerei sul momento stesso se la cosa meritasse davvero di essere discussa, che ne traggano le conseguenze.

E per consolarli riguardo alle difficoltà che potrebbero incontrare in alcune circostanze – ad esempio nel concepire che uno spazio possa contenere un’infinità di divisibili, considerando che questi vengono tutti considerati in un lasso di tempo estremamente breve – dobbiamo ricordare loro di non confrontare cose così sproporzionate come l’infinità dei divisibili con il breve lasso di tempo in cui vengono effettivamente contati. Dovrebbero invece confrontare lo spazio nel suo complesso con il tempo nel suo insieme, e i divisibili infiniti dello spazio con gli istanti infiniti del tempo; così scopriranno che, in realtà, attraversiamo un’infinità di divisibili in un’infinità di momenti, e uno spazio limitato in un lasso di tempo limitato; e in questo modo non ci sarà più quella sproporzione che li aveva sorpresi.

Lastly, if they find it surprising that a small space has as many parts as a great one, let them understand also that they are smaller in measure, and let them look at the firmament through a diminishing glass, to familiarize themselves with this knowledge, by seeing every part of the sky in every part of the glass.

But if they cannot comprehend that parts so small that to us they are imperceptible, can be divided as often as the firmament, there is no better remedy than to make them look through glasses that magnify this delicate point to a prodigious mass; whence they will easily conceive that by the aid of another glass still more artistically cut, they could be magnified so as to equal that firmament the extent of which they admire. And thus these objects appearing to them now easily divisible, let them remember that nature can do infinitely more than art.

For, in fine, who has assured them that these glasses change the natural magnitude of these objects, instead of re-establishing, on the contrary, the true magnitude which the shape of our eye may change and contract like glasses that diminish?

It is annoying to dwell upon such trifles; but there are times for trifling.

It suffices to say to minds clear on this matter that two negations of extension cannot make an extension. But as there are some who pretend to elude this light by this marvellous answer, that two negations of extension can as well make an extension as two units, neither of which is a number, can make a number by their combination; it is necessary to reply to them that they might in the same manner deny that twenty thousand men make an army, although no single one of them is an army; that a thousand houses make a town, although no single one is a town; or that the parts make the whole, although no single one is the whole; or, to remain in the comparison of numbers, that two binaries make a quaternary, and ten tens a hundred, although no single one is such.

But it is not to have an accurate mind to confound by such unequal comparisons the immutable nature of things with their arbitrary and voluntary names, names dependent upon the caprice of the men who invented them. For it is clear that to facilitate discourse the name of army has been given to twenty thousand men, that of town to several houses, that of ten to ten units; and that from this liberty spring the names of unity, binary, quaternary, ten, hundred, different through our caprices, although these things may be in fact of the same kind by their unchangeable nature, and are all proportionate to each other and differ only in being greater or less, and although, as a result of these names, binary may not be a quaternary, nor the house a town, any more than the town is a house. But again, although a house is not a town, it is not however a negation of a town; there is a great difference between not being a thing, and being a negation of it.

For, in order to understand the thing to the bottom, it is necessary to know that the only reason why unity is not in the ranks of numbers, is that Euclid and the earliest authors who treated of arithmetic, having several properties to give that were applicable to all the numbers except unity, in order to avoid often repeating that in all numbers except unity this condition is found, have excluded unity from the signification of the word number, by the liberty which we have already said can be taken at will with definitions. Thus, if they had wished, they could in the same manner have excluded the binary and ternary, and all else that it pleased them; for we are master of these terms, provided we give notice of it; as on the contrary we may place unity when we like in the rank of numbers, and fractions in the same manner. And, in fact, we are obliged to do it in general propositions, to avoid saying constantly, that in all numbers, as well as in unity and in fractions, such a property is found; and it is in this indefinite sense that I have taken it in all that I have written on it.

But the same Euclid who has taken away from unity the name of number, which it was permissible for him to do, in order to make it understood nevertheless that it is not a negation, but is on the contrary of the same species, thus defines homogeneous magnitudes: Magnitudes are said to be of the same kind, when one being multiplied several times may exceed the other; and consequently, since unity can, being multiplied several times, exceed any number whatsoever, it is precisely of the same kind with numbers through its essence and its immutable nature, in the meaning of the same Euclid who would not have it called a number.

It is not the same thing with an indivisible in respect to an extension. For it not only differs in name, which is voluntary, but it differs in kind, by the same definition; since an indivisible, multiplied as many times as we like, is so far from being able to exceed an extension, that it can never form any thing else than a single and exclusive indivisible; which is natural and necessary, as has been already shown. And as this last proof is founded upon the definition of these two things, indivisible and extension, we will proceed to finish and perfect the demonstration.

An indivisible is that which has no part, and extension is that which has divers separate parts.

According to these definitions, I affirm that two indivisibles united do not make an extension.

For when they are united, they touch each other in some part; and thus the parts whereby they come in contact are not separate, since otherwise they would not touch each other. Now, by their definition, they have no other parts; therefore they have no separate parts; therefore they are not an extension by the definition of extension which involves the separation of parts.

The same thing will be shown of all the other indivisibles that may be brought into junction, for the same reason. And consequently an indivisible, multiplied as many times as we like, will not make an extension. Therefore it is not of the same kind as extension, by the definition of things of the same kind.

It is in this manner that we demonstrate that indivisibles are not of the same species as numbers. Hence it arises that two units may indeed make a number, because they are pf the same kind; and that two indivisibles do not make a extension, because they are not of the same kind.

Hence we see how little reason there is in comparing the relation that exists between unity and numbers with that which exists between indivisibles and extension.

But if we wish to take in numbers a comparison that represents with accuracy what we are considering in extension, this must be the relation of zero to numbers; for zero is not of the same kind as numbers, since, being multiplied, it cannot exceed them: so that it is the true indivisibility of number, as indivisibility is the true zero of extension. And a like one will be found between rest and motion, and between an instant and time; for all these things are heterogeneous in their magnitudes, since being infinitely multiplied, they can never make any thing else than indivisibles, any more than the indivisibles of extension, and for the same reason. And then we shall find a perfect correspondence between these things; for all these magnitudes are divisible ad infinitum, without ever falling into their indivisibles, so that they all hold a middle place between infinity and nothingness.

Such is the admirable relation that nature has established between these things, and the two marvellous infinities which she has proposed to mankind, not to comprehend, but to admire; and to finish the consideration of this by a last remark, I will add that these two infinites, although infinitely different, are notwithstanding relative to each other, in such a manner that the knowledge of the one leads necessarily to the knowledge of the other.

For in numbers, inasmuch as they can be continually augmented, it absolutely follows that they can be continually diminished, and this clearly; for if a number can be multiplied to 100,000, for example, 100,000th part can also be taken from it, by dividing it by the same number by which it is multiplied; and thus every term of augmentation will become a term of division, by changing the whole into a fraction. So that infinite augmentation also includes necessarily infinite division.

Infine, se trovano sorprendente che uno spazio piccolo abbia altrettante parti di uno grande, facciano loro comprendere anche che questi spazi sono più piccoli per dimensioni; inoltre, facciano loro osservare il cielo attraverso un vetro di dimensioni sempre più ridotte, affinché si abituino a questa idea, vedendo ogni parte del cielo riflessa in ogni angolo del vetro stesso.

Ma se non riescono a comprendere che parti così piccole da essere impercettibili per noi possono essere divise quante volte si vuole, proprio come il firmamento, non esiste rimedio migliore che farle osservare attraverso lenti che ingrandiscono queste minuscole particelle fino a trasformarle in masse enormi; così potranno facilmente capire che, con l’aiuto di altre lenti ancora più abilmente realizzate, tali parti potrebbero essere ulteriormente ingrandite fino a raggiungere le dimensioni dello stesso firmamento che ammirano. E poiché ora questi oggetti sembrano facilmente divisibili, ricordino che la natura è in grado di fare qualcosa di infinitamente più grande dell’arte umana.

Infatti, chi può garantire loro che questi occhiali modifichino la dimensione naturale di questi oggetti, invece di ripristinare, al contrario, la vera dimensione che la forma del nostro occhio è in grado di alterare e ridurre, proprio come fanno gli occhiali che ingrandiscono?

È fastidioso soffermarsi su simili banalità; ma ci sono momenti in cui vale la pena occuparsene.

Basta dire alle menti chiare su questa questione che due negazioni di estensione non possono comunque formare un’entità di estensione. Tuttavia, poiché alcuni cercano di eludere questa evidenza con l’argomentazione assurda secondo cui due negazioni di estensione possano ugualmente formarne una, così come due unità – che in realtà non sono numeri – possano combinandosi formare un numero, è necessario rispondere loro che potrebbero altrettanto sostenere che ventimila uomini costituiscono un esercito, anche se nessuno di loro da solo rappresenta un esercito; che mille case formano una città, anche se nessuna di esse da sola è una città; o che le parti compongono il tutto, anche se nessuna di esse da sola è il tutto. Oppure, per rimanere nell’esempio dei numeri, potrebbero affermare che due coppie costituiscono un quaternario, e dieci dieci costituiscono cento, anche se nessuno di questi elementi singoli corrisponde a tali concetti.

Ma non è certo possedere un pensiero accurato confondere, attraverso tali confronti disuguali, la natura immutabile delle cose con i loro nomi arbitrari e volontari, nomi che dipendono dal capriccio di coloro che li hanno inventati. È infatti evidente che, al fine di facilitare il discorso, il nome di “esercito” viene attribuito a ventimila uomini, quello di “città” a diverse abitazioni, e quello di “dieci” a dieci unità; ed è proprio da questa libertà che derivano nomi come “unità”, “binario”, “quaternario”, “cento”, nomi diversi a seconda dei nostri capricci, anche se in realtà queste cose possono essere dello stesso tipo per natura immutabile e sono tutte proporzionali tra loro, differendo soltanto per essere maggiori o minori. Eppure, nonostante questi nomi possano far sì che il “binario” non sia considerato un “quaternario”, né l’“abitazione” una “città”, così come la “città” non è un’“abitazione”, ciò non significa che l’una sia la negazione dell’altra. Esiste infatti una grande differenza tra il semplice non essere qualcosa e essere la sua negazione.

Per comprendere appieno la questione, è necessario sapere che l’unica ragione per cui l’unità non è inclusa tra i numeri è che Euclide e gli autori più antichi che si occuparono di aritmetica, avendo individuato diverse proprietà applicabili a tutti i numeri tranne l’unità, evitarono di ripetere continuamente questa osservazione, escludendo quindi l’unità dal significato stesso del termine “numero”. Questa libertà nell’utilizzo delle definizioni è, infatti, ampiamente consentita. Pertanto, se avessero voluto, avrebbero potuto altrettanto facilmente escludere anche il numero binario, ternario e qualsiasi altro numero desiderassero; poiché noi stessi possiamo decidere liberamente quale significato attribuire a questi termini. Al contrario, possiamo tranquillamente includere l’unità tra i numeri, così come le frazioni. In effetti, nelle proposizioni generali è necessario farlo per evitare di ripetere continuamente che tale proprietà si riscontra in tutti i numeri, comprese l’unità e le frazioni; ed è proprio in questo senso indefinito che ho utilizzato il termine “numero” in tutto ciò che ho scritto sull’argomento.

Ma lo stesso Euclide, che ha rimosso dalla nozione di unità il nome di “numero”, cosa che gli era permessa, al fine comunque di far capire che essa non rappresenta una negazione, ma appartiene anzi alla stessa categoria dei numeri, definisce così le grandezze omogenee: si dice che due grandezze siano della stessa specie quando una, moltiplicata per un certo numero di volte, può superare l’altra; e pertanto, poiché l’unità, moltiplicata per più volte, può superare qualsiasi numero, essa appartiene proprio alla stessa categoria dei numeri per essenza e natura immutabile, secondo il significato stesso di Euclide, che non avrebbe mai definito l’unità “numero”.

Non è la stessa cosa per un essere indivisibile in termini di estensione. Poiché esso differisce non solo nel nome – che è qualcosa di volontario – ma anche nella natura, secondo la stessa definizione; infatti, un essere indivisibile, per quanto possiamo moltiplicarlo, non sarà mai in grado di superare una certa estensione, e non potrà mai formare nulla di diverso da un singolo e unico essere indivisibile; il che è naturale e necessario, come già dimostrato. Poiché questa ultima prova si basa sulla definizione stessa di questi due concetti – l’indivisibile e l’estensione – proseguiremo nel completare e perfezionare la dimostrazione.

Ciò che è indivisibile è ciò che non ha parti; l’estensione, invece, è ciò che presenta diverse parti distinte.

Secondo queste definizioni, affermo che due elementi indivisibili uniti non costituiscono un’entità estensiva.

Poiché, quando sono uniti, le loro parti entrano in contatto tra loro; pertanto le parti che entrano in contatto non sono separate, altrimenti non si toccherebbero. Ora, secondo la loro definizione, non possiedono altre parti; quindi non hanno parti separate; e quindi, secondo la definizione di estensione che implica la separazione delle parti, non costituiscono un’entità estesa.

Lo stesso si può affermare per tutti gli altri indivisibili che possano essere uniti tra loro, per la stessa ragione. Pertanto, un indivisibile, moltiplicato quante volte vogliamo, non genererà alcuna estensione spaziale. Di conseguenza, non appartiene allo stesso genere dell’estensione, secondo la definizione di cose dello stesso genere.

È in questo modo che dimostriamo che gli indivisibili non appartengono alla stessa specie dei numeri. Da ciò consegue che due unità possono effettivamente formare un numero, poiché appartengono allo stesso genere; mentre due indivisibili non possono formare alcuna estensione, poiché non appartengono allo stesso genere.

Da ciò si evince quanto sia poco fondato confrontare il rapporto che esiste tra l’unità e i numeri con quello che esiste tra gli indivisibili e l’estensione.

Ma se desideriamo utilizzare dei numeri per effettuare un confronto che rappresenti con precisione ciò che stiamo considerando in termini di estensione, tale rapporto deve essere quello tra lo zero e i numeri; infatti lo zero non appartiene allo stesso genere dei numeri, poiché, quando moltiplicato, non può superarli: quindi lo zero rappresenta la vera indivisibilità del numero, così come l’indivisibilità costituisce il vero “zero” dell’estensione. Un rapporto simile si riscontra anche tra riposo e movimento, tra un istante e il tempo; tutte queste entità sono infatti eterogenee per grandezza, poiché, se moltiplicate all’infinito, non possono generare altro che elementi indivisibili, proprio come gli elementi indivisibili dell’estensione. Per lo stesso motivo, esiste una perfetta corrispondenza tra queste entità: tutte queste grandezze sono divisibili all’infinito, senza mai ricadere nei loro elementi indivisibili, e pertanto occupano tutti un luogo intermedio tra l’infinito e il nulla.

Ecco dunque il rapporto ammirevole che la natura ha stabilito tra queste cose e quelle due meravigliose infinite che le ha presentate all’umanità non per essere comprese, ma per essere ammirate; e per concludere questa riflessione con un ultimo commento, aggiungerò che queste due infinite, sebbene infinitamente diverse, sono tuttavia relative l’una all’altra in modo tale che la conoscenza di una conduce necessariamente alla conoscenza dell’altra.

Poiché i numeri, nella misura in cui possono essere continuamente aumentati, possono anche essere continuamente diminuiti, e questo è del tutto evidente; infatti, se un numero può essere moltiplicato per 100.000, ad esempio, si può anche prendere la sua 100.000esima parte dividendolo con lo stesso numero con cui è stato moltiplicato; e così ogni operazione di aumento diventa necessariamente un’operazione di divisione, trasformando l’intero numero in una frazione. Pertanto, un aumento infinito include inevitabilmente anche una divisione infinita.

And in space the same relation is seen between these two contrary infinites; that is, that inasmuch as a space can be infinitely prolonged, it follows that it may be infinitely diminished, as appears in this example: If we look through a glass at a vessel that recedes continually in a straight line, it is evident that any point of the vessel observed will continually advance by a perpetual flow in proportion as the ship recedes. Therefore if the course of the vessel is extended ad infinitum, this point will continually recede; and yet it will never reach that point in which the horizontal ray carried from the eye to the glass shall fall, so that it will constantly approach it without ever reaching it, unceasingly dividing the space which will remain under this horizontal point without ever arriving at it. From which is seen the necessary conclusion that is drawn from the infinity of the extension of the course of the vessel to the infinite and infinitely minute division of this little space remaining beneath this horizontal point.

Those who will not be satisfied with these reasons, and will persist in the belief that space is not divisible ad infinitum, can make no pretensions to geometrical demonstrations, and although they may be enlightened in other things, they will be very little in this; for one can easily be a very capable man and a bad geometrician.

But those who clearly perceive these truths will be able to admire the grandeur and power of nature in this double infinity that surrounds us on all sides, and to learn by this marvellous consideration to know themselves, in regarding themselves thus placed between infinitude and a negation of extension, between an infinitude and a negation of number, between an infinitude and a negation of movement, between an infinitude and a negation of time. From which we may learn to estimate ourselves at our true value, and to form reflections which will be worth more than all the rest of geometry itself.

I have thought myself obliged to enter into this long discussion for the benefit of those who, not comprehending at first this double infinity, are capable of being persuaded of it. And although there may be many who have sufficient enlightenment to dispense with it, it may nevertheless happen that this discourse which will be necessary to the one will not be entirely useless to the other.

ENDNOTES.

1 After this paragraph occur in the MS. the following lines, written in a finer hand, and inclosed in parenthesis: “…is much more to succeed in the one than the other, and I have chosen this science to attain it only because it alone knows the true rules of reasoning, and, without stopping at the rules of syllogisms which are so natural that we cannot be ignorant of them, stops and establishes itself upon the true method of conducting reasoning in all things, which almost every one is ignorant of, and which it is so advantageous to know, that we see by experience that among equal minds and like circumstances, he who possesses geometry bears it away, and acquires a new vigor. “I wish, therefore, to explain what demonstrations are by the example of those of geometry, which is almost the only one of the human sciences that produces infallible ones, because she alone observes the true method, whilst all the others are, through a natural necessity, in a sort of confusion, which the geometricians alone know exceedingly well how to comprehend.” On the margin of this fragment is in the MS. the following note: “That which is in small characters was hidden under a paper, the edges of which were glued, and upon which was written the article beginning: I cannot better explain, etc.” — Faugère.

2 Pascal alludes here to Father Noël, a Jesuit, with whom he had had a warm discussion on the subject of his Expériences touchant le vide. In a letter that he wrote to Father Noël in 1647, he said: “The sentence which precedes your closing compliments defines light in these terms: Light is a luminous motion of rays composed of lucid, that is, luminous bodies; upon which, I have to tell you that it seems to me that you ought first to have defined what luminous is, and what a lucid or luminous body is, for till then, I cannot understand what light is. And as we never make use in definitions of the term of the thing defined, I should have difficulty in conforming to yours which says: Light is a luminary motion of a luminous body.” — Faugère.

3 Here the MS. adds in parenthesis: “(But as nature punishes all that science does not bestow, its order in truth does not give a superhuman perfection, but it has all that man can attain. It has seemed to me proper to give from the beginning of this discourse this, etc.). — Faugère.

4 “God has made all things in weight, number and proportion.”

Nello spazio si osserva la stessa relazione tra questi due infiniti contrari: poiché uno spazio può essere esteso all’infinito, ne consegue che possa anche essere ridotto all’infinito, come appare in questo esempio: se guardiamo attraverso un vetro un oggetto che si allontana continuamente in linea retta, è evidente che qualsiasi punto di quell’oggetto osservato si allontanerà costantemente, in proporzione alla distanza percorsa dall’oggetto stesso. Pertanto, se il percorso dell’oggetto venisse esteso all’infinito, quel punto continuerebbe ad allontanarsi senza mai raggiungere il punto in cui un raggio orizzontale tracciato dall’occhio attraverso il vetro cadrebbe su di esso; quindi quell’oggetto si avvicinerebbe costantemente a quel punto, senza mai arrivarci, dividendo continuamente lo spazio che rimane sotto quel punto orizzontale, senza mai raggiungerlo. Da ciò deriva la conclusione necessaria: l’infinità dell’estensione del percorso di quell’oggetto si collega alla divisione infinitesimale dello spazio che rimane sotto quel punto orizzontale.

Coloro che non si accontentano di queste ragioni e insistono nella convinzione che lo spazio non sia divisibile all’infinito, non possono fare alcuna pretesa riguardo alle dimostrazioni geometriche; e anche se possano essere illuminati in altri ambiti, saranno molto poco competenti in questo campo. Infatti, è facile essere una persona molto capace in altre materie e allo stesso tempo un cattivo geometra.

Ma coloro che percepiscono chiaramente queste verità saranno in grado di ammirare la grandezza e il potere della natura in questa doppia infinità che ci circonda su tutti i lati, e di imparare, attraverso questa meravigliosa riflessione, a conoscere se stessi, considerandoci posti tra l’infinito e una negazione dell’estensione, tra l’infinito e una negazione del numero, tra l’infinito e una negazione del movimento, tra l’infinito e una negazione del tempo. Da ciò possiamo imparare a valutare noi stessi secondo il nostro vero valore, e a formulare riflessioni che saranno più preziose di tutta la geometria stessa.

Ho ritenuto mio dovere intraprendere questa lunga discussione a beneficio di coloro che, inizialmente non comprendendo questo concetto di doppia infinità, potrebbero essere convinti della sua esistenza. E sebbene molti possano disporre di una sufficiente illuminazione per non averne bisogno, è comunque possibile che questo discorso, essenziale per alcuni, non risulti del tutto inutile per altri.

Note finali.

Dopo questo paragrafo, nell’manoscritto si trovano le seguenti righe, scritte con una grafia più leggera e racchiuse tra parentesi: “, Riuscire in uno di questi ambiti è molto più difficile che nell’altro; ho scelto proprio questa scienza per raggiungere questo scopo, perché solo essa conosce le vere regole del ragionamento. Non ci fermiamo alle regole dei sillogismi, che sono così ovvie da non poterle ignorare, ma ci soffermiamo sulla vera metodo di condurre il ragionamento in ogni ambito: una conoscenza estremamente utile, poiché sappiamo dall’esperienza che, tra persone con capacità uguali e circostanze simili, colui che possiede le conoscenze geometriche ha la meglio e acquisisce un vantaggio decisivo. Pertanto desidero spiegare cosa siano le dimostrazioni scientifiche, utilizzando l’esempio della geometria: essa è quasi l’unica scienza umana che produce conclusioni infallibili, poiché è l’unica a seguire la vera metodologia del ragionamento; tutte le altre, per una necessità naturale, si trovano in uno stato di confusione, che solo i geometri conoscono perfettamente.” Sul margine di questo frammento, nell’manoscritto è presente la seguente nota: “Quello che è scritto in caratteri piccoli era nascosto sotto un foglio di carta le cui estremità erano incollate; su quel foglio era scritto l’inizio di questo testo: ‘Non posso spiegarlo meglio, ’” — Faugère.

Qui Pascal fa riferimento al Padre Noël, un gesuita, con il quale aveva avuto una vivace discussione sull’argomento delle sue “Esperienze riguardanti il vuoto”. In una lettera scritta al Padre Noël nel 1647, egli affermava: “La frase che precede i vostri complimenti finali definisce la luce in questi termini: ‘La luce è un movimento luminoso di raggi composti da corpi lucidi, cioè luminosi’; devo però dirvi che, a mio parere, sarebbe stato opportuno definire prima cosa significhi essere ‘luminosi’ e cosa sia un corpo lucido o luminoso, poiché senza queste definizioni non riesco a comprendere cosa sia realmente la luce. Inoltre, poiché nelle definizioni non si utilizza mai il termine stesso della cosa definita, avrei difficoltà ad aderire alla vostra definizione, che recita: ‘La luce è un movimento luminoso di un corpo luminoso’.” — Faugère.

3 Qui il manoscritto aggiunge tra parentesi: “(Ma poiché la natura punisce tutto ciò che la scienza non dona, il suo ordine, in realtà, non conferisce una perfezione sovrumana; tuttavia, include tutto ciò che l’uomo può raggiungere. Mi è sembrato opportuno inserire questo commento all’inizio di questo discorso, ). — Faugère.

“Dio ha creato tutte le cose con precisione di peso, numero e proporzione.”